第第頁廣東省中山市2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期末統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．sin63A．32 B．12 C．?32．已知a,b為不共線向量，A．A,B,D三點(diǎn)共線 B．A,B,C三點(diǎn)共線C．B,C,D三點(diǎn)共線 D．A,C,D三點(diǎn)共線3．設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，下列命題中正確的是（）A．若m//α，mB．若m⊥α,m⊥n，則nC．若m⊥α，m//nD．若α⊥β,m⊥α，則m4．某地政府對在家附近工作的年輕人進(jìn)行了抽樣調(diào)查，得到他們一年能在家陪伴父母的天數(shù)，并繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，則樣本中位數(shù)約為（）A．150.5 B．152.5 C．154.5 D．156.55．已知某人射擊每次擊中目標(biāo)的概率都是0.6，現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法估計其3次射擊至少2次擊中目標(biāo)的概率P．先由計算器產(chǎn)生0到9之間的整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，指定0，1，2，3，4，5表示擊中目標(biāo)，6，7，8，9表示未擊中目標(biāo)；因?yàn)樯鋼?次，所以每3個隨機(jī)數(shù)為一組，代表3次射擊的結(jié)果．經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了以下20組隨機(jī)數(shù)：169966151525271937592408569683471257333027554488730863537039據(jù)此估計P的值為（）A．0.6 B．0.65 C．0.7 D．0.756．如圖，由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形，已知AB=a,A．34a+C．613a+7．已知cosθ=14A．?1116 B．1116 C．?8．設(shè)長方體ABCD?A1B1C1D1的對角線AC1與頂點(diǎn)A出發(fā)的三條棱所成的角分別為α、β、A．sin2α+sinC．sin2α'二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9．已知復(fù)數(shù)z=?1A．z+z=1 B．z?z=1 C．10．下列化簡正確的是（）A．sin15°sinC．1sin10°11．如圖，已知二面角α?l?β的棱l上有A，B兩點(diǎn)，C∈α，AC⊥l，D∈β，BD⊥l，且AC=AB=BD=1，則下列說法正確的是（）．A．當(dāng)α⊥β時，直線CD與平面β所成角的正弦值為3B．當(dāng)二面角α?l?β的大小為60°時，直線AB與CD所成角為45°C．若CD=2，則二面角C?BD?A的余弦值為21D．若CD=2，則四面體ABCD的外接球的體積為5三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．把函數(shù)f(x)=sin(2x+φ)(?π2≤φ≤π13．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a,b,c，且a=x，b=2，B=45°，符合條件的三角形有兩個，則實(shí)數(shù)x14．記一組數(shù)據(jù)x1,x2,?,xn的平均數(shù)為1.6四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15．已知平面向量a，b滿足a=1，b=2，（1）求a?（2）若向量b與λa+b16．第56屆世界乒乓球團(tuán)體錦標(biāo)賽于2022年在中國成都舉辦，國球運(yùn)動又一次掀起熱潮．現(xiàn)有甲乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，比賽采用7局4勝制，每局11分制，每贏一球得1分，選手只要得到至少11分，并且領(lǐng)先對方至少2分（包括2分），即贏得該局比賽．在一局比賽中，每人只發(fā)2個球就要交換發(fā)球權(quán)，如果雙方比分為10：10后，每人發(fā)一個球就要交換發(fā)球權(quán)．（1）已知在本場比賽中，前三局甲贏兩局，乙贏一局，在后續(xù)比賽中，每局比賽甲獲勝的概率為35，乙獲勝的概率為2（2）已知某局比賽中雙方比分為8：8，且接下來兩球由甲發(fā)球，若甲發(fā)球時甲得分的概率為23，乙發(fā)球時乙得分的概率為117．已知函數(shù)f(x)=22（1）解不等式f(x)≥1；（2）若mf(x)≤g(x)對任意的x∈[0,π4]18．如圖，AB為半球M的直徑，C為AB上一點(diǎn)，P為半球面上一點(diǎn)，且AC⊥PC．（1）證明：PB⊥PC；（2）若AC=AM=2，PB=6，求直線PC與平面PAB19．在△ABC中，B=π3，點(diǎn)D在邊AB上，BD=2（1）若△BCD的面積為23，求邊CD（2）若AC=23，求∠DCA

答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】解：sin63°故答案為：A．【分析】由已知條件結(jié)合誘導(dǎo)公式和兩角和的正弦公式，從而化簡求值．2．【答案】A【解析】【解答】解：因?yàn)锳B?=a?+5b?，BC故答案為：A．【分析】由題意，根據(jù)向量的加法運(yùn)算，求得BD=AB，即可判斷3．【答案】C【解析】【解答】解：對于A：若m//α，m//β，則α//對于B：若m⊥α,m⊥n，則n//α或?qū)τ贑：若m⊥α，m//n，則對于D：若α⊥β,m⊥α，則m//β或故答案為：C.【分析】根據(jù)空間中線面的位置關(guān)系、面面的位置關(guān)系，從而逐項(xiàng)判斷找出真命題的選項(xiàng).4．【答案】B【解析】【解答】解：依題意，0.001+0.004+a+0.016+0.012+0.005+0.002×20=1，

解得a=0.01顯然0.001+0.004+0.01×20=0.3<0.5，0.3+0.016×20=0.62>0.5所以樣本中位數(shù)為140+0.5?0.3故答案為：B.【分析】先根據(jù)頻率之和為1求出未知數(shù)a的值，再找到頻率之和為0.5所在的區(qū)間即可根據(jù)頻率分布直方圖進(jìn)行求解，從而估計出樣本的中位數(shù).5．【答案】B【解析】【解答】20組隨機(jī)數(shù)中至少2次擊中目標(biāo)的包含的隨機(jī)數(shù)為：151，525，271，592，408，471，257，333，027，554，730，537，039，一個有13組，所以其3次射擊至少2次擊中目標(biāo)的概率P=13故答案為：B.

【分析】利用已知條件結(jié)合古典概型求概率公式，從而求出其3次射擊至少2次擊中目標(biāo)的概率，進(jìn)而估計出P的值。6．【答案】C【解析】【解答】解：過F作FG⊥AB，垂足為G，設(shè)大正方形的邊長為1，設(shè)小正方形的邊長為x，

因?yàn)锳F=2FE，所以AF=2x，所以BF=AE=3x，

由勾股定理可知：AF2+Bsin∠FAB=cos∠FAB=因此，由平面向量基本定理可知：AF=因?yàn)锳F=2FE，

所以故答案為：C.【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義結(jié)合正方形的性質(zhì)、平面向量基本定理，從而找出正確的選項(xiàng).7．【答案】A【解析】【解答】解：因?yàn)閏osθ=14，

則cos3θ==?7故答案為：A.【分析】根據(jù)題意求得cos2θ=?78,sin8．【答案】D【解析】【解答】解：連接AD1，AB1，AC，A1由題意知：α=∠C1AB，β=∠因?yàn)镃C1⊥平面ABCD，C1B1⊥所以，α'=∠C1AC對于A：sin===3ACcos=A對于C：sin=C對于D：cos==3故答案為：D.

【分析】在圖中找到α，β，γ和α'，β'，9．【答案】A,D【解析】【解答】解：因?yàn)閦=?12+32i，

所以因?yàn)閦?z=?12+因?yàn)閦2因?yàn)閦3故答案為：AD.【分析】由z=?110．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：對于A，因?yàn)閟in15對于B，因?yàn)閏os2對于C，因?yàn)?sin對于D，因?yàn)閠an22.5故答案為：ABD.【分析】利用二倍角正弦公式、二倍角的余弦公式、輔助角公式和二倍角的正切公式，從而逐項(xiàng)判斷找出化簡正確的選項(xiàng).11．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：對于A，當(dāng)α⊥β時，

因?yàn)棣痢搔?l,AC?α，

所以AC⊥l直線CD與平面β所成角為∠CDA，則sin∠CDA=對于B，如圖，過A作AE∥BD，且AE=BD，連接ED，則當(dāng)四邊形ABDE為正方形，

∠CDE為直線AB與CD所成角，∠CAE為二面角α?l?β的平面角，當(dāng)∠CAE=60°時，易得CE=DE=1，又因?yàn)锳C⊥l，BD⊥l，

所以l⊥面AEC，

則DE⊥面AEC，

所以∠CDE=45°，故B正確；對于C，如圖，作AE∥則二面角α?l?β的平面角為∠CAE，

又因?yàn)镃D=2，在Rt△DCE中，易得CE=在△ACE．中，由余弦定理得cos∠CAE=?12過C點(diǎn)作CO⊥AE交線段EA的延長線于點(diǎn)O，

則CO⊥平面ABDE，過O點(diǎn)作OH⊥BD，交線段DB的延長線于點(diǎn)H，連接CH，則∠CHO為二面角C?BD?A的平面角，易得CO=32，HO=1，所以cos∠CHO=對于D，由選項(xiàng)C可知∠CAE=120°，如圖，分別取線段AD，AE的中點(diǎn)G，M，連接GM，過G點(diǎn)作平面β的垂線，則球心O必在該垂線上，

設(shè)球的半徑為R，則OE=R，又因?yàn)椤鰽CE的外接圓半徑r=1，

則R2所以四面體ABCD的外接球的體積為43故答案為：ABD.

【分析】由面面垂直的性質(zhì)定理得出線面垂直，從而得出直線CD與平面β所成角的正弦值，則可判斷選項(xiàng)A；根據(jù)二面角求異面直線所成的角的方法和二面角求解方法，則判斷出選項(xiàng)B和選項(xiàng)C；由四面體外接球的幾何性質(zhì)得出外接球半徑，從而得出四面體ABCD的外接球的體積，則可判斷選項(xiàng)D，從而找出說法正確的選項(xiàng).12．【答案】π【解析】【解答】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=sin(2x+φ)(?π所以函數(shù)g(x)=sin(2x?π6即g(所以φ=π因?yàn)?π2≤φ≤π故答案為：π

【分析】轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(x)=sin(2x?π613．【答案】2,22【解析】【解答】解：在△ABC中，a=x，b=2，B=45由余弦定理得：b2=c2+因?yàn)榉蠗l件的三角形有兩個，

所以關(guān)于c的方程由兩個正根，所以Δ=2x2故實(shí)數(shù)x的取值范圍是2,22故答案為：2,22【分析】利用余弦定理，構(gòu)造關(guān)于c的方程，再利用根的分布求出x的取值范圍.14．【答案】4【解析】【解答】解：因?yàn)閤1,x2,?,所以x=1n則s2則s2則s2=1nx所以x1所以數(shù)據(jù)x12,故答案為：4.

【分析】根據(jù)已知條件和平均數(shù)公式、方差公式以及平均數(shù)的性質(zhì)、方差的性質(zhì)，從而計算可得數(shù)據(jù)x115．【答案】解：（1）依題意，得：a+2b?a所以a?（2）由向量b與λa+b的夾角為銳角，

可得b?λa+當(dāng)向量b與λa+b綜上所述，λ的取值范圍為?4,0∪【解析】【分析】(1)由已知條件和數(shù)量積的運(yùn)算律求出a?b的值，再根據(jù)數(shù)量積求向量模的公式和數(shù)量積的運(yùn)算律，從而得出(2)根據(jù)向量夾角為銳角結(jié)合數(shù)量積求向量夾角公式，從而列出關(guān)于λ的不等關(guān)系式，結(jié)合當(dāng)向量b與λa+b同向時，可知λ=016．【答案】（1）解：設(shè)“甲乙兩人只需要再進(jìn)行兩局比賽就能結(jié)束本場比賽”為事件A，若兩局比賽就能結(jié)束，則只能甲連勝兩局，所以P(（2）解：設(shè)“該局比賽甲得11分獲勝”為事件B，甲得11分獲勝有兩類情況：甲連得3分，則甲11：甲得3分，乙得1分，則甲11：所以P(【解析】【分析】（1）利用已知條件結(jié)合獨(dú)立事件乘法求概率公式得出甲乙兩人只需要再進(jìn)行兩局比賽就能結(jié)束本場比賽的概率。

（2）利用已知條件結(jié)合獨(dú)立事件乘法求概率公式和互斥事件加法求概率公式得出該局比賽甲得11分獲勝的概率。17．【答案】（1）解：依題意，得出：f(x)=2=sinx+cosx=2sin(x+則2kπ+π4≤x+所以不等式f(x)≥1的解集為[2kπ（2）解：由mf(x)≤g(x)，

得m(sin由x∈[0,π4]，得π4≤x+令t=sinx+cosx=2則原不等式化為mt≤t2?1，

所以m≤t2?1t則當(dāng)t=1時，ymin=0，

所以【解析】【分析】（1）利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式和輔助角公式化簡函數(shù)f(x)，再利用已知條件和正弦型函數(shù)的圖象，從而得出不等式f(x)≥1的解集.（2）令t=sinx+cosx結(jié)合（1）依題意，f(x)=2=sinx+cosx=2則2kπ+π所以不等式f(x)≥1的解集為[2kπ（2）由mf(x)≤g(x)，得m(sin由x∈[0,π4]，得π令t=sinx+cos原不等式化為mt≤t2?1，即m≤t2則當(dāng)t=1時，ymin=0，因此所以m的取值范圍m≤0.18．【答案】（1）證明：因?yàn)锳B為半球M的直徑，C為AB上一點(diǎn)，所以AC⊥BC，又因?yàn)锳C⊥PC，BC∩PC=C，BC,PC?平面PBC，所以AC⊥平面PBC，又因?yàn)镻B?平面PBC，所以AC⊥PB，又因?yàn)镻為半球面上一點(diǎn)，所以PA⊥PB，PA∩AC=A，PA,AC?平面PAC，所以PB⊥平面PAC，PC?平面PAC，所以PB⊥PC.（2）解：因?yàn)槿切蜛BC為直角三角形，則AB=2AM=4,AC=2，所以BC=23又因?yàn)镻B=6，PB⊥平面PAC所以PC=6又因?yàn)槿切蜳AB也是直角三角形，所以PA=10所以S△PACS△PAB設(shè)點(diǎn)C到平面PAB的距離為h，則VC?PAB所以13所以h=S設(shè)直線PC與平面PAB所成的角為θ，則sinθ=【解析】【分析】(1)由AC⊥BC，AC⊥PC可得AC⊥平面PBC，從而可得AC⊥PB，再利用PA⊥PB可得PB⊥平面PAC，從而證出PB⊥PC.(2)利用已知條件和等體積法結(jié)合三棱錐的體積公式，從而求得點(diǎn)C到平面PAB的距離為h的值，設(shè)直線PC與平面PAB所成的角為θ，則sinθ=hPC，從而得出直線PC（1）證明：因?yàn)锳B為半球M的直徑，C為AB上一點(diǎn)，所以AC⊥BC，又因?yàn)锳C⊥PC，BC∩PC=C，BC,PC?平面PBC，所以AC⊥平面PBC，又因?yàn)镻B?平面PBC，所以AC⊥PB，又因?yàn)镻為半球面上一點(diǎn)，所以PA⊥PB，PA∩AC=A，PA,AC?平面PAC，所以PB⊥平面PAC，PC?平面PAC，所以PB⊥PC；（2）解：因?yàn)槿切蜛BC為直角三角形，AB=2AM=4,AC=2，所以BC=23又因?yàn)镻B=6，PB⊥平面PAC所以PC=6又因?yàn)槿切蜳AB也是直角三角形，所以PA=10所以S△PACS△PAB設(shè)點(diǎn)C到平面PAB的距離為h，則有VC?PAB即13所以h=S設(shè)直線PC與平面PAB所成的角為θ，則sinθ=19．【答案】（1）解：在△BCD中，

由題意得S△BCD又因?yàn)锽D=2，∠DBC=π所以12×2×