2024-2025學年高一下學期人教A版2019必修第二冊數(shù)學期數(shù)學期末模擬試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的．1．若數(shù)據(jù)，，，，的方差為9，則數(shù)據(jù)，，，，的方差為（

）A．2007 B．1989 C．36 D．182．設(shè)三個事件A，B，C兩兩相互獨立，且事件A發(fā)生的概率是，事件A，B，C同時發(fā)生的概率是，事件A，B，C都不發(fā)生的概率是，則事件A，B，C中只有一個發(fā)生的概率是（

）A． B． C． D．3．在，已知角，，所對的邊分別為，，，，，，則角的大小為（

）A． B． C．或 D．或4．我國南宋著名數(shù)學家秦九韶發(fā)現(xiàn)了“三斜”求積公式，即的三個內(nèi)角、、所對的邊分別為、、，則的面積.已知在中，，，則面積的最大值為（

）A． B． C． D．5．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)是（

）A． B．C． D．6．已知，是復(fù)數(shù)，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件7．如圖，一個正三棱柱形容器中盛有水，且底面邊長和側(cè)棱長都為，若側(cè)面水平放置時，液面高為，若底面水平放置時，液面高為3，則（

）A．1 B．2 C．3 D．48．已知圓臺的高為3，上?下底面圓的半徑分別為1和2，它的兩個底面的圓周在同一個球的球面上，則該球的表面積為（

）A． B． C． D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．某高中學校對一次高二聯(lián)考物理成績進行統(tǒng)計分析，記錄了學生的分數(shù)，其中分組的區(qū)間為，畫出頻率分布直方圖，已知隨機抽取的成績不低于80分的有300人，若從樣本中隨機抽取個體互不影響，把頻率視為概率，則下列結(jié)論正確的是（

）A．學生成績眾數(shù)估計為75分 B．學生成績的平均數(shù)大于中位數(shù)C．此次成績在的學生人數(shù)為120人 D．學生成績的第45百分位數(shù)為7010．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．是銳角三角形C．若，則外接圓的半徑為D．若，則內(nèi)切圓的半徑為11．已知復(fù)數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．的虛部為 B．C．在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第三象限 D．12．如圖，為圓錐底面圓的直徑，點是圓上異于、的動點，，則下列結(jié)論正確的是（）A．圓錐的側(cè)面積為B．三棱錐體積的最大值為C．的取值范圍是D．若，為線段上的動點，則的最小值為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．已知向量的夾角為，且，，則.14．已知正三棱臺，，，，則該正三棱臺的體積為．15．數(shù)學中的“對稱性”不僅體現(xiàn)在平面幾何、立體幾何、解析幾何和函數(shù)圖象中，還體現(xiàn)在概率問題中．請你從“對稱性”的角度完成下面概率問題：已知有，，，，，，，八名運動員參加比賽，按照下圖進行單敗淘汰制（贏者晉級下一輪，敗者被淘汰）.其中在圖示中①的位置，在圖示中⑤的位置，其余運動員抽簽決定自己第一輪的比賽位置.已知與除以外的運動員比賽勝率為，與除以外的運動員比賽勝率為，除此以外其余場次比賽（包括間的比賽）每位運動員勝率都為，則運動員奪得冠軍的概率為．16．如圖，半圓的直徑，為圓心，為半圓上不同于的任意一點，若為半徑上的動點，則的最小值等于．四、解答題：本題共6小題，共70分．應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）某學校為提高學生對《紅樓夢》的了解，舉辦了"我知紅樓"知識競賽，現(xiàn)從所有答卷卷面成績中隨機抽取100份作為樣本，將樣本數(shù)據(jù)（滿分100分，成績均為不低于40分的整數(shù)）分成六段：，并作出如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求頻率分布直方圖中的值；(2)求樣本數(shù)據(jù)的第62百分位數(shù)；(3)若落在中的樣本數(shù)據(jù)平均數(shù)是52，方差是6；落在中的樣本數(shù)據(jù)平均數(shù)是64，方差是3，求這兩組數(shù)據(jù)的總平均數(shù)和方差.18．（12分）某校舉辦“喜迎二十大，奮進新征程”知識能力測評，共有1000名學生參加，隨機抽取了100名學生，記錄他們的分數(shù)，將數(shù)據(jù)分成4組：[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，并整理得到如下頻率分布直方圖：(1)用分層隨機抽樣的方法從[80,90)，[90,100]兩個區(qū)間共抽取出5名學生，則每個區(qū)間分別應(yīng)抽取多少人；(2)在（1）的條件下，該校決定在這5名學生中隨機抽取2名依次進行交流分享，求第二個交流分享的學生成績在區(qū)間[90,100]的概率；(3)現(xiàn)需根據(jù)學生成績制定評價標準，評定成績較高的前60%的學生為良好，請根據(jù)頻率分布直方圖估計良好的最低分數(shù)線.（精確到1）19．（12分）如圖，在棱長為6的正方體中.(1)求證：；(2)若平面，求證：點為的中心；(3)若點是平面內(nèi)一個動點，且，求直線與平面所成角正切值.20．（12分）將連續(xù)正整數(shù)、、、、從小到大排列構(gòu)成一個數(shù)，為這個數(shù)的位數(shù)（如時，此數(shù)為，共有個數(shù)字，），現(xiàn)從這個數(shù)中隨機取一個數(shù)字，為恰好取到的概率.(1)求；(2)當時，求的表達式；(3)令為這個數(shù)中數(shù)字的個數(shù)，為這個數(shù)中數(shù)字的個數(shù)，，，求當時，的最大值.21．（12分）已知點是銳角的外心，分別為角的對邊，，(1)求角；(2)若，求面積的最大值；(3)若，求x的取值范圍．22．（12分）已知向量令.(1)求函數(shù)的對稱軸方程；(2)設(shè)，當時，求函數(shù)的最小值；(3)在（2）的條件下，若對任意的實數(shù)且，不等式對任意的恒成立，求實數(shù)的取值范圍.參考答案1．C【詳解】因數(shù)據(jù)，，，，的方差為，則數(shù)據(jù)，，，，的方差應(yīng)是.故選：C.2．B【詳解】設(shè)事件B發(fā)生的概率為，事件C發(fā)生的概率為，則．又，得解得或故事件A，B，C中只有一個發(fā)生的概率是．3．A【詳解】由正弦定理，，又，則，所以.故選：A.4．C【詳解】因為，又，則，所以（當且僅當時取等號）.則，所以面積的最大值為.故選：C.5．D【詳解】由題意可得：.所以其共軛復(fù)數(shù)為故選：D.6．B【詳解】當時，，此時，當，若，則成立，同理也成立，故“”是“”的必要不充分條件，故選：B．7．D【詳解】記側(cè)面水平放置時，液面與分別交于，的中點為，連接交于點，的面積為，由題可知，，則，所以，則梯形的面積為，所以直棱柱的體積為，又底面水平放置時，液面高為3，所以液體體積為，所以，解得.故選：D.8．A【詳解】作出圓臺及外接球的軸截面圖，如圖.易得球心在圓臺內(nèi)部，設(shè)球心到上底面圓的距離為，則球心到下底面圓的距離為，由勾股定理得，解得，則外接球的半徑，表面積為.故選：A.9．ACD【詳解】由頻率分布直方圖得，成績在的頻率最高，所以學生成績眾數(shù)估計為分，故A正確；學生成績的平均數(shù)為，∵，，∴學生成績的中位數(shù)在內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為，由，得到，∵，∴學生成績的平均數(shù)小于中位數(shù)，故B錯誤；∵成績不低于80分的頻率為，又隨機抽取的成績不低于80分的有300人，∴學生總?cè)藬?shù)為，∵成績在的頻率為，∴此次成績在的學生人數(shù)為人，故C正確；∵，∴學生成績的第45百分位數(shù)為70，故D正確，故選：ACD.10．AD11．ABD【詳解】根據(jù)三角函數(shù)誘導(dǎo)公式化簡，，所以.對于A選項，的虛部為，所以A選項正確.對于B選項，已知，則.所以，B選項正確.對于C選項，在復(fù)平面內(nèi)，對應(yīng)的點為，該點位于第一象限，而不是第三象限，所以C選項錯誤.對于D選項，則，所以D選項正確.故選：ABD.12．BD【詳解】在中，，則圓錐的母線長，半徑.對于選項A：圓錐的側(cè)面積為，故選項A錯誤；對于選項B：由圓的幾何性質(zhì)可知，由勾股定理可得，由基本不等式可得，可得，即，當且僅當時，等號成立，則三棱錐體積為：，即三棱錐體積的最大值為，故選項B正確；對于選項C：因為，故，當點與點重合時，；當點與點重合時，，又因為點與、不重合，則，又，可得，故選項C錯誤；對于選項D：因為，，，由可得.又，所以為等邊三角形，則.將以為軸旋轉(zhuǎn)到與共面，得到，則為等邊三角形，.如圖，當、、三點共線時，取最小值.因為，，所以，，故選項D正確.故選：BD.13．4【詳解】由題意知向量的夾角為，且，故，∴，即，則.故答案為：.14．【詳解】將正三棱臺補成正三棱錐，設(shè)點在平面的射影點為點，則為正的中心，如下圖所示：

由棱臺的性質(zhì)可知，所以，故，所以為的中點，所以，由正弦定理可得，故，所以，又因為，所以，同理可知，點到平面的距離為，故，因此正三棱臺的體積為.故答案為：.15．【詳解】進入決賽的概率為，進入決賽的概率為，奪冠有兩種情況，進入決賽和沒進入決賽，所以奪冠的概率為，奪冠有兩種情況，進入決賽和沒進入決賽，所以奪冠的概率為，所以或奪冠的概率為，由概率的對稱性可得，奪冠的概率為.故答案為：.16．17.【詳解】（1）由，解得；（2）因為，，所以樣本數(shù)據(jù)的第62百分位數(shù)在內(nèi)，可得，所以樣本數(shù)據(jù)的第62百分位數(shù)為分；（3）樣本數(shù)據(jù)落在的個數(shù)為，落在的個數(shù)為，，總方差.18.【詳解】（1）依題意，設(shè)區(qū)間[80,90)中應(yīng)抽人，區(qū)間[90,100]中應(yīng)抽人，得成績在[80,90)區(qū)間樣本中的學生人數(shù)為：；成績在[90,100]區(qū)間樣本中的學生人數(shù)為：；所以，解得，所以區(qū)間[80,90)中應(yīng)抽人，區(qū)間[90,100]中應(yīng)抽人.（2）由（1）得，不妨記區(qū)間[80,90)中人為，區(qū)間[90,100]中人為，則從中抽取2名學生（注意分先后）的基本事件為共20件，其中第二個交流分享的學生成績在區(qū)間[90,100]（記為事件）的基本事件為共8件，故，即第二個交流分享的學生成績在區(qū)間[90,100]的概率為.（3）由頻率分布直方圖易得，的頻率為，的頻率為，所以成績良好的最低分數(shù)線落在區(qū)間[80,90)中，不妨記為，故，解得，所以成績良好的最低分數(shù)線為.19.【詳解】（1）如圖，連接，因為四邊形為正方形，則，∵平面，平面，則，因為，平面，，∴平面，∵平面，∴，（2）如圖，由（1）知，，同理可證，∵，平面，平面.則平面，∵，∴，∴，∴E為的外心，∵，∴是正三角形，∴E為正的中心.（3）如圖，由（2）知E為正的中心，，在中，由正弦定理得，，，∵，∴，∵平面，平面，∴，即，，∵，即，∵，解得：，所以，點P的軌跡是以點E為圓心，半徑為1的圓，∵平面，所以，與平面所成的角為，而，∵，故直線與平面所成角正切值為.20.【詳解】（1）當時，一位數(shù)有，二位數(shù)個，三位數(shù)個，這個數(shù)中總共有個數(shù)字，其中數(shù)字的數(shù)有、、、、、，數(shù)字的個數(shù)為，所以恰好取到的概率為.（2）當時，全是一位數(shù)，；當時，一位數(shù)個數(shù)為，二位數(shù)的個數(shù)為，；當時，一位數(shù)的個數(shù)為，二位數(shù)的個數(shù)為，三位數(shù)的個數(shù)為，；當時，一位數(shù)的個數(shù)為，二位數(shù)的個數(shù)為，三位數(shù)的個數(shù)為，四位數(shù)的個數(shù)為，.綜上所述，.（3）當時，；當時，；當時，，所以，，同理可得，由可知，所以當時，，當時，，當時，；當時，，由隨著的增大而增大，故當時，的最大值為，又，所以當時，的最大值為.21.【詳解】（1）因為，則，由余弦定理可得，因為，所以；（2）因為，則，當且僅當時，等號成立，所以，所以面積的最大值為.（3）分別取AB，BC的中點D，E，連接OD，OE，