7.1向量及其線性運(yùn)算第七章向量代數(shù)與空間解析幾何

基礎(chǔ)教學(xué)部空間直角坐標(biāo)系01向量與向量的線性運(yùn)算02目錄向量的坐標(biāo)表示式03用坐標(biāo)表示向量的模和方向余弦047.1.1空間直角坐標(biāo)系3

7.1.1空間直角坐標(biāo)系4在Oxyz直角坐標(biāo)系下，由任意兩條坐標(biāo)軸確定的平面稱為坐標(biāo)面，分別稱為xOy面，yOz面，zOx面.三個(gè)坐標(biāo)平面將空間分為八個(gè)部分，每一部分叫作一個(gè)卦限，分別用Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ表示，如圖所示.7.1.1空間直角坐標(biāo)系5空間直角坐標(biāo)系中，空間內(nèi)的點(diǎn)與三個(gè)有序數(shù)組是一一對(duì)應(yīng)的.設(shè)M為空間中的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M分別作垂直于三個(gè)坐標(biāo)軸的平面，與x軸，y軸，z軸依次交于A，B，C三點(diǎn).點(diǎn)A，B，C叫做點(diǎn)M在坐標(biāo)軸上的投影（如圖）.若這三點(diǎn)在x軸，y軸，z軸上的坐標(biāo)分別為x，y，z，于是點(diǎn)M就唯一確定了一個(gè)有序數(shù)組(x,y,z)，則稱該數(shù)組(x,y,z)為點(diǎn)M在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中的坐標(biāo)．其中x,y,z分別稱為點(diǎn)M的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)和豎坐標(biāo)．這時(shí)點(diǎn)M記作M(x,y,z).7.1.1空間直角坐標(biāo)系6

空間直角坐標(biāo)系01向量與向量的線性運(yùn)算02目錄向量的坐標(biāo)表示式03用坐標(biāo)表示向量的模和方向余弦047.1.2向量與向量的線性運(yùn)算81.向量的概念在數(shù)學(xué)中，向量（也稱為歐幾里得向量、幾何向量、矢量），指具有大小和方向的量.如質(zhì)量、密度、溫度、功、勢(shì)能等.這些量之間的運(yùn)算并不遵循一般的代數(shù)法則，而遵循特殊的運(yùn)算法則.與向量對(duì)應(yīng)的量叫做數(shù)量（物理學(xué)中稱標(biāo)量），如力、位移、速度、電場(chǎng)強(qiáng)度等.這些量之間的運(yùn)算遵循一般的代數(shù)法則.

7.1.2向量與向量的線性運(yùn)算9

注

向量相等是在不考慮向量起點(diǎn)在何處的前提下給出的，即一個(gè)向量可以在空間任意的平行移動(dòng)，這種向量稱為自由向量.本書(shū)除了另有說(shuō)明外，討論的都是自由向量.7.1.2向量與向量的線性運(yùn)算10平行于同一平面的一組向量，叫做共面向量，零向量與任何共面的向量共面.

7.1.2向量與向量的線性運(yùn)算112.向量的線性運(yùn)算向量的加法、數(shù)與向量的乘法統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算.（1）向量的加法

7.1.2向量與向量的線性運(yùn)算12

7.1.2向量與向量的線性運(yùn)算13

7.1.2向量與向量的線性運(yùn)算142.向量的減法

7.1.2向量與向量的線性運(yùn)算153.向量與數(shù)的乘法

7.1.2向量與向量的線性運(yùn)算16

上式表明：一個(gè)非零向量除以它的模，結(jié)果是一個(gè)與原向量同方向的單位向量.

7.1.2向量與向量的線性運(yùn)算17例1

試用向量的線性運(yùn)算證明：三角形兩邊中點(diǎn)的連線平行于第三邊，且其長(zhǎng)度等于第三邊的一半.證

如圖所示，D、E分別是CA與BC的中點(diǎn).

即三角形兩邊中點(diǎn)的連線平行于第三邊，且其長(zhǎng)度等于第三邊的一半.

空間直角坐標(biāo)系01向量與向量的線性運(yùn)算02目錄向量的坐標(biāo)表示式03用坐標(biāo)表示向量的模和方向余弦047.1.3向量的坐標(biāo)表示式19

7.1.3向量的坐標(biāo)表示式20

7.1.3向量的坐標(biāo)表示式21引入向量的坐標(biāo)表示式以后，便能用坐標(biāo)來(lái)進(jìn)行向量的線性運(yùn)算.

由此可見(jiàn)，對(duì)向量進(jìn)行線性運(yùn)算只需對(duì)向量的各個(gè)坐標(biāo)分別進(jìn)行相應(yīng)的運(yùn)算就行了.7.1.3向量的坐標(biāo)表示式22

7.1.3向量的坐標(biāo)表示式23

根據(jù)向量的線性運(yùn)算有

7.1.3向量的坐標(biāo)表示式24

解

7.1.3向量的坐標(biāo)表示式25

空間直角坐標(biāo)系01向量與向量的線性運(yùn)算02目錄向量的坐標(biāo)表示式03用坐標(biāo)表示向量的模和方向余弦047.1.4用坐標(biāo)表示向量的模和方向余弦27向量的模和方向也可以用向量的坐標(biāo)表示．1.向量的模

7.1.4用坐標(biāo)表示向量的模和方向余弦28

7.1.4用坐標(biāo)表示向量的模和方向余弦29

7.1.4用坐標(biāo)表示向量的模和方向余弦302.方向角與方向余弦

7.1.4用坐標(biāo)表示向量的模和方向余弦31

7.1.4用坐標(biāo)表示向量的模和方向余弦32

7.1.4用坐標(biāo)表示向量的模和方向余弦33

7.1.4用坐標(biāo)表示向量的模和方向余弦34