高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1福建省福州2025屆高三第三次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知全集為，，，則圖中陰影部分表示的集合是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】易知.所以.故選：C.2.若，則（）A.1 B. C.2 D.4【答案】B【解析】因為，所以.故選：B.3.已知隨機(jī)變量，若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，解得，所以.故選：B.4.設(shè)，則（）A.-2 B.-1 C.0 D.1【答案】A【解析】令易知，令可得，，所以.故選：A.5.已知菱形的邊長為2，為的中點，則（）A. B. C. D.3【答案】D【解析】，，所以，故選：D.6.在正方體中，為的中點，為平面與平面的交線，則（）A B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)為的中點，連接，∵為的中點，為的中點，∴，又∵，∴，∴四點共面，∴平面與平面的交線為，則即為所在直線，∵與是異面直線，即與是異面直線，故A錯誤；∵，而在直角中，，則與不垂直，故與不垂直，即與不垂直，故B錯誤；∵平面，平面，∴，又，，平面，∴平面，又，∴平面，即平面，∵平面，∴，故C錯誤，D正確，故選：D.7.已知數(shù)列是首項和公比均大于0的無窮等比數(shù)列，設(shè)甲：為遞增數(shù)列；乙：存在正整數(shù)，當(dāng)時，，則（）A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件【答案】A【解析】若為遞增數(shù)列，則，即，即，則公比，為指數(shù)型遞增數(shù)列，易得存在正整數(shù)，當(dāng)時，.充分性成立；不妨設(shè)，此時不是遞增數(shù)列，所以甲是乙的充分條件但不是必要條件.故選：A.8.設(shè)為坐標(biāo)原點，若曲線和曲線上分別存在A，B兩點，使得，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號；設(shè)，則令，則，令，所以時，，單調(diào)遞增；時，，單調(diào)遞減，所以，取，，此時，解得.故選：C.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知直線為函數(shù)圖象的一條對稱軸，則（）A.的最小正周期為 B.C. D.的圖象關(guān)于點對稱【答案】BC【解析】對于A，的最小正周期為，故選項A錯誤；對于B，因為，因為在對稱軸處取得極值，所以，解得，故選項B正確；對于C，由A和B可知，，所以，故選項C正確；對于D，，故選項D錯誤.故選：BC.10.過點的直線交圓于點P，Q，交圓于點M，N，其中T，P，Q，M，N順次排列.若，則（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】A選項：，，均為鈍角，因為，則，故，A選項正確.B選項：同上述分析可知，所以.因為，所以，，B選項正確.C選項：取中點，則，C選項錯誤.D選項：因為，所以.由B選項的分析可知，，所以，D選項正確.故選：ABD.11.已知四棱錐的高為2，底面是邊長為2的正方形，，則（）A.的面積為定值B.C.四棱錐表面積最小值為D.若四棱錐存在內(nèi)切球，則該球半徑為【答案】ABD【解析】對于A，因為，所以在底面的射影在直線的垂直平分線上，過作垂直于，連接，由題意可得，又平面，所以平面，因為平面，則，，的面積為，故選項A正確；對于B，由題意可得，所以，故選項B正確；對于C，過分別作，的垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，所以當(dāng)最小時，四棱錐表面積取得最小值，不妨設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，即為底面正方形的中心時，所以四棱錐表面積的最小值為四個全等三角形面積加底面面積，即，故選項C錯誤；對于D，若四棱錐存在內(nèi)切球，則該球與平面，平面，平面均相切，過作垂直于，所以的內(nèi)切圓半徑等于該球半徑，設(shè)為，由等面積法可得，解得，當(dāng)四棱錐為正四棱錐時，存在內(nèi)切球，滿足題意，故選項D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，則_____.【答案】【解析】，所以.故答案為：.13.已知橢圓的焦點為，，P為上的一點，若的周長為18，則的離心率為_____.【答案】【解析】因為橢圓長半軸大于半焦距，若橢圓的長半軸，則的周長，不符合題意，所以橢圓的長半軸為，所以，解得，即，所以，，所以橢圓的離心率為.故答案為：.14.6根長度相同的繩子平行放置在桌面上，分別將左、右兩邊的6個繩頭各自隨機(jī)均分成3組，然后將每組內(nèi)的兩個繩頭打結(jié)，則這6根繩子恰能圍成一個大圈的概率為_____.【答案】【解析】左、右兩邊的各6個繩頭各自隨機(jī)均分成3組，共有種，先選定左邊第一條繩子的繩頭，然后從左邊剩下的5個繩頭里任取一個打結(jié)，然后按照從右邊4個繩頭里任取一個，從左邊3個繩頭里任取一個，從右邊2個繩頭里任取一個的順序打結(jié)，一共有種，所以6根繩子恰能圍成一個大圈的概率為.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知.（1）求；（2）為邊上一點，若，且，求的面積.解：（1）方法一：因為，所以由正弦定理可得，，又因為，所以，由于，所以，所以，因為，所以；方法二：因為，所以由余弦定理可得，整理可得，所以，因為，所以；（2）方法一：由（1）及題設(shè)知，，，.在中，由正弦定理得，.在中，由正弦定理得，.兩式相除可得，即，在中，由余弦定理可得，即所以面積；方法二：如圖所示，過作，垂足為.在中，，所以.由于，所以，所以，即，得，后同方法一；方法三：由（1）及題設(shè)知，，.因為兩個三角形的高相同，所以與的面積之比等于，又因為與的面積之比還等于，所以，，后同方法一.16.如圖，在長方體中，，與交于點，為棱中點.（1）證明：平面；（2）設(shè)，其中，若二面角的大小為，求.（1）證明：方法一：以為坐標(biāo)原點，為單位長，為軸正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.由題設(shè)知，，，，由得，.由得，.而平面，平面，，所以平面.方法二：取中點，設(shè)，連結(jié).在長方體中，，故，，故，因為平面,所以平面.（2）解：方法一：由題設(shè)知，.由（1），平面的一個法向量為.設(shè)平面的法向量，則即令，可得平面的一個法向量.則，又二面角的余弦值為，解得或（舍去），故的值為.方法二：在平面內(nèi)過Q作交于H，則平面，在平面內(nèi)過H作HG垂直于G，所以,又,平面，所以平面，所以為二面角的平面角，設(shè)，由余弦定理得，則所以所以，解得.17.已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求的極小值；（2）若存在唯一極值點，證明：.解：（1）的定義域為.當(dāng)時，，.令得，或.當(dāng)時，，單調(diào)遞減；時，，單調(diào)遞增.所以當(dāng)時，取極小值.（2）證明：方法一：，.當(dāng)時，與同號.因為的圖象關(guān)于對稱，又存在唯一極值點，如圖可得，所以，所以，故.將代入得，構(gòu)造，，則，所以，即，所以方法二：以前步驟同方法一.易知在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.（i）當(dāng)時，，在單調(diào)遞增，函數(shù)無極值點.（ii）當(dāng)時，令可得，.由于，故在區(qū)間單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，從而有兩個極值點，不合題意.（iii）當(dāng)時，，故在區(qū)間單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，恰有唯一極值點，符合題意.所以.設(shè)，，，所以在單調(diào)遞減，，故.18.設(shè)拋物線的焦點為，過的直線交于A，B兩點（在第一象限），當(dāng)垂直于軸時，.（1）求的方程；（2）過且與垂直的直線交于，兩點（在第一象限），直線與直線和分別交于P，Q兩點.（i）當(dāng)?shù)男甭蕿闀r，求；（ii）是否存在以為直徑的圓與軸相切？若存在，求，的方程；若不存在，請說明理由.解：（1）設(shè)各點坐標(biāo)分別為，，，，其中，.由題意可知，當(dāng)軸時，直線的方程為，將代入，可得，，所以，，所以C的方程為；（2）（i）依題意，直線的方程為，即，由得，故，，則，.直線的方程為，即，由得，故，，則，.所以直線的方程為，令得，直線的方程為，令得，所以；（ii）方法一：設(shè)直線的方程為，不妨設(shè).由得，，同理.直線的方程為，即令得.由于，，所以.從而中點恒為，以為直徑的圓與軸相切等價于.若，則.由得，，故，，所以，不妨如圖設(shè)點的分布，可知，所以，所以，因此，回代得，而判別式，該方程無解，從而不存在以為直徑的圓與軸相切；方法二：設(shè)直線的方程為，其中.由得，，.因為，所以，.從而.令得.故.當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，同理，而P，Q分別在第一、第四象限，故，從而不存在以為直徑的圓與軸相切.19.將區(qū)間中的全體有理數(shù)按一定順序排列得到數(shù)列，規(guī)則如下：①，其中正整數(shù)與互質(zhì)，如，；②，當(dāng)且僅當(dāng)時，.（1）寫出的前5項；（2）若，，求；（3）記的前項和為，證明：.（1）解：的前5項為，，，，.（2）解：因為，，所以.又因為，故，，因此，當(dāng)且僅當(dāng)時，.由于，故由與2025互質(zhì)可得既不是3的倍數(shù)，也不是5的倍數(shù).而在1到2024之間的正整數(shù)中，是3的倍數(shù)的整數(shù)有個，是5的倍數(shù)的整數(shù)有個，是15的倍數(shù)的整數(shù)有個.所以.（3）證明：方法一：依題意，若正整數(shù)與互質(zhì)，則與也互質(zhì)，記中分母為正整數(shù)的共有項，則總滿足或，其中，為偶數(shù).因為，所以，且這項的平均數(shù)為.（i）對于滿足的所有的前項和為.（ii）當(dāng)時，不妨設(shè)，其中.則.①若，則，則.②若，則，則，所以.綜上，.方法二：記，中的元素個數(shù)為.設(shè)，其中.，若正整數(shù)與互質(zhì)，則與互質(zhì)，故，中所有元素之和為.（i）若，則，.（ii）若，設(shè)中的元素從小到大排列依次為，則，這是由于不等式兩邊的元素數(shù)量均為個，但左邊的最大元素小于右邊的最小元素.所以，所以，從而，綜上，.福建省福州2025屆高三第三次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知全集為，，，則圖中陰影部分表示的集合是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】易知.所以.故選：C.2.若，則（）A.1 B. C.2 D.4【答案】B【解析】因為，所以.故選：B.3.已知隨機(jī)變量，若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，解得，所以.故選：B.4.設(shè)，則（）A.-2 B.-1 C.0 D.1【答案】A【解析】令易知，令可得，，所以.故選：A.5.已知菱形的邊長為2，為的中點，則（）A. B. C. D.3【答案】D【解析】，，所以，故選：D.6.在正方體中，為的中點，為平面與平面的交線，則（）A B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)為的中點，連接，∵為的中點，為的中點，∴，又∵，∴，∴四點共面，∴平面與平面的交線為，則即為所在直線，∵與是異面直線，即與是異面直線，故A錯誤；∵，而在直角中，，則與不垂直，故與不垂直，即與不垂直，故B錯誤；∵平面，平面，∴，又，，平面，∴平面，又，∴平面，即平面，∵平面，∴，故C錯誤，D正確，故選：D.7.已知數(shù)列是首項和公比均大于0的無窮等比數(shù)列，設(shè)甲：為遞增數(shù)列；乙：存在正整數(shù)，當(dāng)時，，則（）A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件【答案】A【解析】若為遞增數(shù)列，則，即，即，則公比，為指數(shù)型遞增數(shù)列，易得存在正整數(shù)，當(dāng)時，.充分性成立；不妨設(shè)，此時不是遞增數(shù)列，所以甲是乙的充分條件但不是必要條件.故選：A.8.設(shè)為坐標(biāo)原點，若曲線和曲線上分別存在A，B兩點，使得，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號；設(shè)，則令，則，令，所以時，，單調(diào)遞增；時，，單調(diào)遞減，所以，取，，此時，解得.故選：C.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知直線為函數(shù)圖象的一條對稱軸，則（）A.的最小正周期為 B.C. D.的圖象關(guān)于點對稱【答案】BC【解析】對于A，的最小正周期為，故選項A錯誤；對于B，因為，因為在對稱軸處取得極值，所以，解得，故選項B正確；對于C，由A和B可知，，所以，故選項C正確；對于D，，故選項D錯誤.故選：BC.10.過點的直線交圓于點P，Q，交圓于點M，N，其中T，P，Q，M，N順次排列.若，則（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】A選項：，，均為鈍角，因為，則，故，A選項正確.B選項：同上述分析可知，所以.因為，所以，，B選項正確.C選項：取中點，則，C選項錯誤.D選項：因為，所以.由B選項的分析可知，，所以，D選項正確.故選：ABD.11.已知四棱錐的高為2，底面是邊長為2的正方形，，則（）A.的面積為定值B.C.四棱錐表面積最小值為D.若四棱錐存在內(nèi)切球，則該球半徑為【答案】ABD【解析】對于A，因為，所以在底面的射影在直線的垂直平分線上，過作垂直于，連接，由題意可得，又平面，所以平面，因為平面，則，，的面積為，故選項A正確；對于B，由題意可得，所以，故選項B正確；對于C，過分別作，的垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，所以當(dāng)最小時，四棱錐表面積取得最小值，不妨設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，即為底面正方形的中心時，所以四棱錐表面積的最小值為四個全等三角形面積加底面面積，即，故選項C錯誤；對于D，若四棱錐存在內(nèi)切球，則該球與平面，平面，平面均相切，過作垂直于，所以的內(nèi)切圓半徑等于該球半徑，設(shè)為，由等面積法可得，解得，當(dāng)四棱錐為正四棱錐時，存在內(nèi)切球，滿足題意，故選項D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，則_____.【答案】【解析】，所以.故答案為：.13.已知橢圓的焦點為，，P為上的一點，若的周長為18，則的離心率為_____.【答案】【解析】因為橢圓長半軸大于半焦距，若橢圓的長半軸，則的周長，不符合題意，所以橢圓的長半軸為，所以，解得，即，所以，，所以橢圓的離心率為.故答案為：.14.6根長度相同的繩子平行放置在桌面上，分別將左、右兩邊的6個繩頭各自隨機(jī)均分成3組，然后將每組內(nèi)的兩個繩頭打結(jié)，則這6根繩子恰能圍成一個大圈的概率為_____.【答案】【解析】左、右兩邊的各6個繩頭各自隨機(jī)均分成3組，共有種，先選定左邊第一條繩子的繩頭，然后從左邊剩下的5個繩頭里任取一個打結(jié)，然后按照從右邊4個繩頭里任取一個，從左邊3個繩頭里任取一個，從右邊2個繩頭里任取一個的順序打結(jié)，一共有種，所以6根繩子恰能圍成一個大圈的概率為.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知.（1）求；（2）為邊上一點，若，且，求的面積.解：（1）方法一：因為，所以由正弦定理可得，，又因為，所以，由于，所以，所以，因為，所以；方法二：因為，所以由余弦定理可得，整理可得，所以，因為，所以；（2）方法一：由（1）及題設(shè)知，，，.在中，由正弦定理得，.在中，由正弦定理得，.兩式相除可得，即，在中，由余弦定理可得，即所以面積；方法二：如圖所示，過作，垂足為.在中，，所以.由于，所以，所以，即，得，后同方法一；方法三：由（1）及題設(shè)知，，.因為兩個三角形的高相同，所以與的面積之比等于，又因為與的面積之比還等于，所以，，后同方法一.16.如圖，在長方體中，，與交于點，為棱中點.（1）證明：平面；（2）設(shè)，其中，若二面角的大小為，求.（1）證明：方法一：以為坐標(biāo)原點，為單位長，為軸正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.由題設(shè)知，，，，由得，.由得，.而平面，平面，，所以平面.方法二：取中點，設(shè)，連結(jié).在長方體中，，故，，故，因為平面,所以平面.（2）解：方法一：由題設(shè)知，.由（1），平面的一個法向量為.設(shè)平面的法向量，則即令，可得平面的一個法向量.則，又二面角的余弦值為，解得或（舍去），故的值為.方法二：在平面內(nèi)過Q作交于H，則平面，在平面內(nèi)過H作HG垂直于G，所以,又,平面，所以平面，所以為二面角的平面角，設(shè)，由余弦定理得，則所以所以，解得.17.已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求的極小值；（2）若存在唯一極值點，證明：.解：（1）的定義域為.當(dāng)時，，.令得，或.當(dāng)時，，單調(diào)遞減；時，，單調(diào)遞增.所以當(dāng)時，取極小值.（2）證明：方法一：，.當(dāng)時，與同號.因為的圖象關(guān)于對稱，又存在唯一極值點，如圖可得，所以，所以，故.將代入得，構(gòu)造，，則，所以，即，所以方法二：以前步驟同方法一.易知在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.（i）當(dāng)時，，在單調(diào)遞增，函數(shù)無極值點.（ii）當(dāng)時，令可得，.由于，故在區(qū)間單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，從而有兩個極值點，不合題意.（iii）當(dāng)時，，故在區(qū)間單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，恰有唯一極值點，符合題意.所以.設(shè)，，，所以在單調(diào)遞減，，故.18.設(shè)拋物線的焦點為，過的直線交于A，B兩點（在第一象限），當(dāng)垂直于軸時，.（1）求的方程；（2）過且與垂直的直線交于，兩點（在第一象限），直線與直線和分別交于P，Q兩點.（i）當(dāng)?shù)男甭蕿闀r，求；（ii）是否存在以為直徑的圓與軸相切？若存在，求，的方程；若不存在，請說明理由.解：（