試題試題2024北京清華附中朝陽學校高一3月月考數學（朝陽學?！ねW校）2024年3月一、選擇題（每小題只有一個答案，每小題4分，共40分）1.已知向量，則（）A.1 B.2 C.6 D.1或者22.在中，已知，，，則（）A.1 B. C. D.33.已知，，，則與夾角的余弦值為（）A.－1 B. C.0 D.14.向量，，在邊長為1的正方形網格中的位置如圖所示，若為與同方向的單位向量，則（）A.1.5 B.2 C.-4.5 D.-35.已知平面向量，，則在方向上的投影向量為（）A. B.C. D.6.在平行四邊形中，為的重心，滿足，則（）A. B. C.0 D.7.為加快推進“5G+光網”雙千兆城市建設，如圖，在東北某地地面有四個5G基站A，B，C，D．已知C，D兩個基站建在松花江的南岸，距離為；基站A，B在江的北岸，測得，，，，則A，B兩個基站的距離為（）A. B.C. D.8.已知P是邊長為2的正六邊形ABCDEF內的一點，則的取值范圍是（）A. B.C. D.9.在中，，，則的形狀為（）A.直角三角形 B.三邊均不相等的三角形C.等邊三角形 D.等腰（非等邊）三角形10.折扇又名“紙扇”是一種用竹木或象牙做扇骨、韌紙或者綾絹做扇面的能折疊的扇子.某折扇如圖1所示，其平面圖為如圖2所示的扇形AOB，其半徑為3，，點E，F分別在，上，且，則的取值范圍是（）A. B.C. D.二、填空題（每小題5分，共30分）11.已知向量，，且，則________．12.在中，.則______.13.如圖，矩形中，，E是的中點，則_________．14.在中，，M為BC的中點，則_______．（用表示）15.如圖，某濕地為拓展旅游業(yè)務，現準備在濕地內建造一個觀景臺D．已知濕地夾在公路之間（的長度均超過），且．在公路上分別設有游客接送點E，F，．若要求觀景臺D建在E，F兩點連線的右側，并在觀景臺D與接送點E，F之間建造兩條觀光線路與，，則觀光線路與之和最長為___________．16.設的內角A，B，C所對的邊分別為，，且.若點D是外一點，，，下列說法中，正確的命題是______①的內角②一定是等邊三角形③四邊形面積的最大值為④四邊形面積無最大值三、解答題（共6個小題，共80分）17.已知向量，且向量與共線．（1）證明：；（2）求與夾角的余弦值；（3）若，求的值．18.在中，角的對邊分別為．（1）求的值；（2）求邊上的高．19.在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，．（1）求的值；（2）求c邊及的面積．20.在中，角的對邊分別為，已知．（1）當時，求的面積；（2）再從下列三個條件中選擇一個作為已知，使得三角形存在且唯一確定，并求的值．條件①：；條件②：；條件③：.21.的內角A、B、C的對邊分別為a，b，c，已知（1）求B；（2）若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍.22.在平面直角坐標系中，為坐標原點，對任意兩個向量，，作，．當，不共線時，記以，為鄰邊的平行四邊形的面積為；當，共線時，規(guī)定．（1）分別根據下列已知條件求：①，；②，；（2）若向量，求證：；（3）若A，B，C是以О為圓心的單位圓上不同的點，記，，．（i）當時，求的最大值；（ii）寫出的最大值．（只需寫出結果）

參考答案一、選擇題（每小題只有一個答案，每小題4分，共40分）1.【答案】D【分析】求出坐標，再根據列方程求解.【詳解】由已知，又，所以，解得1或者2故選：D.2.【答案】D【分析】利用余弦定理得到關于BC長度的方程，解方程即可求得邊長.【詳解】設，結合余弦定理：可得：，即：，解得：（舍去），故.故選：D.【點睛】利用余弦定理及其推論解三角形的類型：(1)已知三角形的三條邊求三個角；(2)已知三角形的兩邊及其夾角求第三邊及兩角；(3)已知三角形的兩邊與其中一邊的對角，解三角形．3.【答案】A【分析】先利用轉化法求得，再利用向量的夾角公式即可得解．【詳解】因為，，，所以，則，所以.故選：A.4.【答案】D【分析】首先建系，確定向量的坐標，根據向量數量積的坐標表示求解.【詳解】如圖，建立平面直角坐標系，由圖可知，，，則，所以.故選：D5.【答案】D【分析】由向量數量積求出在方向上的投影為，再結合投影向量的定義求解.【詳解】在方向上的投影為，又方向上的單位向量為，故在方向上的投影向量是.故選：D.6.【答案】A【分析】由題意作圖，根據重心的幾何性質，得到線段的比例關系，利用平面向量的運算，可得答案.【詳解】如圖，設與相交于點，為的重心，可得為的中點，，所以，因為，所以，則.故選：A.7.【答案】D【分析】根據題意可得，，利用正弦定理求出BC，進而結合余弦定理即可求出AB.【詳解】在中，，所以，有，所以，在中，，由正弦定理，得，在中，由余弦定理，得，所以，即兩個基站A、B之間的距離為.故選：D8.【答案】A【分析】首先根據題中所給的條件，結合正六邊形的特征，得到在方向上的投影的取值范圍是，利用向量數量積的定義式，求得結果.【詳解】的模為2，根據正六邊形的特征，可以得到在方向上的投影的取值范圍是，結合向量數量積的定義式，可知等于的模與在方向上的投影的乘積，所以的取值范圍是，故選：A.【點睛】該題以正六邊形為載體，考查有關平面向量數量積的取值范圍，涉及到的知識點有向量數量積的定義式，屬于簡單題目.9.【答案】D【分析】結合條件利用數量積的運算律得，再根據數量積的定義求得，即可判斷三角形的形狀.【詳解】因為，所以，所以，所以，所以，即，又，所以，所以，所以為等腰非等邊三角形.故選：D10.【答案】D【分析】利用向量的運算及數量積的定義求出數量積，結合余弦函數的值域即可求解范圍.【詳解】設，則，因為，所以，又，所以，所以，所以的取值范圍是.故選：D二、填空題（每小題5分，共30分）11.【答案】【分析】根據，結合數量積的運算求解即可.【詳解】，.故答案為：.12.【答案】##【分析】由題意，結合余弦定理計算直接得出結果.【詳解】由余弦定理，得，又所以，又，所以.故答案為：13.【答案】【分析】把都用表示，再根據數量積的運算律即可得解.【詳解】，，則.故答案為：.14.【答案】【詳解】解：，，所以。15.【答案】4【分析】利用余弦定理得到關于與的方程，借助基本不等式求的最大值.【詳解】在中，；在中，設，由余弦定理可得：，即：，即，因為，所以，，當且僅當時，取到最大值4，即與之和最長為4.故答案為：4.16.【答案】【分析】利用三角恒等變換化簡等式求出角B，即可判斷①②；由余弦定理可得，利用三角形面積公式和輔助角公式可得，結合三角函數的性質即可判斷③④.【詳解】①：，又，所以，由，得，又，所以或，而，所以，故①正確；②：由①知，，又，所以，故為等邊三角形，故②正確；③：由余弦定理，得，且，又，當時，取到最大值，且為，故③正確；④：由命題③可知，有最大值，故④錯誤.故答案為：①②③三、解答題（共6個小題，共80分）17.【答案】（1）證明見解析（2）（3）【分析】（1）根據向量共線得，列方程組解出，再利用向量垂直的坐標表示證明即可；（2）利用及向量數量積和模長的坐標表示求解即可；（3）利用向量數量積的運算律求解即可.【小問1詳解】因為向量與共線，所以，則，解得，所以，，因為，所以.【小問2詳解】由（1）得，所以，即與夾角的余弦值為.【小問3詳解】因為，，，所以，解得.18.【答案】（1）（2）【分析】（1）利用余弦定理即可求解.（2）先求出的面積，然后由，從而可求解.【小問1詳解】在中，由余弦定理，得，因為，所以．【小問2詳解】由，得，所以的面積為，設邊上的高為，則，故．19.【答案】（1）（2），的面積為【分析】（1）在中由正弦定理可得答案；（2）方法一：根據平方關系求出、，可得，利用正弦定理可得，再由可得答案；方法二：由余弦定理求出，再由平方關系求出，可得.【小問1詳解】因為，，所以在中，由正弦定理得，所以，故；【小問2詳解】方法一：由（1）知，所以，所以，又因為，所以，可得，所以，在中，，所以，；方法二：由余弦定理，，或，當時，即B為鈍角，∵，∴與B為鈍角矛盾，∴舍，∴，∵，∴，可得，.20.【答案】（1）（2）選①，三角形不存在；選②，三角形存在且唯一確定，；選③，三角形存在且唯一確定，【分析】（1）先利用余弦定理求出，然后由求出，再由三角形的面積公式可求得答案，（2）若選①，則由正弦定理得到與為鈍角矛盾，若選②，則由二倍角公式化簡后可求出，再利用兩角和的正弦公式可求出，然后利用正弦定理可求得結果，若選③，由正弦定理統(tǒng)一成角的形式后，化簡可求出角，然后利用正弦定理可求得結果.【小問1詳解】在中，，，∴由余弦定理得，，，解得：（舍），，，，，【小問2詳解】選條件①，，即，∴，或，與為鈍角矛盾，∴三角形不存在選條件②：由，得，所以，即，，，由正弦定理得，，選條件③：，，，得，，，，，，.21.【答案】（1）（2）【分析】（1）由正弦定理及三角形的性質化簡求值即可；（2）利用三角形面積公式得，根據正弦定理結合正切函數性質得，即可得解.【小問1詳解】由題設及正弦定理得，因為，所以,由，可得，故，因為，故，因為，則，因此；【小問2詳解】由題設及（1）知的面積，由正弦定理得，由于為銳角三