專題05四邊形（必刷50題49種題型專項訓練）題型一利用平行四邊形的性質求解（高頻）題型二利用平行四邊形的性質證明題型三平行四邊形性質的其他應用（難點）題型四判斷能否構成平行四邊形題型五添一個條件成為平行四邊形（高頻）題型六證明四邊形是平行四邊形（高頻）題型七利用平行四邊形的判定與性質求解題型八利用平行四邊形性質和判定證明題型九平行四邊形性質和判定的應用（難點）題型十與三角形中位線有關的求解問題（重點）題型十一與三角形中位線有關的證明（易錯）題型十二三角形中位線的實際應用（高頻）題型十三矩形性質理解題型十四利用矩形的性質求角度（難點）題型十五根據(jù)矩形的性質求線段長題型十六根據(jù)矩形的性質求面積題型十七利用矩形的性質證明（難點）題型十八求矩形在坐標系中的坐標題型十九矩形與折疊問題（重點）題型二十矩形的判定定理理解（高頻）題型二十一添一條件使四邊形是矩形（高頻）題型二十二證明四邊形是矩形（難點）題型二十三根據(jù)矩形的性質與判定求角度（重點）題型二十四根據(jù)矩形的性質與判定求線段題型二十五根據(jù)矩形的性質與判定求面積（易錯）題型二十六利用菱形的性質求角度（高頻）題型二十七利用菱形的性質求線段長題型二十八利用菱形的性質求面積（難點）題型二十九利用菱形的性質證明題型三十添一個條件使四邊形是菱形（高頻）題型三十一證明四邊形是菱形（重點）題型三十二根據(jù)菱形的性質與判定求角度題型三十三根據(jù)菱形的性質與判定求線段長題型三十四根據(jù)菱形的性質與判定求面積（高頻）題型三十五正方形性質理解（易錯）題型三十六根據(jù)正方形的性質求角度題型三十七根據(jù)正方形的性質求線段長題型三十八根據(jù)正方形的性質求面積（重點）題型三十九正方形折疊問題（易錯）題型四十根據(jù)正方形的性質證明（高頻）題型四十一正方形的判定定理理解（難點）題型四十二添一個條件使四邊形是正方形（易錯）題型四十三證明四邊形是正方形（高頻）題型四十四根據(jù)正方形的性質與判定求線段長題型四十五（特殊）平行四邊形的動點問題（高頻）題型四十六四邊形其他綜合問題題型四十七網(wǎng)格中多邊形面積比較（難點）題型四十八多邊形內角和問題題型四十九多邊形截角后的內角和問題（難點）題型一利用平行四邊形的性質求解1．（24-25八年級下·河北唐山·期中）如圖，中，對角線交于點O，，則（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【知識點】利用平行四邊形的性質求解【分析】本題主要考查平行四邊形的性質，根據(jù)平行四邊形對角線互相平分得，從而可求出的值．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，且，∴，∴，故選：D．題型二利用平行四邊形的性質證明2．（23-24八年級下·河北邯鄲·期末）如圖，在平行四邊形中，對角線，相交于點，分別過點，作，，垂足分別為，．平分．(1)若，求的度數(shù)；(2)求證：．【答案】(1)(2)見解析【知識點】全等的性質和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）、利用平行四邊形的性質求解、利用平行四邊形的性質證明【分析】本題考查平行四邊形的性質，全等三角形的判定和性質等知識；（1）利用三角形內角和定理求出，利用角平分線的定義求出，再利用平行線的性質解決問題即可．（2）證明可得結論．【詳解】（1）解：，，，，平分，，四邊形是平行四邊形，，，（2）證明：四邊形是平行四邊形，，，，，，，．題型三平行四邊形性質的其他應用3．（22-23八年級下·河北滄州·階段練習）如圖：的對角線交于點O．

(1)基礎訓練：經(jīng)過點O且與、分別相交于E、F．求證：(2)拓展變式若將條件改為經(jīng)過點O且與、的延長線分別相交于E、F，第（1）問的結論是否成立，請按題意畫出圖形，標注字母，并給予證明．(3)觀察歸納的對角線交于點O，直線是經(jīng)過點O的任意一條直線，將的面積分為兩部分，設四邊形的面積為，四邊形的面積為，則______．

(4)實踐操作你能否只畫一條直線，將下圖中兩個平行四邊形的面積同時平分，若能，請畫出這條直線（用虛線畫出輔助線）；若不能，請說明理由．

【答案】(1)見解析(2)成立，圖和證明見解析(3)(4)見解析【知識點】全等的性質和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）、利用平行四邊形的性質證明、平行四邊形性質的其他應用【分析】（1）利用平行四邊形的性質證明，可得；（2）畫出圖形，同（1）的方法證明即可；（3）根據(jù)全等三角形的性質得到，，等量代換可得，即可證明；（4）分別找出兩個平行四邊形對角線的交點，再連接即可．【詳解】（1）解：在中，，，∴，在和中，，∴，∴；（2）成立，理由是：在中，，，∴，在和中，，∴，∴；

（3）同（1）可證：，，∴，，∴，，∴；故答案為：；（4）能，如圖，直線即為所求．

【點睛】本題考查了平行四邊形的性質，全等三角形的判定和性質，解題的關鍵是利用平行四邊形的性質得到線段，面積之間的關系．題型四判斷能否構成平行四邊形4．（24-25八年級下·河北保定·期中）下面是嘉淇同學的不完整的推理過程：，．又※為了使嘉淇的推理成立，則“※”處應補充的條件是（

）A． B．C． D．【答案】B【知識點】判斷能否構成平行四邊形【分析】本題考查添加一個條件構造平行四邊形，解題的關鍵是掌握平行四邊形的判定定理．根據(jù)平行四邊形的判定定理逐項判斷即可．【詳解】解：添加后可得，僅一組對邊平行，無法證明四邊形是平行四邊形，故A選項不合題意；添加后可得，滿足一組對邊平行且相等，可證四邊形是平行四邊形，故B選項符合題意；添加后，，四邊形為等腰梯形，不是平行四邊形．故C選項不合題意；添加后，滿足一組對邊平行，另一組對邊相等，不能證明四邊形是平行四邊形．故D選項不合題意；故選B．題型五添一個條件成為平行四邊形5．（2025八年級下·河北·專題練習）圖給出了四邊形的部分數(shù)據(jù)，若使得四邊形為平行四邊形，添加的條件可以是（）A． B． C． D．【答案】D【知識點】內錯角相等兩直線平行、添一個條件成為平行四邊形【分析】本題考查了平行四邊形的判定、平行線的判定．根據(jù)平行四邊形的判定定理添加條件即可求解．【詳解】解：∵在四邊形中，，∴，∴根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形的判定，可添加的條件是：．故選：D．題型六證明四邊形是平行四邊形6．（24-25八年級下·河北保定·期中）如圖，在四邊形中，，，，求證：四邊形是平行四邊形．【答案】見解析【知識點】全等的性質和HL綜合（HL）、證明四邊形是平行四邊形【分析】本題考查了垂線的定義、全等三角形的判定與性質、平行四邊形的判定，由垂線的定義得出，根據(jù)證明推出，根據(jù)平行四邊形的判定即可得證．【詳解】證明：，，．在和中，．．又，四邊形是平行四邊形．題型七利用平行四邊形的判定與性質求解7．（24-25八年級下·河北保定·期中）在如圖平面直角坐標系中，三個頂點的坐標分別為，，．(1)將繞原點O順時針旋轉，請畫出旋轉后的；(2)將平移后得到，若點A對應點坐標為，①請畫出平移后的；②若內部一點P的坐標為，則點P的對應點的坐標是______；（用字母a、b表示）．(3)將繞某一點E旋轉可得到，直接寫出點E的坐標是______；(4)若點P是網(wǎng)格中第二象限內的格點，且滿足，這樣的點P在網(wǎng)格中有______個．【答案】(1)見解析(2)①見解析；②(3)(4)9【知識點】利用平行四邊形的判定與性質求解、求繞原點旋轉一定角度的點的坐標、已知圖形的平移，求點的坐標、畫旋轉圖形【分析】本題主要考查了坐標與圖形變化—旋轉和平移，平行四邊形的性質與判定，正確根據(jù)圖形的變換方式找到對應點位置是解題的關鍵．（1）繞原點O順時針旋轉，旋轉前后對應點的橫縱坐標互為相反數(shù)，據(jù)此描出，再順次連接即可；（2）①根據(jù)點A和點的坐標，可判斷出平移方式，進而確定的坐標，描出，再順次連接即可；②根據(jù)平移方式即可得到帶你的坐標；（3）可證明四邊形是平行四邊形，則點E即為四邊形對角線的交點，據(jù)此根據(jù)兩點中點坐標計算公式求解即可；（4）由可知，點P到直線的距離等于點B到直線的距離的一半或點P到直線的距離等于點C到直線的距離的一半或點P到直線的距離等于點A到直線的距離的一半，據(jù)此根據(jù)網(wǎng)格的特點作圖求解即可．【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求；（2）解：①如圖所示，即為所求；②∵將平移后得到，點對應點坐標為，∴平移方式為向右平移個單位長度，向下平移個單位長度，∵內部一點P的坐標為，∴點P的對應點的坐標是；（3）解：由平移和旋轉的性質可得，∴四邊形是平行四邊形，∵將繞某一點E旋轉可得到，∴點E即為四邊形對角線的交點，∵，∴，即；（4）解：如圖所示，到即為所求，∴一共有9個點P符合題意．題型八利用平行四邊形性質和判定證明8．（24-25八年級下·河北石家莊·期中）如圖，在平行四邊形中，點O是對角線的中點，某數(shù)學學習小組要在上找兩點E、F，使四邊形為平行四邊形，現(xiàn)在，甲、乙兩個同學給出了兩種不同的方案如下：甲方案：分別取，的中點E，F(xiàn)；乙方案：作于點E，于點F．請回答下列問題：(1)你認為甲乙兩人的方案哪種得到的四邊形是平行四邊形．(2)如果只有一種方案得到平行四邊形，就對這一種進行證明；如果這兩種方案得到的四邊形都是平行四邊形，請選擇一種給出證明．【答案】(1)甲乙兩人的方案得到的四邊形都是平行四邊形(2)選擇甲方案，見解析【知識點】全等的性質和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）、利用平行四邊形性質和判定證明【分析】本題考查了平行四邊形的判定與性質、三角形全等的判定與性質，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關鍵．（1）根據(jù)題意結合平行四邊形的判定和全等三角形的判定與性質即可得解；（2）甲方案：連接，由平行四邊形的性質可得，，結合題意得出，即可得解；乙方案：證明得出，結合，即可得解．【詳解】（1）解：由題意可得：甲乙兩人的方案得到的四邊形都是平行四邊形；（2）證明：甲方案：如圖，連接，在中，點是對角線的中點，，，，F(xiàn)分別為，的中點，，四邊形為平行四邊形；乙方案：四邊形是平行四邊形，，，，，，，，在和中，，，，，，∴四邊形為平行四邊形．題型九平行四邊形性質和判定的應用9．（八年級下·河北秦皇島·期末）已知在平面直角坐標系中有三個點：、、．在平面內確定點D，使得以A、B、C、D為頂點的四邊形為平行四邊形，則點D的坐標不可能是(

)A． B． C． D．【答案】D【知識點】坐標與圖形、平行四邊形性質和判定的應用【分析】在平面直角坐標系中，分類討論①當AB，CD為對角線時，②當AC，BD為對角線時和③當BC，AD為對角線時，結合平行四邊形的性質畫出圖形即得出答案．【詳解】①當AB，CD為對角線時，如圖，此時四邊形為平行四邊形，∴．∵向上平移4個單位，向左平移2個單位得到，∴向上平移4個單位，向左平移2個單位得到；②當AC，BD為對角線時，如圖，此時四邊形為平行四邊形，∴．∵向上平移1個單位，向左平移4個單位得到，∴向上平移1個單位，向左平移4個單位得到；③當BC，AD為對角線時，如圖，此時四邊形為平行四邊形，∴．∵向下平移1個單位，向右平移4個單位得到，∴向下平移1個單位，向右平移4個單位得到．綜上可知點D的坐標可能是或或，故選D．【點睛】本題考查平行四邊形的判定和性質，坐標與圖形．利用數(shù)形結合和分類討論的思想是解題關鍵．題型十與三角形中位線有關的求解問題10．（24-25八年級下·河北唐山·期中）在中，、分別是、的中點，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【知識點】與三角形中位線有關的求解問題【分析】本題考查三角形的中位線，解題的關鍵是掌握中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半．據(jù)此解答即可．【詳解】解：∵在中，、分別是、的中點，，∴是的中位線，∴．故選：B．題型十一與三角形中位線有關的證明11．（24-25八年級下·河北保定·期中）如圖，在中，，分別是，的中點，甲、乙兩名同學分別作了一種輔助線，其中輔助線作法能證明三角形的中位線定理的是（

）甲乙如圖，延長到點，使，連接，，．如圖，過點作，過點作，與交于點．A．甲、乙的輔助線作法都可以 B．甲、乙的輔助線作法都不可以C．甲的輔助線作法可以，乙的不可以 D．乙的輔助線作法可以，甲的不可以【答案】A【知識點】全等的性質和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）、利用平行四邊形性質和判定證明、與三角形中位線有關的證明【分析】本題考查的是三角形中位線定理、平行四邊形的判定和性質、全等三角形的判定和性質，掌握平行四邊形的判定定理是解題的關鍵．根據(jù)平行四邊形的判定定理，用兩種方法都可以證明三角形中位線定理，得到答案．【詳解】解：甲的作法：∵，∴四邊形為平行四邊形，∴，．∵，∴，∴四邊形為平行四邊形，∴，∵，∴，，能夠用來證明三角形中位線定理；乙的作法：∵，∴四邊形為平行四邊形，∴，∵，分別是，的中點，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，，∴，，∴四邊形為平行四邊形，∴，，∴，能夠用來證明三角形中位線定理，故選：A．題型十二三角形中位線的實際應用12．（23-24八年級下·河北張家口·期末）如圖，要測量池塘兩岸相對的A，B兩點間的距離，可以在池塘外選一點C，連接、，分別取，的中點D，E，測得，則的長是（

）A． B． C． D．【答案】B【知識點】三角形中位線的實際應用【分析】本題考查三角形中位線的性質，難度較易，是重要考點，掌握相關知識是解題關鍵．根據(jù)中位線定義及性質解題：三角形的中位線平行第三邊，且等于第三邊的一半．【詳解】解：∵點分別是的中點，∴是的中位線，，故選：B．題型十三矩形性質理解13．（24-25八年級下·河北唐山·期中）如圖，四邊形和都是矩形，且，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【知識點】等邊對等角、矩形性質理解、三角形內角和定理的應用【分析】本題考查了矩形的性質，三角形內角和定理的應用，等邊對等角，根據(jù)題意得出，進而根據(jù)三角形內角和定理以及等邊對等角得出，進而求得的度數(shù)，即可求解．【詳解】解：∵四邊形和都是矩形，∴，∵，∴∴∵∴∴，故選：D．題型十四利用矩形的性質求角度14．（23-24八年級下·河北唐山·期末）如圖，在矩形中，對角線相交于點是的中點，的度數(shù)為，的度數(shù)為．【答案】【知識點】三角形的外角的定義及性質、等邊對等角、與三角形中位線有關的求解問題、利用矩形的性質求角度【分析】本題主要考查了矩形的性質、三角形中位線的性質等知識點，掌握矩形的對角線互相平分且相等是解題的關鍵．由矩形的性質可得，可得，然后根據(jù)三角形外角的性質即可求得；再根據(jù)三角形中位線的性質可得,根據(jù)平行線的性質即可求得,最后根據(jù)角的和差即可解答．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，∴，∴，∵，∴；∵，∴是的中位線，∴，∴，∴故答案為：，．題型十五根據(jù)矩形的性質求線段長15．（24-25八年級下·河北邯鄲·期中）如圖①，已知動點在長方形的邊上沿的順序運動，其運動速度為每秒1個單位長度．連接，記點的運動時間為（秒），的面積為．圖②是關于的函數(shù)圖像，則線段的長為，a的值為．【答案】3（或7.5）【知識點】動點問題的函數(shù)圖象、根據(jù)矩形的性質求線段長【分析】本題考查了動點問題的函數(shù)圖象，根據(jù)圖象上點的坐標和圖象的特點，利用長方形的性質可求出答案．【詳解】解：∵P在上時，的面積S隨t的增大而增大，∴根據(jù)點可以得到，，∴，即，∴，當P在上時，S不變，∴，∵為長方形，∴，∴，∴，故答案為：3，．題型十六根據(jù)矩形的性質求面積16．（23-24八年級下·河北衡水·階段練習）為了提高學生動手能力，學校借助直角三角形花壇的一條直角邊開辟出一個矩形實踐基地，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可知該矩形實踐基地的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【知識點】用勾股定理解三角形、根據(jù)矩形的性質求面積【分析】本題考查了勾股定理，根據(jù)勾股定理求得矩形的長為，進而根據(jù)矩形性質，即可求解．【詳解】解：根據(jù)圖中數(shù)據(jù)可得，矩形的邊長為∴矩形的面積為，故選：A．題型十七利用矩形的性質證明17．（24-25八年級下·河北保定·期中）如圖，四邊形是平行四邊形，四邊形是矩形，與在同一條直線上，則下列結論正確的是（

）A．四邊形的周長小于四邊形的周長B．四邊形的周長與四邊形的周長相等C．四邊形的面積小于四邊形的面積D．四邊形的面積與四邊形的面積相等【答案】D【知識點】利用平行四邊形的性質證明、利用矩形的性質證明【分析】本題考查了平行四邊形的性質，矩形的性質，熟練掌握平行四邊形的性質、矩形的性質是解答本題的關鍵．根據(jù)平行四邊形的性質、矩形的性質得出可判斷A，B；平行四邊形的、矩形的的面積公式可判斷C，D．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，四邊形是矩形，∴，，，∴，∴四邊形的周長大于四邊形的周長，故A，B不正確；∵，，∴四邊形的面積與四邊形的面積相等，故C錯誤，D正確．故選D．題型十八求矩形在坐標系中的坐標18．（八年級下·河北邢臺·期末）如圖，已知直線AB與正比例函數(shù)的圖像交于點，與x軸交于點B，與y軸交于點．點P為直線OA上的動點，點P的橫坐標為t，以點P為頂點，向右作矩形PDEF，滿足軸，且．(1)求k值及直線AB的函數(shù)表達式，(2)判定時，點E是否落在直線AB上，請說明理由；(3)在點Р運動的過程中，若矩形PDEF與直線AB有公共點，求t的取值范圍．【答案】(1)k值為1，直線AB的解析式為：(2)E點在直線AB上，理由見詳解(3)【知識點】求一次函數(shù)解析式、正比例函數(shù)的性質、一次函數(shù)與幾何綜合、求矩形在坐標系中的坐標【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法即可求出k值以及直線AB的解析式；（2）根據(jù)矩形的性質以及P點的橫坐標表示出E點的坐標，再代入到直線AB的解析式中即可判斷；（3）根據(jù)矩形的性質以及P點的坐標表示出F、E、D點的坐標，再結合和矩形PDEF與直線AB有公共交點即可求出t的取值范圍．【詳解】（1）設直線AB的解析式為：，∵直線AB與正比例函數(shù)交于點A(5,5)，直線AB交y軸于點C(0,)∴5=5k及，∴k=1，，即k值為1，直線AB的解析式為：；（2）E點在直線AB上，理由如下：由（1）可知直線OA的解析式即為正比例函數(shù)，∵P點在OA上，且橫坐標為t，∴P點坐標為(t,t)，如圖可知點E、F均在P點上方，∵四邊形PDEF是矩形，∴，，，PD=EF，PF=ED，∵PD=1，PF=2，∴EF=1，ED=2，∵軸，∴軸，軸，軸，軸，∴根據(jù)P點坐標(t,t)可得D點坐標為(t+1,t)，F(xiàn)點坐標為(t,t+2)，∴E點坐標為(t+1,t+2)，∵t=1，∴E點坐標為(2,3)，把x=2代入中，得，即E點在直線AB上；（3）根據(jù)（2）中已求得P點坐標(t,t)，D點坐標(t+1,t)，F(xiàn)點坐標(t,t+2)，E點坐標(t+1,t+2)，∵隨著P點的移動，當F點落在AB上時，矩形PDEF開始與直線AB有公共點，隨著P點的進一步移動，當D點落在直線AB上時，矩形PDEF與直線AB有公共點，之后矩形PDEF就不再與直線AB有公共點，∴當F(t,t+2)落在AB上時，即有，解得t=-1；∴當D(t+1,t)落在AB上時，即有，解得t=7；，∴矩形PDEF與直線AB有公共點，t的取值范圍為：．【點睛】本題是一次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法求解一次函數(shù)解析式、圖像上點的坐標的特征、矩形的性質等知識，根據(jù)題意表示出D、E、F點的坐標是解答本題的關鍵．題型十九矩形與折疊問題19．（24-25八年級下·河北保定·期中）珍珍在數(shù)學活動課上探究“矩形折疊問題”．如圖，在矩形紙片中，為邊上一個動點，將紙片沿折疊，點的對應點為點．(1)如圖1，若點落在對角線上，且，求的度數(shù)．(2)若，．①如圖2，當時，四邊形的面積是_____．②如圖3，是的延長線與邊的交點，當時，求的長．【答案】(1)(2)①8；②【知識點】用勾股定理解三角形、矩形與折疊問題、等邊對等角【分析】本題考查了矩形的性質，折疊的性質，等腰三角形的性質，勾股定理等知識點，熟練掌握各知識點是解題的關鍵．（1）根據(jù)等腰三角形的性質以及折疊的性質得到，再由矩形得到，那么，即可求解；（2）①由折疊可得，，則，那么由四邊形的面積即可求解；②在中，由勾股定理求出，折疊帶來，即可求解，設．在中，由勾股定理建立方程即可求解．【詳解】（1）解：在矩形中，．將紙片沿折疊，點的對應點為點，點在上，．，．，即，；（2）解：①由折疊可得，，∴，∵矩形，∴，∴四邊形的面積，故答案為：8；②在中，，，，∵折疊，∴，．設．在中，，，，即．題型二十矩形的判定定理理解20．（23-24八年級下·河北石家莊·期末）下列命題是真命題的是（

）A．對角線互相垂直的四邊形是菱形 B．有一個角是直角的四邊形是矩形C．對角線互相平分的四邊形是菱形 D．對角線互相平分的四邊形是平行四邊形【答案】D【知識點】判斷能否構成平行四邊形、矩形性質理解、矩形的判定定理理解、判斷命題真假【分析】本題考查了特殊四邊形的判定和性質，掌握平行四邊形，菱形，矩形的判定和性質是解題的關鍵．根據(jù)平行四邊形，矩形，菱形的判定方法即可求解．【詳解】解：A、對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，故原選項是假命題，不符合題意；B、有三個角是直角的四邊形是矩形，故原選項是假命題，不符合題意；C、對角線互相平分且垂直的四邊形是菱形，故原選項是假命題，不符合題意；D、對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，故原選項是真命題，符合題意；故選：D．題型二十一添一條件使四邊形是矩形21．（22-23八年級下·河北石家莊·期中）已知：如圖，在中，平分，交于E，平分，交于F．(1)求證：；(2)當與滿足什么關系時，四邊形是矩形？請說明理由．【答案】(1)見解析(2)，四邊形是矩形，理由見解析【知識點】全等的性質和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）、三線合一、利用平行四邊形的性質證明、添一條件使四邊形是矩形【分析】（1）由平行四邊形的性質得出，，，，再由角平分線的定義可證得，然后利用可證得，由全等三角形的性質即可得出結論．（2）要使四邊形是矩形，由（1）易證此四邊形是平行四邊形，因此只需證明有一個角是直角，添加條件，利用等腰三角形三線合一的性質即可得證．【詳解】（1）證明：在中，，，，，平分，平分，，在和中，，，∴（2）解：，四邊形是矩形．理由如下：，，，又，，四邊形是平行四邊形，，平分，，平行四邊形是矩形．【點睛】本題考查了矩形的判定、平行四邊形的性質、全等三角形的判定與性質、等腰三角形的性質等知識；熟練掌握平行四邊形的判定與性質，證明三角形全等是解題的關鍵．題型二十二證明四邊形是矩形22．（24-25八年級下·河北保定·期中）如圖，在中，，兩點分別在邊，上，連接，，，，且．(1)求證：四邊形為矩形；(2)若平分，且，，求的長．【答案】(1)見解析(2)【知識點】用勾股定理解三角形、證明四邊形是矩形、全等的性質和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）、利用平行四邊形的性質證明【分析】本題考查了矩形的性質與判定、平行四邊形的性質、勾股定理，熟練掌握相關知識點是解題的關鍵．（1）利用平行四邊形的性質得到，，，由得到，進而得到，再通過證明得到，最后利用矩形的判定即可證明；（2）根據(jù)角平分線的定義得到，再利用平行線的性質得到，則有，由（1）中的結論可得，在和利用勾股定理即可解答．【詳解】（1）證明：，，，，，，又，，在和中，，，，，，四邊形為矩形；（2）解：，，，，平分，，，，，，在中，，∵，，，在中，．題型二十三根據(jù)矩形的性質與判定求角度23．（八年級下·河北·期中）在中，，，當?shù)拿娣e最大時，下列結論：①；②；③；④，其中①正確，還有______也正確（

）A．②③ B．②④ C．②③④ D．③④【答案】B【知識點】用勾股定理解三角形、利用平行四邊形的性質求解、根據(jù)矩形的性質與判定求角度【分析】當?ABCD的面積最大時，四邊形ABCD為矩形，得出∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AC=BD，根據(jù)勾股定理求出AC，即可得出結論．【詳解】解：根據(jù)題意得：當?ABCD的面積最大時，四邊形ABCD為矩形，∴∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，AC=BD，∴∠BAD+∠BCD=180°，AC==5，①正確，②正確，④正確；③不正確；故選B．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質、矩形的性質以及勾股定理；得出?ABCD的面積最大時，四邊形ABCD為矩形是解決問題的關鍵．題型二十四根據(jù)矩形的性質與判定求線段24．（24-25八年級下·河北石家莊·期中）如圖，已知在中，，，，點在斜邊上（不與A、B重合），過P作，，垂足分別是E、F，連接．隨著P點在邊上位置的改變，則長度的最小值是．【答案】【知識點】垂線段最短、用勾股定理解三角形、根據(jù)矩形的性質與判定求線段長【分析】此題主要考查了矩形的判定與性質，垂線段的性質，勾股定理，連接，過點C作于點H，先求出，證明四邊形是矩形，則，當?shù)闹底钚r，的值為最小，再根據(jù)“垂線段最短”得當點P于點H重合時，的值為最小，最小值為線段的長，則的最小值是線段的長，然后根據(jù)三角形的面積公式求出線段的長即可得出答案．【詳解】解：連接，過點C作于點H，如圖所示：在中，，，，由勾股定理得：，，，，四邊形是矩形，，當?shù)闹底钚r，的值為最小，點P在斜邊上（不與A、B重合），根據(jù)“垂線段最短”得：當點P于點H重合時，的值為最小，最小值為線段的長，的最小值是線段的長，，，長度的最小值為．故答案為：．題型二十五根據(jù)矩形的性質與判定求面積25．（22-23八年級下·河北保定·期中）如圖，在中，，，連接，相交于點，為的中點，若，則四邊形的面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【知識點】判斷三邊能否構成直角三角形、根據(jù)矩形的性質與判定求面積【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理得出，進而得出是矩形，根據(jù)矩形的性質得出，，進而根據(jù)四邊形的面積即可求解．【詳解】解：∵，，∴，∴，∴，∴是矩形，∴∵為的中點，∴，∴，∴四邊形的面積故選：C．【點睛】本題考查了勾股定理的逆定理，矩形的性質與判定，熟練掌握矩形的中是解題的關鍵．題型二十六利用菱形的性質求角度26．（24-25八年級下·河北唐山·期中）如圖，是菱形的對角線，，則的度數(shù)是．【答案】/度【知識點】利用菱形的性質求角度【分析】本題考查了菱形的性質，熟記菱形的對邊平行，并且每一條對角線平分一組對角是解題的關鍵．根據(jù)菱形的性質可得，，根據(jù)已知得出，即可求解．【詳解】解：∵四邊形是菱形，是菱形的對角線，∴，，∵，∴，∵，故答案為：．題型二十七利用菱形的性質求線段長27．（24-25八年級下·河北保定·期中）若一個菱形的邊長為2，則該菱形的周長是（

）A．4 B．6 C．8 D．16【答案】C【知識點】利用菱形的性質求線段長【分析】此題主要考查菱形的性質；熟記菱形的四邊相等是解決問題的關鍵．根據(jù)菱形的四邊相等即可得出菱形的周長．【詳解】解：∵菱形四條邊長相等，∴該菱形的周長是，故選C．題型二十八利用菱形的性質求面積28．（24-25八年級下·河北唐山·期中）如圖平面直角坐標系中，菱形的頂點在軸上，點的坐標為，點的坐標為，則菱形面積為（

）A．12 B．24 C．36 D．72【答案】C【知識點】利用菱形的性質求面積、坐標與圖形綜合【分析】本題考查了菱形的性質、坐標與圖形性質；熟練掌握菱形的性質，并能進行推理計算是解決問題的關鍵．連接、交于點，由菱形的性質得出，，，由點的坐標和點的坐標得出，，求出，即可解決問題；【詳解】解：連接、交于點，如圖所示：四邊形是菱形，，，，點的坐標為，點的坐標為，，，，，故選：C．題型二十九利用菱形的性質證明29．（2025·河北邯鄲·一模）如圖-1，在平行四邊形中，過點作，垂足分別為點交于點、．(1)若，求的度數(shù)；(2)如圖-2，若四邊形是菱形，延長，相交于點．①求證：；②當時，求證：．【答案】(1)(2)①見解析；②見解析【知識點】斜邊的中線等于斜邊的一半、利用菱形的性質證明、等邊三角形的判定和性質、利用平行四邊形的性質證明【分析】此題考查了菱形和平行四邊形的性質，勾股定理，等邊三角形的性質和判定等知識，解題的關鍵是掌握以上知識點．（1）首先由平行四邊形的性質得到，然后根據(jù)平行線的性質求解即可；（2）①首先由菱形得到，然后得到，進而求解即可；②首先得到，然后得到是等邊三角形，得到，推出，得到，連接，得到是等邊三角形，進而求解即可．【詳解】（1）解：四邊形是平行四邊形，．，．，．，，；（2）證明：①四邊形是菱形，，．，，，，．②，點是直角三角形斜邊的中點，．由①知，，是等邊三角形，，．，，，，．如圖，連接，，是等邊三角形．，，．題型三十添一個條件使四邊形是菱形30．（23-24八年級下·河北邢臺·期末）如圖，在中，，是兩條對角線，如果添加一個條件，可推出是菱形，那么這個條件可以是（

）A． B． C． D．【答案】C【知識點】添一個條件使四邊形是菱形【分析】本題考查了菱形的判定．熟練掌握對角線互相垂直的平行四邊形是菱形是解題的關鍵．根據(jù)對角線互相垂直的平行四邊形是菱形判斷作答即可．【詳解】解：由題意知，A中，不能推出是菱形，故不符合要求；B中，不能推出是菱形，故不符合要求；C中，能推出是菱形，故符合要求；D中，不能推出是菱形，故不符合要求；故選：C．題型三十一證明四邊形是菱形31．（23-24八年級下·河北唐山·期末）如圖，矩形的對角線交于點，是上任意一點，作，并截取，連接．(1)判斷四邊形的形狀并說明理由；(2)若，且是中點，連接．①求四邊形的面積；②則的最小值是．【答案】(1)四邊形是菱形，理由見解析；(2)①；②．【知識點】等邊三角形的判定和性質、用勾股定理解三角形、利用矩形的性質證明、證明四邊形是菱形【分析】（）由，可得四邊形是平行四邊形，再由矩形的性質可得，即可求證；（）①連接，由矩形的性質可得是等邊三角形，，再根據(jù)菱形的性質可得是等邊三角形，得到，利用菱形的面積公式計算即可得到四邊形的面積；②由菱形的性質可得點關于對稱，連接，與相交于點，連接，則，即得，可得當點與點重合時，的值最小，最小值為的長，利用等邊三角形的性質可得，，由勾股定理求出即可求解；【詳解】（1）解：四邊形是菱形，理由如下：∵，∴，又∵，∴四邊形是平行四邊形，∵四邊形是矩形，∴，，，∴，∴四邊形是菱形；（2）解：連接，∵四邊形是矩形，∴，，，，∴，∵，∴，，∴是等邊三角形，，∴，∴，∵四邊形是菱形，∴，，∴是等邊三角形，∴，∴；②∵四邊形是菱形，∴點關于對稱，連接，與相交于點，連接，則，∴，∴當點與點重合時，的值最小，最小值為的長，∵是等邊三角形，是中點，∴，，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了矩形的性質，平行四邊形的判定，菱形的判定和性質，等邊三角形的判定和性質，軸對稱的性質，三角形的三邊關系，掌握菱形的判定和性質是解題的關鍵．題型三十二根據(jù)菱形的性質與判定求角度32．（2025·河北秦皇島·一模）如圖，以點為圓心，適當?shù)拈L為半徑圓弧，交兩邊于點，，再分別以、為圓心，的長為半徑畫弧，兩弧交于點，連接，．若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【知識點】根據(jù)菱形的性質與判定求角度【分析】本題考查的知識點是菱形的判定與性質，解題關鍵是熟練掌握菱形的判定．先由作圖得到，再由菱形的判定與性質求解即可．【詳解】解：依題得：，四邊形是菱形，．故選：．題型三十三根據(jù)菱形的性質與判定求線段長33．（23-24八年級下·河北唐山·期末）如圖，在四邊形中，，點E是的中點，，，于點F．(1)求證：四邊形是菱形；(2)若，求的長．【答案】(1)見解析(2)【知識點】用勾股定理解三角形、斜邊的中線等于斜邊的一半、根據(jù)菱形的性質與判定求線段長【分析】（1）先證明四邊形是平行四邊形，再證明，即可得到結論；（2）過B點作于G點，求解，由，可得，結合，可得答案；【詳解】（1）證明：∵，，

四邊形是平行四邊形，，E為的中點，在中，，平行四邊形是菱形（2）解：過B點作于G點，在中，，由勾股定理可得，，，

，

，，

；【點睛】本題考查的是勾股定理的應用，直角三角形斜邊上的中線的性質，菱形的判定與性質，平行四邊形的判定與性質，熟記特殊四邊形的判定是解本題的關鍵.題型三十四根據(jù)菱形的性質與判定求面積34．（23-24八年級下·河北石家莊·期末）如圖，在的兩邊上分別截取，使：再分別以點A，B為圓心，長為半徑作弧，兩弧交于點C；再連接．若，，則四邊形的面積是（

）A． B．6 C．4 D．8【答案】C【知識點】作線段(尺規(guī)作圖)、根據(jù)菱形的性質與判定求面積【分析】本題考查作圖-基本作圖、菱形的判定與性質，由尺規(guī)作圖可得，，即可得四邊形為菱形，根據(jù)菱形的性質可得答案．【詳解】解：由尺規(guī)作圖可得，，四邊形為菱形，，四邊形的面積為故選：C．題型三十五正方形性質理解35．（24-25八年級下·河北保定·期中）如圖，在中，，，是的中點，以為邊作正方形，，則．【答案】【知識點】利用二次根式的性質化簡、用勾股定理解三角形、斜邊的中線等于斜邊的一半、正方形性質理解【分析】本題考查直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，勾股定理，先根據(jù)正方形的面積求出的長，然后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求出的長，最后根據(jù)勾股定理求出的長，然后即可求出的面積．【詳解】解：∵四邊形是正方形，，∴，∴或（負值不符合題意，舍去），∵在中，，點F是斜邊的中點，，∴，∴，∴，故答案為：．題型三十六根據(jù)正方形的性質求角度36．（23-24八年級下·河北廊坊·期中）如圖，正方形中，N，F(xiàn)分別為，延長線上的點，，．【答案】45【知識點】全等的性質和SAS綜合（SAS）、根據(jù)正方形的性質求角度【分析】本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定和性質，解題的關鍵是掌握正方形四邊相等，四個角都是直角，全等三角形對應邊相等，對應角相等．先根據(jù)正方形的性質得出，則，進而推出，即可解答．【詳解】解：∵四邊形為正方形，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，故答案為：45．題型三十七根據(jù)正方形的性質求線段長37．（24-25八年級下·河北張家口·期中）如圖，點是正方形的邊的中點，正方形的邊長為，點按的順序在正方形的邊上以每秒的速度做勻速運動，設點的運動時間為，的面積為．(1)直接寫出點運動時，的面積；(2)在點P運動2至4這段時間內，求y與x的函數(shù)關系式．【答案】(1)4(2)【知識點】一次函數(shù)與幾何綜合、根據(jù)正方形的性質求線段長【分析】本題主要考查一次函數(shù)及正方形的性質，理解題意確定動點的位置是解題關鍵．（1）根據(jù)題意作出相應圖形，然后利用三角面積公式求解即可；（2）根據(jù)題意作出相應圖形，然后利用割補法即可確定出函數(shù)解析式．【詳解】（1）解：點運動時，，點還在線段上，如圖所示：∴，．（2）解：由題意得，當時，，，如圖所示：點在上運動，．題型三十八根據(jù)正方形的性質求面積38．（23-24八年級下·河北唐山·期中）如圖，在菱形中，，，則以為邊長的正方形的面積為（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】D【知識點】等邊三角形的判定和性質、利用菱形的性質證明、根據(jù)正方形的性質求面積【分析】本題考查的是菱形的性質，等邊三角形的判定與性質，掌握菱形的性質是解答此題的關鍵．先根據(jù)菱形的性質得出，再由可知是等邊三角形，故可得出的長，根據(jù)正方形的面積公式即可得出結論．【詳解】解：四邊形是菱形，，．，是等邊三角形，，∴．故選：D．題型三十九正方形折疊問題39．（23-24八年級下·河北張家口·期中）如圖，已知正方形紙片，M、N分別是、的中點，把邊向上翻折，使點C恰好落在上的P點處，為折痕，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】C【知識點】等邊三角形的判定和性質、斜邊的中線等于斜邊的一半、根據(jù)矩形的性質與判定求線段長、正方形折疊問題【分析】本題主要考查了正方形的性質，矩形的判定和性質，等邊三角形的判定與性質，折疊問題；取的中點E，連接，證明四邊形為矩形，得出，根據(jù)直角三角形性質得出，證明為等邊三角形，得出，即可得出結果．【詳解】解：取的中點E，連接，如圖所示：

∵四邊形為正方形，∴，，，根據(jù)折疊的性質知：，，∵M、N分別是、的中點，∴，∴，∵，∴四邊形為平行四邊形，∵，∴四邊形為矩形，∴，∵E為的中點，∴，∵，，∴，∴為等邊三角形，∴，∴．故選：C．題型四十根據(jù)正方形的性質證明40．（2025·河北邯鄲·一模）如圖，點分別是四邊形邊的中點，則下列說法正確的是（

）A．若，則四邊形為矩形B．若，則四邊形為菱形C．若四邊形是平行四邊形，則與互相平分D．若四邊形是正方形，則與互相垂直且相等【答案】D【知識點】與三角形中位線有關的證明、根據(jù)正方形的性質證明、證明四邊形是矩形、證明四邊形是菱形【分析】本題考查了三角形的中位線定理、矩形與菱形的判定、正方形的性質等知識，熟練掌握三角形的中位線定理和特殊四邊形的判定與性質是解題關鍵．先根據(jù)三角形的中位線定理可得，，，，再證出四邊形為平行四邊形，由此即可判斷選項C錯誤；根據(jù)菱形與矩形的判定即可得選項A和B錯誤；根據(jù)正方形的性質可得，則可得，，由此即可判斷選項D正確．【詳解】解：∵點分別是的中點，∴，同理可得：，，，∴，∴四邊形為平行四邊形，無法得出與互相平分，則選項C錯誤；若，則，∴四邊形為菱形，則選項A錯誤；若，則，又∵，∴，∴，∴平行四邊形為矩形，則選項B錯誤；若四邊形是正方形，則，∴，，∴，又∵，∴，即若四邊形是正方形，則與互相垂直且相等，選項D正確；故選：D．題型四十一正方形的判定定理理解41．（23-24八年級下·河北張家口·期末）嘉嘉在學習“特殊平行四邊形”一單元后，梳理了如圖所示的特殊平行四邊形之間的關系．以下選項分別表示A，B，C，D處填寫的內容，則對應位置填寫錯誤的選項是（

）A．有一個內角是 B．有一組鄰邊相等C．對角線互相平分 D．對角線相等【答案】C【知識點】利用平行四邊形的性質求解、矩形的判定定理理解、添一個條件使四邊形是菱形、正方形的判定定理理解【分析】本題考查了平行四邊形的性質、矩形和菱形、正方形的判定，解本題的關鍵在熟練掌握矩形、菱形、正方形的判定定理．根據(jù)平行四邊形的性質、矩形和菱形、正方形的判定依次判斷即可；【詳解】解：A、有一個內角是的平行四邊形是矩形，故該轉換條件填寫正確，不符合題意；B、有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，故該轉換條件填寫正確，不符合題意；C、對角線互相垂直的矩形是正方形，故該轉換條件填寫錯誤，符合題意；D、對角線相等的菱形是正方形，故該轉換條件填寫正確，不符合題意．故選：C．題型四十二添一個條件使四邊形是正方形42．（22-23八年級下·河北邯鄲·期末）如圖，在四邊形中，，，，交于點，添加一個條件使這個四邊形成為一種特殊的平行四邊形，則以下說法中正確的個數(shù)是（

）

①添加“”，則四邊形是菱形②添加“，則四邊形是矩形③添加“”，則四邊形是菱形④添加“”，則四邊形是正方形A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【知識點】添一條件使四邊形是矩形、添一個條件使四邊形是菱形、添一個條件使四邊形是正方形【分析】根據(jù)，得到垂直平分，結合矩形、菱形、正方形判定逐個判斷即可得到答案；【詳解】解：∵，，∴垂直平分，∴，，①當時，，∵，∴，∴，∴，∴四邊形是菱形，故①正確；②當時，無法證明四邊形是矩形，故②錯誤；③當，∵，∴四邊形為平行四邊形，∵，∴四邊形是菱形，故③正確；④當時，，∴，由①得四邊形是菱形，∵，∴四邊形是正方形，綜上分析可知，正確的有3個，故選：C．【點睛】本題考查矩形、菱形、正方形判定，解題的關鍵是根據(jù)，，得到垂直平分．題型四十三證明四邊形是正方形43．（八年級下·河北保定·期末）如圖，四邊形是平行四邊形，下列結論中不正確的是（

）A．當時，平行四邊形是菱形B．當時，平行四邊形是矩形C．當時，平行四邊形是菱形D．當且時，平行四邊形是正方形【答案】A【知識點】矩形的判定定理理解、證明四邊形是菱形、證明四邊形是正方形【分析】本題主要考查了矩形、菱形、正方形的判定方法，解決本題的關鍵是根據(jù)矩形、菱形、正方形的判定方法進行判斷．【詳解】解：如下圖所示，A選項：在中，當時，與一定不垂直，平行四邊形一定不是菱形，故A選項錯誤，符合題意；B選項：當時，平行四邊形是矩形，故B選項正確，不符合題意；C選項：當時，平行四邊形是菱形，故C選項正確，不符合題意；D選項：當且時，平行四邊形是正方形，故D選項正確，不符合題意．故選：A．題型四十四根據(jù)正方形的性質與判定求線段長44．（24-25八年級下·河北滄州·階段練習）如圖，在中，，兩銳角的角平分線交于點P，點E、F分別在邊、上，且都不與點重合，若，連接，當，，時，則的周長為．【答案】【知識點】全等的性質和SAS綜合（SAS）、角平分線的性質定理、根據(jù)正方形的性質與判定求線段長【分析】本題考查角平分線的性質定理，正方形的判定和性質，全等三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，證明是本題的突破點．如圖，過點作于，于，于，在上取一點，使得，連接．利用全等三角形的性質證明，進而求解．【詳解】解：如圖，過點作于，于，于，在上取一點，使得，連接．平分，平分，，，，，，，，四邊形是矩形，四邊形是正方形，，，在和中，，，，，，，，在和中，，，，，的周長，，∴，，的周長為6，故答案為：6．題型四十五（特殊）平行四邊形的動點問題45．（24-25八年級下·河北唐山·期中）在四邊形中，，，，，，點從點以的速度向點運動，點從點以的速度同時向點運動．規(guī)定其中一個動點到達端點時，另一個動點也隨之停止運動．設運動時間為秒．(1)求為何值時，四邊形是平行四邊形？(2)求為何值時，四邊形是矩形？(3)在整個運動過程中，_________（答“存在”或“不存在”）t值，使得四邊形是菱形；(4)若只改變線段的長度，其余條件都不變，在整個運動過程中，當四邊形是正方形時，請你求出的值和線段的長度．【答案】(1)(2)(3)不存在(4)，【知識點】用勾股定理解三角形、（特殊）平行四邊形的動點問題【分析】（1）根據(jù)時，四邊形是平行四邊形，列出方程進行求解即可；（2）根據(jù)，，得到當時四邊形是矩形，列出方程進行求解即可；（3）根據(jù)菱形的性質可得，結合（1）的結論，分別求得的長，即可得出結論；（4）當四邊形是正方形時，，進而求得，，根據(jù)，即可求解．【詳解】（1）解：由題意，得：，，秒，∴，，∵，則當時，四邊形是平行四邊形；∴解得：（2）解：∵，，∴當時，四邊形是矩形；∵，，∴解得：（3）解：不存在，理由如下，由（1）可得，當時，四邊形是平行四邊形；∴若此時，則四邊形是菱形，如圖，過點作于點，∵，，∴，∴四邊形是矩形，∵，∴，，∵，，∴，∴，而，∴，∴四邊形不是菱形，故答案為：不存在．（4）解：當四邊形是正方形時，，∵，∴，∴，∴，∴當四邊形是正方形時，，．【點睛】本題考查四邊形中的動點問題．解題的關鍵是掌握矩形的判定和性質，正方形，平行四邊形，矩形，菱形的性質與判定，及勾股定理解三角形，熟練掌握特殊四邊形的性質是解題的關鍵．題型四十六四邊形其他綜合問題46．（23-24八年級下·河北邢臺·期末）如圖1，在矩形中，，E是邊上的一個動點（點E不與B、C重合），，垂足為點F，過點D作，交的延長線于點G．

(1)若，①求證：四邊形是菱形；②求四邊形的周長；(2)如圖2，于點M，于點N，探究：①當為何值時，四邊形是正方形；②點E在邊上的運動過程中，四