/清單04平行四邊形（6個考點(diǎn)梳理+11種題型解讀+提升訓(xùn)練）清單01多邊形1.多邊形的概念：在平面中，由一些線段首尾順次相接組成的封閉圖形叫做多邊形.2.多邊形的相關(guān)概念：多邊形的邊：組成多邊形的各條線段叫做多邊形的邊.多邊形的頂點(diǎn)：相鄰兩邊的公共端點(diǎn)叫做多邊形的頂點(diǎn).多邊形的內(nèi)角：多邊形相鄰兩邊所組成的在多邊形內(nèi)部的角叫做多邊形的內(nèi)角，簡稱多邊形的角.多邊形的外角：多邊形的一邊與它的鄰邊的延長線組成的角，叫做多邊形的外角.多邊形的對角線：連接多邊形不相鄰的兩個頂點(diǎn)的線段叫做多邊形的對角線.【補(bǔ)充】1）多邊形的邊數(shù)、頂點(diǎn)數(shù)及角的個數(shù)相等；2）把多邊形問題轉(zhuǎn)化成三角形問題求解的常用方法是連接對角線；3）多邊形對角線條數(shù)：從n邊形的一個頂點(diǎn)可以引（n-3）條對角線，這（n-3）條對角線把多邊形分成了(n-2)個三角形，其中每條對角線都重復(fù)算一次，所以n邊形共有條對角線.3.多邊形內(nèi)角和定理：n邊形的內(nèi)角和為.4.多邊形外角和：在多邊形的每個頂點(diǎn)處各取一個外角，這些外角地和叫做多邊形的外角和.5.多邊形外角和定理：多邊形的外角和恒等于360°，與邊數(shù)的多少沒有關(guān)系.清單02中心對稱中心對稱與中心對稱圖形：中心對稱中心對稱圖形圖形定義如果一個圖形繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后與另一個圖形重合，我們就把這兩個圖形叫做成中心對稱.如果一個圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后能與它自身重合，我們就把這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點(diǎn)叫做它的對稱中心.區(qū)別兩個圖形間的位置關(guān)系具有某種特性的一個圖形對稱點(diǎn)在兩個圖形上對稱點(diǎn)在一個圖形上對稱中心在兩個圖形之間對稱中心在圖形上或圖形內(nèi)部聯(lián)系如果將中心對稱的兩個圖形看成一個整體（一個圖形），那么這個圖形就是中心對稱圖形；如果把中心對稱圖形對稱的部分看成是兩個圖形，那么它們又關(guān)于中心對稱．中心對稱的性質(zhì)：中心對稱是一種特殊的旋轉(zhuǎn)變換，具有旋轉(zhuǎn)的一切性質(zhì)，1）中心對稱的兩個圖形是全等圖形；2）中心對稱的兩個圖形，對稱點(diǎn)所連線段都經(jīng)過對稱中心，且被對稱中心所平分；3）中心對稱的兩個圖形，對應(yīng)線段平行（或在一條直線上）且相等.中心對稱圖形的性質(zhì)：

1）中心對稱圖形上的對稱點(diǎn)之間的連線都經(jīng)過對稱中心，且被對稱中心平分，即過對稱中心的直線與中心對稱圖形的兩個對應(yīng)交點(diǎn)是對稱點(diǎn).2）過對稱中心的直線把中心對稱圖形分成的兩部分周長與面積都分別相等.清單03三角形的中位線1.三角形中位線：連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形中位線.【補(bǔ)充】1）三角形的中位線是一條線段，不是直線或射線.2）三角形的中位線與三角形的中線是不一樣的，三角形中位線是兩條邊中點(diǎn)的連線，而三角形中線是頂點(diǎn)與對邊中點(diǎn)的連線.2.三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半.清單04平行四邊形的性質(zhì)1.平行四邊形定義：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.符號表示：平行四邊形用符號“?”表示，平行四邊形ABCD記作“?ABCD”，讀作“平行四邊形ABCD”.2.平行四邊形的性質(zhì)定理性質(zhì)符號語言圖示邊平行四邊形兩組對邊平行且相等∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AB=CD,AD=BC,AB∥CD,AD∥BC角平行四邊形對角相等∵四邊形ABCD是平行四邊形∴∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC對角線平行四邊形的對角線互相平分∵四邊形ABCD是平行四邊形∴OA=OC=AC,BO=DO=BD3.平行線間的距離定義：兩條平行線中，一條直線上的任意一點(diǎn)到另一條直線的距離，叫做這兩條平行線之間的距離性質(zhì)：1）兩條平行線間的距離處處相等.2）兩條平行線間的任何兩條平行線段都是相等的.清單05平行四邊形的判定判定符號語言定義一組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形∵AB∥CD，AD∥BC∴四邊形ABCD是平行四邊形邊兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形∵AB=CD，AD=BC∴四邊形ABCD是平行四邊形一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形∵AB=CD，AB∥CD∴四邊形ABCD是平行四邊形角兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形∵∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC∴四邊形ABCD是平行四邊形對角線對角線互相平分的四邊形是平行四邊形∵OA=OC，BO=DO∴四邊形ABCD是平行四邊形清單06反證法反證法的定義：先假設(shè)原命題的結(jié)論不正確，然后從這個假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過逐步推理論證，最后得出與學(xué)過的概念、基本事實、已證明的定理、性質(zhì)或題設(shè)條件相矛盾的結(jié)果，這種證明的方法叫做反證法.【注意】1）當(dāng)命題的結(jié)論含有“至多”“至少”“無數(shù)”“唯一”等語言描述時，常用反證法.2）矛盾的類型:①與已知定義、定理、公理相矛盾;②與已知條件相矛盾:③推出自相矛盾.3）用反證法證明問題的關(guān)鍵是清楚結(jié)論的反面是什么，有哪些情況，不要遺漏;利用反證法證明時，每一步都要有依據(jù)，直到推出矛盾的結(jié)果.反證法的步驟：①假設(shè)命題結(jié)論的反面正確；②從假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過邏輯推理，推出與公理、定理、定義或已知條件相矛盾的結(jié)論；③說明假設(shè)不成立，從而得出原命題正確．【考點(diǎn)題型一】多邊形對角線問題（）1．（23-24八年級上·浙江杭州·階段練習(xí)）若n邊形共有9條對角線，則n為.【答案】6【分析】本題主要考查了多邊形的對角線的公式，熟記公式是解題的關(guān)鍵．根據(jù)多邊形的對角線公式列出方程求解即可．【詳解】解：設(shè)這個多邊形是n邊形，則，解得，故答案為：6．2．（23-24八年級下·浙江嘉興·期末）已知一個多邊形的內(nèi)角和為，則這個多邊形的對角線的總條數(shù)為（

）A．40 B．30 C．20 D．5【答案】C【分析】本題主要考查了多邊形內(nèi)角和定理，多邊形對角線計算公式，先根據(jù)多邊形內(nèi)角和計算公式求出這個多邊形是八邊形，再根據(jù)多邊形對角線計算公式求解即可，熟知n邊形的對角線條數(shù)是是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)這個多邊形為n邊形，由題意得，，∴，∴這個多邊形為八邊形，∴這個多邊形可連對角線的條數(shù)是故選：C．3．（2024·陜西寶雞·模擬預(yù)測）一個多邊形每個外角都等于，則從這個多邊形的某個頂點(diǎn)畫對角線，最多可以畫出幾條．【答案】【分析】本題考查了多邊形的內(nèi)角和外角性質(zhì)，先計算出多邊形的邊數(shù)，再根據(jù)邊形從一個點(diǎn)的作對角線條計算即可，熟練掌握外角和為是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵多邊形外角和都為，∴該多邊形為邊形，∴從這個多邊形的某個頂點(diǎn)畫對角線最多可以畫出條，故答案為：．4．（22-23七年級上·河南鄭州·期末）一個正八邊形，從它的一個頂點(diǎn)可引出m條對角線，并把這個正八邊形分成n個三角形，則．【答案】【分析】過八邊形的一個頂點(diǎn)可以引出5條對角線，過八邊形的一個頂點(diǎn)畫出所有的對角線，可以將這個八邊形分成6個三角形，據(jù)此求得的值，繼而即可求解．【詳解】解：過八邊形的一個頂點(diǎn)可以引出5條對角線，過八邊形的一個頂點(diǎn)畫出所有的對角線，可以將這個八邊形分成6個三角形，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的對角線，掌握過多邊形的一個頂點(diǎn)的對角線條數(shù)為是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)題型二】與多邊形內(nèi)角和問題（）5．（24-25八年級下·浙江溫州·期中）如圖是中國古代建筑中的一個正八邊形的窗戶，圖案對稱精美，圖中正八邊形的每個內(nèi)角度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】此題考查的是求正八邊形的內(nèi)角，掌握多邊形的內(nèi)角和公式是解決此題的關(guān)鍵．根據(jù)多邊形的內(nèi)角和求出內(nèi)角和，再除以邊數(shù)即可得到答案．【詳解】解：正八邊形的內(nèi)角和為：，∴正八邊形的每個內(nèi)角度數(shù)為故選：C．6．（24-25八年級上·甘肅隴南·期末）如圖，在五邊形中，，，，則的大小為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查平行線的性質(zhì)，多邊形內(nèi)角和定理，關(guān)鍵是利用平行線的性質(zhì)得到．根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，再根據(jù)多邊形內(nèi)角和定理即可求解．【詳解】解：∵，∴，∵五邊形中，，，∴．故選：B．7．（2025·重慶·模擬預(yù)測）若一個正多邊形內(nèi)角和的度數(shù)為，則這個正多邊形邊數(shù)是．【答案】9【分析】本題主要考查了多邊形內(nèi)角和，熟練掌握多邊形內(nèi)角和公式是解題的關(guān)鍵；根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式即可求得多邊形的邊數(shù)．【詳解】解：設(shè)正多邊形的邊數(shù)為n，∵正多邊形的內(nèi)角和為，∴，解得，∴正多邊形的邊數(shù)為：9，故答案為：9．8．（24-25八年級上·四川綿陽·期末）如圖1所示的是一把木工使用的六角尺．它能提供常用的幾種測量角度，如圖2中的六角尺示意圖中，x的值應(yīng)是（）A．100 B．112.5 C．120 D．125【答案】B【分析】本題考查了多邊形的內(nèi)角和，根據(jù)多邊形的外角和列出方程式，進(jìn)而得出答案．【詳解】解：解得：．故答案為：B．【考點(diǎn)題型三】多邊形的外角問題（）9．（24-25九年級上·重慶沙坪壩·期末）正六邊形每一個外角的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了多邊形的外角和，根據(jù)多邊形的外角和等于求解即可．【詳解】解：．故選B．10．（2025·河北滄州·模擬預(yù)測）一個正五邊形和一個正六邊形都有一邊在直線l上，且有一個公共頂點(diǎn)O，其擺放方式如圖所示，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查正多邊形的內(nèi)角和外角，如圖，根據(jù)正多邊形的外角和為360度求出的度數(shù)，進(jìn)而求出的度數(shù)，周角求出的度數(shù)，再求出的等度數(shù)即可．【詳解】解：如圖，∵正多邊形的每個內(nèi)角度數(shù)相等，每個外角的度數(shù)相等，∴，∴，，∴，∴；故選D．11．（24-25八年級上·江西南昌·期中）五邊形的外角和為度．【答案】【分析】本題考查了多邊形的外角和定理．根據(jù)多邊形的外角和等于解答．【詳解】解：一個五邊形的外角和是．故答案為：360．12．（23-24八年級下·貴州銅仁·期中）如圖，隨著科技的不斷進(jìn)步，人工智能機(jī)器人逐漸走進(jìn)人們的生活，在完成某項任務(wù)時，機(jī)器人小胖從點(diǎn)O出發(fā)，沿直線前進(jìn)8米后向左轉(zhuǎn)，再沿直線前進(jìn)8米向左轉(zhuǎn)相同的度數(shù)，……照這樣走下去，當(dāng)機(jī)器人小胖第一次回到了出發(fā)點(diǎn)時，共走過了160米，則機(jī)器人小胖每次轉(zhuǎn)過的角度n的值為（

）A．10 B．18 C．20 D．30【答案】B【分析】根據(jù)多邊形的外角和等于解決此題．本題主要考查多邊形的外角和，熟練掌握多邊形的外角和等于是解決本題的關(guān)鍵．【詳解】解：由題意得：．小明每次轉(zhuǎn)過的角度．故選：B【考點(diǎn)題型四】中心對稱圖形的識別（）13．（24-25八年級下·浙江溫州·期中）以下是我國一些博物館標(biāo)志的圖案，其中是中心對稱圖形的是（）A．B． C． D．【答案】A【分析】本題考查的是中心對稱圖形的概念．根據(jù)中心對稱圖形的概念判斷．把一個圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形．【詳解】解：選項B、C、D都不能找到這樣的一個點(diǎn)，使圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度后與原來的圖形重合，所以不是中心對稱圖形，選項A能找到這樣的一個點(diǎn)，使圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度后與原來的圖形重合，所以是中心對稱圖形，故選：A．14．（24-25八年級下·浙江杭州·期中）下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（

）A．B．C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了中心對稱圖形和軸對稱圖形的定義．如果一個平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形；中心對稱圖形的定義：把一個圖形繞著某一個點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點(diǎn)就是它的對稱中心．據(jù)此逐項進(jìn)行判斷即可得到答案．【詳解】解：A、圖形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，本選項不符合題意；B、圖形不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，本選項不符合題意；C、圖形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，本選項不符合題意；D、圖形是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，本選項符合題意．故選：D．15．（22-23八年級下·浙江·單元測試）如圖，把標(biāo)有序號中某個小正方形涂上陰影，使它與圖中陰影部分組成的新圖形是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形，那么該小正方形的序號是．【答案】①或⑥【分析】本題考查了軸對稱圖形的定義，中心對稱圖形的定義，根據(jù)沿著某條直線折疊，兩邊的圖形能夠重合的圖形是軸對稱圖形；在平面內(nèi)，把一個圖形繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形與原圖形重合，那么這兩個圖形互為中心對稱圖形；據(jù)此進(jìn)行逐項判斷即可【詳解】解：結(jié)合上圖，把標(biāo)有序號①或⑥的小正方形涂上陰影，可以與圖中陰影部分組成的新圖形是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形；把標(biāo)有序號②的小正方形涂上陰影，是中心對稱圖形也是軸對稱圖形；把標(biāo)有序號③或④或⑤的小正方形涂上陰影，是軸對稱圖形；則滿足題意，該小正方形的序號是①或⑥，故答案為：①或⑥．【考點(diǎn)題型五】求關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)（）16．（24-25九年級上·山西陽泉·期中）若點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟練掌握關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征是解題的關(guān)鍵．根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)均互為相反數(shù)進(jìn)行求解即可．【詳解】解：點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，，故選A．17．（22-23九年級上·福建·期中）已知點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，那么（）A．2 B． C． D．4【答案】B【分析】根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，可得答案．本題主要考查了關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)．熟練掌握關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】∵點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，∴，，∴．故選：B．18．（24-25九年級上·河北邯鄲·期末）已知點(diǎn)與點(diǎn)是關(guān)于原點(diǎn)O的對稱點(diǎn)，則長為．【答案】10【分析】本題考查了關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及兩點(diǎn)間距離公式，解題的關(guān)鍵是先根據(jù)原點(diǎn)對稱性質(zhì)求出點(diǎn)坐標(biāo)，再利用距離公式計算長度．先根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征求出點(diǎn)坐標(biāo)，再代入兩點(diǎn)間距離公式計算的長度．【詳解】因為點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征：橫，縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)，可得，即．根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，其中，則：，所以長為10．故答案為：10．【考點(diǎn)題型六】與中心對稱有關(guān)的作圖問題（）19．（24-25八年級下·浙江杭州·期中）在的方格中，選擇6個小方格涂上陰影，請仔細(xì)觀察圖1中的六個圖案的對稱性，按要求回答．(1)在6個圖案中，具有中心對稱性的圖案是____________（填寫序號）．(2)請在圖2中，將1個小方格涂上陰影，使整個的方格也具有中心對稱性．【答案】(1)②④⑥(2)見解析【分析】本題主要考查了中心對稱圖形的定義，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握中心對稱圖形的定義．（1）把一個圖形繞著某一個點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，據(jù)此求解即可；（2）把一個圖形繞著某一個點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，據(jù)此設(shè)計圖案即可．【詳解】（1）解：由中心對稱圖形的定義可知，②④⑥都是中心對稱圖形；（2）解：如圖所示，即為所求；20．（24-25八年級下·浙江杭州·期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上．(1)寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．(2)先將向左平移2個單位，再作與所得三角形關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱的圖形，得到，請在圖中畫出．(3)上有一點(diǎn)，經(jīng)上述變換后所得的對應(yīng)點(diǎn)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（用含的代數(shù)式表示）．【答案】(1)(2)見解析(3)【分析】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形，坐標(biāo)與圖形變化—平移和中心對稱，正確畫出對應(yīng)的圖形是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)坐標(biāo)系中點(diǎn)的位置寫出點(diǎn)的坐標(biāo)即可；（2）根據(jù)“上加下減，左加右減”的平移規(guī)律先得到向左平移2個單位后A、B、C的對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱的點(diǎn)橫縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)得到的坐標(biāo)，描出病順次連接即可；（3）仿照（2）求解即可．【詳解】（1）解：由題意得，；（2）解：如圖所示，即為所求；（3）解：向左平移2個單位后得到的點(diǎn)的坐標(biāo)為，∵與關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱圖形，∴．21．（23-24八年級下·浙江寧波·期中）下列三個網(wǎng)格圖均由相同的小菱形組成，每圖中都有3個小菱形已經(jīng)涂上陰影，請在剩下的空白格子中，按照要求選取一個涂上陰影．(1)使陰影部分構(gòu)成的圖形是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形．(2)使陰影部分構(gòu)成的圖形是中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形．(3)使陰影部分構(gòu)成的圖形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析【分析】本題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的知識，把一個圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后，能夠與原圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形，如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形，熟練掌握軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念，是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念并結(jié)合圖形畫出陰影部分即可；（2）根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念并結(jié)合圖形畫出陰影部分即可；（3）根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念并結(jié)合圖形畫出陰影部分即可．【詳解】（1）解：根據(jù)題意畫出圖形如圖：；（2）解：根據(jù)題意畫出圖形如圖：；（3）解：根據(jù)題意畫出圖形如圖：．22．（24-25八年級上·浙江寧波·期末）如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系中．(1)作出關(guān)于原點(diǎn)對稱的；(2)在y軸上找一個點(diǎn)P，使得的值最小，并直接寫出的最小值（保留作圖痕跡）．【答案】(1)見解析(2)圖見解析；【分析】本題考查了坐標(biāo)與圖形變化—軸對稱、原點(diǎn)對稱、最短路徑問題，掌握相關(guān)知識點(diǎn)，正確作出圖形是解題的關(guān)鍵．（1）先畫出各頂點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱的對應(yīng)點(diǎn)，再順次連接即可；（2）作點(diǎn)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)，連接交y軸于點(diǎn)，利用軸對稱的性質(zhì)可得，則點(diǎn)P即為所求，再利用勾股定理求出的長即可解答．【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求：（2）解：作點(diǎn)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)，連接交y軸于點(diǎn)，由對稱性得，，，當(dāng)三點(diǎn)共線時，的值最小，最小值為的長，由圖可得，，如圖所示，點(diǎn)P即為所求，的最小值為．【考點(diǎn)題型七】反證法的運(yùn)用（）23．（24-25八年級下·浙江溫州·期中）對于命題“如果，那么”．用反證法證明，應(yīng)假設(shè)（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了反證法，正確理解反證法的意義及步驟是解題的關(guān)鍵．根據(jù)反證法的步驟，第一步假設(shè)結(jié)論不成立，據(jù)此進(jìn)行解答即可．【詳解】解：由于結(jié)論的否定為：，用反證法證明命題時，要首先假設(shè)結(jié)論的否定成立，故應(yīng)假設(shè)，由此推出矛盾．故選：A．24．（2025八年級下·浙江·專題練習(xí)）用反證法證明命題“在同一平面內(nèi)，若直線，，則”時，應(yīng)假設(shè)（

）A． B．a(chǎn)與b不平行 C． D．【答案】B【分析】本題考查的是反證法、兩直線的位置關(guān)系，解此題關(guān)鍵要懂得反證法的意義及步驟，在假設(shè)結(jié)論不成立時要注意考慮結(jié)論的反面所有可能的情況，如果只有一種，那么否定一種就可以了，如果有多種情況，則必須一一否定．反證法的步驟中，第一步是假設(shè)結(jié)論不成立，反面成立，可據(jù)此進(jìn)行判斷．【詳解】解：反證法證明“在同一平面內(nèi)，若，，則”時，應(yīng)假設(shè)與不平行，即與相交．故選：B．25．（22-23八年級下·浙江寧波·期中）用反證法證明命題“已知中，，求證：．”第一步應(yīng)先假設(shè)“．”（填“”或“”）【答案】【分析】本題考查反證法．熟練掌握反證法的步驟是解題的關(guān)鍵．根據(jù)反證法的步驟，先假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論的反面成立，進(jìn)行作答即可．【詳解】解：用反證法證明命題“已知中，，求證：．”第一步應(yīng)先假設(shè)“，故答案為：．26．（23-24八年級下·浙江杭州·階段練習(xí)）用反證法證明“同旁內(nèi)角不互補(bǔ)的兩條直線不平行”（填空）已知：如圖，直線被直線所截，__________．求證：直線與__________．證明：假設(shè)所求證的結(jié)論不成立，即a__________，則__________（__________）這與__________矛盾，故__________不成立．所以__________．【答案】；不平行；；；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；已知；假設(shè)；直線與不平行【分析】本題主要考查了反證法，平行線的性質(zhì)，熟知反證法的步驟是解題的關(guān)鍵．根據(jù)反證法首先假設(shè)所求證的結(jié)論不成立，然后利用平行線的性質(zhì)求解即可．【詳解】已知：如圖，直線被直線所截，．求證：直線與不平行．證明：假設(shè)所求證的結(jié)論不成立，即，則（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）這與矛盾，故假設(shè)不成立．所以直線與不平行．【考點(diǎn)題型八】與三角形中位線有關(guān)的計算（）27．（24-25八年級下·全國·期末）如圖，在中，D和E分別為所在邊的中點(diǎn)，若，則的長為（

）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】A【分析】本題考查了三角形的中位線定理，掌握“三角形中位線平行且等于底邊的一半”是解題關(guān)鍵．利用中位線的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：在中，D和E分別為所在邊的中點(diǎn)，是的中位線，，，，故選：A．28．（24-25八年級下·全國·期末）已知D，E，F(xiàn)分別為三邊的中點(diǎn)，若的周長為3，則的周長為（

）A．12 B．9 C．6 D．3【答案】C【分析】本題考查三角形的中位線定理，根據(jù)三角形的中位線定理，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵D，E，F(xiàn)分別為三邊的中點(diǎn)，∴為的中位線，∴分別為三邊長的一半，∵的周長為3，∴，∴的周長；故選C．29．（24-25八年級上·浙江紹興·期中）如圖，的面積是10，點(diǎn)D，E，F(xiàn)，G分別是，，，的中點(diǎn)，則的面積是．【答案】【分析】本題主要考查了三角形的面積，與三角形中線、中位線有關(guān)的面積計算，解決問題的關(guān)鍵是掌握：三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分．根據(jù)中線的性質(zhì)，可得，同理，，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)可得，即可得到的面積．【詳解】解：∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，又∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，，∴．又∵、是，的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴，故答案為：．30．（2023·浙江溫州·三模）如圖，在中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為的中點(diǎn)，點(diǎn)D為上一點(diǎn)，連接交于點(diǎn)G，已知．

(1)求證：．(2)已知，若，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)題意得到是的中位線，得到，進(jìn)而證明出，然后由得到，即可證明出；（2）根據(jù)平行線和等邊對等角性質(zhì)得到，然后利用角平分線的概念和三角形內(nèi)角和求解即可．【詳解】（1）∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別為的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴，∴，∵，∴，∴；（2）∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】此題考查了三角形中位線的性質(zhì)，等邊對等角性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，角平分線的概念等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識點(diǎn)．【考點(diǎn)題型九】利用平行四邊形的性質(zhì)求解（）31．（24-25八年級下·浙江溫州·期中）如圖，已知在中，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．根據(jù)平行四邊形對角相等可得，再利用平行線的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：四邊形是平行四邊形，，，，，，，，故選：C．32．（24-25八年級下·浙江金華·期中）如圖，在中，，點(diǎn)E為邊上一點(diǎn)，將沿直線翻折，點(diǎn)A落在點(diǎn)F處，則等于（

）A． B．C． D．無法判斷，與點(diǎn)E的位置有關(guān)【答案】A【分析】本題考查了翻折的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，過點(diǎn)作，則可得，則可得，即可解答，熟練運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：在中，，，如圖，過點(diǎn)作，，，，，將沿直線翻折，點(diǎn)A落在點(diǎn)F處，，，故選：A．33．（23-24八年級下·浙江·期中）如圖，的對角線與相交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，若，，，則的長為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理及其逆定理，根據(jù)面積等式求線段的長度等知識與方法，掌握知識點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．由平行四邊形的性質(zhì)得，，而，由，證明，求得，因為于點(diǎn)，所以，求得，于是得到問題的答案．【詳解】解：∵的對角線與相交于點(diǎn)，，，，∴，，，∴，，∴，∴是直角三角形，且，∴，，∵于點(diǎn)，∴，∴，故選：．34．（24-25八年級下·浙江湖州·期中）如圖，平行四邊形中，點(diǎn)分別在上，依次連接，圖中陰影部分的面積分別為，已知，則．【答案】4【分析】陰影部分是三角形與三角形的公共部分，而，，這三塊是平行四邊形中沒有被三角形與三角形蓋住的部分，故面積面積平行四邊形的面積，而與的面積都是平行四邊形面積的一半，據(jù)此求得的值．本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，解決問題的關(guān)鍵是明確各部分圖形面積的和差關(guān)系：平行四邊形的面積面積面積．【詳解】解：設(shè)平行四邊形的面積為S，則，由圖形可知，面積面積平行四邊形的面積，∵∴，即，解得，故答案為：4．35．（23-24八年級下·浙江杭州·期中）如圖，在中，對角線，交于點(diǎn)，，，垂足分別為E，F(xiàn)．(1)求證：；(2)若，求的長；(3)若，，當(dāng)時，求的面積．【答案】(1)見解析(2)4(3)8【分析】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，三角形全等和勾股定理的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，三角形全等和勾股定理．（1）由平行四邊形的性質(zhì)得到，由，，可得，，證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可解答；（2）根據(jù)求出的長度，然后根據(jù)勾股定理求出的長度，即可根據(jù)平行四邊形對角線互相平分求出的長度；（3）根據(jù)題意可求出，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可求出、，然后根據(jù)勾股定理求出，最后根據(jù)平行四邊形的面積公式即可求解．【詳解】（1）證明：四邊形是平行四邊形，，，，，在和中，，，；（2）解：∵，，在中，，四邊形是平行四邊形，；（3）解：，，四邊形是平行四邊形，，，∵，，．36．（24-25八年級下·浙江紹興·階段練習(xí)）已知如圖，平行四邊形的頂點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系原點(diǎn)，邊在x軸正半軸上，點(diǎn)(1)寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，計算平行四邊形的面積；(2)過點(diǎn)的直線與線段或交于點(diǎn)，若直線將平行四邊形的面積分成兩部分，求點(diǎn)的坐標(biāo)；【答案】(1)，平行四邊形面積8；(2)或．【分析】本題考查了根據(jù)圖形求點(diǎn)的坐標(biāo)，一次函數(shù)與幾何，分類討論是解題的關(guān)鍵．（1）過，分別作于，于，由四邊形是平行四邊形，得到，，，證得，推出即可得到結(jié)果；（2）分多種情況討論，即當(dāng)點(diǎn)在線段上時，；當(dāng)點(diǎn)在線段上時，，逐一計算，即可得到結(jié)果．【詳解】（1）解：如圖，過，分別作于，于，四邊形是平行四邊形，，，，，在與中，，，，，，，；（2）解：如圖，當(dāng)點(diǎn)在線段上時，過點(diǎn)作于，則，直線將平行四邊形的面積分成兩部分，當(dāng)時，，；如圖，當(dāng)點(diǎn)在線段上時，過點(diǎn)作于，直線將平行四邊形的面積分成兩部分，當(dāng)，，設(shè)直線的解析式為，將，代入可得，，解得，直線的解析式為，當(dāng)時，可得，解得，綜上所述，或．【考點(diǎn)題型十】添加一個條件使四邊形成為平行四邊形（）37．（24-25八年級下·浙江·期中）如圖，在四邊形中，，要使四邊形成為平行四邊形，則應(yīng)增加的條件是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題考查了平行四邊形的判，熟練掌握平行四邊形的判定是解題的關(guān)鍵．根據(jù)平行四邊形的判方法逐項分析即可．【詳解】解：A．∵，∴，∵，∴，∴，∴四邊形為平行四邊形，故A正確；B．添加不能證明四邊形為平行四邊形，故B不正確；C．添加不能證明四邊形為平行四邊形，故C不正確；D．添加不能證明四邊形為平行四邊形，故D不正確；故選A．38．（23-24八年級下·浙江溫州·期末）如圖，在四邊形中，，是對角線，要使四邊形為平行四邊形，可添加條件（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題主考查平行四邊形的判定，熟練掌握平行四邊形的判定方法是解題的關(guān)鍵．兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形．根據(jù)添加的條件和平行四邊形的判定方法逐項判斷即可解答．【詳解】解：A、添加后，四邊形一組對邊平行，另一組對邊相等，不一定是平行四邊形，有可能為等腰梯形，不合題意；B、添加，得出，不能判定為平行四邊形，不符合題意；C、添加，得出，不能判定為平行四邊形，不合題意；D、添加，根據(jù)一組對比平行且相等的四邊形是平行四邊形可以判定為平行四邊形，符合題意．故選：D．39．（22-23八年級下·浙江嘉興·期中）在四邊形中，，要判定四邊形為平行四邊形，可添加條件（

）A． B．C．平分 D．【答案】B【分析】根據(jù)添加的條件和平行四邊形的判定方法逐項判斷即可解答．【詳解】解：如圖：A.添加后，四邊形一組對邊平行，另一組對邊相等，不一定是平行四邊形，有可能為等腰梯形，因此A選項不合題意；B.添加后，利用平行線的判定定理可得，四邊形是兩組對邊平行，能判定為平行四邊形，因此B選項符合題意；C.添加平分后，利用角平分線的定義和平行線的性質(zhì)可推出，四邊形一組對邊平行，一組鄰邊相等，不能判定為平行四邊形，因此C選項不合題意；D.添加后，四邊形一組對邊平行、鄰邊相等，不可以判定為平行四邊形，因此D選項不符合題意．故選B．

【點(diǎn)睛】本題主考查平行四邊形的判定，熟練掌握平行四邊形的判定方法是解題的關(guān)鍵．1.兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；2.兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；3.對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；4.一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；5.兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形．40．（23-24八年級下·浙江嘉興·期末）如圖，四邊形中，，若添加一個條件，使四邊形為平行四邊形，則可添加的條件為．（不添加任何輔助線，寫出一個即可）【答案】（答案不唯一）【分析】本題主要考查了平行四邊形的判定定理，根據(jù)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形進(jìn)行求解即可．【詳解】解：添加條件，理由如下：∵，，∴四邊形為平行四邊形，故答案為：（答案不唯一）．41．（21-22八年級下·湖北十堰·階段練習(xí)）如圖，在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)是對角線BD上的兩點(diǎn)，連接AE，AF，CE，CF，已知(填序號)．求證：四邊形AECF為平行四邊形．在①BE=DF，②AECF中任選一個作為條件補(bǔ)充在橫線上，并完成證明過程．【答案】①，證明見解析【分析】可以針對平行四邊形的各種判定方法，結(jié)合三角形全等解決問題．【詳解】①或②．添加①BE＝DF，理由如下：證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABE＝∠CDF，∵BE＝DF，∴△ABE≌△CDF（SAS），∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD，∴∠AEF＝CFE，∴AE∥CF，∴四邊形AECF是平行四邊形；添加②AE∥CF，理由如下：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABE＝∠CDF，∵AE∥CF，∴∠AEB＝∠CFD，∴△ABE≌