高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省蘇州市2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期中調(diào)研數(shù)學(xué)試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.函數(shù)的最小正周期是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)楹瘮?shù)，所以，故函數(shù)最小正周期為.故選：B.2.在平行四邊形中，（）A. B.C. D.【答案】A【解析】對(duì)于A，，故A正確；對(duì)于B，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，故D錯(cuò)誤.故選：A.3.已知，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】.故選：C4.函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】令，解得，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是.故選：D.5.中，，那么（）A. B. C. D.或【答案】A【解析】由正弦定理，得，則，即，因?yàn)?，所以，則.故選：A.6.某簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)可以用函數(shù)表示，把該函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)的初相等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后，得到函數(shù)，所以函數(shù)的初相等于.故選：C.7.“七巧板”是我國(guó)古代勞動(dòng)人民的偉大發(fā)明，被譽(yù)為“東方魔方”.某同學(xué)制作了一個(gè)“七巧板”玩具，如圖所示.其中正方形的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)分別是線段的中點(diǎn)，則（）A. B. C.14 D.20【答案】C【解析】以為原點(diǎn)，以所在的直線分別為軸和軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，因?yàn)檎叫芜呴L(zhǎng)為4，且點(diǎn)分別是線段的中點(diǎn)，可得，則，所以.故選：C.8.在平面直角坐標(biāo)系中，曲線與單位圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A.7 B.8 C.9 D.10【答案】B【解析】的最小正周期為，其中，故在單位圓上方，同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出單位圓和的圖象，在左右兩邊會(huì)有兩個(gè)交點(diǎn)，為④和⑤，可以看出共有8個(gè)交點(diǎn).故選：B二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.在中，（）A.若，則B.若，則為等腰三角形C.若，則為鈍角三角形D.若是銳角，，則為銳角三角形【答案】ACD【解析】對(duì)于A，設(shè)外接圓的半徑為，若，由正弦定理得，則，所以，所以A正確；對(duì)于B中，因?yàn)?，可得，且，若，可得或，即或，所以為等腰或直角三角形，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C中，因?yàn)?，可得，若，則，可得，即為鈍角，所以為鈍角三角形，所以C正確；對(duì)于D中，因?yàn)?，可得若，可得，由函?shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)，所以，即，又因?yàn)椋瑒t，所以為銳角三角形，所以D正確.故選：ACD.10.已知平面內(nèi)兩個(gè)非零向量與，則（）A.B.C.存在以為邊長(zhǎng)的三角形D.兩個(gè)不等式與中至少能成立一個(gè)【答案】AC【解析】對(duì)于A，設(shè)非零向量與的夾角為，由平面向量數(shù)量積的定義得，而，得到，故A正確，對(duì)于B，令，則，由向量的模長(zhǎng)公式得，，即不成立，故B錯(cuò)誤，對(duì)于C，令，則，由向量的模長(zhǎng)公式得，，得到，即存在以為邊長(zhǎng)的三角形，故C正確，對(duì)于D，令，則，，此時(shí)不滿足，也不滿足，即不滿足兩個(gè)不等式與中至少能成立一個(gè)，故D錯(cuò)誤.故選：AC11.已知函數(shù)，則（）A.是偶函數(shù)B.是周期函數(shù)C.當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上有最大值D.當(dāng)時(shí)，恒成立【答案】ACD【解析】對(duì)于A，因?yàn)?，所以是偶函?shù)，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，是周期函數(shù)；當(dāng)時(shí)，由周期函數(shù)的定義可知，若是周期函數(shù)，則有，已知的周期都是，但是使得的非零常數(shù)值卻不存在，所以不一定是周期函數(shù)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，當(dāng)時(shí)，，，有，，所以，所以上單調(diào)遞減，又因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以在上單調(diào)遞增，由圖象的對(duì)稱可知當(dāng)時(shí)，取得最大值且，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，令，則，令，可得，所以當(dāng)，，單調(diào)遞增，當(dāng)，，單調(diào)遞減，所以，即恒成立，故D正確.故選：ACD三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示，則__________.【答案】【解析】觀察函數(shù)圖象，得，函數(shù)的最小正周期，解得，由，得，而，則，則，所以.故答案為：13.在內(nèi)部（不包括邊界）有點(diǎn)，滿足，請(qǐng)寫出一個(gè)滿足題意的實(shí)數(shù)的值__________.（只要填寫一個(gè)即可）【答案】（答案不唯一，只要介于0和1即可）【解析】如圖所示，取點(diǎn)為的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)），可得，再取點(diǎn)為的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)），點(diǎn)為的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)），分別連接，則，所以四邊形為平行四邊形，由，可得，即，設(shè)，可得，由平行四邊形法則，當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，可得點(diǎn)在直線，要使得在內(nèi)部（不包含邊界），在點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)（不包含端點(diǎn)），所以，解得，所以其中一個(gè)可以是.故答案為：（答案不唯一，只要介于0和1即可）14.鈍角能使得等式成立，則該鈍角的值等于__________.【答案】【解析】依題意，，而是鈍角，所以.故答案為：四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.在中，，設(shè).（1）用分別表示；（2）若，求.解：（1）由，所以，所以，.（2）因?yàn)?，所以，所?16.在中，角的對(duì)邊分別為.三個(gè)內(nèi)角滿足.（1）求角的值；（2）如果，并且，求的周長(zhǎng).解：（1）在中，因?yàn)?，所?因?yàn)?，所以，即，所以，即，又因?yàn)槭侨切蔚膬?nèi)角，所以，所以.（2）由余弦定理可得，因?yàn)椋?，所以，又因?yàn)?，所以，解得或（舍去），所以，所以的周長(zhǎng)為.17.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的值域；（2）若，求的值.解：（1）依題意，，由，得，則，所以函數(shù)的值域是.（2）由（1）得，而，則，因此，，，所以.18.如圖，某休閑用地的中央?yún)^(qū)域是邊長(zhǎng)為2（百米）的等邊三角形，外圍是以，為圓心，2（百米）為半徑的圓弧.管理部門在矩形的三邊安裝燈帶（其中在圓弧上，都在線段上），記.（1）寫出燈帶的總長(zhǎng)度關(guān)于的函數(shù)，并求出該函數(shù)的值域；（2）管理部門還準(zhǔn)備在矩形內(nèi)部建造一個(gè)圓形噴泉，試求圓形噴泉半徑的最大值.解：（1）在直角三角形中，有，于是，由對(duì)稱性得，所以，所以燈帶長(zhǎng)，，其中，則，由正弦函數(shù)性質(zhì)得，則燈帶總長(zhǎng)度的值域是.（2）由題意得最大的圓的直徑是矩形的兩邊中的較小者，則，故.令，得到，解得（舍）或，故，記銳角滿足，于是當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，的最大值等于.故圓形噴泉半徑的最大值為（百米）.19.已知函數(shù)是正整數(shù)，.（1）求函數(shù)的值域；（2）記，解不等式；（3）當(dāng)時(shí)，求的最大值和最小值.解：（1）由題意，，記，有開口向下，對(duì)稱軸為，所以，時(shí)，單調(diào)遞增，時(shí)，單調(diào)遞減，故的最大值等于的最小值等于，所以的值域?yàn)?（2）由題意，，于，解得因?yàn)?，所以則或者，所以，即，所以原不等式的解集為.（3）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以的最大值為，最小值為.當(dāng)時(shí)，函數(shù)所以函數(shù)的最大，最小值均為1.當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以的政大值為，最小值為.當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以的最大值為，最小值為.下面討論正整數(shù)的情形：當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，對(duì)任意且，由于，以及，所以，從而.所以在上單調(diào)遞增，則的最大值為，最小值為.經(jīng)驗(yàn)證，時(shí)，也適合上述結(jié)論.當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，一方面因?yàn)閯t有.另一方面，由于對(duì)任意正整數(shù)，因?yàn)椋?，則有，，.函數(shù)的最大值為，最小值為.經(jīng)驗(yàn)證，時(shí)，也適合上述結(jié)論.綜上所述，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，函數(shù)的最大值為0，最小值為；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，函數(shù)的最大值為1，最小值為.江蘇省蘇州市2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期中調(diào)研數(shù)學(xué)試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.函數(shù)的最小正周期是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)楹瘮?shù)，所以，故函數(shù)最小正周期為.故選：B.2.在平行四邊形中，（）A. B.C. D.【答案】A【解析】對(duì)于A，，故A正確；對(duì)于B，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，故D錯(cuò)誤.故選：A.3.已知，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】.故選：C4.函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】令，解得，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是.故選：D.5.中，，那么（）A. B. C. D.或【答案】A【解析】由正弦定理，得，則，即，因?yàn)?，所以，則.故選：A.6.某簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)可以用函數(shù)表示，把該函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)的初相等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后，得到函數(shù)，所以函數(shù)的初相等于.故選：C.7.“七巧板”是我國(guó)古代勞動(dòng)人民的偉大發(fā)明，被譽(yù)為“東方魔方”.某同學(xué)制作了一個(gè)“七巧板”玩具，如圖所示.其中正方形的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)分別是線段的中點(diǎn)，則（）A. B. C.14 D.20【答案】C【解析】以為原點(diǎn)，以所在的直線分別為軸和軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，因?yàn)檎叫芜呴L(zhǎng)為4，且點(diǎn)分別是線段的中點(diǎn)，可得，則，所以.故選：C.8.在平面直角坐標(biāo)系中，曲線與單位圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A.7 B.8 C.9 D.10【答案】B【解析】的最小正周期為，其中，故在單位圓上方，同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出單位圓和的圖象，在左右兩邊會(huì)有兩個(gè)交點(diǎn)，為④和⑤，可以看出共有8個(gè)交點(diǎn).故選：B二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.在中，（）A.若，則B.若，則為等腰三角形C.若，則為鈍角三角形D.若是銳角，，則為銳角三角形【答案】ACD【解析】對(duì)于A，設(shè)外接圓的半徑為，若，由正弦定理得，則，所以，所以A正確；對(duì)于B中，因?yàn)?，可得，且，若，可得或，即或，所以為等腰或直角三角形，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C中，因?yàn)?，可得，若，則，可得，即為鈍角，所以為鈍角三角形，所以C正確；對(duì)于D中，因?yàn)?，可得若，可得，由函?shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)，所以，即，又因?yàn)椋瑒t，所以為銳角三角形，所以D正確.故選：ACD.10.已知平面內(nèi)兩個(gè)非零向量與，則（）A.B.C.存在以為邊長(zhǎng)的三角形D.兩個(gè)不等式與中至少能成立一個(gè)【答案】AC【解析】對(duì)于A，設(shè)非零向量與的夾角為，由平面向量數(shù)量積的定義得，而，得到，故A正確，對(duì)于B，令，則，由向量的模長(zhǎng)公式得，，即不成立，故B錯(cuò)誤，對(duì)于C，令，則，由向量的模長(zhǎng)公式得，，得到，即存在以為邊長(zhǎng)的三角形，故C正確，對(duì)于D，令，則，，此時(shí)不滿足，也不滿足，即不滿足兩個(gè)不等式與中至少能成立一個(gè)，故D錯(cuò)誤.故選：AC11.已知函數(shù)，則（）A.是偶函數(shù)B.是周期函數(shù)C.當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上有最大值D.當(dāng)時(shí)，恒成立【答案】ACD【解析】對(duì)于A，因?yàn)?，所以是偶函?shù)，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，是周期函數(shù)；當(dāng)時(shí)，由周期函數(shù)的定義可知，若是周期函數(shù)，則有，已知的周期都是，但是使得的非零常數(shù)值卻不存在，所以不一定是周期函數(shù)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，當(dāng)時(shí)，，，有，，所以，所以上單調(diào)遞減，又因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以在上單調(diào)遞增，由圖象的對(duì)稱可知當(dāng)時(shí)，取得最大值且，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，令，則，令，可得，所以當(dāng)，，單調(diào)遞增，當(dāng)，，單調(diào)遞減，所以，即恒成立，故D正確.故選：ACD三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示，則__________.【答案】【解析】觀察函數(shù)圖象，得，函數(shù)的最小正周期，解得，由，得，而，則，則，所以.故答案為：13.在內(nèi)部（不包括邊界）有點(diǎn)，滿足，請(qǐng)寫出一個(gè)滿足題意的實(shí)數(shù)的值__________.（只要填寫一個(gè)即可）【答案】（答案不唯一，只要介于0和1即可）【解析】如圖所示，取點(diǎn)為的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)），可得，再取點(diǎn)為的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)），點(diǎn)為的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)），分別連接，則，所以四邊形為平行四邊形，由，可得，即，設(shè)，可得，由平行四邊形法則，當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，可得點(diǎn)在直線，要使得在內(nèi)部（不包含邊界），在點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)（不包含端點(diǎn)），所以，解得，所以其中一個(gè)可以是.故答案為：（答案不唯一，只要介于0和1即可）14.鈍角能使得等式成立，則該鈍角的值等于__________.【答案】【解析】依題意，，而是鈍角，所以.故答案為：四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.在中，，設(shè).（1）用分別表示；（2）若，求.解：（1）由，所以，所以，.（2）因?yàn)?，所以，所?16.在中，角的對(duì)邊分別為.三個(gè)內(nèi)角滿足.（1）求角的值；（2）如果，并且，求的周長(zhǎng).解：（1）在中，因?yàn)?，所?因?yàn)?，所以，即，所以，即，又因?yàn)槭侨切蔚膬?nèi)角，所以，所以.（2）由余弦定理可得，因?yàn)?，，所以，又因?yàn)?，所以，解得或（舍去），所以，所以的周長(zhǎng)為.17.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的值域；（2）若，求的值.解：（1）依題意，，由，得，則，所以函數(shù)的值域是.（2）由（1）得，而，則，因此，，，所以.18.如圖，某休閑用地的中央?yún)^(qū)域是邊長(zhǎng)為2（百米）的等邊三角形，外圍是以，為圓心，2（百米）為半徑的圓弧.管理部門在矩形的三邊安裝燈帶（其中在圓弧上，都在線段上），記.（1）寫出燈帶的總長(zhǎng)度關(guān)于的函數(shù)，并求出該函