特殊平行四邊形—九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)北師大版(2012)單元質(zhì)檢卷（A卷）【滿分：120】一、選擇題：（本大題共10小題，每小題4分，共40分，給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.如圖,在菱形中,周長為16,,則的長等于()A. B.4 C. D.22.下列說法中，正確的是()A.平行四邊形的對(duì)角線互相垂直 B.菱形的對(duì)角線相等C.矩形的對(duì)角線互相垂直 D.正方形的對(duì)角線互相垂直且相等3.如圖，四邊形是菱形，，，于H，則等于()A. B. C.5 D.44.如圖,E,F是正方形邊上的兩點(diǎn),,以為邊向正方形內(nèi)作矩形,,若矩形在正方形內(nèi)可隨線段進(jìn)行自由滑動(dòng),則正方形邊長的最小值為()A. B.4 C. D.5.如圖，在正方形ABCD外側(cè)，作等邊三角形ADE，AC，BE相交于點(diǎn)F，則為()A.75° B.60° C.55° D.45°6.現(xiàn)有一矩形,借助此矩形作菱形,兩位同學(xué)提供了如下方案：方案Ⅰ：分別取邊,,,的中點(diǎn)E,F,G,H,順次連接這四點(diǎn),圍成的四邊形即為所求.方案Ⅱ：連接,作的垂直平分線分別交,于點(diǎn)F,E,連接,,四邊形即為所求.對(duì)于方案Ⅰ,Ⅱ,說法正確的是()A.Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B.Ⅰ不可行、Ⅱ可行C.Ⅰ,Ⅱ都可行 D.Ⅰ,Ⅱ都不可行7.如圖所示，正方形的面積為12，是等邊三角形，點(diǎn)E在正方形內(nèi)，在對(duì)角線上有一點(diǎn)P，使的和最小，則這個(gè)最小值為()A. B. C. D.8.如圖,在菱形紙片ABCD中,,,將菱形紙片翻折,使點(diǎn)A落在CD的中點(diǎn)E處,折痕為,點(diǎn)F,G分別在邊AB,AD上,則EF的長為()A. B. C. D.9.如圖,菱形,點(diǎn)A、B、C、D均在坐標(biāo)軸上,,點(diǎn),點(diǎn)E是的中點(diǎn),點(diǎn)P是上的一動(dòng)點(diǎn),則的最小值是()A.3 B.5 C. D.10.如圖,正方形的邊長為4,G是對(duì)角線上一動(dòng)點(diǎn),于點(diǎn)E,于點(diǎn)F,連接,給出四種情況：①若G為的中點(diǎn),則四邊形是正方形；②若G為上任意一點(diǎn),則；③點(diǎn)G在運(yùn)動(dòng)過程中,的值為定值4；③點(diǎn)G在運(yùn)動(dòng)過程中,線段的最小值為.正確的有()A.①②③③ B.①②③ C.①②③ D.①③③二、填空題（每小題4分，共20分）11.如圖,點(diǎn)E是正方形ABCD的邊DC上一點(diǎn),把繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到的位置,若四邊形AECF的面積為25,,則AE的長為______.12.如圖菱形中,,的垂直平分線交對(duì)角線于點(diǎn)E,連接,則的度數(shù)是______.13.如圖，菱形ABCD中，，AD的垂直平分線交對(duì)角線BD于點(diǎn)P，垂足為N，連結(jié)CP，則_____度.14.如圖,在矩形中,,,的平分線交邊于點(diǎn)E,M,N分別是邊,上的動(dòng)點(diǎn),且,P是線段上的動(dòng)點(diǎn),連接,.當(dāng)______時(shí),的值最小.15.如圖，將一張長方形紙片沿著對(duì)角線向下折疊，頂點(diǎn)A落在點(diǎn)處，交于點(diǎn)E，的垂直平分線分別交，，點(diǎn)F，G，H，連接，若，，則的長為________.三、解答題（本大題共6小題，共計(jì)60分，解答題應(yīng)寫出演算步驟或證明過程）16.（8分）如圖,四邊形ABCD是菱形,點(diǎn)E,F分別在AB和AD上,且.點(diǎn)G,H分別在CD和BC上,且,,EG與FH交于點(diǎn)M.求證：四邊形AEMF為菱形.17.（8分）在學(xué)習(xí)矩形的過程中,小明發(fā)現(xiàn)將矩形折疊,使得點(diǎn)B與點(diǎn)D重合,所得折痕在的垂直平分線上,折痕平分矩形的面積.他想對(duì)此折痕平分矩形的面積進(jìn)行證明.他的思路是首先作出線段的垂直平分線,通過三角形全等的證明,將折痕左側(cè)的四邊形的面積轉(zhuǎn)化為三角形的面積,使問題得到解決.請(qǐng)根據(jù)小明的思路完成下面的作圖與填空：用直尺和圓規(guī),作的垂直平分線,交于點(diǎn)M,交于點(diǎn)N,垂足為點(diǎn)O.∵四邊形是矩形,∴①,∴,,∵②,∴③,∴,,,,又∵,∴④,即平分矩形的面積.18.（10分）已知：如圖，在中，，D點(diǎn)是的中點(diǎn)，、分別是、的角平分線.(1)請(qǐng)直接寫出、、之間的數(shù)量關(guān)系：；(2)求證：四邊形是矩形；(3)當(dāng)滿足條件時(shí)，四邊形是正方形.(直接填空即可)19.（10分）已知：如圖1，四邊形四條邊上的中點(diǎn)分別為E、F、G、H，順次連接、、、，得到四邊形(即四邊形的中點(diǎn)四邊形).(1)四邊形的形狀是__________，證明你的結(jié)論.(2)如圖2，請(qǐng)連接四邊形的對(duì)角線與，當(dāng)與滿足__________條件時(shí)，四邊形是正方形，證明你的結(jié)論.20.（12分）(1)【操作與探究】如圖1,正方形中,點(diǎn)E、F分別是,上一點(diǎn).延長至點(diǎn)Q,使得,連接,,請(qǐng)根據(jù)題意畫出圖形.①求證：；②若,,求正方形的邊長AB.(2)[遷移與應(yīng)用]如圖2,正方形中,點(diǎn)E在邊上(不與端點(diǎn)重合),F、G分別是,上一點(diǎn),交于點(diǎn)M,,若,直接寫出的值：______.21.（12分）在矩形中，，，E、F是對(duì)角線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，分別從A、C同時(shí)出發(fā)相向而行，速度均為每秒1個(gè)單位長度，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，其中.(1)若G，H分別是，中點(diǎn)，則四邊形一定是怎樣的四邊形(E、F相遇時(shí)除外)？解：________(直接填空，不用說理)(2)在(1)條件下，若四邊形為矩形，求t的值；

答案以及解析1.答案：B解析：在菱形中,,,∴是等邊三角形,∵菱形的周長為16,∴,∴故選B.2.答案：D解析：A、平行四邊形的對(duì)角線互相平分，此選項(xiàng)錯(cuò)誤，不合題意；B、菱形的對(duì)角線互相垂直，此選項(xiàng)錯(cuò)誤，不合題意；C、矩形的對(duì)角線相等，此選項(xiàng)錯(cuò)誤，不合題意；D、正方形的對(duì)角線一定互相垂直且相等，此選項(xiàng)正確，符合題意.故選D.3.答案：A解析：如圖所示，設(shè)菱形的對(duì)角線交于O，四邊形是菱形，，，，，故選：A.4.答案：B解析：連接HF,如圖,∵四邊形EFGH是矩形,∴,∴,過點(diǎn)H作于點(diǎn)M,則,∴,根據(jù)題意,,∴正方形邊長的最小值為4.故選：B.5.答案：B解析：∵四邊形ABCD是正方形，，，，是等邊三角形，，，，，；故選：B.6.答案：C解析：方案I,四邊形ABCD為矩形,,,點(diǎn)E,F,G,H分別是AB,BC,CD,DA的中點(diǎn),,,,,四邊形EFGH為菱形;方案1,四邊形ABCD為矩形,,垂直平分AC,,,,,,,,四邊形AECF為菱形.方案I、II都可行,故選:C.7.答案：B解析：連接，，如圖所示：∵四邊形為正方形，∴點(diǎn)B與D關(guān)于對(duì)稱，∴，∴，∴最小值為的長，∵正方形的面積為12，∴，又∵是等邊三角形，∴，∴最小值為，故B正確.故選：B.8.答案：A解析：連接BE,BD,如圖,∵四邊形ABCD為菱形,,∴為等邊三角形,,∴.∵E點(diǎn)為CD的中點(diǎn),∴,.在中,,.∵,∴.∵菱形紙片翻折,使點(diǎn)A落在CD的中點(diǎn)E處,∴.設(shè),則,在中,,解得.故選A.9.答案：A解析：如圖：連接BE,,∵菱形ABCD,∴B、D關(guān)于直線AC對(duì)稱,∵直線AC上的動(dòng)點(diǎn)P到E、D兩定點(diǎn)距離之和最小∴根據(jù)“將軍飲馬”模型可知BE長度即是的最小值.,∵菱形ABCD,,點(diǎn),∴,,,∴,∴是等邊三角形∴∵點(diǎn)E是的中點(diǎn),∴,且,∴故選：A.10.答案：A解析：四邊形是正方形,,,,于點(diǎn)E,于點(diǎn)F,,四邊形是矩形,,,∴,,∵G為的中點(diǎn),∴∴∴四邊形是正方形,故①正確；連接,∵四邊形是矩形,∴,在與中,,,,,故②正確；∵∴,∵四邊形是矩形,∴∴,即的值為定值4,故③正確；∵,∴當(dāng)最小時(shí),最小,∴當(dāng)時(shí),最小,在中,,∵∴∴,∴線段的最小值為,故③正確；∴正確的有①②③③.故選：A.11.答案：解析：∵把順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的位置,∴四邊形AECF的面積等于正方形ABCD的面積等于25,∴,∵,∴中,.故答案為.12.答案：/55度解析：如圖,連接,∵菱形中,,∴,,∴,,∵的垂直平分線交對(duì)角線于點(diǎn)E,∴,∴,∴由菱形的軸對(duì)稱的性質(zhì)可得：,故答案為：.13.答案：72解析：如圖，連接AP，在菱形ABCD中，，，NP是AB的垂直平分線，，，，由菱形的對(duì)稱性得，.故答案為：72.14.答案：2解析：∵矩形,∴,∵的平分線交邊于點(diǎn)E,∴,∴為等腰直角三角形,作點(diǎn)N關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn),則在直線上,連接,∴,∵垂線段最短,∴時(shí),的值最小,如圖：此時(shí)：四邊形,四邊形,四邊形均為矩形,∴,∵,∴四邊形為正方形,∴,∴；故答案為：2.15.答案：解析：由題可知，，，，，設(shè)，則，在中，，，解得，，是的垂直平分線，，，連接.設(shè)，則，在中，，在中，在中，，即：解得，，故答案為：.16.答案：證明見解析解析：證明：,,四邊形AEMF為平行四邊形,四邊形ABCD是菱形..,,即,四邊形AEMF為菱形.17.答案：,垂直平分線段,,解析：圖形如圖所示：四邊形是矩形,①,,,②垂直平分線段,③,,,又,④,即平分矩形的面積.故答案為：,垂直平分線段,,.18.答案：(1)(2)證明見解析(3)(答案不唯一)解析：(1)∵在中，，D點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，故答案為：；(2)證明：∵，、分別是、的角平分線，∴，又∵，∴四邊形是矩形；(3)當(dāng)滿足條件時(shí)，四邊形是正方形，理由如下：∵，、分別是、的角平分線，∴，∵，∴，∴矩形是正方形，故答案為：(答案不唯一)；19.答案：(1)平行四邊形，證明見解析(2)互相垂直且相等(且)，證明見解析解析：(1)證明：四邊形是平行四邊形，證明如下；如圖1，連接，點(diǎn)E、H分別是、中點(diǎn)，∴，，同理，，，∴，，四邊形是平行四邊形；(2)互相垂直且相等(且)，證明如下；如圖2，連結(jié)，同理(1)可知，四邊形是平行四邊形，∵，∴，平行四邊形是矩形，∵，∴，∴四邊形是正方形.20.答案：(1)①證明見解析②6(2)解析：畫圖如圖所示,①證明：∵正方形,∴,,∵,∴,∴,,∵,,∴,∴,∵,∴,∴,∴；②設(shè)正方形邊長為x,∵,,∴,,由①得,根據(jù)勾股定理得,,解得,正方形的邊長.(2)作,連接,設(shè)正方形的邊長為,,∴,四邊形是平行四邊形,∴,∵,∴,,,根據(jù)勾股定理得,,解得,,則,,.2