高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖南省名校聯(lián)考聯(lián)合體2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由已知當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，無意義，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以.故選：.2.復(fù)數(shù)，其中為虛數(shù)單位，則的共軛復(fù)數(shù)為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因?yàn)?，所?故選：.3.已知，，若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?，，所以，所以，可得，所以，故選：B.4.已知函數(shù)的最小正周期為，則（）A.2 B.3 C.1 D.【答案】C【解析】由題意得，解得.故選：C.5.小李一家打算去張家界或長(zhǎng)沙旅游，去張家界與長(zhǎng)沙的概率分別為0.6，0.4，在張家界去徒步爬山的概率為0.5，在長(zhǎng)沙去徒步爬山的概率為0.6，則小李一家旅游時(shí)去徒步爬山的概率為（）A.0.54 B.0.56 C.0.58 D.0.6【答案】A【解析】記小李一家去張家界為事件，去長(zhǎng)沙為事件，去徒步爬山為事件，則、、、，所以，即小李一家旅游時(shí)去徒步爬山的概率為.故選：A6.已知分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)是雙曲線上在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，若，且，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，，又，，所以，所以，所以，所?故選：.7.棱長(zhǎng)為3的正方體中，為棱靠近的三等分點(diǎn)，為棱靠近的三等分點(diǎn)，則三棱錐的外接球表面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】依題意可得，，在中由余弦定理，所以，則外接圓的半徑，又且平面，設(shè)三棱錐的外接球的半徑為，則，所以外接球的表面積.故選：D8.已知各項(xiàng)均不為零的數(shù)列，其前項(xiàng)和為，且.下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A.B.不存在實(shí)數(shù)，使為遞減數(shù)列C.存在實(shí)數(shù)，使得為等比數(shù)列D.，使得當(dāng)時(shí)，總有【答案】C【解析】由得，相減可得，，由于各項(xiàng)均不為零，所以，所以奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別為公差為的等差數(shù)列，對(duì)于A，因?yàn)椋?，故A正確；對(duì)于B，由于的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別為公差為的等差數(shù)列，且，，所以，，所以，所以不可能為遞減數(shù)列，即不存在實(shí)數(shù)，使為遞減數(shù)列，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)椋?，若為等比?shù)列，則為常數(shù)，則，此時(shí)，故，，進(jìn)而可得數(shù)列的項(xiàng)為顯然這不是等比數(shù)列，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D，若，只要足夠大，一定會(huì)有，則，只要足夠的大，趨近于0，而，顯然能滿足，故，當(dāng)時(shí)，總有，故D正確，故選：C.二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列說法正確的是（）A.在的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)和為32B.在展開式中常數(shù)項(xiàng)為C.在的展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是第5項(xiàng)D.在的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為【答案】ABD【解析】對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)?，所以二?xiàng)式系數(shù)和為，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：的展開式常數(shù)項(xiàng)為，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：的展開式通項(xiàng)為，可知第項(xiàng)的系數(shù)為，即為二項(xiàng)式系數(shù)，所以當(dāng)，即第6項(xiàng)的系數(shù)最大，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：令，可得展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為，故D正確；故選：ABD.10.已知拋物線的焦點(diǎn)為，過焦點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在第二象限），則（）A.可能為等邊三角形B.C.若直線的傾斜角為，則D.若直線的傾斜角為，則的面積為【答案】BC【解析】由已知可得，設(shè)直線的方程為，設(shè)，，由得，所以，，對(duì)于，若為等邊三角形，則，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可得此時(shí)直線與軸垂直，且，，所以，，所以不可能為等邊三角形，故錯(cuò)誤；對(duì)于，因?yàn)?，，所以，因?yàn)閮牲c(diǎn)在拋物線上，所以，，所以，所以，故正確；對(duì)于，若直線的傾斜角為，所以，所以，，所以，故正確；對(duì)于，若直線的傾斜角為，直線的方程為，即，所以到直線的距離為，所以，故錯(cuò)誤.故選：.11.已知函數(shù)，其中為正整數(shù),且為常數(shù)，是函數(shù)大于的零點(diǎn)，其構(gòu)成數(shù)列，則（）A.函數(shù)不可能有三個(gè)零點(diǎn)B.函數(shù)的減區(qū)間為C.對(duì)于任意的，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)均存在零點(diǎn)，則D.存在實(shí)數(shù)使得數(shù)列的部分項(xiàng)構(gòu)成無窮等比數(shù)列【答案】ACD【解析】對(duì)于A：因?yàn)?，所以，所以在定義域上單調(diào)遞增，所以函數(shù)不可能有三個(gè)零點(diǎn)，故A正確；對(duì)于B：因?yàn)椋?，令，解得，所以函?shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：當(dāng)時(shí)，恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，所以函數(shù)在內(nèi)均存在零點(diǎn)只需滿足即可，即，所以，所以且，又為正整數(shù)，所以，即，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：令，解得，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，，所以是上的嚴(yán)格增函數(shù)，所以．所以．所以是恒為的常數(shù)列，故存在實(shí)數(shù)使得數(shù)列的部分項(xiàng)構(gòu)成無窮等比數(shù)列，故D正確．故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則______.【答案】4【解析】因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，則，即，可得公差，所以.故答案為：4.13.某班一天上午有4節(jié)課，下午有3節(jié)課，現(xiàn)要安排該班一天中語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)、物理、化學(xué)、政治，體育7堂課的課程表，要求數(shù)學(xué)課、物理課都排在上午，且數(shù)學(xué)課、物理課不連排，體育課排在下午，不同排法種數(shù)是__________.用數(shù)字作答）【答案】432【解析】數(shù)學(xué)課、物理課都排在上午，且不連排的排法數(shù)為；體育課排在下午的排法數(shù)為；將余下4門課程排入課程表有種方法，所以所求不同排法種數(shù)是.故答案為：43214.已知在平面直角坐標(biāo)系中，，動(dòng)點(diǎn)滿足，則的取值范圍是__________.【答案】【解析】設(shè)點(diǎn)，依題意可得，即，則，所以，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，由，解得，所以，則，所以.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.人工智能（簡(jiǎn)稱）相關(guān)技術(shù)首先在互聯(lián)網(wǎng)開始應(yīng)用，然后陸續(xù)普及到其他行業(yè).某公司推出的軟件主要有四項(xiàng)功能：“視頻創(chuàng)作”“圖像修復(fù)”“語(yǔ)言翻譯”“智繪設(shè)計(jì)”.為了解某地區(qū)大學(xué)生對(duì)這款軟件的使用情況，從該地區(qū)隨機(jī)抽取了100名大學(xué)生，統(tǒng)計(jì)他們最喜愛使用的軟件功能（每人只能選一項(xiàng)），統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：軟件功能視頻創(chuàng)作圖像修復(fù)語(yǔ)言翻譯智繪設(shè)計(jì)大學(xué)生人數(shù)30203020假設(shè)大學(xué)生對(duì)軟件的喜愛傾向互不影響.（1）從該地區(qū)的大學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，試估計(jì)此人最喜愛“視頻創(chuàng)作”的概率；（2）采用按比例分配的分層抽樣的方式從最喜愛“視頻創(chuàng)作”和“圖像修復(fù)”的大學(xué)生中隨機(jī)抽取5人，再?gòu)倪@5人中隨機(jī)抽取2人，其中最喜愛“視頻創(chuàng)作”的人數(shù)為，求的分布列，數(shù)學(xué)期望以及方差.解：（1）由表格中的數(shù)據(jù)，可得該地區(qū)的100名大學(xué)生中“視頻創(chuàng)作”的人生為30人，所以該地區(qū)的大學(xué)生最喜愛“視頻創(chuàng)作”的概率為.（2）在該地區(qū)的100名大學(xué)生中“視頻創(chuàng)作”和“圖象修復(fù)”的人數(shù)分別為30人和20人，采用分層抽樣的方式從最喜愛“視頻創(chuàng)作”和“圖像修復(fù)”的大學(xué)生中隨機(jī)抽取5人，可得“視頻創(chuàng)作”和“圖象修復(fù)”的人數(shù)分別為3人和2人，從這5人中隨機(jī)抽取2人，其中“視頻創(chuàng)作”的人數(shù)為，可得的可能取值為，則，所以隨機(jī)變量的分布列為：012則期望，方差為.16.在中，分別為角的對(duì)邊，.（1）求角的大??；（2）若為的中點(diǎn)，，的面積為，求的周長(zhǎng).解：（1）因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以，即；?）因?yàn)榈拿娣e為，所以，所以，所以，因?yàn)椋?，所以，所以，，由余弦定理可得，解得，所以，所以的周長(zhǎng)為.17.已知函數(shù)，為實(shí)數(shù).（1）若函數(shù)在處的切線經(jīng)過點(diǎn)，求的值；（2）若有極小值，且極小值大于2，求的取值范圍；（3）若對(duì)任意的，且恒成立，求的取值范圍.（為自然常數(shù)）解：（1）因?yàn)?，所以，所以，又，所以函?shù)在處的切線方程為，因?yàn)榍芯€經(jīng)過點(diǎn)，所以，解得；（2）由（1）知，函數(shù)的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，無極值，當(dāng)時(shí)，令，得，所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極小值，極小值為，由，所以，所以的取值范圍為；（3）由得，令，所以對(duì)任意的，且，恒成立，所以在單調(diào)遞減，所以在上恒成立，所以在上恒成立，因?yàn)槎魏瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上的最小值為，所以.18.如圖,矩形中為中點(diǎn),將沿著折疊至.（1）證明：平面；（2）設(shè)平面平面，點(diǎn).（i）當(dāng)為何值時(shí)，直線與平面所成角的正弦值為；（ii）在滿足條件（i）的情況下,過作一截面,與棱分別交于點(diǎn)，且平面，記四棱錐的體積為，四棱錐的體積為，求.解：（1）由題意得，，，所以，即，∵，所以，即，又平面，所以平面；（2）（i）∵,平面,平面,所以平面,又平面,平面平面，所以以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、為軸和軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則∵，∴,∴，設(shè)平面的法向量為，則即令得,∴，記直線與平面所成角為,則，化簡(jiǎn)得，解得，所以.（ii）由（i）知，，,即(三等分點(diǎn))，又∵平面，∴，∴(三等分點(diǎn))，∵，，∴四邊形為平行四邊形，∴即(四等分點(diǎn))，∴又∵∴.19.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)分別是橢圓的右頂點(diǎn)、上頂點(diǎn)、左頂點(diǎn)，若的離心率為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知兩點(diǎn)，其中點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)（不含端點(diǎn)），與關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，直線與橢圓的另一交點(diǎn)為點(diǎn)，直線與橢圓的另一交點(diǎn)為點(diǎn)，設(shè)直線的斜率分別為，直線的斜率分別為.（i）求的面積的最大值；（ii）求證：為定值，并求出該定值.解：（1）依題意可得，解得，所以橢圓方程為；（2）（i）設(shè)為點(diǎn)到直線的距離，所以的面積顯然當(dāng)過點(diǎn)且與直線平行的直線與橢圓相切時(shí)取得最大值，因?yàn)?，，所以，設(shè)直線的方程為，即，由，整理得，由，解得（正值舍去），所以直線的方程為，又到直線的距離，所以的最大值為，則；（ii）設(shè)，則，所以，又直線的方程為，由，整理得，所以，則，即，同理可得，所以，因?yàn)?，所以，則，所以，所以.湖南省名校聯(lián)考聯(lián)合體2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由已知當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，無意義，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以.故選：.2.復(fù)數(shù)，其中為虛數(shù)單位，則的共軛復(fù)數(shù)為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因?yàn)?，所?故選：.3.已知，，若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)椋?，所以，所以，可得，所以，故選：B.4.已知函數(shù)的最小正周期為，則（）A.2 B.3 C.1 D.【答案】C【解析】由題意得，解得.故選：C.5.小李一家打算去張家界或長(zhǎng)沙旅游，去張家界與長(zhǎng)沙的概率分別為0.6，0.4，在張家界去徒步爬山的概率為0.5，在長(zhǎng)沙去徒步爬山的概率為0.6，則小李一家旅游時(shí)去徒步爬山的概率為（）A.0.54 B.0.56 C.0.58 D.0.6【答案】A【解析】記小李一家去張家界為事件，去長(zhǎng)沙為事件，去徒步爬山為事件，則、、、，所以，即小李一家旅游時(shí)去徒步爬山的概率為.故選：A6.已知分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)是雙曲線上在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，若，且，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，，又，，所以，所以，所以，所?故選：.7.棱長(zhǎng)為3的正方體中，為棱靠近的三等分點(diǎn)，為棱靠近的三等分點(diǎn)，則三棱錐的外接球表面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】依題意可得，，在中由余弦定理，所以，則外接圓的半徑，又且平面，設(shè)三棱錐的外接球的半徑為，則，所以外接球的表面積.故選：D8.已知各項(xiàng)均不為零的數(shù)列，其前項(xiàng)和為，且.下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A.B.不存在實(shí)數(shù)，使為遞減數(shù)列C.存在實(shí)數(shù)，使得為等比數(shù)列D.，使得當(dāng)時(shí)，總有【答案】C【解析】由得，相減可得，，由于各項(xiàng)均不為零，所以，所以奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別為公差為的等差數(shù)列，對(duì)于A，因?yàn)?，所以，故A正確；對(duì)于B，由于的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別為公差為的等差數(shù)列，且，，所以，，所以，所以不可能為遞減數(shù)列，即不存在實(shí)數(shù)，使為遞減數(shù)列，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，，若為等比?shù)列，則為常數(shù)，則，此時(shí)，故，，進(jìn)而可得數(shù)列的項(xiàng)為顯然這不是等比數(shù)列，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D，若，只要足夠大，一定會(huì)有，則，只要足夠的大，趨近于0，而，顯然能滿足，故，當(dāng)時(shí)，總有，故D正確，故選：C.二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列說法正確的是（）A.在的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)和為32B.在展開式中常數(shù)項(xiàng)為C.在的展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是第5項(xiàng)D.在的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為【答案】ABD【解析】對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)?，所以二?xiàng)式系數(shù)和為，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：的展開式常數(shù)項(xiàng)為，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：的展開式通項(xiàng)為，可知第項(xiàng)的系數(shù)為，即為二項(xiàng)式系數(shù)，所以當(dāng)，即第6項(xiàng)的系數(shù)最大，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：令，可得展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為，故D正確；故選：ABD.10.已知拋物線的焦點(diǎn)為，過焦點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在第二象限），則（）A.可能為等邊三角形B.C.若直線的傾斜角為，則D.若直線的傾斜角為，則的面積為【答案】BC【解析】由已知可得，設(shè)直線的方程為，設(shè)，，由得，所以，，對(duì)于，若為等邊三角形，則，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可得此時(shí)直線與軸垂直，且，，所以，，所以不可能為等邊三角形，故錯(cuò)誤；對(duì)于，因?yàn)?，，所以，因?yàn)閮牲c(diǎn)在拋物線上，所以，，所以，所以，故正確；對(duì)于，若直線的傾斜角為，所以，所以，，所以，故正確；對(duì)于，若直線的傾斜角為，直線的方程為，即，所以到直線的距離為，所以，故錯(cuò)誤.故選：.11.已知函數(shù)，其中為正整數(shù),且為常數(shù)，是函數(shù)大于的零點(diǎn)，其構(gòu)成數(shù)列，則（）A.函數(shù)不可能有三個(gè)零點(diǎn)B.函數(shù)的減區(qū)間為C.對(duì)于任意的，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)均存在零點(diǎn)，則D.存在實(shí)數(shù)使得數(shù)列的部分項(xiàng)構(gòu)成無窮等比數(shù)列【答案】ACD【解析】對(duì)于A：因?yàn)椋?，所以在定義域上單調(diào)遞增，所以函數(shù)不可能有三個(gè)零點(diǎn)，故A正確；對(duì)于B：因?yàn)?，所以，令，解得，所以函?shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：當(dāng)時(shí)，恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，所以函數(shù)在內(nèi)均存在零點(diǎn)只需滿足即可，即，所以，所以且，又為正整數(shù)，所以，即，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：令，解得，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，，所以是上的嚴(yán)格增函數(shù)，所以．所以．所以是恒為的常數(shù)列，故存在實(shí)數(shù)使得數(shù)列的部分項(xiàng)構(gòu)成無窮等比數(shù)列，故D正確．故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則______.【答案】4【解析】因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，則，即，可得公差，所以.故答案為：4.13.某班一天上午有4節(jié)課，下午有3節(jié)課，現(xiàn)要安排該班一天中語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)、物理、化學(xué)、政治，體育7堂課的課程表，要求數(shù)學(xué)課、物理課都排在上午，且數(shù)學(xué)課、物理課不連排，體育課排在下午，不同排法種數(shù)是__________.用數(shù)字作答）【答案】432【解析】數(shù)學(xué)課、物理課都排在上午，且不連排的排法數(shù)為；體育課排在下午的排法數(shù)為；將余下4門課程排入課程表有種方法，所以所求不同排法種數(shù)是.故答案為：43214.已知在平面直角坐標(biāo)系中，，動(dòng)點(diǎn)滿足，則的取值范圍是__________.【答案】【解析】設(shè)點(diǎn)，依題意可得，即，則，所以，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，由，解得，所以，則，所以.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.人工智能（簡(jiǎn)稱）相關(guān)技術(shù)首先在互聯(lián)網(wǎng)開始應(yīng)用，然后陸續(xù)普及到其他行業(yè).某公司推出的軟件主要有四項(xiàng)功能：“視頻創(chuàng)作”“圖像修復(fù)”“語(yǔ)言翻譯”“智繪設(shè)計(jì)”.為了解某地區(qū)大學(xué)生對(duì)這款軟件的使用情況，從該地區(qū)隨機(jī)抽取了100名大學(xué)生，統(tǒng)計(jì)他們最喜愛使用的軟件功能（每人只能選一項(xiàng)），統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：軟件功能視頻創(chuàng)作圖像修復(fù)語(yǔ)言翻譯智繪設(shè)計(jì)大學(xué)生人數(shù)30203020假設(shè)大學(xué)生對(duì)軟件的喜愛傾向互不影響.（1）從該地區(qū)的大學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，試估計(jì)此人最喜愛“視頻創(chuàng)作”的概率；（2）采用按比例分配的分層抽樣的方式從最喜愛“視頻創(chuàng)作”和“圖像修復(fù)”的大學(xué)生中隨機(jī)抽取5人，再?gòu)倪@5人中隨機(jī)抽取2人，其中最喜愛“視頻創(chuàng)作”的人數(shù)為，求的分布列，數(shù)學(xué)期望以及方差.解：（1）由表格中的數(shù)據(jù)，可得該地區(qū)的100名大學(xué)生中“視頻創(chuàng)作”的人生為30人，所以該地區(qū)的大學(xué)生最喜愛“視頻創(chuàng)作”的概率為.（2）在該地區(qū)的100名大學(xué)生中“視頻創(chuàng)作”和“圖象修復(fù)”的人數(shù)分別為30人和20人，采用分層抽樣的方式從最喜愛“視頻創(chuàng)作”和“圖像修復(fù)”的大學(xué)生中隨機(jī)抽取5人，可得“視頻創(chuàng)作”和“圖象修復(fù)”的人數(shù)分別為3人和2人，從這5人中隨機(jī)抽取2人，其中“視頻創(chuàng)作”的人數(shù)為，可得的可能取值為，則，所以隨機(jī)變量的分布列為：012則期望，方差為.16.在中，分別為角的對(duì)邊，.（1）求角的大?。唬?）若為的中點(diǎn)，，的面積為，求的周長(zhǎng).解：（1）因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以，即；?）因?yàn)榈拿娣e為，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，，由余弦定理可得，解得，所以，所以的周長(zhǎng)為.17.已知函數(shù)，為實(shí)數(shù).（1）若函數(shù)在處的切線經(jīng)過點(diǎn)，求的值；（2）若有極小值，且極小值大于2，求的取值范圍；（3）若對(duì)任意的，且恒成立，求的取值范圍.（為自然常數(shù)）解：（1）因?yàn)椋?，所以，又，所以函?shù)在處的切線方程為，因?yàn)榍芯€經(jīng)過點(diǎn)，所以，解得；（2）由（1）知，函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，在上恒成