盲源分離的數(shù)學(xué)模型分析綜述目錄TOC\o"1-3"\h\u11045盲源分離的數(shù)學(xué)模型分析綜述 130041.1線性瞬時(shí)混疊模型 1264021.2線性卷積混疊模型 2154551.3非線性瞬時(shí)混疊模型 3106351.4非線性卷積混疊模型 4291331.3盲源分離的辨識(shí)性分析 498261.4盲源分離的不確定性分析 4盲源分離問題的難點(diǎn)在于源信號(hào)和混合系統(tǒng)的信息未知，在只有觀測(cè)信號(hào)的基礎(chǔ)下，想要直接辨別源信號(hào)，還有系統(tǒng)的混合方式，是存在一定難度的。由目前的研究進(jìn)展，一般從源信號(hào)不同混合方式出發(fā)，是否線性作為依據(jù)，將盲源分離問題切分為兩大類:一類是線性混合模型，而根據(jù)是否具有時(shí)延特征，下面又分為線性瞬時(shí)信號(hào)混疊模型，以及線性卷積混疊模型;二是非線性混合模型，同樣根據(jù)是否時(shí)延，下面又分為非線性瞬時(shí)混疊模型，非線性卷積混疊模型。本文主要研究線性瞬時(shí)混合模型，下面對(duì)以上所介紹的盲源分離問題的數(shù)學(xué)模型做相應(yīng)的介紹。1.1線性瞬時(shí)混疊模型線性瞬時(shí)混疊模型可以解釋為:假設(shè)有N個(gè)統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的源信號(hào)，另設(shè)源信號(hào)的帶寬為B，數(shù)量上為M個(gè)傳感器，傳感器自身的時(shí)間延遲為，當(dāng)B*遠(yuǎn)小于1時(shí)，即相當(dāng)于各個(gè)源信號(hào)同時(shí)被傳感器檢測(cè)收集，則每個(gè)觀測(cè)信號(hào)可看成是N個(gè)源信號(hào)的線性組合，即信號(hào)模型為瞬間混疊模型?？捎梅匠瘫硎緸椋? (1.1)式子中，，是源信號(hào)，是觀測(cè)信號(hào)，用矢量表示為: （1.2）式子中，，為，的混合矩陣。舉例,下圖是一個(gè)三路源信號(hào)的混合系統(tǒng)，在4個(gè)傳感器的測(cè)量下，形成了一個(gè)4*3維的線性瞬時(shí)混疊模型,可以描述成: （1.3）可以用，1.1來描述其混合方式。這時(shí)，線性瞬時(shí)混疊模型下，進(jìn)行盲源分離，任務(wù)就是尋求一個(gè)解混矩陣,在W的作用下，可從混疊的觀測(cè)信號(hào)中，把源信號(hào)提取出來,若用符號(hào)，來表示源信號(hào)的估計(jì)值,則解混系統(tǒng)，就可用下列數(shù)學(xué)模型解釋為： （1.4）圖1.2線性瞬時(shí)混疊模型實(shí)際測(cè)量中，不管是傳輸路徑，還是傳感器陣列中，都不可避免的存在加性噪聲?？紤]噪聲因素，完善后的線性瞬時(shí)混疊的數(shù)學(xué)模型為 (1.5)式子中，n(t)是m維加性噪聲分量。1.2線性卷積混疊模型線性瞬時(shí)模型中，源信號(hào)被傳感器同時(shí)收集到，但是對(duì)于實(shí)際機(jī)械問題，源信號(hào)往往含有較寬的頻率成分，在這種情況下，傳感器測(cè)量得到的混合信號(hào)，其實(shí)是源信號(hào)在一定時(shí)間的延遲后，才被傳感器收集得到的。此時(shí)的信號(hào)混疊模型需要考慮到時(shí)延的因素在其中的影響，故而信號(hào)混合模型應(yīng)該加入卷積的成分，則觀測(cè)信號(hào)需要表示成源信號(hào)的卷積之和。若有N個(gè)統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的源信號(hào)，時(shí)延和多徑反射后被M個(gè)傳感器收集到，則觀測(cè)信號(hào)為。采用數(shù)學(xué)形式表示為： （1.6）式子中，*代表著卷積運(yùn)算符，的下標(biāo)i表示第i個(gè)源信號(hào)，下標(biāo)j表示第j個(gè)傳感器，整體表示i到j(luò)的沖激響應(yīng)，L的值則是沖激響應(yīng)的最大長度。線性卷積混疊模型的數(shù)學(xué)表示為： x(t式子中，A是一個(gè)不知道的線性矩陣，用來代表線性濾波器，*指的是卷積運(yùn)算，x(t)指的是混合信號(hào)或者觀測(cè)信號(hào)，是源信號(hào)s(t)與A(k)卷積運(yùn)算后，再加上噪聲信號(hào)得到的。假設(shè)有2路源信號(hào)，2路觀測(cè)信號(hào)，式（1.6）可以用圖1.3來描述。圖1.3線性卷積混疊模型1.3非線性瞬時(shí)混疊模型非線性混疊模型，是在線性混疊模型上的推廣和延伸，非線性混疊模型的一般數(shù)學(xué)表示形式為： （1.8）1.8式中，x(t)代表著一個(gè)M維的測(cè)量信號(hào)，s(t)為N維源信號(hào)，n(t)是和觀測(cè)信號(hào)同維的加性噪聲，F(xiàn)表示未知的可逆實(shí)值非線性映射或者系統(tǒng)，A是一個(gè)需要確定的常系數(shù)混合矩陣。若設(shè)y(t)=k(x(t))，則非線性瞬時(shí)混疊模型的求解，是非線性變換函數(shù)k與分離矩陣w的估計(jì)。1.4非線性卷積混疊模型實(shí)際中，當(dāng)源信號(hào)時(shí)延混合后被傳感器收集而成，同時(shí)混疊的方式又不是線性方式時(shí)，此時(shí)的盲源分離信號(hào)混疊模型即為非線性卷積混疊模型。用數(shù)學(xué)形式表示為： （1.9）1.3盲源分離的辨識(shí)性分析由于實(shí)際問題比較復(fù)雜，場(chǎng)景也比較多，故本文以模型中相對(duì)基礎(chǔ)的線性瞬時(shí)混疊信號(hào)模型來分析盲源分離問題的可行性。由于混合矩陣A的相關(guān)信息無法得到，若進(jìn)行盲源分離，針對(duì)源信號(hào)做出某些假設(shè)來輔助問題的求解是有利且是必要的。相關(guān)假設(shè)如下：混疊信號(hào)的源信號(hào)相互之間，是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。所有信號(hào)源中最多只有一個(gè)高斯源。傳感器觀測(cè)得到的混合信號(hào)中的噪聲成分，為高斯噪聲，且噪聲需要滿足的條件是，與各信號(hào)源相互獨(dú)立。混合矩陣A應(yīng)該滿足列滿秩這一條件，同時(shí)源信號(hào)的個(gè)數(shù)應(yīng)當(dāng)小于傳感器的數(shù)目。1.4盲源分離的不確定性分析P.Comon寫了一部很經(jīng)典的著作，叫《IndependentComponentAnalysis-Anewconcept》。該著作里提供了證明，在獨(dú)立量分析的模型下，解混矩陣與混合矩陣的乘積，可由一個(gè)排列矩陣和一個(gè)滿秩對(duì)角陣相乘而得到，從另一個(gè)層面說明了，分離后得到的信號(hào)y其實(shí)相當(dāng)于對(duì)源信號(hào)s的一個(gè)估計(jì)值，但是y與s存在著區(qū)別，其幅值和次序發(fā)生了一定變化，但是兩者的波形是有共同特征的。由此可得，盲源分離算法所能實(shí)現(xiàn)的功能是，從觀測(cè)的混合信號(hào)中分離出和源信號(hào)的波形有共同特征的獨(dú)立信號(hào)。在這個(gè)過程中，源信號(hào)被提取出來有著一些不可預(yù)料的情況出現(xiàn)：（1）在符號(hào)上，也就是分離后的信號(hào)有可能與源信號(hào)的符號(hào)相同，也可能相反。（2）幅值上，解混后的信號(hào)與源信號(hào)的幅值應(yīng)當(dāng)是