山東省2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期6月期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷1．若sinθ=?45,tanθ>0A．35 B．?35 C．32．已知a=2,1,b=A．65,?85 B．?6253．設(shè)a,b是兩條不同的直線，α是平面，則下列命題正確的是（）A．若a//b,b?α，則a//αB．若a//α,b?α，則a//C．若a//b,a//α,b?α，則b//αD．若a//α,b//α，則b//a4．已知一組數(shù)據(jù)：x1,x2,A．16 B．14 C．12 D．185．已知函數(shù)f(x)=22cosπ4+xA．向左平移π8個(gè)單位長度 B．向左平移3C．向右平移3π4個(gè)單位長度 D．向右平移3π6．如圖，在梯形ABCD中，AB∥DC,AB=2DC,E,F分別為DC,CB的中點(diǎn)，若AC=xAE+yAF，其中A．12 B．65 C．237．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，向量m=a,b與n=cosA,A．1 B．2 C．10 D．108．如圖，在三棱錐P?ABC，△PAC是以AC為斜邊的等腰直角三角形，且CB=22，AB=AC=6，二面角P?AC?B的大小為120°，則三棱錐A．5103π B．10π C．9π9．下列命題中正確的是（）A．已知復(fù)數(shù)z=a+bi,a,b∈R，則當(dāng)且僅當(dāng)a=0時(shí)z為純虛數(shù)B．已知復(fù)數(shù)a2?4+C．已知復(fù)數(shù)z=?2i，則zD．已知復(fù)數(shù)z=?1+2i，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限10．下圖是我國2018~2023年純電動汽車銷量統(tǒng)計(jì)情況，下列說法正確的是（）A．我國純電動汽車銷量呈現(xiàn)逐年增長趨勢B．這六年銷量的第60百分位數(shù)為536.5萬輛C．這六年增長率最大的為2019年至2020年D．2020年銷量高于這六年銷量的平均值11．如圖，在棱長為1的正方體ABCD?A1BA．不存在點(diǎn)Q，使得CB．存在點(diǎn)Q，使得CC．對于任意點(diǎn)Q，Q到A1CD．對于任意點(diǎn)Q，△A12．已知向量a,b共線，且a=2b13．一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為2，圓心角為π2的扇形，則該圓錐的表面積為14．已知fx=sinωx+φ（ω>0）滿足fπ4=1，f5π315．△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，且b+c=2asin（1）求角A；（2）若△ABC的內(nèi)切圓面積為π，求△ABC的面積S的最小值.16．如圖，在正方體ABCD?A1B1C（1）試判斷直線BD1與平面（2）若正方體ABCD?A1B1C17．某學(xué)校為了解本校歷史?物理方向?qū)W生的學(xué)業(yè)水平模擬測試數(shù)學(xué)成績情況，分別從物理方向的學(xué)生中隨機(jī)抽取60人的成績得到樣本甲，從歷史方向的學(xué)生中隨機(jī)抽取n人的成績得到樣本乙，根據(jù)兩個(gè)樣本數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖：已知乙樣本中數(shù)據(jù)在70,80的有10個(gè).（1）求n和乙樣本直方圖中a的值；（2）試估計(jì)該校物理方向的學(xué)生本次模擬測試數(shù)學(xué)成績的平均值和歷史方向的學(xué)生本次模擬測試數(shù)學(xué)成績的中位數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值為代表）；（3）若本校歷史方向的學(xué)生約為300人，估計(jì)其中數(shù)學(xué)成績在85分以上的人數(shù).18．如圖，在三棱臺ABC?DEF中，∠ACB=90°，BF⊥AD，BC=2，（1）求證：平面BCFE⊥平面ABC；（2）若直線AE與平面BCFE所成角為π3，求平面DEC和平面ABC19．已知函數(shù)f(（1）求f(（2）當(dāng)x∈[?π3,（3）當(dāng)x∈[π6,5π6]時(shí)，關(guān)于

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：因?yàn)閟inθ=?45<0,tanθ>0，

所以cosθ=?1?故答案為：B.【分析】利用三角函數(shù)值在各象限的符號和同角的三角函數(shù)基本關(guān)系式，從而得出cosθ的值.2．【答案】D【解析】【解答】解：a?故答案為：D.【分析】根據(jù)數(shù)量積求投影向量坐標(biāo)的公式，從而得出a在b上的投影向量.3．【答案】C【解析】【解答】解：對于A，有可能a?α，故A錯(cuò)誤；對于B，因?yàn)閍,b可能異面，故B錯(cuò)誤；對于D，因?yàn)閍,b可能異面，也可能相交，故D錯(cuò)誤；

由排除法可得C正確.故答案為：C.【分析】利用線線、線面的位置關(guān)系以及舉反例的方法，從而逐項(xiàng)判斷找出真命題的選項(xiàng).4．【答案】A【解析】【解答】解：由題意，數(shù)據(jù)2xx=所以方差為s=4故答案為：A.【分析】利用已知條件和平均數(shù)公式、方差公式，再結(jié)合平均數(shù)性質(zhì)和方差的性質(zhì)，從而得出2x5．【答案】D【解析】【解答】解：f(x)=22g(x)=sin函數(shù)f(x)的圖象向右平移3π8個(gè)單位長度可得g(x)故答案為：D.【分析】根據(jù)正弦、余弦二倍角公式化簡求得函數(shù)fx，g6．【答案】B【解析】【解答】解：∵E,F分別為DC,CB的中點(diǎn)，AB∥DC,AB=2DC，∴EC又因?yàn)锳C=AE+EC=聯(lián)立①②得AC=45AE+2故答案為：B.【分析】利用中點(diǎn)的性質(zhì)和向量共線定理以及平面向量基本定理，再結(jié)合已知條件得出x，y的值，從而得出x+y的值．7．【答案】D【解析】【解答】解：因?yàn)橄蛄縨=a,b與所以asinB=bcosA，因?yàn)閟inB>0，所以sin又因?yàn)?<A<π，所以A=π則AD=12AB+所以AD=故答案為：D.【分析】根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示和正弦定理得出角A的值，再結(jié)合中點(diǎn)的性質(zhì)及數(shù)量積求向量的模的公式和數(shù)量積的運(yùn)算律，從而得出BC邊上的中線AD的長.8．【答案】B【解析】【解答】解：根據(jù)題意，作出圖形，如圖所示，

因?yàn)椤鱌AC是以AC為斜邊的等腰直角三角形，

所以△PAC的外心在AC中點(diǎn)，設(shè)為O2，

設(shè)△ABC的外心為O1，BC中點(diǎn)為E，AO1=r1，

因?yàn)锳B=AC=6，所以O(shè)1必在AE連線上，

則2r1=ABsinC=ABAE又因?yàn)槎娼荘?AC?B的大小為120°，PO2⊥AC，

所以∠PO2O1=120°,∠OO2O1=30°，

所以O(shè)故答案為：B.【分析】由題意作出圖形，易得△PAC外接圓圓心在AC中點(diǎn)，結(jié)合正弦定理可得△ABC外接圓半徑，再結(jié)合圖形知R2=AO2=AO22+O9．【答案】B,C【解析】【解答】解：對于A，因?yàn)閺?fù)數(shù)z=a+bi,a,b∈R，

則當(dāng)且僅當(dāng)a=0,b≠0時(shí)z為純虛數(shù)，所以A錯(cuò)誤；對于B，若復(fù)數(shù)a2?4+a+2ia∈R為實(shí)數(shù)，

對于C，因?yàn)閺?fù)數(shù)z=?2i，則z=2，所以C對于D，因?yàn)閺?fù)數(shù)z=?1+2i，

則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)?1,2在第二象限，所以D錯(cuò)誤.故答案為：BC.【分析】利用純虛數(shù)的判斷方法可判斷選項(xiàng)A；由復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)的判斷方法，則可判斷選項(xiàng)B；利用復(fù)數(shù)求模公式，則可判斷選項(xiàng)C；利用已知條件和復(fù)數(shù)的幾何意義以及點(diǎn)的坐標(biāo)確定象限的方法，則判斷出選項(xiàng)D，從而找出真命題的選項(xiàng).10．【答案】A,B,C【解析】【解答】解：對于A，從條形圖中看出，純電動汽車銷量逐年遞增，故A正確；對于B，因?yàn)?.6×6=3.6，將所有汽車銷量數(shù)據(jù)從小到大排序，所以銷量的第60百分位數(shù)為第4個(gè)數(shù)據(jù)，即為536.5，故B正確；對于C，因?yàn)?018～2019年的增長率為111.5?97.297.22019～2020年的增長率為291.6?111.5111.52020～2021年的增長率為536.5?291.6291.62021～2022年的增長率為668.5?536.5536.52022～2023年增長率為756.8?668.5668.52019～2020年的增長率超過其他年份的增長率，故C正確；對于D，因?yàn)檫@六年銷量的平均數(shù)為：97.2+111.5+291.6+536.5+668.5+756.86故答案為：ABC.

【分析】從條形圖中看出純電動汽車銷量逐年遞增，則判斷出選項(xiàng)A；將數(shù)據(jù)從小到大排序，按百分位數(shù)計(jì)算公式，則判斷出選項(xiàng)B；先計(jì)算每年的增長率，再比較判斷出選項(xiàng)C；先求出平均值，再與2020年數(shù)據(jù)比較判斷出選項(xiàng)D，從而找出說法正確的選項(xiàng).11．【答案】A,B,C【解析】【解答】解：因?yàn)锳1?平面CDD1，C1∈平面CDD1，C?C1Q，因?yàn)锽C⊥平面CDD1C1，C1D?平面CDD1C1，則BC⊥C1D，

又因?yàn)镃D1⊥C1D，BC與CD1是平面BCD1A1內(nèi)兩相交直線，

所以設(shè)DQ=x（0≤x≤1），A1Q=1+(1?x)2則cos∠sin∠所以S△則y=2x所以，當(dāng)x=12時(shí)，ymin=32；

當(dāng)x=0或x=1時(shí)，ymax=2，記Q到A1C的距離為d，A1C=3，

因此d的最大值是2×故答案為：ABC．

【分析】利用異面直線的定義證出直線A1C與C1Q是異面直線，則判斷出選項(xiàng)A；當(dāng)Q與D重合時(shí)結(jié)合線線垂直的判斷方法和鈍角三角形的判斷方法，則可判斷選項(xiàng)B和選項(xiàng)D；設(shè)DQ=x（0≤x≤1），計(jì)算出12．【答案】1或3【解析】【解答】解：由向量a,b共線，則向量當(dāng)向量a,b同向時(shí)，由a=2當(dāng)向量a,b反向時(shí)，由a=2則a+b可能為1或故答案為：1或3.【分析】利用向量共線，分向量同向與反向兩種情況和向量求模公式，從而得出a→13．【答案】5π【解析】【解答】解：設(shè)圓錐的底面半徑為r，由題意可得：2πr=π2×2則圓錐的表面積為π1故答案為：5π4【分析】設(shè)圓錐的底面半徑為r，由題意求得圓錐的底面圓的半徑，再根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式求解即可．14．【答案】18【解析】【解答】解：∵fx=sinωx+∴53π?∴ω=6+12n∵fx在π∴5π6?∴當(dāng)n=1時(shí)，ω最大，最大值為1817故答案為：1817【分析】由fπ4=1，f5π3=0得到T=17π15．【答案】（1）解：因?yàn)閎+c=2asin由正弦定理和兩角和的正弦公式得：sin?B+又因?yàn)閟inB=所以cosA又因?yàn)閟inC>0，所以cosA+1=3sin又因?yàn)?<A2<π2，所以cosA2>0所以A2=π6，（2）解：由題意知△ABC內(nèi)切圓的半徑為r，

則πr2=如圖，內(nèi)切圓的圓心為I，M,N為切點(diǎn)，

則AI=2，a=BC=BM+CN=BA?AM+CA?AN=BA+CA?AM?AN=b+c?2由余弦定理得a2整理化簡，由基本不等式得3bc+12=43解得bc≥12或bc≤43（舍去）（當(dāng)則S=1所以△ABC面積S的最小值為33【解析】【分析】（1）根據(jù)題意和正弦定理得到sinB+sin（2）根據(jù)題意得到△ABC內(nèi)切圓的半徑為1，作出圖形，記內(nèi)切圓的圓心為I，M,N為切點(diǎn)，從而得到a=b+c?23，由余弦定理得到b+c?232=b（1）因?yàn)閎+c=2asin由正弦定理和兩角和正弦公式得：sin又因?yàn)閟in所以cosA因?yàn)閟inC>0，所以cosA+1=因?yàn)?<A2<π2，所以所以A2=π（2）由題意知△ABC內(nèi)切圓的半徑為r，則πr2=如圖，內(nèi)切圓的圓心為I，M,N為切點(diǎn)，則AI=2，從而a=BC=BM+CN=BA?AM+CA?AN=BA+CA?AM?AN=b+c?23由余弦定理得a2整理化簡并利用基本不等式得3bc+12=43解得bc≥12或bc≤4（當(dāng)a=b=c=23從而S=1即△ABC面積S的最小值為3316．【答案】（1）解：直線BD1//平面AEC，理由如下：

在正方體ABCD?A1B1C1因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，

所以O(shè)為BD中點(diǎn)，

又因?yàn)镋為DD1中點(diǎn)，

所以又因?yàn)镺E?平面AEC，BD1?平面AEC，

所以B（2）解：解法一：（等體積法）

在三棱錐B?AB1C中，AC=AB1=CB1=22，

則S△AB1C=12AC?AB1sin60°=12×22×22×32=23，

△ABC的面積S△ABC=12AB?BC=2，

設(shè)點(diǎn)B到平面AB1C的距離為?，

由VB?AB1C=VB1?ABC得：13S△AB1C??=13S△ABC?BB，

所以?=S△ABC?BB1S△AB1C=2×223=233，

所以點(diǎn)B到平面AB1C的距離為233．

解法二：（直接法）

連接B1O，在平面BB1D1D中，設(shè)B1O∩BD1=H，

在正方形ABCD中，AC⊥BD，

又∵【解析】【分析】（1）由正方體的結(jié)構(gòu)特征和正方形的結(jié)構(gòu)特征以及中位線定理，從而證出線線平行，再結(jié)合線線平行證出線面平行，從而判斷出直線BD1與平面（2）利用兩種方法求解.

解法一：設(shè)點(diǎn)B到平面AB1C的距離為?，由VB?AB1C=VB1?ABC和三棱錐的體積公式得出點(diǎn)B到平面AB1C的距離.

解法二：連接B（1）直線BD1//理由如下：在正方體ABCD?A1B1C1D1中，連接因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，則O為BD中點(diǎn)，又E為DD1中點(diǎn)，因此又OE?平面AEC，BD1?平面AEC，所以B（2）解法一：（等體積法）在三棱錐B?AB1C則S△A△ABC的面積S△ABC設(shè)點(diǎn)B到平面AB1C由VB?AB1于是?=S△ABC?BB1S△A解法二：（直接法）連接B1O，在平面B在正方形ABCD中，AC⊥BD又∵B1B⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴又∵B1B∩BD=B，B1B∴AC⊥平面BB1D1D，而B同理可得：B1又∵AC∩B1C=C，AC，B∴BD1⊥平面AB1所以BH為點(diǎn)B到平面AB由題意可知，在直角三角形B1BO中，B1B=2由B1B?BO=B1O?BH得BH=2317．【答案】（1）解：由直方圖可知，乙樣本中數(shù)據(jù)在70,80的頻率為0.020×10=0.20，則10n=0.20，解得由乙樣本數(shù)據(jù)頻率分布直方圖各矩形面積和為1可得：0.006+0.016+0.020+0.040+a×10=1，

解得a=0.018（2）解：甲樣本數(shù)據(jù)的平均值估計(jì)值為55×0.005+65×0.010+75×0.020+85×0.045+95×0.020×10=81.5乙樣本數(shù)據(jù)直方圖中前3組的頻率之和為0.006+0.016+0.02×10=0.42<0.5前4組的頻率之和為0.006+0.016+0.02+0.04×10=0.82>0.5設(shè)中位數(shù)為x，x?80×0.04+0.42=0.5，解得x=82（3）解：乙樣本中數(shù)學(xué)成績在85分以上的學(xué)生頻率為0.42由樣本估計(jì)總體得85分以上人數(shù)為300×0.38=114，故歷史方向的學(xué)生數(shù)學(xué)成績在85分以上的有114人.【解析】【分析】（1）先計(jì)算出乙樣本中數(shù)據(jù)在70,80的頻率，從而求出n=50，根據(jù)頻率之和為1列方程，求a的值即可；（2）中點(diǎn)值作代表，計(jì)算出甲樣本數(shù)據(jù)的平均值估計(jì)值，再判斷出乙樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)在第4組，設(shè)中位數(shù)為x，列方程求解即可；（3）計(jì)算出乙樣本中數(shù)學(xué)成績在85分以上的學(xué)生頻率，從而估計(jì)其中數(shù)學(xué)成績在85分以上的人數(shù)即可.（1）由直方圖可知，乙樣本中數(shù)據(jù)在70,80的頻率為0.020×10=0.20，則10n=0.20，解得由乙樣本數(shù)據(jù)直方圖可知，0.006+0.016+0.020+0.040+a×10=1解得a=0.018.（2）甲樣本數(shù)據(jù)的平均值估計(jì)值為55×0.005+65×0.010+75×0.020+85×0.045+95×0.020×10=81.5乙樣本數(shù)據(jù)直方圖中前3組的頻率之和為0.006+0.016+0.02×10=0.42<0.5前4組的頻率之和為0.006+0.016+0.02+0.04×10=0.82>0.5設(shè)中位數(shù)為x，x?80×0.04+0.42=0.5，解得x=82（3）乙樣本中數(shù)學(xué)成績在85分以上的學(xué)生頻率為0.42由樣本估計(jì)總體得300×0.38=114（人），故歷史方向的學(xué)生數(shù)學(xué)成績在85分以上的有114人.18．【答案】（1）證明：取BC中點(diǎn)為O，連接FO，

∵BE=EF=FC=1，BC=2，

所以BO=OC=FC=1，

故∠BFO=∠OBF,∠CFO=∠COF=∠FCO，

由三角形內(nèi)角和可得∠BFO+∠CFO=90°，故BF⊥FC，

又∵BF⊥AD，AD,FC?平面ADFC，AD,FC為相交直線，

∴BF⊥平面ADFC，AC?平面ADFC，∴BF⊥AC，

又∵∠ACB=90°，

所以BC⊥AC，BF∩BC=B,BF,BC?平面BCFE，

∴AC⊥平面BCFE，AC在平面ABC內(nèi)，

∴平面（2）解：由（1）知直線AE與平面BCFE所成角為∠AEC，∴ACEC=3，

因?yàn)锳E=AF=BC2?FC2=3，∴AC=3，

設(shè)平面DEC和平面ABC的交線為l，

又因?yàn)锳B//平面DEC，AB?平面ABC，所以l∥AB，

過點(diǎn)E作EG⊥BC于G，

由（1）知平面BCFE⊥平面ABC，

且兩平面的交線為BC，EG?平面BCFE，

∴EG⊥平面ABC，l∈平面ABC，

所以EG⊥l，且EG=EB2?BC?EF22=32，

再過點(diǎn)G作GK⊥l于K，連接EK，GK∩EG=G,GK,EG?平面EGK，

所以l⊥平面EGK，EK?平面EGK【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件和線線垂直證出線面垂直，再結(jié)合線面垂直證出面面垂直，則證出平面BCFE⊥平面ABC.（2）根據(jù)線面垂直得出線面角，從而可得AC的長，根據(jù)線面垂直定義證出線線垂直，并由幾何法得出二面角的平面角，最后由正弦函數(shù)的定