/第07講線段、角的軸對稱性——垂直平分線模塊一思維導(dǎo)圖串知識模塊二基礎(chǔ)知識全梳理模塊三核心考點(diǎn)舉一反三模塊四小試牛刀過關(guān)測1．經(jīng)歷探索線段的軸對稱性的過程，進(jìn)一步體驗(yàn)軸對稱的特性，發(fā)展空間觀念；2．探索并證明線段的垂直平分線的性質(zhì)。1.如圖，直線PQ是線段AB的垂直平分線，PQ與AB交于點(diǎn)O，把OA沿直線PQ翻折，可得OA與OB重合。幾何語言：∵直線PQ是線段AB的垂直平分∴∠1=∠2=90°，OA=OB因此，線段是圖形；它得對稱軸是和。2.如圖，線段AB的垂直平分線l交AB于點(diǎn)O，點(diǎn)P是l上任意一點(diǎn)，PA與PB相等嗎？為什么？通過證明，你發(fā)現(xiàn)了什么？用語言描述你得到的結(jié)論．PA=PB證：∵直線l是線段AB的垂直平分線∴∠1=∠2=90°，OA=OB在▲PAO與▲PBO中∴▲PAO≌▲PBO（SAS）∴PA=PB因此線段垂直平分線的性質(zhì)定理：幾何語言：∵直線l是線段AB的垂直平分線，點(diǎn)P是l上一點(diǎn)∴PA=PB（證明定理：SAS）3.如圖，若點(diǎn)Q是線段AB外任意一點(diǎn)，且QA＝QB，那么點(diǎn)Q在線段AB的垂直平分線上嗎？為什么？在。過點(diǎn)Q作AB的垂線交AB與點(diǎn)M，可得∠QMA=∠QMB=90°證：在Rt▲AQM和Rt▲BQM中，∠QMA=∠QMB=90°，∴Rt▲AQM≌Rt▲BQM（HL）∴AM=BM∴點(diǎn)Q在線段AB的垂直平分線上。因此線段垂直平分線的判定定理是幾何語言：∵QA=QB∴點(diǎn)Q在線段AB的垂直平分線上4.如圖：已知AC=AD，BC=BD，求證：AB垂直平分CD。證明：∵AC=AD，BC=BD∴點(diǎn)A、B是線段CD垂直平分線上的∴AB垂直平分CD5.你用尺規(guī)畫出任一條線段的垂直平分線嗎？作法：1.分別以A、B為圓心，大于AB的長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)C、D。2.過C、D兩點(diǎn)作直線。直線CD就是線段AB的垂直平分線。6.在直線AB外任取一點(diǎn)C，用該方法作出線段BC、AC的垂直平分線，你會發(fā)現(xiàn)什么？三角形三邊的垂直平分線交于一點(diǎn).這一點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等考點(diǎn)一：線段垂直平分線的性質(zhì)例1．如圖，三個(gè)村莊、、構(gòu)成，供奶站須到三個(gè)村莊的距離都相等，則供奶站應(yīng)建在（

）A．三條邊的垂直平分線的交點(diǎn) B．三個(gè)角的角平分線的交點(diǎn)C．三角形三條高的交點(diǎn) D．三角形三條中線的交點(diǎn)【變式1-1】如圖，在中，邊的垂直平分線交．于點(diǎn)，，且，，則的周長是（

）A．7.5 B．5 C．8 D．6【變式1-2】如圖，在中，，，作邊的垂直平分線，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．若，則的長為．【變式1-3】如圖，在中，是的垂直平分線，．求證：點(diǎn)在的垂直平分線上．考點(diǎn)二：線段垂直平分線的判定例2．在中國傳統(tǒng)戲劇《白蛇傳》中，許仙與白蛇在西湖斷橋之上以一把紅色油紙傘為媒，演繹了一段千古奇緣．如圖，油紙傘是我國傳統(tǒng)工藝品之一，傘圈D沿著傘柄滑動時(shí)，傘骨的點(diǎn)固定不動，且滿足，傘柄平分，當(dāng)點(diǎn)D在滑動的過程中，下列說法錯(cuò)誤的是（

）A． B．平分C．線段垂直平分線段 D．【變式2-1】如圖，在中，以點(diǎn)A為圓心，的長為半徑作弧，與交于點(diǎn)E，分別以點(diǎn)E和點(diǎn)C為圓心、大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)P，作射線交于點(diǎn)D．若，，則的度數(shù)為(

)

A． B． C． D．【變式2-2】如圖，一形狀為四邊形的風(fēng)箏（四邊形），測量得：，cm，cm，cm，則此風(fēng)箏的大小為（即四邊形的面積）cm2．

【變式2-3】如圖，已知銳角，，請用尺規(guī)作圖法，在內(nèi)部求作一點(diǎn)P．使．且．（保留作圖痕跡，不寫作法）考點(diǎn)三：作垂直平分線例3.下列尺規(guī)作圖中，A，B，C表示三個(gè)居民小區(qū)，為豐富居民們的文化生活，現(xiàn)準(zhǔn)備建一個(gè)文化廣場，使文化廣場中心P到三個(gè)小區(qū)的距離相等，能確定文化廣場中心P的位置的是（

）A． B．C． D．【變式3-1】如圖，直線、、表示三條相互交叉的公路，交叉口分別為、、，形成一個(gè)，現(xiàn)要在三條公路形成的三角區(qū)域內(nèi)建一座加油站，要求到、、三個(gè)交叉口的距離相等，則加油站應(yīng)建在（

）

A．的三條高的交點(diǎn)處 B．的三條角平分線的交點(diǎn)處C．的三條中線的交點(diǎn)處 D．的三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)處【變式3-2】如圖，已知，分別以點(diǎn)、為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于兩點(diǎn)，過這兩點(diǎn)作直線分別交、于點(diǎn)、，連接，若，的周長為，則的周長是．【變式3-3】如圖，在中，連接AC，請用尺規(guī)作圖法在線段AC上找一點(diǎn)F，連接BF，使得．（保留作圖痕跡，不寫作法）

1．如圖，在中，，線段的垂直平分線交于點(diǎn)D．若，則點(diǎn)D到點(diǎn)B的距離是（

）A．2 B．3 C．4 D．52．到三角形各頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)是（）A．三條邊垂直平分線交點(diǎn)B．三個(gè)內(nèi)角平分線交點(diǎn)C．三條中線交點(diǎn)D．三條高交點(diǎn)3．在平面內(nèi)，有一個(gè)點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，則這個(gè)點(diǎn)一定是三角形（

）A．三條角平分線的交點(diǎn) B．三條高線的交點(diǎn)C．三條中線的交點(diǎn) D．三條邊垂直平分線的交點(diǎn)4．如圖，在中，的垂直平分線交于點(diǎn)，邊的垂直平分線交于點(diǎn)．已知的周長為，則的長為（

）A． B． C． D．5．如圖，在中，，P為內(nèi)一點(diǎn)，過點(diǎn)P的直線分別交，于點(diǎn)E，F(xiàn)．若點(diǎn)E，F(xiàn)分別在，的垂直平分線上，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．6．如圖，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn)，已知，的周長為，則的周長是（

）A．6 B． C．8 D．7．如圖，在中，，AD，BE分別為BC、AC邊上的高，AD、BE相交于點(diǎn)F．下列結(jié)論：①；②；③；④若，則．正確的結(jié)論序號是（

）

A．①② B．①②④ C．②③④ D．①③④8．如圖，在五邊形中，，，，，在、上分別找到一點(diǎn)M、N，使得的周長最小，則的度數(shù)為（）

A． B． C． D．9．如圖，在中，的垂直平分線分別交、于點(diǎn)、，連接，若，，則的長．10．如圖，點(diǎn)O是內(nèi)一點(diǎn)，且，則點(diǎn)O是的交點(diǎn)．

11．在中，小明利用直尺和圓規(guī)進(jìn)行了下面的作圖：首先作的角平分線交于點(diǎn)D；然后作線段的垂直平分線交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F．據(jù)此，我們可以推出：線段與線段的關(guān)系為．12．如圖，在中，以點(diǎn)A為圓心，的長為半徑作圓弧交于點(diǎn)D，再分別以點(diǎn)B和點(diǎn)D為圓心，大于的長為半徑作圓弧，兩弧分別交于點(diǎn)M和點(diǎn)N，連接交于點(diǎn)E．若的周長為15，，則的長為．13．如圖，中，D是的中點(diǎn)，交于，則．14．如圖，在中，，垂足為D，PQ是BC邊的垂直平分線，交BC于點(diǎn)Q，交AC于點(diǎn)P，．若的周長是，，則的長是．15．如圖，在中，，分別以點(diǎn)A，C為圓心，大于的長為半徑面弧，兩弧相交于點(diǎn)M，N，連接，與，分別交于點(diǎn)D，E，連接．(1)若，則________；(2)若，的周長為12，求的周長．16．(1)如圖所示圖形已經(jīng)給出了一半，你能補(bǔ)出它的另一半，讓它成為一個(gè)軸對稱圖形嗎？

(2)如圖所示，已知，請用直尺不帶刻度和圓規(guī)，按下列要求作圖不要求寫作法，但要保留作圖痕跡，要求：在邊上確定一點(diǎn)，使得．17．如圖，在中，，分別垂直平分邊和邊，交邊于，兩點(diǎn)，與相交于點(diǎn)．(1)若，則的周長為；(2)若，求的度數(shù)．18．如圖所示，三個(gè)相同的直角三角形拼成一個(gè)四邊形．(1)寫出圖1中互相平行的線段：、、；(2)如圖2，若點(diǎn)M是線段的三等分點(diǎn)，點(diǎn)P是線段上的一個(gè)動點(diǎn)，畫出取得最小值時(shí)點(diǎn)P的位置，并說明理由；(3)如圖3，若點(diǎn)M是直線上的一個(gè)動點(diǎn)，點(diǎn)P是線段上的一個(gè)動點(diǎn)．已知，求的最小值．

第07講線段、角的軸對稱性——垂直平分線模塊一思維導(dǎo)圖串知識模塊二基礎(chǔ)知識全梳理模塊三核心考點(diǎn)舉一反三模塊四小試牛刀過關(guān)測1．經(jīng)歷探索線段的軸對稱性的過程，進(jìn)一步體驗(yàn)軸對稱的特性，發(fā)展空間觀念；2．探索并證明線段的垂直平分線的性質(zhì)。1.如圖，直線PQ是線段AB的垂直平分線，PQ與AB交于點(diǎn)O，把OA沿直線PQ翻折，可得OA與OB重合。幾何語言：∵直線PQ是線段AB的垂直平分∴∠1=∠2=90°，OA=OB因此，線段是軸對稱圖形；它得對稱軸是線段的垂直平分線和它本身所在得直線。2.如圖，線段AB的垂直平分線l交AB于點(diǎn)O，點(diǎn)P是l上任意一點(diǎn)，PA與PB相等嗎？為什么？通過證明，你發(fā)現(xiàn)了什么？用語言描述你得到的結(jié)論．PA=PB證：∵直線l是線段AB的垂直平分線∴∠1=∠2=90°，OA=OB在▲PAO與▲PBO中∴▲PAO≌▲PBO（SAS）∴PA=PB因此線段垂直平分線的性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等幾何語言：∵直線l是線段AB的垂直平分線，點(diǎn)P是l上一點(diǎn)∴PA=PB（證明定理：SAS）3.如圖，若點(diǎn)Q是線段AB外任意一點(diǎn)，且QA＝QB，那么點(diǎn)Q在線段AB的垂直平分線上嗎？為什么？在。過點(diǎn)Q作AB的垂線交AB與點(diǎn)M，可得∠QMA=∠QMB=90°證：在Rt▲AQM和Rt▲BQM中，∠QMA=∠QMB=90°，∴Rt▲AQM≌Rt▲BQM（HL）∴AM=BM∴點(diǎn)Q在線段AB的垂直平分線上。因此線段垂直平分線的判定定理是到線段兩個(gè)端距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上．幾何語言：∵QA=QB∴點(diǎn)Q在線段AB的垂直平分線上4.如圖：已知AC=AD，BC=BD，求證：AB垂直平分CD。證明：∵AC=AD，BC=BD∴點(diǎn)A、B是線段CD垂直平分線上的∴AB垂直平分CD5.你用尺規(guī)畫出任一條線段的垂直平分線嗎？作法：1.分別以A、B為圓心，大于AB的長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)C、D。2.過C、D兩點(diǎn)作直線。直線CD就是線段AB的垂直平分線。6.在直線AB外任取一點(diǎn)C，用該方法作出線段BC、AC的垂直平分線，你會發(fā)現(xiàn)什么？三角形三邊的垂直平分線交于一點(diǎn).這一點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等考點(diǎn)一：線段垂直平分線的性質(zhì)例1．如圖，三個(gè)村莊、、構(gòu)成，供奶站須到三個(gè)村莊的距離都相等，則供奶站應(yīng)建在（

）A．三條邊的垂直平分線的交點(diǎn) B．三個(gè)角的角平分線的交點(diǎn)C．三角形三條高的交點(diǎn) D．三角形三條中線的交點(diǎn)【答案】A【分析】本題考查了到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)是三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，據(jù)此解答即可．【詳解】解：依題意，供奶站應(yīng)建在三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)故選：A．【變式1-1】如圖，在中，邊的垂直平分線交．于點(diǎn)，，且，，則的周長是（

）A．7.5 B．5 C．8 D．6【答案】B【分析】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．熟練掌握線段的垂直平分線的性質(zhì)是解題法關(guān)鍵．根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到，再根據(jù)三角形的周長公式計(jì)算，得到答案．【詳解】解：是邊的垂直平分線，，的周長．故選：B．【變式1-2】如圖，在中，，，作邊的垂直平分線，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．若，則的長為．【答案】【分析】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)與判定，角平分線的性質(zhì)；根據(jù)題意得出，進(jìn)而根據(jù)角平分線的性質(zhì)，即可求解．【詳解】解：，，，是的垂直平分線，，，，，平分，，，，故答案為：．【變式1-3】如圖，在中，是的垂直平分線，．求證：點(diǎn)在的垂直平分線上．【答案】見解析【分析】本題主要考查了垂直平分線的性質(zhì)、垂直平分線的判定等知識點(diǎn)，掌握到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上成為解題的關(guān)鍵．如圖所示，連接，由垂直平分線的性質(zhì)可得，進(jìn)而得到，最后根據(jù)到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上即可證明結(jié)論．【詳解】解：如圖：連接，∵是的垂直平分線，∴，∵，∴，∴點(diǎn)在的垂直平分線上．考點(diǎn)二：線段垂直平分線的判定例2．在中國傳統(tǒng)戲劇《白蛇傳》中，許仙與白蛇在西湖斷橋之上以一把紅色油紙傘為媒，演繹了一段千古奇緣．如圖，油紙傘是我國傳統(tǒng)工藝品之一，傘圈D沿著傘柄滑動時(shí)，傘骨的點(diǎn)固定不動，且滿足，傘柄平分，當(dāng)點(diǎn)D在滑動的過程中，下列說法錯(cuò)誤的是（

）A． B．平分C．線段垂直平分線段 D．【答案】D【分析】本題主要考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的判定，先證明，得出，，，根據(jù)，，得出點(diǎn)A、D在線段的垂直平分線，證明線段垂直平分線段．【詳解】解：∵平分，∴，∵，，∴，∴，，，∴平分，∵，，∴點(diǎn)A、D在線段的垂直平分線，∴線段垂直平分線段，無法證明，故D符合題意，不符合題意．故選：D．【變式2-1】如圖，在中，以點(diǎn)A為圓心，的長為半徑作弧，與交于點(diǎn)E，分別以點(diǎn)E和點(diǎn)C為圓心、大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)P，作射線交于點(diǎn)D．若，，則的度數(shù)為(

)

A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了用直尺和圓規(guī)作角平分線，線段垂直平分線的性質(zhì)定理的逆定理，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識是解答本題的關(guān)鍵．由作法可知，，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)定理的逆定理，可得，，又因?yàn)?，根?jù)直角三角形兩銳角互余，可求得，即，再求出的度數(shù)，即得答案．【詳解】以點(diǎn)A為圓心，的長為半徑作弧，，分別以點(diǎn)E和點(diǎn)C為圓心、大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)P，，且，，，，，，，，．故選D．【變式2-2】如圖，一形狀為四邊形的風(fēng)箏（四邊形），測量得：，cm，cm，cm，則此風(fēng)箏的大小為（即四邊形的面積）cm2．

【答案】3360【分析】先證明是的垂直平分線，再利用對角線互相垂直的四邊形的面積是對角線乘積的一半即可求解．【詳解】∵，cm∴是的垂直平分線．∴∴cm2故答案是3360．【點(diǎn)睛】本題考查線段垂直平分線的判定和對角線互相垂直的四邊形的面積公式，證明對角線垂直和記憶公式是解題的關(guān)鍵．【變式2-3】如圖，已知銳角，，請用尺規(guī)作圖法，在內(nèi)部求作一點(diǎn)P．使．且．（保留作圖痕跡，不寫作法）【答案】見解析【分析】本題考查了作圖—復(fù)雜作圖，先作的平分線，再作的垂直平分線，直線交于點(diǎn)，則點(diǎn)即為所求，解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作，也考查了等腰三角形的性質(zhì)．【詳解】解：如圖，點(diǎn)即為所求，．考點(diǎn)三：作垂直平分線例3.下列尺規(guī)作圖中，A，B，C表示三個(gè)居民小區(qū)，為豐富居民們的文化生活，現(xiàn)準(zhǔn)備建一個(gè)文化廣場，使文化廣場中心P到三個(gè)小區(qū)的距離相等，能確定文化廣場中心P的位置的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題考查了作線段的垂直平分線，作、的垂直平分線，兩線交點(diǎn)即為所求作的點(diǎn)．掌握作線段的垂直平分線是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：要使文化廣場中心P到三個(gè)小區(qū)的距離相等，即：，∴點(diǎn)為的垂直平分線與的垂直平分線的交點(diǎn)，如圖，點(diǎn)即為所求，故選：B．【變式3-1】如圖，直線、、表示三條相互交叉的公路，交叉口分別為、、，形成一個(gè)，現(xiàn)要在三條公路形成的三角區(qū)域內(nèi)建一座加油站，要求到、、三個(gè)交叉口的距離相等，則加油站應(yīng)建在（

）

A．的三條高的交點(diǎn)處 B．的三條角平分線的交點(diǎn)處C．的三條中線的交點(diǎn)處 D．的三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)處【答案】D【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解答本題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等，∴要求到、、三個(gè)交叉口的距離相等，則加油站應(yīng)建在的三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)處．故選D．【變式3-2】如圖，已知，分別以點(diǎn)、為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于兩點(diǎn)，過這兩點(diǎn)作直線分別交、于點(diǎn)、，連接，若，的周長為，則的周長是．【答案】【分析】本題考查了作圖，基本作圖，線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握五種基本作圖方法，是解答本題的關(guān)鍵．由作圖得：垂直平分，故，，然后利用等線段代換計(jì)算的周長，由此得到答案．【詳解】解：由作圖得：垂直平分，，，的周長為，，，即，的周長是：，故答案為：．【變式3-3】如圖，在中，連接AC，請用尺規(guī)作圖法在線段AC上找一點(diǎn)F，連接BF，使得．（保留作圖痕跡，不寫作法）

【答案】見解析【分析】作的垂直平分線交于點(diǎn)F即可【詳解】解：要使，則F為垂直平分線上一點(diǎn)，即作的垂直平分線與的交點(diǎn)即為所求，分別以為圓心，以大于為半徑作弧，兩弧交于兩點(diǎn)，過這兩點(diǎn)作直線，與的交點(diǎn)F，則點(diǎn)F為所作．

【點(diǎn)睛】本題考查了尺規(guī)作圖——作線段的垂直平分線；解題的關(guān)鍵是熟練掌握作圖方法．1．如圖，在中，，線段的垂直平分線交于點(diǎn)D．若，則點(diǎn)D到點(diǎn)B的距離是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】本題考查中垂線的性質(zhì)，根據(jù)中垂線的性質(zhì)，得到，即可．【詳解】解：∵線段的垂直平分線交于點(diǎn)D，∴；故選B．2．到三角形各頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)是（）A．三條邊垂直平分線交點(diǎn)B．三個(gè)內(nèi)角平分線交點(diǎn)C．三條中線交點(diǎn)D．三條高交點(diǎn)【答案】A【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)：線段垂直平分線上點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．利用線段垂直平分線的性質(zhì)可確定三角形中到各頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)滿足的條件．【詳解】解：三角形三條邊垂直平分線交點(diǎn)到各頂點(diǎn)距離相等．故選：A．3．在平面內(nèi)，有一個(gè)點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，則這個(gè)點(diǎn)一定是三角形（

）A．三條角平分線的交點(diǎn) B．三條高線的交點(diǎn)C．三條中線的交點(diǎn) D．三條邊垂直平分線的交點(diǎn)【答案】D【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握線段垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等．根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)：線段垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等可得答案．【詳解】解：平面內(nèi)，有一點(diǎn)到三角形三頂點(diǎn)的距離相等，則這點(diǎn)一定是三角形的三邊垂直平分線的交點(diǎn)，故選：D．4．如圖，在中，的垂直平分線交于點(diǎn)，邊的垂直平分線交于點(diǎn)．已知的周長為，則的長為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)．利用線段垂直平分線的性質(zhì)“線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等”可得，，然后利用等量代換可得的周長，即可解答．【詳解】解：是的垂直平分線，，是的垂直平分線，，的周長，，，，的長為；故選：C．5．如圖，在中，，P為內(nèi)一點(diǎn)，過點(diǎn)P的直線分別交，于點(diǎn)E，F(xiàn)．若點(diǎn)E，F(xiàn)分別在，的垂直平分線上，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查線段垂直平分線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理．利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵．由線段垂直平分線的性質(zhì)可知，．再根據(jù)平角和三角形內(nèi)角和定理計(jì)算即可得出答案．【詳解】解：∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別在，的垂直平分線上，∴，．∵，∴．∵，∴．∵，即，∵，∴，∴，∴．故選：C．6．如圖，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn)，已知，的周長為，則的周長是（

）A．6 B． C．8 D．【答案】C【分析】由題意可知：垂直平分,故，結(jié)合，的周長為，即可得出答案．【詳解】解：∵點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，,∴垂直平分,∴，∵，的周長為，∴,∴,∴的周長是．故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了垂直平分線的性質(zhì)和判定，掌握垂直平分線的性質(zhì)和判定是解題的關(guān)鍵．7．如圖，在中，，AD，BE分別為BC、AC邊上的高，AD、BE相交于點(diǎn)F．下列結(jié)論：①；②；③；④若，則．正確的結(jié)論序號是（

）

A．①② B．①②④ C．②③④ D．①③④【答案】D【分析】根據(jù)垂直定義可得，再利用，得到，從而可證明，進(jìn)而得到，即可判斷①；根據(jù)，，即可判斷②，根據(jù)三角形面積公式和它們有一條公共邊可得，即可判斷③，若，根據(jù)可以得到，從而可得是的中點(diǎn)，然后可以推出是的垂直平分線，最后由線段垂直平分線的性質(zhì)即可判斷④．【詳解】解：，，，，，，，，，，，，，故①正確；，，，故②不正確；，，故③正確；，，，為的中點(diǎn)，，為線段的垂直平分線，，故④正確，所以，正確結(jié)論的序號是：①③④，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握手拉手模型旋轉(zhuǎn)型全等是解題的關(guān)鍵．8．如圖，在五邊形中，，，，，在、上分別找到一點(diǎn)M、N，使得的周長最小，則的度數(shù)為（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)要使的周長最小，即利用點(diǎn)的對稱，讓三角形的三邊在同一直線上，A關(guān)于和的對稱點(diǎn)，，即可得出，進(jìn)而得出即可得出答案．【詳解】解：作A關(guān)于和的對稱點(diǎn)，，連接，，交于M，交于N，則，即為的周長最小值．作延長線，

∵，∴，∴，∵，，且，，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了平面內(nèi)最短路線問題求法以及三角形的外角的性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)等知識，根據(jù)已知得出M，N的位置是解題關(guān)鍵．9．如圖，在中，的垂直平分線分別交、于點(diǎn)、，連接，若，，則的長．【答案】【分析】本題考查垂直平分線的知識，解題的關(guān)鍵是掌握垂直平分線的性質(zhì)，根據(jù)題意，則，根據(jù)，即可．【詳解】∵是的垂直平分線，∴，∵，，∴．故答案為：．10．如圖，點(diǎn)O是內(nèi)一點(diǎn)，且，則點(diǎn)O是的交點(diǎn)．

【答案】三邊的垂直平分線【分析】根據(jù)到線段兩端點(diǎn)相等的點(diǎn)在線段的中垂線上，即可得出結(jié)論【詳解】∵，∴點(diǎn)O是三邊的垂直平分線的交點(diǎn)；故答案為：三邊的垂直平分線．【點(diǎn)睛】本題考查垂直平分線的判定．熟練掌握到線段兩端點(diǎn)相等的點(diǎn)在線段的中垂線上，是解題的關(guān)鍵．11．在中，小明利用直尺和圓規(guī)進(jìn)行了下面的作圖：首先作的角平分線交于點(diǎn)D；然后作線段的垂直平分線交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F．據(jù)此，我們可以推出：線段與線段的關(guān)系為．【答案】互相垂直平分【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，證明，得到，即可得到線段與線段的關(guān)系為互相垂直平分．【詳解】解：設(shè)線段與線段交于H，∵線段的垂直平分線交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，∴，∵的角平分線交于點(diǎn)D，∴，又∵，∴，∴，∴線段與線段的關(guān)系為互相垂直平分．12．如圖，在中，以點(diǎn)A為圓心，的長為半徑作圓弧交于點(diǎn)D，再分別以點(diǎn)B和點(diǎn)D為圓心，大于的長為半徑作圓弧，兩弧分別交于點(diǎn)M和點(diǎn)N，連接交于點(diǎn)E．若的周長為15，，則的長為．【答案】8【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，作圖-基本作圖：熟練掌握5種基本作圖是解決問題的關(guān)鍵．利用基本作圖得到垂直平分，則根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，然后利用等線段代換，根據(jù)的周長為15可計(jì)算出的長．【詳解】解：由作法得垂直平分，∴，∵的周長為15，∴，∴，即，解得．故答案為：8．13．如圖，中，D是的中點(diǎn)，交于，則．【答案】10【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)的運(yùn)用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形，依據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等進(jìn)行求解，解題時(shí)注意：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等；線段垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等．先連接，過作于，根據(jù)角平分線的性質(zhì)以及中垂線的性質(zhì)，得出，進(jìn)而判定，即可得到，據(jù)此列出方程，求得的值，即可得到長．【詳解】解：連接，過作于，∵是的中點(diǎn)，，∴垂直平分，∴，∵，∴，又∵，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，設(shè)，則，，解得，，故答案為：10．14．如圖，在中，，垂足為D，PQ是BC邊的垂直平分線，交BC于點(diǎn)Q，交AC于點(diǎn)P，．若的周長是，，則的長是．【答案】/8厘米【分析】先根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到，，，再求出，，即可求出．【詳解】解：∵，，∴是線段的垂直平分線，∴，∵PQ是BC邊的垂直平分線，∴，，∴，∵的周長是，∴，∴，即，∵，，∴．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了線段垂直平分線的定義和性質(zhì)，熟知線段垂直平分線的性質(zhì)和定義，結(jié)合題意進(jìn)行線段的轉(zhuǎn)化是解題關(guān)鍵．15．如圖，在中，，分別以點(diǎn)A，C為圓心，大于的長為半徑面弧，兩弧相交于點(diǎn)M，N，連接，與，分別交于點(diǎn)D，E，連接．(1)若，則________；(2)若，的周長為12，求的周長．【答案】(1)5(2)21【分析】本題主要考查了垂直平分線的基本作圖，垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握垂直平分線的基本作圖方法，得出垂直平分．（1）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)進(jìn)行解答即可；（2）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得出，根據(jù)的周長為12，得出，即可得出答案．【詳解】（1）解：根據(jù)作圖可知：垂直平分，∴，∵，∴；（2）解：根據(jù)解析（1）可知：，∵的周長為12，∴，即．∵，∴的周長．16．(1)如圖所示圖形已經(jīng)給