第六章數(shù)列第3課時(shí)等比數(shù)列[考試要求]

1.理解等比數(shù)列的概念.2.掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式.3.了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系．鏈接教材·夯基固本1．等比數(shù)列的有關(guān)概念(1)定義：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第___項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于_______________，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列．這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的______，通常用字母q表示，定義的表達(dá)式為______＝q(n∈N*，q為非零常數(shù))．(2)等比中項(xiàng)：如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，那么______叫做a與b的等比中項(xiàng)，此時(shí)，G2＝ab.2同一個(gè)常數(shù)公比G提醒：①“G2＝ab”是“a，G，b成等比數(shù)列”的必要不充分條件．②在等比數(shù)列中，奇數(shù)項(xiàng)同號(hào)，偶數(shù)項(xiàng)同號(hào)．2．等比數(shù)列的有關(guān)公式(1)通項(xiàng)公式：an＝________＝amqn－m.(2)前n項(xiàng)和公式：提醒：求等比數(shù)列前n項(xiàng)和時(shí)，若公比q不明確，需分類討論．a(chǎn)1qn－1na13．等比數(shù)列的性質(zhì)ap·aq[常用結(jié)論]1．等比數(shù)列的單調(diào)性當(dāng)q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0時(shí)，{an}是遞增數(shù)列；當(dāng)q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0時(shí)，{an}是遞減數(shù)列；當(dāng)q＝1時(shí)，{an}是常數(shù)列．2．等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn可以寫成Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠1且q≠0)．一、易錯(cuò)易混辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)若等比數(shù)列{an}的公比q>1，則該數(shù)列單調(diào)遞增．(

)(2)滿足an＋1＝qan(n∈N*，q為常數(shù))的數(shù)列{an}為等比數(shù)列．(

)(3)如果正項(xiàng)數(shù)列{an}為等比數(shù)列，那么數(shù)列{lnan}是等差數(shù)列．(

)(5)若數(shù)列{an}為等比數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和，則S4，S8－S4，S12－S8成等比數(shù)列．(

)××√××二、教材經(jīng)典衍生√2．(人教A版選擇性必修第二冊(cè)P37例9改編)設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若S2＝3，S4＝15，則S6等于(

)A．31 B．32C．63 D．64C

[根據(jù)題意知，等比數(shù)列{an}的公比不是－1.由等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)，得(S4－S2)2＝S2·(S6－S4)，即122＝3×(S6－15)，解得S6＝63.]√3．(人教A版選擇性必修第二冊(cè)P34練習(xí)T1改編)在1和9之間插入三個(gè)數(shù)，使這五個(gè)數(shù)組成正項(xiàng)等比數(shù)列，則中間三個(gè)數(shù)的積等于_______.4．(人教A版選擇性必修第二冊(cè)P37練習(xí)T4改編)已知三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，若它們的和等于13，積等于27，則這三個(gè)數(shù)為________.A．30

B．±30

C．40

D．±40(2)(2023·全國(guó)甲卷)記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．若8S6＝7S3，則{an}的公比為____________.典例精研·核心考點(diǎn)

考點(diǎn)一等比數(shù)列基本量的運(yùn)算√(2)若q＝1，則由8S6＝7S3得8×6a1＝7×3a1，則a1＝0，不合題意，所以q≠1.當(dāng)q≠1時(shí)，因?yàn)?S6＝7S3，

等比數(shù)列基本量的運(yùn)算的解題策略(1)等比數(shù)列中有五個(gè)量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通過列方程(組)可使問題迎刃而解．(2)解方程組時(shí)常常利用“作商”消元法．提醒：運(yùn)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)，一定要注意對(duì)公比q的討論(q＝1或q≠1)，否則會(huì)漏解或增解．A．256 B．254C．128 D．126[跟進(jìn)訓(xùn)練]√(2)(2024·北京高考)漢代劉歆設(shè)計(jì)的“銅嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的標(biāo)準(zhǔn)量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形狀均可視為圓柱．若升、斗、斛量器的容積是公比為10的等比數(shù)列，底面直徑依次為65mm,325mm,325mm，且斛量器的高為230mm，則斗量器的高為____________mm，升量器的高為_________mm.(不計(jì)量器的厚度)

考點(diǎn)二等比數(shù)列的判定與證明[典例2]已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，記Sn為{an}的前n項(xiàng)和，從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明剩下的一個(gè)成立．①數(shù)列{an}是等比數(shù)列；②數(shù)列{Sn＋a1}是等比數(shù)列；③a2＝2a1.證明：選①②作為條件證明③：設(shè)Sn＋a1＝Aqn－1(A≠0)，則Sn＝Aqn－1－a1，當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝A－a1，所以A＝2a1；當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝Aqn－2(q－1)．選②③作為條件證明①：設(shè)Sn＋a1＝Aqn－1(A≠0)，則Sn＝Aqn－1－a1，當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝A－a1，所以A＝2a1；當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝Aqn－2(q－1)．

判定一個(gè)數(shù)列為等比數(shù)列的常見方法1．解答題的證明常用：2．僅判斷數(shù)列{an}是否為等比數(shù)列時(shí)：(1)通項(xiàng)公式法：若an＝Aqn(A，q是不為零的常數(shù))，則數(shù)列{an}是等比數(shù)列．(2)前n項(xiàng)和公式法．[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．已知Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，a4＝9a2，S3＝13，且公比q>0.(1)求an及Sn.(2)是否存在常數(shù)λ，使得數(shù)列{Sn＋λ}是等比數(shù)列？若存在，求出λ的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

考點(diǎn)三等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用[典例3]

(1)已知數(shù)列{an}為遞減的等比數(shù)列，n∈N*，且a2a7＝32，a3＋a6＝18，則{an}的公比為(

)√

應(yīng)用等比數(shù)列性質(zhì)的兩個(gè)關(guān)注點(diǎn)[跟進(jìn)訓(xùn)練]3．(1)在等比數(shù)列{an}中，若a1＋a2＝16，a3＋a4＝24，則a7＋a8等于(

)A．40

B．36C．54

D．81(2)(2023·全國(guó)乙卷)已知{an}為等比數(shù)列，a2a4a5＝a3a6，a9a10＝－8，則a7＝____________.(3)(2025·淄博模擬)已知等比數(shù)列{an}共有(2n＋1)項(xiàng)，a1＝1，所有奇數(shù)項(xiàng)的和為85，所有偶數(shù)項(xiàng)的和為42，則公比q＝________.√(1)C

(2)－2

(3)2

[(1)在等比數(shù)列{an}中，a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，a7＋a8成等比數(shù)列，因?yàn)閍1＋a2＝16，a3＋a4＝24，法二：設(shè)數(shù)列{an}的公比為q.因?yàn)閍4a5＝a3a6≠0，所以a2＝1.又a9a10＝a2q7·a2q8＝q15＝－8，于是q5＝－2，所以a7＝a2q5＝－2.(3)依題意，a1＋a3＋a5＋…＋a2n＋1＝85，a1＝1，即a2q