第第頁廣東省六校（北江中學、河源中學、清遠一中、惠州中學、陽江中學、茂名中學）2023-2024學年高一下學期聯(lián)合質(zhì)量監(jiān)測考試數(shù)學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．集合A,B滿足A∪B=1,3,5,7,9，A∩B=1,7，A=1,5,7A．3 B．4 C．5 D．62．復(fù)數(shù)z=1+2i3A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．“a<3”是“函數(shù)fx=logA．充分不必要條件 B．充要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件4．函數(shù)fxA． B．C． D．5．正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AD，DD1的中點，AB=4，則過B，E，F(xiàn)的平面截該正方體所得的截面周長為（）A．62+45 B．62+25 C．32+45 D．32+256．如圖，點O是△ABC的重心，點D是邊BC上一點，且BC=4DC，OD=mA．15 B．?14 C．?7．函數(shù)fx=sinA．ω∈B．當ω=π時，fx在區(qū)間C．fx在區(qū)間0,1D．fx在區(qū)間0,1上的最小值為8．某工業(yè)園區(qū)有A、B、C共3個廠區(qū)，其中AB=63km，BC=10km，∠ABC=90°，現(xiàn)計劃在工業(yè)園區(qū)內(nèi)選擇P處建一倉庫，若∠APB=120°A．6km B．8km C．43二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9．下列說法正確的是（）A．若a>b，c>d，則a?d>b?cB．若a<b，則C．若a>0，b>0，a+b=1，則1aD．若a>0，b>0，ab+a+b=8，則a+b的最小值為410．已知圓臺的上、下底面半徑分別為1和3，母線長為22A．圓臺的母線與底面所成的角為45°B．圓臺的側(cè)面積為8C．圓臺的體積為14D．若圓臺的兩個底面的圓周在同一個球的球面上，則該球的表面積為4011．已知函數(shù)fx的定義域為R，fx+2+fx=fA．fB．fC．函數(shù)fxD．n=12026nf三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．已知向量a=?1,3，b=4,0，則向量a13．在△ABC中，D是BC的中點，AD=22，cos∠ACB=55，∠ADC14．人臉識別就是利用計算機分析人臉視頻或者圖像，并從中提取出有效的識別信息，最終判別人臉對象的身份．在人臉識別中為了檢測樣本之間的相似度主要應(yīng)用距離的測試，常用的測量距離的方式有曼哈頓距離和余弦距離．已知二維空間兩個點Ax1,y1、Bx2,y2，則其曼哈頓距離為dA,B=x1?x2+y1?y四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.15．將函數(shù)fx=sinx的圖象向左平移π6（1）求函數(shù)gx（2）若x∈0,π416．如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AC=6，AB=10，cos∠CAB=（1）求證：AC1//（2）求證：AC⊥BC（3）求三棱錐A117．已知△ABC的三個內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，滿足ccos（1）求C；（2）若△ABC為銳角三角形，且a+b=4，求△ABC的周長的取值范圍．18．某市環(huán)保部門對市中心每天的環(huán)境污染情況進行調(diào)查研究后，發(fā)現(xiàn)一天中環(huán)境綜合污染指數(shù)fx與時刻x（時）的關(guān)系為fx=?ax2+x?ax2+1+2a+（1）當a=0時，求環(huán)境綜合污染指數(shù)fx（2）求Ga（3）規(guī)定當Ga>2時為綜合污染指數(shù)超標，求當19．已知函數(shù)fx滿足fx=13fx+3+n，且（1）求實數(shù)n的值；（2）當x∈0,3時，求f（3）設(shè)hx=2sinx+λcos2x，是否存在實數(shù)λ，使不等式

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：由集合A,B滿足A∪B=1,3,5,7,9因為A∩B=1,7，可得1,7又因為A=1,5,7，可得5?B因為A∪B=1,3,5,7,9，所以B=1,3,7,9，

則集合故答案為：B.【分析】根據(jù)題意結(jié)合交集、并集的運算法則和集合間的包含關(guān)系、元素與集合的關(guān)系，從而得出集合B，進而得出集合B中的元素個數(shù).2．【答案】D【解析】【解答】解：整理z=1+2i31?i故答案為：D【分析】對復(fù)數(shù)進行分母實數(shù)化，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義可得結(jié)果.3．【答案】C【解析】【解答】解：令u=3?ax?1，當fx=log因為y=log2u則需使u=3?ax?1是1,+∞上的增函數(shù)且u>0，

則3?a>0解得a≤2，必有a<3，

故必要性成立；當a<3時，取a=52，

可知3?ax?1=12x?1在故“a<3”是“函數(shù)fx=log故答案為：C．【分析】利用已知條件結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性和充分條件、必要條件的判斷方法，從而找出答案.4．【答案】A【解析】【解答】解：函數(shù)fx=1?2ex+1cos2π?x=ex?1故答案為：A．【分析】化簡函數(shù)f(x)，判斷其奇偶性，結(jié)合0<x<π2時5．【答案】A【解析】【解答】解：∵正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分別是棱AD、DD1的中點，∴EF∥AD1∥BC1，∵EF?平面BCC1，BC1?平面BCC1，∴EF∥平面BCC1，由線面平行性質(zhì)定理，過EF且過B的平面與面BCC1的交線l平行于EF，l即為BC1．由正方體的邊長為4，可得截面是以BE=C1F=25為腰，EF=22為上底，BC1=2EF=42為下底的等腰梯形，故周長為62+45，故選A．【分析】推導(dǎo)出EF∥平面BCC1，過EF且過B的平面與面BCC1的交線l平行于EF，l即為BC1．由此能求出過點B，E，F(xiàn)的平面截該正方體所得的截面周長．6．【答案】C【解析】【解答】解：延長AO交BC于E，如圖所示：

因為O為△ABC的重心，所以點E為BC的中點，

則AO=2OE，且又因為由BC=4DC，所以D是則OD?=OE又因為OD=mAB+nAC，所以m=?1故答案為：C.【分析】延長AO交BC于E，由題意可得AO=2OE且AE=12AB+AC，再由BC=4DC，可得7．【答案】A【解析】【解答】解：對于A，由x∈0,1，設(shè)t=ωx+π3，則t∈由fx=sin結(jié)合正弦曲線可知直線x=ω+π3在線段AB之間，不含點A，可以含點所以π<ω+π3對于B，當ω=π，且x∈12,1時，

設(shè)由正弦函數(shù)在區(qū)間5π6對于C，由x∈0,1，設(shè)t=ωx+π3由fx=sin結(jié)合正弦曲線可知，這條對稱軸正好取到最大值，故C錯誤；對于D，由x∈0,1，設(shè)t=ωx+π3由fx=sin則說明相鄰的那條對稱軸不在這個區(qū)間內(nèi)，

結(jié)合正弦曲線可知，這條對稱軸正好取到最大值，說明在這個區(qū)間內(nèi)沒有取到最小值，故D錯誤.故答案為：A.

【分析】把相位看成一個整體變量，再結(jié)合正弦曲線的對稱性、單調(diào)性、最值求解方法，從而得出ω的取值范圍、正弦型函數(shù)的單調(diào)性、正弦型函數(shù)的最值，從而逐項判斷找出正確的選項.8．【答案】B【解析】【解答】解：法一：設(shè)∠BAP=θ，0°<θ<60°，則∠ABP=60°?θ，∠PBC=90°?60°?θ在△BAP中，由正弦定理BPsin∠BAP=ABsin∠APB，在△PBC中，

C=144=144=144=264=232?1211cos2θ+5所以，當2θ+φ=90°時CP2min=232?12×14=64，

所以法二：如圖，因為∠APB=120°，

所以點P在如圖所示的圓O上，則圓O的直徑為R=1由圓周角的性質(zhì)可得∠ADB=180°?120°=60°，

所以∠AOB=120°，∠OBA=30°．連接OC，可得OP+CP≥OC（當P為OC與圓O的交點時取等號），在△OBC中，OB=6，BC=10，∠OBC=120°根據(jù)余弦定理可知OC即OC=14，所以CP的最小值為14?6=8km故答案為：B.

【分析】設(shè)∠BAP=θ，0°<θ<60°，利用正弦定理得到BP=12sinθ，在△PBC中利用余弦定理得到CP2，再由三角恒等變換公式和三角函數(shù)的性質(zhì)，從而求出9．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：對于A，因為a>b，c>d?a+c>b+d，所以a?d>b?c，故A正確；對于B，當a=?5，b=1時，a2對于C，若a>0，b>0，a+b=1，則1a當且僅當a=b=12時取等號，所以對于D，因為a>0，b>0，ab+a+b=8，則ab=8?a+b≤14a+b解得a+b≥4，當且僅當a=b=2時取得等號，故a+b的最小值為4，故D正確．故答案為：ACD.【分析】根據(jù)不等式的基本性質(zhì)可判斷出選項A；舉反例判斷出選項B；根據(jù)基本不等式求最值的方法，則判斷出選項C和選項D，從而找出說法正確的選項.10．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：對于A，因為圓臺的上、下底面半徑分別為1和3，母線為22，

所以圓臺的高為：(22根據(jù)線面角定義求出母線與底面所成角45°，故A正確；對于B，由圓臺的側(cè)面積公式S=π得圓臺的側(cè)面積為：π×(1+3)×2對于C，由圓臺的體積公式V=1得圓臺體積為：13對于D，由題意可知，球心在下底面下方，設(shè)球心到下底面的距離為d，由勾股定理得9+d2=1+則該球的半徑為R=10，

所以該球的表面積為S=4故答案為：ABD.【分析】先求出圓臺的高，從而求出圓臺的母線與底面所成的角，則判斷出選項A；由圓臺的側(cè)面積公式S=πr+Rl求解判斷出選項B；由圓臺的體積公式V=1311．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：由fx+2+fx=f2024所以fx+4所以f2024由fx+2+fx=f2024，

所以f2因為f12x+1為奇函數(shù)，

所以f?x+1=?fx+1，

所以函數(shù)y=f所以f2?x令x=12，則f3令x=0，可得f2=?f0=0，所以f0所以fx+2+fx又因為fx+2=?f?x，所以f令x=12，則f52=?f12綜上所述，當m∈N時，f4m+1f4m+52所以4m+1f4m+所以n=12026故答案為：ACD.

【分析】由fx+2+fx=f2024可得fx+4=fx，則判斷出選項A；由fx+4=fx可得f2=0，由f12x+1為奇函數(shù)可得函數(shù)y=fx關(guān)于點1,0對稱，可得f12．【答案】?1,0???????【解析】【解答】解：由向量a=?1,3和b=4,0則a在b上的投影向量的坐標為a?故答案為：?1,0.【分析】根據(jù)題意結(jié)合數(shù)量積的坐標表示和向量的模的坐標表示，再結(jié)合數(shù)量積求投影向量坐標的方法，從而得出向量a在向量b上的投影向量的坐標.13．【答案】29【解析】【解答】解：在△ADC中，cos∠ACB=55，

由正弦定理得：ADsin∠ACB=ACsin∠ADC，所以2225由余弦定理可得：AD代入已知數(shù)據(jù)得：8=5+CD2?2×5?CD×55，CD2?2CD?3=0，解得由余弦定理可得：AB代入已知數(shù)據(jù)可得：AB2=5+36?2×6×5×故答案為：29.

【分析】在△ADC中利用正弦定理得出AC的長，再利用余弦定理得出CD的長，最后利用余弦定理得出AB的長.14．【答案】72【解析】【解答】解：因為13sinα2所以cos=cos因為0<β<π2，所以又因為8sin所以cos=cos又因為0<α<β<π2，則所以sinα?β又因為cosα=cosα?β+β=cosα?βcos又因為cos2β=2cos2所以Q?所以dM,Q故答案為：725【分析】利用所給定義得到cosM,P=cosβ=35，結(jié)合同角三角函數(shù)基本關(guān)系式得到sinβ的值，同理可得cosM,N=cosα?β=1215．【答案】（1）解：函數(shù)fx=sinx的圖象向左平移再將其縱坐標不變，橫坐標縮小到原來的12，得到gx=sin2x+π6（2）解：當x∈0,π4則sin2x+π6∈12,1【解析】【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)圖象的平移變換與伸縮變換的性質(zhì)求函數(shù)gx（2）由x的范圍，可得t=2x+π6的范圍，求函數(shù)（1）fx=sinx的圖象向左平移再將其縱坐標不變，橫坐標縮小到原來的12，得到g（2）設(shè)t=2x+π6，由x∈0,則sint∈12,1，即gx16．【答案】（1）證明：設(shè)B1C與BC1交于點E，E為在△ABC1中，DE是△ABC因為DE?平面CDB1，AC1?平面CD（2）證明：在△ABC中，AC=6，AB=10，cos∠CAB=由余弦定理BC2=A則102=62+82又因為CC1⊥平面ABC，AC?平面ABC又因為CC1∩BC=C，BC,CC1?平面又因為BC1?平面BC（3）解：在△ABC中過點C作CF⊥AB，垂足為F，因為平面ABB1A1⊥平面ABC，且平面ABB1易知S△DA1由VA1?【解析】【分析】（1）設(shè)B1C與BC1交于點（2）由余弦定理得可得BC=8，由勾股定理可得AC⊥BC，又CC1⊥平面ABC，得CC1⊥AC，可得（3）在△ABC中過點C作CF⊥AB，垂足為F，可得CF⊥平面ABB1A（1）設(shè)B1C與BC1交于點E，則E為則在△ABC1中，則DE是△ABC又DE?平面CDB1，AC所以AC1∥（2）在△ABC中，由AC=6，AB=10，cos∠CAB=由余弦定理BC2=A則102=62+82又∵CC1⊥平面ABC，AC?平面ABC又CC1∩BC=C，BC,C∴AC⊥平面BCC∵BC1?平面BC（3）在△ABC中過點C作CF⊥AB，垂足為F，∵平面ABB1A1⊥平面ABC，且平面ABB易知S△DA1∵VA117．【答案】（1）解：因為ccos由正弦定理得：

sinCsinCcos得3sin又因為sinB≠0，則3所以32又因為0<C<π，

所以?π6所以C?π6=（2）解：法一：由正弦定理得：asinA=bsinB=csinC，

則a+bsinA+sinB=csinC，且C=π3，

所以a+b=2c3sinA+sinB=2c3sinA+sin120°?A

=2c332sinA+32cosA

=2c32sinA+12cosA=2csinA+π6=4，則c=2sinA+π6，

由△ABC為銳角三角形，A+B=2π3，B=2π3?A<π2，得【解析】【分析】（1）利用已知條件和正弦定理邊化角，將ccosB+3csinB=a+b變形為（2）利用兩種方法求解.

方法一：利用正弦定理將a+b=4轉(zhuǎn)化為2csinA+π6=4，結(jié)合△ABC為銳角三角形結(jié)合正弦型函數(shù)求值域的方法，從而得出sinA+π6∈32,1，再結(jié)合三角形的周長公式得出（1）已知ccos由正弦定理得：sinCsinCcos得3sin又sinB≠0，即3即32又因為0<C<π，所以?π6所以C?π6=（2）法一：由正弦定理得：asinA=bsina+b=2c=2c32sin而由△ABC為銳角三角形，A+B=2π3，B=所以A+π6∈所以c∈2,43所以△ABC的周長的取值范圍為6,4+4法二：由a+b=4，不妨設(shè)a≥b，則2≤a<4，由△ABC為銳角三角形，只需A<π2，由余弦定理得：即b2又c2所以16?3a4?a>42a?4，得：3由（*）式得：c2所以c∈2,43所以△ABC的周長的取值范圍為6,4+418．【答案】（1）解：當a=0時，fx①當x=0時，fx②當0<x<24時，fx因為x+1x≥2x?1x=2所以0<1x+1綜上所述，fx（2）解：當a∈0,12令t=xx2所以fx則gt在t∈0,a時是減函數(shù)，在所以Ga因為g0=3a+45，g12=a+所以，當0≤a≤14時，當14<a≤1則Ga（3）解：由Ga>2，得①0≤a≤14a+1310>2綜上所述，25所以當a∈2【解析】【分析】（1）利用a的值得出函數(shù)的解析式，再利用已知條件，當x=0時，直接代入，當0<x<24時，由基本不等式求最值的方法，從而得出環(huán)境綜合污染指數(shù)fx（2）當a∈0,12時，結(jié)合（1）去掉絕對值化簡出函數(shù)解析式，再利用函數(shù)的單調(diào)性比較端點值的大小，從而分類討論得出f(x)（3）分0≤a≤14和14（1）當a=0時，fx①當x=0時，fx②當0<x<24時，fx因為x+1x≥2x?1所以0<1x+1綜上所述，fx（2）當a∈0,12令t=xx2所以fx于是，gt在t∈0,a時是單調(diào)遞減函數(shù)，在所以Ga因為g0=3a+45，g1所以當0≤a≤14時，當14<a≤1即Ga（3）由Ga>2，得①0≤a≤14a+13綜上，25所以當a∈219．【答案】（1）解：當x=1時，x+3=4，故f1因為x∈3,6時，fx=3x2因為f1=2，

???????所以2=1（2）解：當x∈0,3時，x+3∈則fx+3又因為fx=13f所以，當x∈0,3時，f（3）解：由2+74x所以gx=log若存在滿足題意的λ，先有hx=2sin則hx=2sinx+λ首先有h0其次令y=?2λt關(guān)于t的二次函數(shù)y=?2λt2+2t+λ當0<12λ≤1時，即當λ≥12當12λ>1時，只需h0所以hx=2sinx+λcos因為hx又因為x∈0,π2當0<λ≤12時，

hx此時hx的值域λ,?λ+2是0,3當12<λ<2時，