PAGEPAGE1《勾股定理及其逆定理的應用（第二課時）》教案【教學目標】1、通過對勾股定理及其逆定理的回顧，知道它們之間的區(qū)別以及聯(lián)系；2、通過具體問題的解決，掌握勾股定理及其逆定理的運用方法.【教學重難點】教學重點是了解勾股定理及其逆定理之間的區(qū)別以及聯(lián)系；教學難點是用勾股定理及其逆定理解決具體問題.【教學過程】教學環(huán)節(jié)教學內容設計意圖環(huán)節(jié)一【知識回顧】同學們，我們已經學完《勾股定理》這一章書，下面我們一起來回顧一下本章的知識。我們知道直角三角形是我們以直角三角形的三邊為邊長，在直角三角形外部構造三個正方形，通過對面積關系的探究，我們發(fā)現(xiàn)兩個小正方形的面積和，等于大正方形的面積，即兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，這就是我們數(shù)學中重要的勾股定理。回顧《勾股定理》這一章書的知識，介紹勾股定理的幾何意義。環(huán)節(jié)二題由條件和結論兩部分組成，我們把勾股定理的條件和結論互介紹數(shù)學學習的基本方法，先是勾股定理，再用構造法證明勾股定理的逆命題是成立的，從而得到勾股定理逆定理。勾股定理：如果直角三角形的兩條直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么a2+b2=c2.勾股定理——直角三角形的性質，勾股定理逆定理——直角三角形的判定方法，辨析學習兩個定理，同時向學生滲透數(shù)形結合的思想。勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形.通過前面的學習我們知道，勾股定理反映的是直角三角形的性質，因此它對所有直角三角形都適用。它描述了直角三角形三邊長的數(shù)量關系，這是由形到數(shù)的過程。勾股定理的逆定理則是直角三角形一種判定方法，通過三邊的數(shù)量關系來判斷一個三角形是否是直角三角形，這是由數(shù)到形的過程.這種數(shù)形結合的思想是解決一些數(shù)學問題的有效方法。下面我們應用這兩個定理解決一些數(shù)學問題.Rt△ABC900通過題目對知識點進行鞏固，從基本題型入手，低起求AB.點，學生熟悉的題型入手。∠C900求斜邊長。根據勾股定理及常見勾股數(shù)，很容易得出答案為5。如果去掉“∠C=900”這個條件，又該如何求AB呢？問題1：在Rt△ABC中，AC=3,BC=4,求AB？通過減少基本題型的條件，環(huán)節(jié)三深入理解勾股定理，引入分=9意味著直角不確定了，因此斜邊就不確定了，接下來我們該怎樣類思想。研究？那就要對“誰是斜邊”進行分類討論。ACBCBCAB為了方便理解，我們可以畫出示意圖，并把相關數(shù)據標上去。從兩種情況來看，原題又轉化為我們熟悉的基本問題：已知直角三角形的兩邊長，求第三邊長。環(huán)節(jié)四AB的長嗎？問題2：在△ABC中，AC=3,BC=4,還能求AB的長嗎？沒有直角三角形這個前提條件，就不能運用勾股定理了，因此無法求AB的長。能求出AB長的范圍嗎？4-3AB<+，得到1<A<。不妨進一步思考：在這個范圍里，AB取何值，△ABC正好是直角三角形呢？（停頓）1易得到：當AB=5或 7時，△ABC正好是直角三角形。前面的題目，都是已知三角形的兩邊，求第三邊的長或范圍。如基本題型中已知兩邊的條件果已知直角三角形的一邊和一銳角，如何求第三邊的長呢？我們改為一邊和一個30°角，引導學生把角轉化為邊的關一起來分析問題3。系。Rt△ABCB=30°，AC=4BC的長？環(huán)節(jié)五Rt△ABC角三角形中，30°角所對的邊等于斜邊的一半。AC30ABAC長的兩倍，ACAB下面我們來板書解題過程：這個問題的順利解決，關鍵在于把角的條件轉化為邊的結論。我們繼續(xù)來看看這個問題:追問：如圖,在△ABC中,AB=AC=BC,高AD=3,求△ABC的面積.我們一起來分析題目，求△ABC的面積，聯(lián)想到三角形的面積公式：底乘以高除以2.條件給出BC邊上的高AD為3，那只要求出BC長即可。有高，意味著有直角三角形，因此可以用勾股定理解決問題。條件AB=AC=BC有什么用呢？這說明△ABC是等邊三角形，我們還可以知道△ABC的三個內角都是60oADBC邊上的AD平分∠BAD，因此∠BAD＝∠CAD＝30°，并且有BD＝CD＝1BC。2根據“在直角三角形中，30oBDxAB2xBC2x.在直角三角形ABDxBC邊的長，于是△ABC的面積就可以求出來了。我們既要學會分析問題，也要學會表達。如何用符號語言表達解決問題的過程呢？請同學們跟著我一起來寫一下?！鰽BC∠BAC=60o,又AD是高，BAD1BAC300,2在Rt△BAD中，AB=2BD,設BD=x,則AB=2x，AD2BD2AB2,32x2(2x)2,x 3,AB=AC=BC=23,S 1BCAD123333ABC 2 2這個題目把直角三角形中30o角，這個條件轉化為兩條邊之間的解決了三角形的面積問題，我們看看怎么求四邊形的面積，請看經常轉化為三角形問題解決，對不規(guī)則的四邊形引導學生利用割補法求面積。問題4：ABCD，求四邊形ABCD的面積．因此無法直接用公式求出其面積。那怎么求這個四邊形的面積？四邊形一般可以連接對角線轉化為三角形來研究。ACBDBD，會破壞直環(huán)節(jié)六角這個條件，割出來的圖形也不是直角三角形，這方法很難求三角形面積。那我們再試試連接AC，這時候左邊是一個直角三角形，知道兩條直角邊長，我們可以直接算出面積，也可以利用勾股定理算出第三邊，而右邊三角形沒有告知是一個直角三角形，但是右邊三角形的三邊已經給出，考慮勾股定理的逆定理。我們可以得到右邊三角形也是一個直角三角形，那么四邊形的面積問題就可以求出來了。們課后思考。解：連接AC，∵ Rt△ABC,AB=3，BC=4，∠B=90°，55∴ AC=3242=5∵ CD=12，AD=13，∴ AC2CD252122169．又∵ AD2132169,即 AC2CD2AD2,∴ △ACD是直角三角形．∴ ABCD的面積為S134151236．2 2用割補法求多邊形面積是一個?？碱}型，我們要掌握常用的割和補的方法，明白割補法中滲透的轉化思想。通過簡單的圖形再一次溫習長可以求第三邊長；直角三角形中，知道一邊長，另外兩邊長的本章的主要知識點，通過圖大小關系，我們可以通過勾股定理列方程求邊長。特殊情況下，形簡單，明了，易記。則兩條邊的大小關系也可以通過一個角度來表示。勾股定理的逆定理則是知道三條邊才長的情況下，判斷一個三角形是否是直角三角形。這兩個定理是有區(qū)別又緊密聯(lián)系的，它們加深了我們對環(huán)節(jié)七直角三角形的邊和角之間的認識。勾股定理及其逆定理在現(xiàn)實生活中還有很多的應用，我們下節(jié)課再繼續(xù)研究吧。 知能演練提升能力提升1.一個三角形的兩邊長分別為4和5,要使該三角形為直角三角形,則第三邊長為()A.3 B.41C.41或3 D.不確定2.滿足下列條件的三角形中,不是直角三角形的是()A.三內角之比為1∶2∶3B.三邊長的平方之比為9∶25∶16C.三邊長之比為3∶4∶5D.三內角之比為3∶4∶53.如圖,若每個小正方形的邊長都為1,A,B,C是小正方形的頂點,則∠ABC的度數(shù)為()A.90° B.60°C.45° D.30°4.下列說法錯誤的是()A.任何命題都有逆命題B.任何定理都有逆定理C.真命題的逆命題不一定是真命題D.定理的逆定理一定是真命題5.若三角形的三邊長分別等于2,6,2,則此三角形的面積為(A.22 B.C.32 D.★6.如圖,該網格是正方形網格,則∠PAB+∠PBA=.(點A,B,P是網格線的交點)

★7.如圖,每個小方格都是邊長為1的正方形,點A,B是方格紙的兩個格點(即正方形的頂點),在這個6×6的方格紙中,找出格點C,使△ABC是面積為1的直角三角形,點C的個數(shù)是.

8.如圖,在△ABC中,AB=17,BC=16,BC邊上的中線AD=15,△ABC是等腰三角形嗎?為什么?9.如圖,小明的家位于一條南北走向的河流MN的東側A處,某一天小明從家出發(fā)沿南偏西30°方向走60m到達河邊B處取水,然后沿另一方向走80m到達菜地C處澆水,最后沿第三方向走100m回到家A處.問小明在河邊B處取水后是沿哪個方向行走的?并說明理由.創(chuàng)新應用★10.據《周髀算經》記載,將一根直尺折成一個直角,兩端連接得一個直角三角形,如果勾是三,股是四,那么弦就等于五.后人概括為“勾三、股四、弦五”,因此“3,4,5”為一組勾股數(shù).(1)觀察:3,4,5;5,12,13;7,24,25;…,發(fā)現(xiàn)這些勾股數(shù)的“勾”都是奇數(shù),且從3起就沒有間斷過,計算12(9-1),12(9+1)與12(25-1),1(2)根據(1)的規(guī)律,用含n(n為奇數(shù),且n≥3)的代數(shù)式來表示所有這些勾股數(shù)的勾、股、弦,猜想它們之間的兩種相等關系,并對其中一種猜想加以說明;(3)繼續(xù)觀察4,3,5;6,8,10;8,15,17;…,可以發(fā)現(xiàn)各組的第一個數(shù)都是偶數(shù),且從4起也沒有間斷過,運用類似上述探索的方法,直接用含m(m為偶數(shù),且m≥4)的代數(shù)式來表示它們的股和弦.

知能演練·提升能力提升1.C若5為最長邊,則第三邊長為52-42=3;若4和5都為直角邊,則第三邊長為52.D3.C連接AC(圖略).因為每個小正方形的邊長都為1,所以AB2=12+32=10,BC2=12+22=5,AC2=12+22=5,所以AB2=BC2+AC2,且BC=AC,所以△ABC是等腰直角三角形,所以∠ABC=45°.4.B5.B由三邊長可確定這是直角三角形,兩直角邊分別為2,2,所以三角形面積為12×2×26.45°如圖,延長AP交網格于點D,連接BD.設小正方形網格的邊長為1,則PD2=BD2=12+22=5,PB2=12+32=10,∴PD2+BD2=PB2,∴∠PDB=90°.∴∠DPB=∠PAB+∠PBA=45°.7.6如圖,當∠A為直角時,滿足面積為1的點是C1,C2;當∠B為直角時,滿足面積為1的點是C3,C4;當∠C為直角時,滿足面積為1的點是C5,C6,所以滿足條件的點共有6個.8.解△ABC是等腰三角形.理由:在△ABD中,∵AB2=172=289,AD2=152=225,BD2=12×162=64,∴AB2=AD2∴△ABD是直角三角形.∴AD⊥BC.∴△ADC為直角三角形.∴AC2=AD2+DC2=152+12×162∴AB=AC.故△ABC是等腰三角形.9.解沿南偏東60°方向行走的.理由如下:∵AB=60m,BC=80m,AC=100m,∴AB2+BC2=AC2,∴∠ABC=90°.∵AD∥NM,∴∠NBA=∠BAD=30°.∴∠MBC=180°-90°-30°=60°.∴小明在河邊B處取水后是沿南偏東60°方向行走的.二、創(chuàng)新應用10.解(1)∵12(9-1)=12(32-1)=4,12(9+1)=12(32+1)=5,12(25-1)=12(52-1)=12,12(25+1)=12(52+1)=13,∴7,