高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖南省2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期11月期中數(shù)學(xué)試題考生注意：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將考生號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.命題“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】因?yàn)槿Q量詞命題的否定方法為：改量詞，否結(jié)論，所以“，”的否定是，.故選：B.2.已知全集，集合滿足，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由題意得，所以ABC錯(cuò)，D正確.故選：D.3.已知函數(shù)，則（）A.6 B.2 C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，所?故選：D.4.計(jì)算：（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)?，，所?故選：C.5.若為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)（）A.1 B.3 C.4 D.6【答案】B【解析】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，即，解得，此時(shí)，其定義域?yàn)?，且，即為奇函?shù)，所以滿足題意.故選：B.6.已知函數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢. B.C. D.【答案】A【解析】因?yàn)?，由得：，所以的定義域?yàn)椋海傻?，所以，故的定義域?yàn)椋?故選：A7.若，且，則的最小值為（）A.1 B.C. D.【答案】D【解析】因?yàn)椋?，又，所以，令，，則，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為.故選：D.8.已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)，且時(shí)，都有，若，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因?yàn)楫?dāng)，且時(shí)，都有，所以，令，則在上單調(diào)遞增，又是定義在上的奇函數(shù)，的定義域?yàn)?，且，所以是偶函?shù)，，所以在上單調(diào)遞減，對(duì)于，顯然不滿足不等式，因?yàn)?，所以，則，當(dāng)時(shí)，得，即，所以，則；當(dāng)時(shí)，，即，所以，則；綜上，或，即.故選：B.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知，則函數(shù)的大致圖象可能為（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，且，所以圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故B正確；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，且，所以圖象關(guān)于軸對(duì)稱，故A正確；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，故D錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，，且，所以圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，與C不符合，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，，且，所以圖象關(guān)于軸對(duì)稱，故C正確.故選：ABC10.若，且，則（）A. B.C. D.【答案】AB【解析】對(duì)于A，因?yàn)?，，所以，，所以，而，所以，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)椋?，所以，，所以，由選項(xiàng)A知，所以，故B正確；對(duì)于C，取，滿足，且，但，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，取，滿足，且，但，故D錯(cuò)誤.故選：AB.11.對(duì)任意實(shí)數(shù)，定義為不大于的最大整數(shù)，如，，.設(shè)函數(shù)，則（）A.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱 B.，C.在上單調(diào)遞增 D.在上單調(diào)遞減【答案】BD【解析】對(duì)于A，因?yàn)?，所以，，即，而，所以的圖象不可能關(guān)于直線對(duì)稱，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)闉椴淮笥诘淖畲笳麛?shù)，所以，當(dāng)時(shí)，，則；當(dāng)或時(shí)，，因?yàn)榈膱D象開口向上，對(duì)稱軸為，所以當(dāng)或時(shí)，，故；綜上，，，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，所以，，即，所以在上不可能單調(diào)遞增，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，取，且，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；綜上，，又由二次函數(shù)的性質(zhì)可知在上單調(diào)遞減，則，所以，即，所以在上單調(diào)遞減，故D正確.故選：BD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則_________．【答案】【解析】由題意得，則，則，代入點(diǎn)得，解得，則.故答案為：.13.若存在，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________.【答案】【解析】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，則，因?yàn)榇嬖?，使得成立，所以，即?shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.14.已知函數(shù)，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________.【答案】【解析】令，則的定義域?yàn)?，又，所以是奇函?shù)，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，則，所以可化為，則，故，所以，解得，即的取值范圍是.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知全集，集合，.（1）若，求；（2）若，且“”是“”的充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）當(dāng)時(shí)，集合，解，得，所以，所以.（2）因?yàn)椤啊笔恰啊钡某浞謼l件，所以是的子集，又，，所以，解得，由（1）知，所以，所以或，解得或，綜上或，即實(shí)數(shù)的取值范圍.16.已知函數(shù).（1）在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中畫出的大致圖象，并寫出的單調(diào)區(qū)間及值域；（2）若函數(shù)的圖象與軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）因?yàn)榈膱D象是由的圖象向下平移兩個(gè)單位而得，而的圖象是由的圖象保留軸上方的圖象，再將軸下方的圖象沿著軸向上翻折而得，所以的大致圖象如圖，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，值域?yàn)?（2）因?yàn)楹瘮?shù)的圖象與軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以有兩個(gè)零點(diǎn)，即與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合圖象可知，，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.17.某公司研發(fā)了一款洗地機(jī)，該洗地機(jī)集掃地、吸地、洗地三種功能于一體，投入市場后深受廣大消費(fèi)者的喜愛.已知該公司生產(chǎn)該款洗地機(jī)全年所需的固定成本為600萬元，每生產(chǎn)萬臺(tái)洗地機(jī)，需另投入變動(dòng)成本萬元，且，每臺(tái)洗地機(jī)的批發(fā)價(jià)為400元，假設(shè)該洗地機(jī)每年的銷量等于當(dāng)年的產(chǎn)量.（1）寫出該洗地機(jī)的年利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（萬臺(tái)）的函數(shù)解析式.（注：年利潤＝年銷售收入－固定成本－變動(dòng)成本）（2）該洗地機(jī)的年產(chǎn)量為多少萬臺(tái)時(shí)，年利潤最大？最大年利潤是多少萬元？解：（1）因?yàn)槊颗_(tái)洗地機(jī)的批發(fā)價(jià)為400元，所以萬臺(tái)洗地機(jī)的銷售收入為萬元，依題意得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以（2）當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，所以；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以，因?yàn)?，所以?dāng)年產(chǎn)量為萬臺(tái)時(shí)，年利潤最大，最大年利潤為萬元.18.已知函數(shù).（1）若，判斷在上的單調(diào)性，并用定義證明；（2）若，且，求的取值范圍；（3）設(shè)函數(shù)，若對(duì)任意的，總有，使得，求的取值范圍.解：（1）在上單調(diào)遞增，證明如下：任取且，則，因?yàn)?，則，所以，即，故在上單調(diào)遞增.（2）當(dāng)時(shí)，由（1）知在上單調(diào)遞增，因?yàn)椋?，，所以，由于在上單調(diào)遞增，故，即，解得或.（3）對(duì)任意，總有，使得，則在上的值域是在上值域的子集，因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，所以的值域?yàn)椋?dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以的值域?yàn)?，由，可得，解得，故；?dāng)時(shí)，，滿足題意；當(dāng)時(shí)，由在時(shí)，，由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)可知，只需且，解得，故，綜上，，即的取值范圍.19.給定區(qū)間，若對(duì)任意的，恒有函數(shù)或恒有函數(shù)，則稱為上的“函數(shù)”．（1）判斷是否為區(qū)間上的“函數(shù)”；（2）若是區(qū)間上的“函數(shù)”，求的取值范圍；（3）若的定義域?yàn)椋以谏蠁握{(diào)遞減，且圖象是連續(xù)不斷的曲線，求證：存在區(qū)間，使得是區(qū)間上的“函數(shù)”．解：（1）給定區(qū)間，若對(duì)任意的，恒有函數(shù)，即；若對(duì)任意的，恒有函數(shù)，即.函數(shù)，.則在上單調(diào)遞減.又，，則在的值域?yàn)?由，可知對(duì)任意的，不恒成立；又，可知對(duì)任意的，也不恒成立.所以不是區(qū)間上的“函數(shù)”.（2）令，由，則，則，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，即在上的值域?yàn)?因?yàn)槭菂^(qū)間上的“函數(shù)”，所以，或，若，則，解得；若，則，或，解得或.綜上所述，的取值范圍為.（3）由在上單調(diào)遞減，設(shè)任意，，則，所以，即，故在上也單調(diào)遞減.設(shè)任意區(qū)間，，由.則.若，則,故是區(qū)間上的“函數(shù)”；若，則存在，使，且，由函數(shù)圖象連續(xù)不斷，且單調(diào)遞減，則存在，使，又，則，又，所以當(dāng)時(shí)，，則，故是區(qū)間上的“函數(shù)”；若，則，故是區(qū)間上的“函數(shù)”；若，則存在，使，且，由函數(shù)圖象連續(xù)不斷，且單調(diào)遞減，則存在，使，又，則，又，所以當(dāng)時(shí)，，則，故是區(qū)間上的“函數(shù)”；若，則,故是區(qū)間上的“函數(shù)”.綜上所述，存在區(qū)間，使得是區(qū)間上的“函數(shù)”．湖南省2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期11月期中數(shù)學(xué)試題考生注意：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將考生號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.命題“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】因?yàn)槿Q量詞命題的否定方法為：改量詞，否結(jié)論，所以“，”的否定是，.故選：B.2.已知全集，集合滿足，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由題意得，所以ABC錯(cuò)，D正確.故選：D.3.已知函數(shù)，則（）A.6 B.2 C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，所?故選：D.4.計(jì)算：（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)椋?，所?故選：C.5.若為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)（）A.1 B.3 C.4 D.6【答案】B【解析】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，即，解得，此時(shí)，其定義域?yàn)椋?，即為奇函?shù)，所以滿足題意.故選：B.6.已知函數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢. B.C. D.【答案】A【解析】因?yàn)?，由得：，所以的定義域?yàn)椋?，由得，所以，故的定義域?yàn)椋?故選：A7.若，且，則的最小值為（）A.1 B.C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，又，所以，令，，則，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為.故選：D.8.已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)，且時(shí)，都有，若，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因?yàn)楫?dāng)，且時(shí)，都有，所以，令，則在上單調(diào)遞增，又是定義在上的奇函數(shù)，的定義域?yàn)?，且，所以是偶函?shù)，，所以在上單調(diào)遞減，對(duì)于，顯然不滿足不等式，因?yàn)?，所以，則，當(dāng)時(shí)，得，即，所以，則；當(dāng)時(shí)，，即，所以，則；綜上，或，即.故選：B.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知，則函數(shù)的大致圖象可能為（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，且，所以圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故B正確；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，且，所以圖象關(guān)于軸對(duì)稱，故A正確；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，故D錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，，且，所以圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，與C不符合，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，，且，所以圖象關(guān)于軸對(duì)稱，故C正確.故選：ABC10.若，且，則（）A. B.C. D.【答案】AB【解析】對(duì)于A，因?yàn)椋?，所以，，所以，而，所以，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，，所以，，所以，由選項(xiàng)A知，所以，故B正確；對(duì)于C，取，滿足，且，但，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，取，滿足，且，但，故D錯(cuò)誤.故選：AB.11.對(duì)任意實(shí)數(shù)，定義為不大于的最大整數(shù)，如，，.設(shè)函數(shù)，則（）A.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱 B.，C.在上單調(diào)遞增 D.在上單調(diào)遞減【答案】BD【解析】對(duì)于A，因?yàn)?，所以，，即，而，所以的圖象不可能關(guān)于直線對(duì)稱，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)闉椴淮笥诘淖畲笳麛?shù)，所以，當(dāng)時(shí)，，則；當(dāng)或時(shí)，，因?yàn)榈膱D象開口向上，對(duì)稱軸為，所以當(dāng)或時(shí)，，故；綜上，，，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，所以，，即，所以在上不可能單調(diào)遞增，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，取，且，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；綜上，，又由二次函數(shù)的性質(zhì)可知在上單調(diào)遞減，則，所以，即，所以在上單調(diào)遞減，故D正確.故選：BD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則_________．【答案】【解析】由題意得，則，則，代入點(diǎn)得，解得，則.故答案為：.13.若存在，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________.【答案】【解析】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，則，因?yàn)榇嬖?，使得成立，所以，即?shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.14.已知函數(shù)，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________.【答案】【解析】令，則的定義域?yàn)?，又，所以是奇函?shù)，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)椋瑒t，所以可化為，則，故，所以，解得，即的取值范圍是.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知全集，集合，.（1）若，求；（2）若，且“”是“”的充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）當(dāng)時(shí)，集合，解，得，所以，所以.（2）因?yàn)椤啊笔恰啊钡某浞謼l件，所以是的子集，又，，所以，解得，由（1）知，所以，所以或，解得或，綜上或，即實(shí)數(shù)的取值范圍.16.已知函數(shù).（1）在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中畫出的大致圖象，并寫出的單調(diào)區(qū)間及值域；（2）若函數(shù)的圖象與軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）因?yàn)榈膱D象是由的圖象向下平移兩個(gè)單位而得，而的圖象是由的圖象保留軸上方的圖象，再將軸下方的圖象沿著軸向上翻折而得，所以的大致圖象如圖，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，值域?yàn)?（2）因?yàn)楹瘮?shù)的圖象與軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以有兩個(gè)零點(diǎn)，即與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合圖象可知，，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.17.某公司研發(fā)了一款洗地機(jī)，該洗地機(jī)集掃地、吸地、洗地三種功能于一體，投入市場后深受廣大消費(fèi)者的喜愛.已知該公司生產(chǎn)該款洗地機(jī)全年所需的固定成本為600萬元，每生產(chǎn)萬臺(tái)洗地機(jī)，需另投入變動(dòng)成本萬元，且，每臺(tái)洗地機(jī)的批發(fā)價(jià)為400元，假設(shè)該洗地機(jī)每年的銷量等于當(dāng)年的產(chǎn)量.（1）寫出該洗地機(jī)的年利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（萬臺(tái)）的函數(shù)解析式.（注：年利潤＝年銷售收入－固定成本－變動(dòng)成本）（2）該洗地機(jī)的年產(chǎn)量為多少萬臺(tái)時(shí)，年利潤最大？最大年利潤是多少萬元？解：（1）因?yàn)槊颗_(tái)洗地機(jī)的批發(fā)價(jià)為400元，所以萬臺(tái)洗地機(jī)的銷售收入為萬元，依題意得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以（2）當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，所以；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以，因?yàn)?，所以?dāng)年產(chǎn)量為萬臺(tái)時(shí)，年利潤最大，最大年利潤為萬元.18.已知函數(shù).（1）若，判斷在上的單調(diào)性，并用定義證明；（2）若，且，求的取值范圍；（3）設(shè)函數(shù)，若對(duì)任意的，總有，使得，求的取值范圍.解：（1）在上單調(diào)遞增，證明如下：任取且，則，因?yàn)?，則，所以，即，故在上單調(diào)遞增.（2）當(dāng)