線性方程組的消元法及解的判定第十一章線性方程組基礎教學部一般線性方程組解的討論01齊次線性方程組02目錄11.2.1一般線性方程組解的討論31.高斯消元法對于含有n

個未知量n個方程的線性方程組，當其系數(shù)行列式D≠0時，可用克萊姆法則和逆矩陣法求解;當D≠0

或含有n個未知量m個方程(m≠n)的一般線性方程組，克萊姆法則和逆矩陣求解法無效.為了敘述問題的方便，我們采用以下幾種記號：（1）用

kri

表示用數(shù)用

k乘第i

個方程；（2）用rj+kri表示用數(shù)k乘第i個方程加到第j

個方程上；（3）用ri?rj表示交換第i個方程與第j個方程.11.2.1一般線性方程組解的討論4例1

解線性方程組解作變換，，得到作變換，，得到11.2.1一般線性方程組解的討論5作變換，，得到作變換，,

，得到11.2.1一般線性方程組解的討論6從例1可以看到，用消元法解線性方程組的具體做法是：對方程組反復施行如下的三種變換：（1）用一個非零的數(shù)乘某一方程的兩邊；（2）用任意一個數(shù)乘一個方程的兩邊加到另一個方程上；（3）交換兩個方程的位置.容易證明，線性方程組經過上述任意一種變換所得的方程組與原方程組同解.由于線性方程組由其增廣矩陣唯一確定，所以對方程組進行上述變換，相當于對其增廣矩陣進行相應的初等行變換.11.2.1一般線性方程組解的討論7上例中的解題步驟相當于對其增廣矩陣作如下初等變換：11.2.1一般線性方程組解的討論8一般地，對一個

n元線性方程組，當它的系數(shù)行列式不等于零時，對方程組的增廣矩陣施以適當?shù)某醯刃凶儞Q，使系數(shù)矩陣變?yōu)閱挝痪仃?則矩陣的最后一列元素為方程組的解，即這種消元法叫做高斯消元法.11.2.1一般線性方程組解的討論9例2

用高斯消元法解線性方程組解對方程組的增廣矩陣施行初等行變換，得11.2.1一般線性方程組解的討論1011.2.1一般線性方程組解的討論11因此方程組的解為11.2.1一般線性方程組解的討論122.一般線性方程組解的討論例3

討論方程組的解.解對方程組的增廣矩陣施行初等行變換，即11.2.1一般線性方程組解的討論13矩陣B1對應的方程組為顯然，第三個方程0=5是不成立的，因而方程組無解.例4

討論方程組的解.11.2.1一般線性方程組解的討論14解11.2.1一般線性方程組解的討論15矩陣B2

對應于方程組把x4

移項，得左式叫做方程組的一般解.其中x4為自由未知量.11.2.1一般線性方程組解的討論16若令x4=c

就得到方程組的一組解用矩陣表示為當c

取定任意一個值時，就得到方程組的一組解，因此方程組有無窮多組解.其中c

為任意常數(shù)，上式叫做方程組的全部解.11.2.1一般線性方程組解的討論17例5

解線性方程組解

11.2.1一般線性方程組解的討論18矩陣B3

對應于方程組11.2.1一般線性方程組解的討論19矩陣B3

對應于方程組此即為線性方程組的解，且解唯一.11.2.1一般線性方程組解的討論20綜上所述，一個含有m

個方程n

個未知量的線性方程組AX=B，即可能有唯一解、無解或無窮多解.11.2.1一般線性方程組解的討論21一般線性方程組的求解過程，實際上就是對方程組AX=B的增廣矩陣施行初等行變換，化成階梯形矩陣，即其中

crj≠0，顯然當dr+1=0時，方程組AX=B有解，當dr+1≠0時方程組AX=B無解.11.2.1一般線性方程組解的討論22方程組AX=B是否有解，關鍵在于其增廣矩陣化為階梯形矩陣后，dr+1是否為零，即系數(shù)矩陣的秩與增廣矩陣的秩是否相等.定理1

線性方程組AX=B有解的充要條件是系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩，即定理2若線性方程組AX=B有解，則R(A)=r=n

時有唯一解；當R(A)=r<n時有無窮多組解.一般線性方程組解的討論01齊次線性方程組02目錄11.2.2齊次線性方程組24齊次線性方程組的矩陣形式為AX=O.由于齊次線性方程組AX=O的增廣矩陣的最后一列元素全都是零，所以一定有即方程組AX=O必有解.11.2.2齊次線性方程組25齊次線性方程組AX=O作為線性方程組AX=B的特殊情況，可得定理2的推論.推論對于齊次線性方程組AX=O（1）若R(A)=r=n

，則方程組有唯一的零解；（2）若R(A)=r<n

，則方程組有非零解.當m=n時，齊次線性方程組的系數(shù)矩陣A

為n

階方陣，若R(A)<n

，則|A|=0

.由此可知當m=n時，齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是其系數(shù)行列式|A|=0

.11.2.2齊次線性方程組26例6

求解齊次線性方程組解

將系數(shù)矩陣化成行簡化階梯形矩陣如下：11.2.2齊次線性方程組27于是方程組的一般解為其中x3，x4

是自由未知量.11.2.2齊次線性方程組28例7

當λ

為何值時，齊次線性方程組有非零解？并求出它的一般解.解因為m=n=3，所以，若方程組有非零解，則必有|A|