高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河北省2025屆高三下學(xué)期省級聯(lián)考模擬數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根據(jù)題意，集合，所以.故選：A2.復(fù)數(shù)，則（）A.1 B.2 C. D.【答案】C【解析】根據(jù)題意，，所以，故選：C.3.已知向量，，，若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】根據(jù)題意，，若，則，所以.故選：D4.某班有，，，，五名同學(xué)要排成一排進(jìn)行拍照，其中同學(xué)不站在兩端，，兩名同學(xué)相鄰，則不同的排列方式種數(shù)為（）A.12 B.24 C.36 D.48【答案】B【解析】根據(jù)題意，因?yàn)椋瑑擅瑢W(xué)相鄰，所以有種，又因?yàn)橥瑢W(xué)不站在兩端，所以有種，其他同學(xué)（看做一個(gè)整體）進(jìn)行排列有種，所以不同的排列方式種數(shù)為.故選：B.5.已知雙曲線的兩條漸近線的夾角為，則該雙曲線的離心率為（）A. B.或 C. D.或【答案】D【解析】根據(jù)題意，雙曲線的漸近線方程為，因?yàn)樵撾p曲線兩漸近線的夾角為，所以直線的傾斜角為或，若直線的傾斜角為，則，此時(shí)；若直線的傾斜角為，則，此時(shí).綜上所示，該雙曲線的離心率為或.故選：D.6.函數(shù)在上的值域?yàn)椋ǎ〢. B. C. D.【答案】A【解析】根據(jù)題意，，根據(jù)倍角公式可得，令，因?yàn)椋瑒t，可得，故選：A.7.已知正四棱錐中，，若此正四棱錐的外接球?yàn)榍?，則側(cè)面所在平面被球所截的面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】根據(jù)題意，取底面的中心為，可得平面，又因?yàn)?，可得，所以正四棱錐的外接球?yàn)橐詾榍蛐?，以為半徑的球，設(shè)到平面的距離為，由，可得，解得，設(shè)側(cè)面所在平面被球所截的圓的半徑為，則，所以，所以該截面面積為，故選：B.8.若函數(shù)與的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則稱與互為“粘合函數(shù)”.已知曲線關(guān)于直線對稱的曲線為，且與互為“粘合函數(shù)”，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】已知曲線關(guān)于直線對稱的曲線為，所以這兩個(gè)函數(shù)互為反函數(shù)，所以，所以，又因?yàn)榕c函數(shù)為“粘合函數(shù)”，所以方程有且只有一個(gè)解，當(dāng)時(shí)，顯然不成立；當(dāng)時(shí)，則，記，所以，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；時(shí)，，且，則的圖象如圖所示，數(shù)形結(jié)合易知實(shí)數(shù)的取值范圍為，故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知一組數(shù)據(jù)，，，…，滿足，若此組數(shù)據(jù)去掉，，則與之前數(shù)據(jù)相比，一定會減小的是（）A.平均數(shù) B.標(biāo)準(zhǔn)差 C.中位數(shù) D.極差【答案】BD【解析】根據(jù)題意，若平均數(shù)，則平均數(shù)不變，故選項(xiàng)A不正確；標(biāo)準(zhǔn)差一定變小，故選項(xiàng)B正確；中位數(shù)一定不變，故選項(xiàng)C不正確；因?yàn)闃O差為最大值與最小值的差，所以極差一定會變小，故選項(xiàng)D正確，故選:BD.10.已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在此拋物線上，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.若直線與拋物線有另一個(gè)交點(diǎn)為，則C.已知點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線上的點(diǎn)，當(dāng)取最大值時(shí)，D.已知點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線上的點(diǎn)，當(dāng)直線與拋物線相切時(shí)，的內(nèi)切圓的面積為【答案】ABD【解析】對于A，因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，所以，所以，故A正確；對于B，點(diǎn)，直線的斜率為，所以直線的方程為，聯(lián)立，可得，計(jì)算可得，，所以可得，所以，故B正確；對于C，分析可得，拋物線的準(zhǔn)線為，當(dāng)點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)，不是最大值，當(dāng)點(diǎn)不在原點(diǎn)時(shí)，過點(diǎn)作，垂足為，在中，，所以，所以當(dāng)取最小值時(shí)，取最大值，此時(shí)直線與拋物線相切，設(shè)過點(diǎn)的直線與拋物線相切，代入拋物線方程得，得，解得，即，解得，把代入得，所以或，所以，故C不正確；對于D，根據(jù)C選項(xiàng)，可得，當(dāng)時(shí)，的面積，的周長，所以的內(nèi)切圓的半徑為，所以內(nèi)切圓的面積為，故D正確.故選：ABD.11.已知直四棱柱中，所有棱長均為2，，點(diǎn)，，，分別為，，，的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.若點(diǎn)在上運(yùn)動，則三棱錐的體積不變C.異面直線與所成的角的余弦值為D.平面被直四棱柱所截的多邊形周長為【答案】BCD【解析】對于A，因?yàn)橹彼睦庵?，底面為邊長為2的菱形，，所以平面，可得，所以不正確，故A不正確；對于B，連接，，易得，平面，所以平行于平面，同理有，則平行于平面.平面，所以平面平行于平面，故平行于平面.當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動時(shí)，點(diǎn)到平面的距離不變，所以三棱錐的體積不變，故B正確；對于C，如圖，延長到點(diǎn)，使得，連接，，所以即為所求，計(jì)算可得，，，所以，故C正確；對于D，如圖，取點(diǎn)，，分別為，，的中點(diǎn)，連接，，，，，則多邊形即為所求，根據(jù)題意，可得，，所以多邊形的周長為，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若，，則__________.【答案】【解析】根據(jù)題意，因?yàn)?，，所以，，?jì)算可得，，所以，.故答案為：.13.定義：對于數(shù)列，若存在常數(shù)，使得對一切正整數(shù)，恒有成立，則稱為有界數(shù)列.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，若為有界數(shù)列，則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________.【答案】【解析】因?yàn)?，則，所以.故答案為：14.小李經(jīng)常去圖書館讀書，已知他周二去圖書館讀書的概率為，在他周二不去圖書館讀書的條件下周一去圖書館讀書的概率為他周二不去圖書館讀書的條件下周一也不去圖書館讀書的概率的2倍，則他周一和周二都沒去圖書館讀書的概率為_________.【答案】【解析】設(shè)小李周一去圖書館讀書為事件，周二去圖書館讀書為事件，則，.根據(jù)題意得，且，所以.，得.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足：，，.（1）求，；（2）求.解：（1）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，因此數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，因此數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列，.（2）.16.在中，角，，所對的邊分別為，，，且.（1）求；（2）若，且，求的最小值.解：（1）由，可得，所以，即，即，由于，，又，所以，化簡可得，由于，故.（2）由于，所以，故，故，即，故，化簡得，又，即，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，故的最小值為8.17.如圖，在六面體中，平面平面，四邊形與四邊形是兩個(gè)全等的矩形，平面平面，平面平面，，，.（1）證明：平面；（2）求六面體的體積；（3）求平面與平面夾角的余弦值.（1）證明：因?yàn)樗倪呅螢榫匦?，所以，又平面平面，且平面平面，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，同理，又，平面，所以平?（2）解：如圖，延長至，使得，延長至，使得，連接，，，所以六面體的體積為四棱柱的體積減去幾何體的體積，因?yàn)樗倪呅闻c四邊形是兩個(gè)全等的矩形，且，，，所以，由（1）知平面，則四棱柱直四棱柱，所以，取點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，連接，，，由（1）知平面，，則，所以六面體的體積為.（3）解：由（1）可知平面，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線為軸，以所在直線為軸，以所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，可得，，，，，所以，，，設(shè)平面的法向量為，所以，即，設(shè)，可得，設(shè)平面的法向量為，所以，即，設(shè)，可得，設(shè)平面與平面夾角為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為.18.已知點(diǎn)，，動點(diǎn)滿足，設(shè)動點(diǎn)的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程；（2）若直線被曲線所截的弦長為，求的值；（3）若點(diǎn)為曲線的右頂點(diǎn)，過點(diǎn)（不同于點(diǎn)）且斜率不為0的直線與曲線相交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在，之間），若點(diǎn)為線段上的點(diǎn)，滿足，且，求的值.解：（1）根據(jù)題意可知，，所以，點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離和是一個(gè)常數(shù)，且這個(gè)常數(shù)大于，所以點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)，為焦點(diǎn)，為長半軸長的一個(gè)橢圓.設(shè)橢圓的方程為，則該橢圓的則.所以曲線的方程為.（2）設(shè)直線與曲線的兩交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為根據(jù)題意，聯(lián)立，可得，所以，弦長為，則，化簡得，即得，所以的值為.（3）設(shè)，，直線的方程為，聯(lián)立，可得，，所以，設(shè)點(diǎn)，因?yàn)椋傻?，則，得，故，，又因?yàn)?，則，可得，所以，可得，得或（舍），所以.19.已知函數(shù)，.（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)的圖象不在直線的上方，求實(shí)數(shù)的值；（3）若，討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，可得，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）設(shè)，函數(shù)的定義域?yàn)椋?當(dāng)時(shí)，恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，，不合題意；當(dāng)時(shí)，令，解得，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以，即.令，則，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，即，所以，即.（3）根據(jù)題意，，由，且，得函數(shù)為減函數(shù)，設(shè)，即，函數(shù)的最大值為.①當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以函數(shù)有最大值，所以函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn).②當(dāng)時(shí)，，且時(shí)，，時(shí)，，所以函數(shù)在的兩側(cè)各有一個(gè)零點(diǎn).③當(dāng)時(shí)，，所以可得.利用代入到原函數(shù)中可得，，設(shè)，，容易判定是關(guān)于的增函數(shù)，所以，所以函數(shù)的最大值為，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)無零點(diǎn).綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)無零點(diǎn).河北省2025屆高三下學(xué)期省級聯(lián)考模擬數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根據(jù)題意，集合，所以.故選：A2.復(fù)數(shù)，則（）A.1 B.2 C. D.【答案】C【解析】根據(jù)題意，，所以，故選：C.3.已知向量，，，若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】根據(jù)題意，，若，則，所以.故選：D4.某班有，，，，五名同學(xué)要排成一排進(jìn)行拍照，其中同學(xué)不站在兩端，，兩名同學(xué)相鄰，則不同的排列方式種數(shù)為（）A.12 B.24 C.36 D.48【答案】B【解析】根據(jù)題意，因?yàn)?，兩名同學(xué)相鄰，所以有種，又因?yàn)橥瑢W(xué)不站在兩端，所以有種，其他同學(xué)（看做一個(gè)整體）進(jìn)行排列有種，所以不同的排列方式種數(shù)為.故選：B.5.已知雙曲線的兩條漸近線的夾角為，則該雙曲線的離心率為（）A. B.或 C. D.或【答案】D【解析】根據(jù)題意，雙曲線的漸近線方程為，因?yàn)樵撾p曲線兩漸近線的夾角為，所以直線的傾斜角為或，若直線的傾斜角為，則，此時(shí)；若直線的傾斜角為，則，此時(shí).綜上所示，該雙曲線的離心率為或.故選：D.6.函數(shù)在上的值域?yàn)椋ǎ〢. B. C. D.【答案】A【解析】根據(jù)題意，，根據(jù)倍角公式可得，令，因?yàn)?，則，可得，故選：A.7.已知正四棱錐中，，若此正四棱錐的外接球?yàn)榍颍瑒t側(cè)面所在平面被球所截的面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】根據(jù)題意，取底面的中心為，可得平面，又因?yàn)?，可得，所以正四棱錐的外接球?yàn)橐詾榍蛐?，以為半徑的球，設(shè)到平面的距離為，由，可得，解得，設(shè)側(cè)面所在平面被球所截的圓的半徑為，則，所以，所以該截面面積為，故選：B.8.若函數(shù)與的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則稱與互為“粘合函數(shù)”.已知曲線關(guān)于直線對稱的曲線為，且與互為“粘合函數(shù)”，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】已知曲線關(guān)于直線對稱的曲線為，所以這兩個(gè)函數(shù)互為反函數(shù)，所以，所以，又因?yàn)榕c函數(shù)為“粘合函數(shù)”，所以方程有且只有一個(gè)解，當(dāng)時(shí)，顯然不成立；當(dāng)時(shí)，則，記，所以，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；時(shí)，，且，則的圖象如圖所示，數(shù)形結(jié)合易知實(shí)數(shù)的取值范圍為，故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知一組數(shù)據(jù)，，，…，滿足，若此組數(shù)據(jù)去掉，，則與之前數(shù)據(jù)相比，一定會減小的是（）A.平均數(shù) B.標(biāo)準(zhǔn)差 C.中位數(shù) D.極差【答案】BD【解析】根據(jù)題意，若平均數(shù)，則平均數(shù)不變，故選項(xiàng)A不正確；標(biāo)準(zhǔn)差一定變小，故選項(xiàng)B正確；中位數(shù)一定不變，故選項(xiàng)C不正確；因?yàn)闃O差為最大值與最小值的差，所以極差一定會變小，故選項(xiàng)D正確，故選:BD.10.已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在此拋物線上，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.若直線與拋物線有另一個(gè)交點(diǎn)為，則C.已知點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線上的點(diǎn)，當(dāng)取最大值時(shí)，D.已知點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線上的點(diǎn)，當(dāng)直線與拋物線相切時(shí)，的內(nèi)切圓的面積為【答案】ABD【解析】對于A，因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，所以，所以，故A正確；對于B，點(diǎn)，直線的斜率為，所以直線的方程為，聯(lián)立，可得，計(jì)算可得，，所以可得，所以，故B正確；對于C，分析可得，拋物線的準(zhǔn)線為，當(dāng)點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)，不是最大值，當(dāng)點(diǎn)不在原點(diǎn)時(shí)，過點(diǎn)作，垂足為，在中，，所以，所以當(dāng)取最小值時(shí)，取最大值，此時(shí)直線與拋物線相切，設(shè)過點(diǎn)的直線與拋物線相切，代入拋物線方程得，得，解得，即，解得，把代入得，所以或，所以，故C不正確；對于D，根據(jù)C選項(xiàng)，可得，當(dāng)時(shí)，的面積，的周長，所以的內(nèi)切圓的半徑為，所以內(nèi)切圓的面積為，故D正確.故選：ABD.11.已知直四棱柱中，所有棱長均為2，，點(diǎn)，，，分別為，，，的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.若點(diǎn)在上運(yùn)動，則三棱錐的體積不變C.異面直線與所成的角的余弦值為D.平面被直四棱柱所截的多邊形周長為【答案】BCD【解析】對于A，因?yàn)橹彼睦庵?，底面為邊長為2的菱形，，所以平面，可得，所以不正確，故A不正確；對于B，連接，，易得，平面，所以平行于平面，同理有，則平行于平面.平面，所以平面平行于平面，故平行于平面.當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動時(shí)，點(diǎn)到平面的距離不變，所以三棱錐的體積不變，故B正確；對于C，如圖，延長到點(diǎn)，使得，連接，，所以即為所求，計(jì)算可得，，，所以，故C正確；對于D，如圖，取點(diǎn)，，分別為，，的中點(diǎn)，連接，，，，，則多邊形即為所求，根據(jù)題意，可得，，所以多邊形的周長為，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若，，則__________.【答案】【解析】根據(jù)題意，因?yàn)?，，所以，，?jì)算可得，，所以，.故答案為：.13.定義：對于數(shù)列，若存在常數(shù)，使得對一切正整數(shù)，恒有成立，則稱為有界數(shù)列.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，若為有界數(shù)列，則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________.【答案】【解析】因?yàn)?，則，所以.故答案為：14.小李經(jīng)常去圖書館讀書，已知他周二去圖書館讀書的概率為，在他周二不去圖書館讀書的條件下周一去圖書館讀書的概率為他周二不去圖書館讀書的條件下周一也不去圖書館讀書的概率的2倍，則他周一和周二都沒去圖書館讀書的概率為_________.【答案】【解析】設(shè)小李周一去圖書館讀書為事件，周二去圖書館讀書為事件，則，.根據(jù)題意得，且，所以.，得.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足：，，.（1）求，；（2）求.解：（1）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，因此數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，因此數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列，.（2）.16.在中，角，，所對的邊分別為，，，且.（1）求；（2）若，且，求的最小值.解：（1）由，可得，所以，即，即，由于，，又，所以，化簡可得，由于，故.（2）由于，所以，故，故，即，故，化簡得，又，即，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，故的最小值為8.17.如圖，在六面體中，平面平面，四邊形與四邊形是兩個(gè)全等的矩形，平面平面，平面平面，，，.（1）證明：平面；（2）求六面體的體積；（3）求平面與平面夾角的余弦值.（1）證明：因?yàn)樗倪呅螢榫匦?，所以，又平面平面，且平面平面，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，同理，又，平面，所以平?（2）解：如圖，延長至，使得，延長至，使得，連接，，，所以六面體的體積為四棱柱的體積減去幾何體的體積，因?yàn)樗倪呅闻c四邊形是兩個(gè)全等的矩形，且，，，所以，由（1）知平面，則四棱柱直四棱柱，所以，取點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，連接，，，由（1）知平面，，則，所以六面體的體積為.（3）解：由（1）可知平面，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線為軸，以所在直線為軸，以所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，可得，，，，，所以，，，設(shè)平面的法向量為，所以，即，設(shè)，可得，設(shè)平面的法向量為，所以，即，設(shè)，可得，設(shè)平面與平面夾角為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為.18.已知點(diǎn)，，動