第28頁(yè)（共28頁(yè)）2024-2025學(xué)年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)人教新版九年級(jí)期末必刷?？碱}之解直角三角形及其應(yīng)用一．選擇題（共7小題）1．（2025?江漢區(qū)模擬）如圖，已知A（﹣2，1）、B（0，0）、C（1，2）則tan∠BAC的值為（）A．12 B．1 C．33 D2．（2025?通州區(qū)一模）如圖，建筑物BC上有一旗桿AB，從與BC相距40m的D處觀測(cè)旗桿頂部A的仰角為50°，觀測(cè)旗桿底部B的仰角為45°，則旗桿AB的高度是（）A．(40sin50°-40)m B．（C．(40tan50°-40)m D3．（2025?臺(tái)江區(qū)校級(jí)模擬）如圖，將秋千繩索從與豎直方向夾角為α的位置OA1釋放到OA處時(shí)，兩次位置的高度差PA＝h．則秋千繩索OA的長(zhǎng)為（）A．h1-cosα B．h1+cosα C．h4．（2025春?定海區(qū)期中）某河堤橫斷面如圖所示，堤高BC＝10米，迎水坡AB的坡比是1：3（坡比是坡面的鉛直高度BC與水平寬度AC之比），則A．103米 B．20米 C．203米 D．5．（2025?鄭州模擬）一只杯子靜止在斜面上，其受力分析如圖所示，重力G的方向豎直向下，支持力F1的方向與斜面垂直，摩擦力F2的方向與斜面平行．若斜面的坡角α＝25°，則摩擦力F2與重力G方向的夾角β的度數(shù)為（）A．155° B．125° C．115° D．65°6．（2025?寶安區(qū)校級(jí)模擬）港珠澳大橋是世界上最長(zhǎng)的跨海大橋，被譽(yù)為“現(xiàn)代世界七大奇跡”的超級(jí)工程，它是我國(guó)從橋梁大國(guó)走向橋梁強(qiáng)國(guó)的里程碑之作．港珠澳大橋主橋?yàn)槿罂缍蠕摻Y(jié)構(gòu)斜拉橋，其中九洲航道橋主塔造型取自“風(fēng)帆”，寓意“揚(yáng)帆起航”，某校九年級(jí)學(xué)生為了測(cè)量該主塔的高度，站在B處看塔頂A，仰角為60°，然后向后走190米，到達(dá)C處，此時(shí)看塔頂A，仰角為30°，則該主塔的高度是（）A．95米 B．953米 C．190米 D．1907．（2025?南山區(qū)一模）圖1是某市一地鐵站入口的雙翼閘機(jī)，雙翼展開(kāi)時(shí)示意圖如圖2所示，它是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，AC＝40cm，α＝37°，則雙翼邊緣端點(diǎn)C與D之間的距離為（）cmA．60﹣40sin37° B．60﹣2×40cos37° C．60﹣2×40tan37° D．60﹣2×40sin37°二．填空題（共5小題）8．（2025?湖北模擬）如圖是小區(qū)內(nèi)一小山的等高線示意圖，小明同學(xué)計(jì)劃利用這個(gè)等高線示意圖計(jì)算AB的距離，他在點(diǎn)B處測(cè)得A處的俯角為30°，則AB＝m．9．（2025?平房區(qū)二模）已知，在△ABC中，∠ABC＝60°，AC=72，AB＝4，則BC＝10．（2025?呼和浩特二模）如圖，興康社區(qū)附近有A、B、C三個(gè)快遞中轉(zhuǎn)站：B站在A站南偏西53°方向上，C站在B站的東北方向上，A站在C站的北偏東60°方向上且距離C站4km處，則B站到C站的距離為km（精確到0.1km）．（A、B、C、D在同一平面內(nèi)，參考數(shù)據(jù)：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45，sin3711．（2025?海勃灣區(qū)模擬）如圖，一漁船在海上A處測(cè)得燈塔C在它的北偏東60°方向，漁船向正東方向航行(3-1)海里到達(dá)點(diǎn)B處，測(cè)得燈塔C在它的北偏東45°方向，若漁船繼續(xù)向正東方向航行，則漁船與燈塔C的最短距離是12．（2025?武漢模擬）如圖是水槽水龍頭的側(cè)面圖，矩形CDFG為水槽側(cè)面，寬DF＝50cm，深CD＝15cm，排水口E位于DF的中點(diǎn)．在水槽邊CD正上方安裝水管BC，水龍頭BA＝10cm．按水龍頭安裝要求，水流需直接對(duì)準(zhǔn)排水口確保水快速排入管道．測(cè)得∠ABC＝127°，∠BAE＝83°，則安裝的水管BC的長(zhǎng)為cm．（精確到0.1cm，參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，3≈1.73三．解答題（共3小題）13．（2025?徐州校級(jí)模擬）閱讀下列材料，解答問(wèn)題．【背景】如圖1，李叔家D與水果園E之間隔著一座小土坡，為方便澆水灌溉，從家里鋪設(shè)的水管到果園，原來(lái)經(jīng)過(guò)小土坡鋪設(shè)的水管（DB﹣BA﹣AC﹣CE）由于風(fēng)吹日曬，老化損壞，現(xiàn)在李叔準(zhǔn)備從土坡下直接埋一條水管（D，B，C，E在同一直線上）．【問(wèn)題】為了計(jì)算新水管的長(zhǎng)度，需要測(cè)量B，C之間的距離；要了解水管承受的壓力，需要測(cè)量土坡的高度．【工具】一把皮尺和一臺(tái)測(cè)角儀，如圖2．皮尺的功能是直接測(cè)量任意可到達(dá)的兩點(diǎn)間的距離；測(cè)角儀的功能是在一固定位置測(cè)量可以看到的兩個(gè)地點(diǎn)的夾角大?。緶y(cè)量】李叔用皮尺測(cè)量出原來(lái)土坡兩邊的長(zhǎng)度AB＝am，AC＝bm，再用測(cè)角儀測(cè)得∠BAC＝α．解答問(wèn)題：（1）求BC的長(zhǎng)度；（結(jié)果用含a，b，α的代數(shù)式表示）（2）若測(cè)得a＝20m，b＝25m，α＝120°，求出小土坡的高度．14．（2025?興隆臺(tái)區(qū)一模）實(shí)驗(yàn)是培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力的重要途徑之一，如圖是小紅同學(xué)安裝的化學(xué)實(shí)驗(yàn)裝置，安裝要求為試管略向下傾斜，試管夾應(yīng)固定在距試管口的三分之一處，已知試管AB＝24cm，BE=13AB，試管傾斜角（1）求酒精燈與鐵架臺(tái)的水平距離CD的長(zhǎng)度；（精確到0.1cm）（2）實(shí)驗(yàn)時(shí)，當(dāng)導(dǎo)氣管緊貼水槽MN，延長(zhǎng)BM交CN的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，且MN⊥CF，BH⊥CF（點(diǎn)C，D，H，N，F(xiàn)在一條直線上），經(jīng)測(cè)得：DE＝21.7cm，∠ABM＝145°，求線段FH的長(zhǎng)度．（精確到0.1cm）（參考數(shù)據(jù)：sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18）15．（2025?東港區(qū)二模）學(xué)?？蒲行〗M制作了一款機(jī)械手臂如圖①所示，由上臂、中臂和底座三部分組成，其中上臂和中臂可自由轉(zhuǎn)動(dòng)，底座與水平地面垂直．在實(shí)際運(yùn)用中要求三部分始終處于同一平面內(nèi)，其示意圖如圖②所示，經(jīng)測(cè)量，上臂AB＝12cm，中臂BC＝10cm，底座CD＝4cm．（1）若上臂AB與水平面平行，∠ABC＝60°，計(jì)算點(diǎn)A到地面的距離（保留根號(hào)）；（2）在一次操作中，平臺(tái)上有一高度為6cm的模具M(jìn)N，如圖③，點(diǎn)A恰好與點(diǎn)N重合，此時(shí)測(cè)得中臂與底座成143°夾角，請(qǐng)計(jì)算此時(shí)上臂與中臂夾角∠ABC的大小．（sin37°≈0.61，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）

2024-2025學(xué)年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)人教新版九年級(jí)期末必刷?？碱}之解直角三角形及其應(yīng)用參考答案與試題解析一．選擇題（共7小題）題號(hào)1234567答案BDAACBD一．選擇題（共7小題）1．（2025?江漢區(qū)模擬）如圖，已知A（﹣2，1）、B（0，0）、C（1，2）則tan∠BAC的值為（）A．12 B．1 C．33 D【考點(diǎn)】解直角三角形；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．【專題】平面直角坐標(biāo)系；解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】B【分析】根據(jù)題意，分別求出AB，BC，AC的長(zhǎng)，再結(jié)合正切的定義即可解決問(wèn)題．【解答】解：由題知，因?yàn)锳（﹣2，1）、B（0，0）、C（1，2），所以AB=(-2-0BC=(1-0AC=(-2-1則AB2+BC2＝AC2，所以∠ABC＝90°．在Rt△ABC中，tan∠BAC=BC故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)及解直角三角形，熟知正切的定義是解題的關(guān)鍵．2．（2025?通州區(qū)一模）如圖，建筑物BC上有一旗桿AB，從與BC相距40m的D處觀測(cè)旗桿頂部A的仰角為50°，觀測(cè)旗桿底部B的仰角為45°，則旗桿AB的高度是（）A．(40sin50°-40)m B．（C．(40tan50°-40)m D【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題．【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】D【分析】分別解直角三角形求出AC，BC的長(zhǎng)，再用AC﹣BC進(jìn)行求解即可．【解答】解：∵AC＝CD?tan50°＝40tan50°，BC＝CD?tan45°＝40，∴AB＝AC﹣BC＝（40tan50°﹣40）m；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，正確進(jìn)行計(jì)算是解題關(guān)鍵．3．（2025?臺(tái)江區(qū)校級(jí)模擬）如圖，將秋千繩索從與豎直方向夾角為α的位置OA1釋放到OA處時(shí)，兩次位置的高度差PA＝h．則秋千繩索OA的長(zhǎng)為（）A．h1-cosα B．h1+cosα C．h【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用．【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；推理能力．【答案】A【分析】由題意可知，OA＝OA1，再根據(jù)余弦的定義求解即可．【解答】解：由題意可知，OA＝OA1，∵cosα=OP∴OA1=OP又∵OP＝OA﹣PA＝OA1﹣PA＝OA1﹣h，∴OA1=∴OA＝OA1=h故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟記三角形函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．4．（2025春?定海區(qū)期中）某河堤橫斷面如圖所示，堤高BC＝10米，迎水坡AB的坡比是1：3（坡比是坡面的鉛直高度BC與水平寬度AC之比），則A．103米 B．20米 C．203米 D．【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問(wèn)題．【專題】運(yùn)算能力．【答案】A【分析】由堤高BC＝10米，迎水坡AB的坡比1：3，根據(jù)坡度的定義，即可求得【解答】解：∵迎水坡AB的坡比1：∴BCAC∵堤高BC＝10米，∴AC=故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問(wèn)題，掌握坡比的概念是解題的關(guān)鍵．5．（2025?鄭州模擬）一只杯子靜止在斜面上，其受力分析如圖所示，重力G的方向豎直向下，支持力F1的方向與斜面垂直，摩擦力F2的方向與斜面平行．若斜面的坡角α＝25°，則摩擦力F2與重力G方向的夾角β的度數(shù)為（）A．155° B．125° C．115° D．65°【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問(wèn)題．【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】C【分析】根據(jù)題意結(jié)合圖形可知β是重力G與斜面形成的三角形的外角，從而可求得β的度數(shù)．【解答】解：∵重力G的方向豎直向下，∴重力G與水平方向夾角為90°，由題意可得：∴β＝∠1＝α+90°＝115°，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)和三角形外角性質(zhì)，正確進(jìn)行計(jì)算是解題關(guān)鍵．6．（2025?寶安區(qū)校級(jí)模擬）港珠澳大橋是世界上最長(zhǎng)的跨海大橋，被譽(yù)為“現(xiàn)代世界七大奇跡”的超級(jí)工程，它是我國(guó)從橋梁大國(guó)走向橋梁強(qiáng)國(guó)的里程碑之作．港珠澳大橋主橋?yàn)槿罂缍蠕摻Y(jié)構(gòu)斜拉橋，其中九洲航道橋主塔造型取自“風(fēng)帆”，寓意“揚(yáng)帆起航”，某校九年級(jí)學(xué)生為了測(cè)量該主塔的高度，站在B處看塔頂A，仰角為60°，然后向后走190米，到達(dá)C處，此時(shí)看塔頂A，仰角為30°，則該主塔的高度是（）A．95米 B．953米 C．190米 D．190【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題．【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】B【分析】該主塔為AD＝x，在Rt△ABD中，利用正切函數(shù)的定義求得BD=33x，同理，在Rt△ACD中，求得CD=3x【解答】解：如圖，該主塔為AD＝x，由題意，得：∠ADC＝90°，BC＝190，∠ACD＝30°，∠ABD＝60°，∵tan60∴BD=∵tan30∴CD=∵BC＝CD﹣BD＝190，∴3x∴x=95故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，正確進(jìn)行計(jì)算是解題關(guān)鍵．7．（2025?南山區(qū)一模）圖1是某市一地鐵站入口的雙翼閘機(jī)，雙翼展開(kāi)時(shí)示意圖如圖2所示，它是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，AC＝40cm，α＝37°，則雙翼邊緣端點(diǎn)C與D之間的距離為（）cmA．60﹣40sin37° B．60﹣2×40cos37° C．60﹣2×40tan37° D．60﹣2×40sin37°【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用；軸對(duì)稱圖形．【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；應(yīng)用意識(shí)．【答案】D【分析】作輔助線如圖，由題意可得CE＝DF，EF＝60cm，解直角三角形ACE求出CE＝40sin37°cm，然后根據(jù)CD＝EF﹣2CE即可得出答案．【解答】解：如圖，作直線CD，交雙翼閘機(jī)于點(diǎn)E、F，則CE⊥AE，DF⊥BF，由題意可得CE＝DF，EF＝60cm，在直角三角形ACE中，CE＝AC?sin37°＝40sin37°cm，∴CD＝EF﹣2CE＝60﹣2×40sin37°（cm）．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，正確理解題意、熟練掌握銳角三角函數(shù)的知識(shí)是解題的關(guān)鍵．二．填空題（共5小題）8．（2025?湖北模擬）如圖是小區(qū)內(nèi)一小山的等高線示意圖，小明同學(xué)計(jì)劃利用這個(gè)等高線示意圖計(jì)算AB的距離，他在點(diǎn)B處測(cè)得A處的俯角為30°，則AB＝100m．【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題．【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；應(yīng)用意識(shí)．【答案】100．【分析】根據(jù)由等高線可知A、B兩地的高度差為50米，然后點(diǎn)B處測(cè)得A處的俯角為30°求值即可．【解答】解：作示意圖如下：由題意知：A、B兩地的實(shí)際高度差為AH：550﹣500＝50（m），∠B＝30°，∠AHB＝90°，∴sinB=AHAB，即sin30°解得：AB＝100，故答案為：100．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)題意，作出直角三角形解決問(wèn)題．9．（2025?平房區(qū)二模）已知，在△ABC中，∠ABC＝60°，AC=72，AB＝4，則BC＝32或5【考點(diǎn)】解直角三角形；勾股定理．【專題】作圖題；幾何直觀．【答案】32或5【分析】如圖，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H．解直角三角形求出CH，分兩種情形求出BC即可．【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H．在Rt△ABH中，∠AHB＝90°．AB＝4，∠B＝60°，∴BH＝AB?cos60°＝2，AH=3BH＝23∴CH=A∴BC＝BH+CH=5當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)H的左側(cè)時(shí)，BC′＝BH﹣HC′=3綜上所述，BC的長(zhǎng)為32或5故答案為：32或5【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形，勾股定理，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問(wèn)題．10．（2025?呼和浩特二模）如圖，興康社區(qū)附近有A、B、C三個(gè)快遞中轉(zhuǎn)站：B站在A站南偏西53°方向上，C站在B站的東北方向上，A站在C站的北偏東60°方向上且距離C站4km處，則B站到C站的距離為3.4km（精確到0.1km）．（A、B、C、D在同一平面內(nèi)，參考數(shù)據(jù)：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45，sin37【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問(wèn)題．【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】3.4．【分析】過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AD于點(diǎn)F，作CE⊥BD于點(diǎn)E，證明四邊形CFDE是矩形，則CF＝DE，DF＝CE，求出AF＝2，CF=23米，設(shè)BC＝x，根據(jù)【解答】解：過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AD于點(diǎn)F，作CE⊥BD于點(diǎn)E，則∠CFD＝∠CED＝∠D＝90°，∴CF＝DE，DF＝CE，在Rt△ACF中，∠ACF＝30°，∴AF=CF=∴DE=設(shè)BC＝xkm，在Rt△BCE中，∴CE=BE=∴BF=DE=∵∠ABD＝90°﹣53°＝37°，∴tan∠∴tan37解得x=6即B站到C站的距離為3.4km．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用，正確進(jìn)行計(jì)算是解題關(guān)鍵．11．（2025?海勃灣區(qū)模擬）如圖，一漁船在海上A處測(cè)得燈塔C在它的北偏東60°方向，漁船向正東方向航行(3-1)海里到達(dá)點(diǎn)B處，測(cè)得燈塔C在它的北偏東45°方向，若漁船繼續(xù)向正東方向航行，則漁船與燈塔C的最短距離是1【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問(wèn)題．【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】1．【分析】過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為D，根據(jù)題意可得：AB＝（3-1）海里，然后設(shè)CD＝x海里，分別在Rt△ACD和Rt△BCD中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AD和BD的長(zhǎng)，從而列出關(guān)于x【解答】解：過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為D，由題意得：AB＝（3-1設(shè)CD＝x海里，在Rt△ACD中，∠CAD＝90°﹣60°＝30°，∴AD=CDtan在Rt△BCD中，∠CBD＝90°﹣45°＝45°，∴BD=CDtan∵AD﹣BD＝AB，∴3x﹣x=3-解得：x＝1，∴CD＝1海里，∴漁船與燈塔C的最短距離是1海里，故答案為：1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問(wèn)題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．12．（2025?武漢模擬）如圖是水槽水龍頭的側(cè)面圖，矩形CDFG為水槽側(cè)面，寬DF＝50cm，深CD＝15cm，排水口E位于DF的中點(diǎn)．在水槽邊CD正上方安裝水管BC，水龍頭BA＝10cm．按水龍頭安裝要求，水流需直接對(duì)準(zhǔn)排水口確保水快速排入管道．測(cè)得∠ABC＝127°，∠BAE＝83°，則安裝的水管BC的長(zhǎng)為8.4cm．（精確到0.1cm，參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，3≈1.73【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用；矩形的判定與性質(zhì)．【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】8.4．【分析】過(guò)點(diǎn)A作AH⊥DF于H，過(guò)點(diǎn)B作BG′⊥AH于G′，證明四邊形BDHG′是矩形，得到BD＝G′H，DH＝BG′，∠DBG＝90°，再求出∠ABG′的度數(shù)，進(jìn)而求出∠HAE的度數(shù)，解Rt△ABG′得到AG′，BG′的長(zhǎng)，進(jìn)而求出HE的長(zhǎng)，再解Rt△AHE求出AH的長(zhǎng)，進(jìn)而求出BD的長(zhǎng)即可得到答案．【解答】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥DF于H，過(guò)點(diǎn)B作BG′⊥AH于G′，由題意可得：四邊形BDHG′是矩形，∴BD＝G′H，DH＝BG′，∠DBG′＝90°，∵∠ABC＝127°，∴∠ABG′＝∠ABC﹣∠DBG′＝37°，∴∠BAG′＝90°﹣∠ABG′＝53°，∵∠BAE＝83°，∴∠HAE＝∠BAE﹣∠BAG′＝30°；AG′＝AB?sin∠ABG′≈10×0.6＝6（cm），BG′＝AB?cos∠ABG′≈10×0.8＝8（cm），∴DH＝8cm；∵DE=∴HE＝DE﹣DH＝17cm，∴AH=∴BD＝G′H＝AH﹣AG′＝23.4cm，∵CD＝15cm，∴BC＝BD﹣CD＝8.4cm．故答案為：8.4．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，矩形的判定與性質(zhì)，正確進(jìn)行近計(jì)算是解題關(guān)鍵．三．解答題（共3小題）13．（2025?徐州校級(jí)模擬）閱讀下列材料，解答問(wèn)題．【背景】如圖1，李叔家D與水果園E之間隔著一座小土坡，為方便澆水灌溉，從家里鋪設(shè)的水管到果園，原來(lái)經(jīng)過(guò)小土坡鋪設(shè)的水管（DB﹣BA﹣AC﹣CE）由于風(fēng)吹日曬，老化損壞，現(xiàn)在李叔準(zhǔn)備從土坡下直接埋一條水管（D，B，C，E在同一直線上）．【問(wèn)題】為了計(jì)算新水管的長(zhǎng)度，需要測(cè)量B，C之間的距離；要了解水管承受的壓力，需要測(cè)量土坡的高度．【工具】一把皮尺和一臺(tái)測(cè)角儀，如圖2．皮尺的功能是直接測(cè)量任意可到達(dá)的兩點(diǎn)間的距離；測(cè)角儀的功能是在一固定位置測(cè)量可以看到的兩個(gè)地點(diǎn)的夾角大?。緶y(cè)量】李叔用皮尺測(cè)量出原來(lái)土坡兩邊的長(zhǎng)度AB＝am，AC＝bm，再用測(cè)角儀測(cè)得∠BAC＝α．解答問(wèn)題：（1）求BC的長(zhǎng)度；（結(jié)果用含a，b，α的代數(shù)式表示）（2）若測(cè)得a＝20m，b＝25m，α＝120°，求出小土坡的高度．【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題；列代數(shù)式；全等三角形的應(yīng)用．【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】（1）a2（2）50183【分析】（1）過(guò)點(diǎn)B作BF⊥CA交CA延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，設(shè)∠BAF＝β，在Rt△ABF中利用三角函數(shù)的定義求出BF和AF的長(zhǎng)，得出CF的長(zhǎng)，在Rt△BCF中利用勾股定理表示出BC的長(zhǎng)，再根據(jù)平角的定義得到β＝180°﹣α，即可求解；（2）過(guò)點(diǎn)A作AG⊥BC于點(diǎn)G，結(jié)合（1）中的結(jié)論，代入數(shù)據(jù)求出BF和BC的長(zhǎng)，再利用等面積法得到AG=AC?【解答】解：（1）過(guò)點(diǎn)B作BF⊥CA交CA延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，則∠F＝90°，設(shè)∠BAF＝β，∴sin∠BAF=∴BF＝ABsinβ＝asinβ（m），AF＝ABcosβ＝acosβ（m），∴CF＝AF+AC＝（acosβ+b）（m），∵由勾股定理可得：BC2＝BF2+CF2，∴BC=a=a=a∵∠BAF+∠BAC＝180°，∴β+α＝180°，即β＝180°﹣α，∴BC=∴BC的長(zhǎng)度為a2（2）過(guò)點(diǎn)A作AG⊥BC于點(diǎn)G，∵a＝20m，b＝25m，α＝120°，∴BF=asin(180∵S△∴a＝20m，b＝25m，α＝120°時(shí)，小土坡的高度為：AG=答：高度為50183【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形，正確進(jìn)行計(jì)算是解題關(guān)鍵．14．（2025?興隆臺(tái)區(qū)一模）實(shí)驗(yàn)是培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力的重要途徑之一，如圖是小紅同學(xué)安裝的化學(xué)實(shí)驗(yàn)裝置，安裝要求為試管略向下傾斜，試管夾應(yīng)固定在距試管口的三分之一處，已知試管AB＝24cm，BE=13AB，試管傾斜角（1）求酒精燈與鐵架臺(tái)的水平距離CD的長(zhǎng)度；（精確到0.1cm）（2）實(shí)驗(yàn)時(shí)，當(dāng)導(dǎo)氣管緊貼水槽MN，延長(zhǎng)BM交CN的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，且MN⊥CF，BH⊥CF（點(diǎn)C，D，H，N，F(xiàn)在一條直線上），經(jīng)測(cè)得：DE＝21.7cm，∠ABM＝145°，求線段FH的長(zhǎng)度．（精確到0.1cm）（參考數(shù)據(jù)：sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18）【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問(wèn)題．【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】（1）15.7cm；（2）20.3cm．【分析】（1）過(guò)E作EG⊥AC，根據(jù)三角函數(shù)求出EG，再根據(jù)矩形的性質(zhì)即可得解；（2）過(guò)B作BP⊥AC，交DE于P，根據(jù)三角函數(shù)求出EP，再根據(jù)矩形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)即可得解．【解答】解：（1）過(guò)E作EG⊥AC，垂足為點(diǎn)G，∵AB=24∴BE＝8cm，∴AE＝AB﹣BE＝16cm，在Rt△AEG中，∠AEG＝10°，∴EG＝AE?cos∠AEG≈15.7cm，∵EG⊥AC，AC⊥CD，DE⊥CD，∴∠EGC＝∠C＝∠CDE＝90°，∴四邊形CDEG是矩形，∴CD＝EG＝15.7cm，答：CD的長(zhǎng)度約為15.7cm．（2）過(guò)B作BP⊥AC，交DE于P，∵BP⊥AC，EG⊥AC，∴EG∥BP，∠EPB＝90°，∴∠EBP＝∠AEG＝10°，∵BP⊥AC，BH⊥CF，DE⊥CD，∴∠BPD＝∠BHC＝∠HDP＝90°，∴四邊形BHDP是矩形，∴PD＝BH，∠HBP＝90°，∵BE＝8cm，∠EBP＝10°，∴EP＝BE?sin∠EBP＝8×sin10°≈1.36cm，∴PD＝DE﹣EP＝21.7﹣1.36≈20.3cm，∴BH＝PD＝20.3cm，∵＝145°，∴∠HBF＝180°﹣∠ABM＝180°﹣145°＝45°，∴∠HFB＝∠HBF＝45°，∴HF＝BH＝20.3cm，答：線段FH的長(zhǎng)約為20.3cm．【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，通過(guò)作輔助線構(gòu)造直角三角形，掌握直角三角形中的邊角關(guān)系是解題的關(guān)鍵．15．（2025?東港區(qū)二模）學(xué)?？蒲行〗M制作了一款機(jī)械手臂如圖①所示，由上臂、中臂和底座三部分組成，其中上臂和中臂可自由轉(zhuǎn)動(dòng)，底座與水平地面垂直．在實(shí)際運(yùn)用中要求三部分始終處于同一平面內(nèi)，其示意圖如圖②所示，經(jīng)測(cè)量，上臂AB＝12cm，中臂BC＝10cm，底座CD＝4cm．（1）若上臂AB與水平面平行，∠ABC＝60°，計(jì)算點(diǎn)A到地面的距離（保留根號(hào)）；（2）在一次操作中，平臺(tái)上有一高度為6cm的模具M(jìn)N，如圖③，點(diǎn)A恰好與點(diǎn)N重合，此時(shí)測(cè)得中臂與底座成143°夾角，請(qǐng)計(jì)算此時(shí)上臂與中臂夾角∠ABC的大?。╯in37°≈0.61，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用．【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】（1）點(diǎn)A到地面的距離為(53（2）97°．【分析】（1）過(guò)點(diǎn)C作CP⊥AB，垂足為P，則∠BPC＝90°，易證P，C，D三點(diǎn)共線，解直角三角形求出CP，即可求解；（2）過(guò)點(diǎn)B作EF平行于地面，分別交MA，DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，F(xiàn)，則四邊形EFDM是矩形，解直角三角形求出CF＝8cm，進(jìn)而求出AE＝EM﹣MN＝6cm，利用正弦的定義求出∠ABE＝30°，即可解答．【解答】解：（1）過(guò)點(diǎn)C作CP⊥AB，垂足為P，則∠BPC＝90°．由題意可得：P，C，D三點(diǎn)共線，∵∠ABC＝60°，BC＝10cm，∴CP=∴DP=答：點(diǎn)A到地面的距離為(53（2）如圖過(guò)點(diǎn)B作EF平行于地面，分別交MA，DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，F(xiàn)，則四邊形EFDM是矩形，∵∠BCD＝143°，∴∠BCF＝37°，∠CBF＝53°，∴cos∠∴CF＝8cm，∴EM＝FD＝12cm，∴AE＝EM﹣MN＝6cm，∵sin∠∴∠AEB＝30°，∴∠ABC＝180°﹣30°﹣53°＝97°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，正確進(jìn)行計(jì)算是解題關(guān)鍵．

考點(diǎn)卡片1．列代數(shù)式（1）定義：把問(wèn)題中與數(shù)量有關(guān)的詞語(yǔ)，用含有數(shù)字、字母和運(yùn)算符號(hào)的式子表示出來(lái)，就是列代數(shù)式．（2）列代數(shù)式五點(diǎn)注意：①仔細(xì)辨別詞義．列代數(shù)式時(shí)，要先認(rèn)真審題，抓住關(guān)鍵詞語(yǔ)，仔細(xì)辯析詞義．如“除”與“除以”，“平方的差（或平方差）”與“差的平方”的詞義區(qū)分．②分清數(shù)量關(guān)系．要正確列代數(shù)式，只有分清數(shù)量之間的關(guān)系．③注意運(yùn)算順序．列代數(shù)式時(shí)，一般應(yīng)在語(yǔ)言敘述的數(shù)量關(guān)系中，先讀的先寫，不同級(jí)運(yùn)算的語(yǔ)言，且又要體現(xiàn)出先低級(jí)運(yùn)算，要把代數(shù)式中代表低級(jí)運(yùn)算的這部分括起來(lái)．④規(guī)范書寫格式．列代數(shù)時(shí)要按要求規(guī)范地書寫．像數(shù)字與字母、字母與字母相乘可省略乘號(hào)不寫，數(shù)與數(shù)相乘必須寫乘號(hào)；除法可寫成分?jǐn)?shù)形式，帶分?jǐn)?shù)與字母相乘需把代分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)，書寫單位名稱什么時(shí)不加括號(hào)，什么時(shí)要加括號(hào)．注意代數(shù)式括號(hào)的適當(dāng)運(yùn)用．⑤正確進(jìn)行代換．列代數(shù)式時(shí)，有時(shí)需將題中的字母代入公式，這就要求正確進(jìn)行代換．【規(guī)律方法】列代數(shù)式應(yīng)該注意的四個(gè)問(wèn)題1．在同一個(gè)式子或具體問(wèn)題中，每一個(gè)字母只能代表一個(gè)量．2．要注意書寫的規(guī)范性．用字母表示數(shù)以后，在含有字母與數(shù)字的乘法中，通常將“×”簡(jiǎn)寫作“?”或者省略不寫．3．在數(shù)和表示數(shù)的字母乘積中，一般把數(shù)寫在字母的前面，這個(gè)數(shù)若是帶分?jǐn)?shù)要把它化成假分?jǐn)?shù)．4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除號(hào)），而是寫成分?jǐn)?shù)的形式．2．坐標(biāo)與圖形性質(zhì)1、點(diǎn)到坐標(biāo)軸的距離與這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)是有區(qū)別的，表現(xiàn)在兩個(gè)方面：①到x軸的距離與縱坐標(biāo)有關(guān)，到y(tǒng)軸的距離與橫坐標(biāo)有關(guān)；②距離都是非負(fù)數(shù)，而坐標(biāo)可以是負(fù)數(shù)，在由距離求坐標(biāo)時(shí)，需要加上恰當(dāng)?shù)姆?hào)．2、有圖形中一些點(diǎn)的坐標(biāo)求面積時(shí)，過(guò)已知點(diǎn)向坐標(biāo)軸作垂線，然后求出相關(guān)的線段長(zhǎng)，是解決這類問(wèn)題的基本方法和規(guī)律．3、若坐標(biāo)系內(nèi)的四邊形是非規(guī)則四邊形，通常用平行于坐標(biāo)軸的輔助線用“割、補(bǔ)”法去解決問(wèn)題．3．全等三角形的應(yīng)用（1）全等三角形的性質(zhì)與判定綜合應(yīng)用用全等尋找下一個(gè)全等三角形的條件，全等的性質(zhì)和判定往往是綜合在一起應(yīng)用的，這需要認(rèn)真分析題目的已知和求證，分清問(wèn)題中已知的線段和角與所證明的線段或角之間的聯(lián)系．（2）作輔助線構(gòu)造全等三角形常見(jiàn)的輔助線做法：①把三角形一邊的中線延長(zhǎng)，把分散條件集中到同一個(gè)三角形中是解決中線問(wèn)題的基本規(guī)律．②證明一條線段等于兩條線段的和，可采用“截長(zhǎng)法”或“補(bǔ)短法”，這些問(wèn)題經(jīng)常用到全等三角形來(lái)證明．（3）全等三角形在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用一般方法是把實(shí)際問(wèn)題先轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，再轉(zhuǎn)化為三角形問(wèn)題，其中，畫出示意圖，把已知條件轉(zhuǎn)化為三角形中的邊角關(guān)系是關(guān)鍵．4．勾股定理（1）勾股定理：在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長(zhǎng)的平方之和一定等于斜邊長(zhǎng)的平方．如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是a，b，斜邊長(zhǎng)為c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理應(yīng)用的前提條件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的變形有：a=c2-b2，b（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中的每一條直角邊．5．矩形的判定與性質(zhì)（1）關(guān)于矩形，應(yīng)從平行四邊形的內(nèi)角的變化上認(rèn)識(shí)其特殊性：一個(gè)內(nèi)角是直角的平行四邊形，進(jìn)一步研究其特有的性質(zhì)：是軸對(duì)稱圖形、內(nèi)角都是直角、對(duì)