通項(xiàng)極限題庫(kù)及答案解析

單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.數(shù)列\(zhòng)(a_n=\frac{1}{n}\)的極限是（）A.0B.1C.不存在D.∞2.若\(\lim_{n\to\infty}a_n=A\)，\(\lim_{n\to\infty}b_n=B\)，則\(\lim_{n\to\infty}(a_n+b_n)\)等于（）A.\(A-B\)B.\(A+B\)C.\(AB\)D.\(\frac{A}{B}\)（\(B\neq0\)）3.數(shù)列\(zhòng)(a_n=3\)的極限是（）A.0B.3C.不存在D.∞4.\(\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+1}\)的值為（）A.0B.1C.\(\frac{1}{2}\)D.25.若\(\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=0\)，且\(\lim_{n\to\infty}b_n=\infty\)，則\(\lim_{n\to\infty}a_n\)為（）A.0B.∞C.不確定D.不存在6.數(shù)列\(zhòng)(a_n=(-1)^n\)的極限（）A.0B.1C.-1D.不存在7.\(\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^2}\)等于（）A.0B.1C.∞D(zhuǎn).不存在8.已知\(\lim_{n\to\infty}a_n=2\)，則\(\lim_{n\to\infty}3a_n\)等于（）A.2B.3C.6D.不確定9.數(shù)列\(zhòng)(a_n=\frac{n^2}{n^3+1}\)的極限是（）A.0B.1C.∞D(zhuǎn).不存在10.\(\lim_{n\to\infty}\frac{3n+1}{2n-1}\)的值為（）A.\(\frac{3}{2}\)B.\(\frac{1}{2}\)C.\(\frac{2}{3}\)D.1多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.以下數(shù)列極限為0的有（）A.\(a_n=\frac{1}{n^3}\)B.\(a_n=\frac{1}{2^n}\)C.\(a_n=\frac{n}{n^2+1}\)D.\(a_n=\frac{1}{n!}\)2.若\(\lim_{n\to\infty}a_n=A\)，\(\lim_{n\to\infty}b_n=B\)，則（）A.\(\lim_{n\to\infty}(a_n-b_n)=A-B\)B.\(\lim_{n\to\infty}(a_n\cdotb_n)=A\cdotB\)C.\(\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{A}{B}\)（\(B\neq0\)）D.\(\lim_{n\to\infty}(ka_n)=kA\)（\(k\)為常數(shù)）3.下列關(guān)于數(shù)列極限說(shuō)法正確的是（）A.有界數(shù)列不一定有極限B.無(wú)界數(shù)列一定沒有極限C.單調(diào)遞增有上界的數(shù)列必有極限D(zhuǎn).單調(diào)遞減有下界的數(shù)列必有極限4.數(shù)列極限存在的判定方法有（）A.夾逼準(zhǔn)則B.單調(diào)有界準(zhǔn)則C.定義法D.等價(jià)無(wú)窮小替換法5.以下哪些數(shù)列極限不存在（）A.\(a_n=n\)B.\(a_n=(-1)^nn\)C.\(a_n=\sinn\)D.\(a_n=\cosn\)6.若數(shù)列\(zhòng)(a_n\)的極限為\(A\)，則（）A.對(duì)任意\(\epsilon\gt0\)，存在\(N\)，當(dāng)\(n\gtN\)時(shí)，\(\verta_n-A\vert\lt\epsilon\)B.數(shù)列\(zhòng)(a_n\)去掉有限項(xiàng)后極限仍為\(A\)C.數(shù)列\(zhòng)(\verta_n\vert\)的極限為\(\vertA\vert\)D.若\(b_n=a_{n+1}\)，則\(\lim_{n\to\infty}b_n=A\)7.下列極限運(yùn)算正確的是（）A.\(\lim_{n\to\infty}(\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2})=0\)B.\(\lim_{n\to\infty}(\frac{n}{n+1}-\frac{1}{n})=1\)C.\(\lim_{n\to\infty}(\frac{1}{n}\cdot\frac{n}{n+1})=0\)D.\(\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{1}{n}}{\frac{1}{n^2}}=\infty\)8.關(guān)于數(shù)列極限與函數(shù)極限關(guān)系正確的是（）A.數(shù)列極限是函數(shù)極限的特殊情況B.若\(f(x)\)在\(x\to+\infty\)時(shí)極限存在，則數(shù)列\(zhòng)(a_n=f(n)\)極限也存在且相等C.函數(shù)極限可以用數(shù)列極限來(lái)定義D.二者沒有本質(zhì)聯(lián)系9.已知數(shù)列\(zhòng)(a_n\)和\(b_n\)，\(\lim_{n\to\infty}a_n=0\)，\(\lim_{n\to\infty}b_n=\infty\)，則（）A.\(\lim_{n\to\infty}a_nb_n\)可能為0B.\(\lim_{n\to\infty}a_nb_n\)可能為常數(shù)C.\(\lim_{n\to\infty}a_nb_n\)可能為\(\infty\)D.\(\lim_{n\to\infty}a_nb_n\)一定不存在10.以下能使數(shù)列極限為1的有（）A.\(a_n=\frac{n}{n}\)B.\(a_n=\frac{n+1}{n}\)C.\(a_n=\frac{n^2+1}{n^2}\)D.\(a_n=\frac{n-1}{n}\)判斷題（每題2分，共10題）1.數(shù)列\(zhòng)(a_n=\frac{1}{n}\)單調(diào)遞減且有下界。（）2.若數(shù)列\(zhòng)(a_n\)有極限，則數(shù)列\(zhòng)(a_n\)一定有界。（）3.\(\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{n}=1\)。（）4.數(shù)列\(zhòng)(a_n=(-1)^n\)有界但極限不存在。（）5.若\(\lim_{n\to\infty}a_n=A\)，\(\lim_{n\to\infty}b_n=B\)，則\(\lim_{n\to\infty}(a_n+b_n)=A+B\)恒成立。（）6.數(shù)列\(zhòng)(a_n=n^2\)的極限是\(\infty\)。（）7.用夾逼準(zhǔn)則求數(shù)列極限時(shí)，需要找到兩個(gè)極限相同的數(shù)列夾住目標(biāo)數(shù)列。（）8.單調(diào)數(shù)列一定有極限。（）9.若\(\lim_{n\to\infty}a_n=0\)，則對(duì)任意常數(shù)\(k\)，\(\lim_{n\to\infty}ka_n=0\)。（）10.數(shù)列極限\(\lim_{n\to\infty}a_n\)與數(shù)列的前有限項(xiàng)無(wú)關(guān)。（）簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）1.簡(jiǎn)述數(shù)列極限的定義。答：設(shè)\(\{a_n\}\)為數(shù)列，\(A\)為定數(shù)。若對(duì)任意給定的正數(shù)\(\epsilon\)，總存在正整數(shù)\(N\)，使得當(dāng)\(n\gtN\)時(shí)，有\(zhòng)(\verta_n-A\vert\lt\epsilon\)，則稱數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)收斂于\(A\)，定數(shù)\(A\)稱為數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的極限。2.簡(jiǎn)述單調(diào)有界準(zhǔn)則。答：?jiǎn)握{(diào)有界準(zhǔn)則是指單調(diào)遞增且有上界的數(shù)列必有極限，單調(diào)遞減且有下界的數(shù)列也必有極限。即數(shù)列的單調(diào)性和有界性可以保證數(shù)列極限的存在。3.用夾逼準(zhǔn)則求\(\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^2+n+1}+\frac{1}{n^2+n+2}+\cdots+\frac{1}{n^2+n+n}\)。答：因?yàn)閈(\frac{n}{n^2+n+n}\leq\frac{1}{n^2+n+1}+\frac{1}{n^2+n+2}+\cdots+\frac{1}{n^2+n+n}\leq\frac{n}{n^2+n+1}\)，而\(\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n^2+n+n}=\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n^2+n+1}=0\)，由夾逼準(zhǔn)則得極限為0。4.已知\(\lim_{n\to\infty}a_n=2\)，求\(\lim_{n\to\infty}\frac{a_n+1}{n}\)。答：\(\lim_{n\to\infty}\frac{a_n+1}{n}=\lim_{n\to\infty}(\frac{a_n}{n}+\frac{1}{n})\)，\(\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{n}=\lim_{n\to\infty}a_n\cdot\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=2\times0=0\)，\(\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0\)，所以\(\lim_{n\to\infty}\frac{a_n+1}{n}=0\)。討論題（每題5分，共4題）1.討論數(shù)列極限與函數(shù)極限在定義和性質(zhì)上的異同點(diǎn)。答：相同點(diǎn)：都描述自變量趨近某值時(shí)因變量的變化趨勢(shì)。不同點(diǎn)：定義上，數(shù)列極限自變量是正整數(shù)趨于無(wú)窮，函數(shù)極限自變量連續(xù)變化。性質(zhì)方面，都有唯一性等，但函數(shù)極限有局部有界性等在數(shù)列極限中表述不同。應(yīng)用場(chǎng)景也有差異。2.舉例說(shuō)明數(shù)列極限存在但數(shù)列不一定單調(diào)的情況。答：如數(shù)列\(zhòng)(a_n=\frac{(-1)^n}{n}\)，極限為0。它不單調(diào)，\(n\)為奇數(shù)時(shí)遞減，\(n\)為偶數(shù)時(shí)遞增。但隨著\(n\)增大，趨近于0，說(shuō)明極限存在時(shí)數(shù)列不一定單調(diào)。3.討論在求數(shù)列極限過(guò)程中，等價(jià)無(wú)窮小替換法的適用范圍和注意事項(xiàng)。答：適用范圍：在乘除運(yùn)算的數(shù)列極限中可適當(dāng)使用。注意事項(xiàng)：要準(zhǔn)確判斷無(wú)窮小量是否等價(jià)，且在加減運(yùn)算中一般不能隨意使用，因?yàn)榭赡芨淖儤O限值。