2021學(xué)年第一學(xué)期質(zhì)量監(jiān)控

高三數(shù)學(xué)試卷

（滿分：150分，完卷時(shí)間：120分鐘）

（答題請寫在答題紙上）

一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1?6題每題4分，第7?12題每題5分）考生應(yīng)在答題紙的

相應(yīng)位置直接填寫結(jié)果.

I.己知集合4={刈工>2},B={x\x<3},則=.

2.函數(shù)y=log?*—1）的定義域是

3.若復(fù)數(shù)z滿足iz=JJ-i（i為虛數(shù)單位），則|z|=.

4.（x+2,的展開式中/的系數(shù)為.（結(jié)果用數(shù)值表示）

11sina

5.已知cosa=；,則行列式.，的值為_______.

3sin（71

6.某小區(qū)共有住戶2000人，其中老年人600人，中年人1000人，其余為青少年等人群，為了調(diào)查該小

區(qū)的新冠疫苗接種情況，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取?個(gè)容量為400的樣本，則樣本中中年人的

人數(shù)為.

7.設(shè)P為直線y=2x上的一點(diǎn)，且位于第一象限，若點(diǎn)尸到雙曲線工-），2=1的兩條漸近線的距離之積

4'

為27,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為.

41

8.已知x〉0,y>0,且一+—=1,則4x+y的最小值為_____.

xy

9.有身高全不相同的6位同學(xué)?起拍畢業(yè)照，若6人隨機(jī)排成兩排，每排3人，則后排每人都比前排任

意一位同學(xué)高的概率是.（結(jié)果用最簡分?jǐn)?shù)表示）

10.已知R、P「P、、…、兒是拋物線=8x上不同的點(diǎn)，點(diǎn)尸（2,0）,若RR+FR+…+%0=6,

則|所|+|房|+…+|而+.

11.若數(shù)列W滿足4+4川+%+2+…+〃M=0（〃wN*,AwN*）,則稱數(shù)列{%}為“左階相消數(shù)

列”.已知“2階相消數(shù)列”{4}的通項(xiàng)公式為2=2coscon，記7；=帥，1?42021,〃EN*,

高三數(shù)學(xué)第1頁共4頁

則當(dāng)〃=時(shí)，Tn取得最小值.

12.已知點(diǎn)0(0,0)、4(2,3)和0(5,6),記線段4穌的中點(diǎn)為6,取線段A卅和線段44中的一條，

記其端點(diǎn)為A、使之滿足(104,1-5)(1041-5)<0；記線段A4的中點(diǎn)為5,取線段4區(qū)和線

段打片中的一條，記其端點(diǎn)為A?、與，使之滿足(|。41-5)(|0與|-5)<()；依次下去，得到點(diǎn)片、

2、…、乙、…，貝Ulim|A)2|=.

二、選擇題(本大題共有4題，滿分20分，每題5分)每題有且只有一個(gè)正確答案，考生應(yīng)在答題紙的

相應(yīng)位置，將代表正確選項(xiàng)的小方格涂黑.

13.已知。、/?eR,則“2>I”是“方〉的().

a

(A)充分不必要條件(B)必要不充分條件

(C)充要條件(D)既不充分也不必要條件

14.下列函數(shù)中，以為周期且在區(qū)間［：,］］上單調(diào)遞增的是().

(A)f(x)=\cos2x|(B)/(X)=|sin2x|

(C)f(x)=sin4x(D)f(x)=cos2x

15.如圖，在棱長為1的正方體A6C。—44GB中，尸、Q、A分別是棱A8、BC、6片的中點(diǎn),

以^PQR為底面作一個(gè)直三棱柱,使其另一個(gè)底面的三個(gè)頂點(diǎn)也都在正方體A8CQ-的表

面匕則這個(gè)直三棱柱的體積為().

(A)I(B)(D)得

4(c)17

16.已知向量a與3的夾角為120°,且a6=2,向量c滿足c=4ai(IA)b

(0<4<l),且73二=".記向量2在向量Z與B方向上的投影分別為X、)，.現(xiàn)有兩個(gè)結(jié)論：①若

2=-1,則|。一|二2|切一；②,/+,丁+孫的最大值為：3，則正確的判斷是().

(A)①成立，②成立(B)①成立，②不成立

(C)①不成立，②成立(D)①不成立，②不成立

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三、解答題(本大題共有5題，樵分76分)解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要

的步驟.

17.(本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分)

如圖，已知圓錐的底面半徑，?二2,經(jīng)過旋轉(zhuǎn)軸SO的截面是等邊三

角形S48,點(diǎn)。為半圓弧A8的中點(diǎn)，點(diǎn)P為母線SA的中點(diǎn).

(1)求此圓錐的表面積；

(2)求異面直線尸Q與S。所成角的大小.

18.(本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分)

已知函數(shù)/(x)=3v.

⑴設(shè)1=尸(力是y=/(力的反函數(shù),若尸區(qū)芍)=1，求尸(申+尸(珍的值;

m

(2)是否存在常數(shù)〃?ER,使得函數(shù)g(x)=l+-^——；為奇函數(shù).若存在，求的值，并證明

/(x)+l

此時(shí)g(x)在(F,”)上單調(diào)遞增；若不存在，請說明理由.

19.(本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分)

落戶上海的某休閑度假園區(qū)預(yù)計(jì)于2022年開工建設(shè).如圖，擬在該度假園區(qū)入口處修建平面圖呈直

角三角形的迎賓區(qū)，==,迎賓區(qū)的入口設(shè)置在點(diǎn)4處，出口在點(diǎn)8處.游客可從入口沿著觀景

通道力一。一8到達(dá)出U,其中AC=3(X)米，3C=2(X)米，也可以沿便捷通道A—P—3到達(dá)出口(P

為VA8C內(nèi)一點(diǎn)).4

(1)若VP5C是以尸為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，某游客的步行速

度為每分鐘50米，則該游客從入口步行至出口，走便捷通道比走觀景通道可

以快幾分鐘？(結(jié)果精確到1分鐘)

(2)園區(qū)計(jì)劃將VP5C區(qū)域修建成室外游樂場，若NBPC話,該如

何設(shè)計(jì)使室外游樂場的面積最大，請說明理由.

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20.（本題滿分16分，第1小題清分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分6分）

22

已知尸（0,1）為橢圓C:土+匕=1內(nèi)一定點(diǎn)，。為直線/:y=3上一動點(diǎn)，直線尸。與橢圓。交于A、

43

B兩點(diǎn)（點(diǎn)B位于P、Q兩點(diǎn)之訶），。為坐標(biāo)原點(diǎn).

（1）當(dāng)直線PQ的傾斜角為巴時(shí)，求直線。。的斜率；

4

（2）當(dāng)aAOB的面積為3時(shí)，求點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)；

2

（3）設(shè)4戶=%。分，而麗，試問見一〃是否為定值？若是，請

求出該定值；若不是，請說明理由.

21.（本題滿分18分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分）

己知有窮數(shù)列｛《J的各項(xiàng)均不相等，將｛%｝的項(xiàng)從大到小重新排序后相應(yīng)的項(xiàng)數(shù)構(gòu)成新數(shù)列｛q｝，稱

｛P,｝為｛4｝的“序數(shù)列”.例如：數(shù)列％，%，%滿足％〉。3>“2,則其“序數(shù)列”為1，3,2.若兩

個(gè)不同數(shù)列的“序數(shù)列”相同，則稱這兩個(gè)數(shù)列互為“保序數(shù)列”.

（1）若數(shù)列3-2工，51+6,/的，，序數(shù)列”為2,3,I,求實(shí)數(shù)x的取值范圍；

⑵若項(xiàng)數(shù)均為2021的數(shù)列｛五｝、｛尤｝互為“保序數(shù)列”，其通項(xiàng)公式分別為乙=（〃+；）自