第第頁上海市民辦南模中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期數(shù)學(xué)期末試卷一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）1．已知tanα=34，則2．已知向量a=(2,3．在半徑為1的圓中，π3弧度的圓心角所對的弧長為4．已知復(fù)數(shù)z滿足：z1+i=2?3i5．若向量a,b的夾角150°6．在公差為正數(shù)的等差數(shù)列{an}中，a1=3，若a7．已知平面向量a與b的夾角為π3，若|a|=1，b=(18．若將函數(shù)f（x）=sin（2x+π4）的圖象向右平移φ個單位，所得圖象關(guān)于y軸對稱，則φ的最小正值是9．已知數(shù)列{an}滿足：an=2n210．如圖，在扇形AOB中，∠AOB=60,OA=14m，點C在扇形AOB內(nèi)部，OC⊥AC，∠11．設(shè)a,b為平面內(nèi)的任意兩個向量，定義一種向量運算“?”；a?①a②λ(③(④若e是單位向量，則|a以上所有正確結(jié)論的序號是.12．歐拉函數(shù)φ(n)(n∈N*)的函數(shù)值等于所有不超過n且與n互質(zhì)的正整數(shù)的個數(shù)（公約數(shù)只有1的兩個整數(shù)稱為互質(zhì)整數(shù)），例如：φ(3)=2,φ(二、選擇題（本大題共4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分）13．在公差為d的等差數(shù)列{an}中，aA．1或2 B．1 C．-1 D．-214．下列函數(shù)在(πA．y=sin4x C．y=cos(2x?15．已知復(fù)數(shù)z1、z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點分別為P、Q,|OP|=5A．|OQ| B．|PQ| C．△OPQ16．在△ABC中，S△ABC=36ABA．4 B．23 C．2 D．三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）17．本題共有2個小題，第1小題滿分7分，第2小題滿分7分.已知2?i是關(guān)于x的方程x2+mx+n=0（1）求m+2n的值；（2）記復(fù)數(shù)z=m+ni，求復(fù)數(shù)z18．本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分.已知向量m=(co（1）求函數(shù)y=f(（2）若x∈[0,19．本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分.已知函數(shù)f(（1）求f(（2）若將f(x)的圖象向右平移π3個單位，再向上平移1個單位得到g(x)20．若數(shù)列{an}滿足an<an+1（1）已知等差數(shù)列{an}的前n項和為S①若a3=0，S4=?2，求②若S10=100，b99（2）若an=2n（n≤100），證明：對任意i≠k或j≠l，ai+a21．已知O為坐標原點，對于函數(shù)f(x)=asinx+bcosx，稱向量（1）記向量ON=(1,3)的相伴函數(shù)為f(（2）設(shè)函數(shù)g(x)=3cos(（3）已知A=(?2,3),B=(2,6),

答案解析部分1．【答案】24【解析】【解答】解：因為tanα=34故答案為：247【分析】由題意，利用誘導(dǎo)公式結(jié)合正切二倍角公式求值即可.2．【答案】1或2【解析】【解答】解：因為向量a=(2又因為a⊥(a?b)，所以a?故答案為：1或2.【分析】由題意，先求a?b坐標，根據(jù)向量垂直，得3．【答案】π【解析】【解答】解：由題意，可得弧長l=rα故答案為：π3【分析】根據(jù)弧長公式直接計算即可.4．【答案】5+【解析】【解答】解：由z1+i=2?3i，可得故答案為：5+i【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法運算求得復(fù)數(shù)z，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概求z即可.5．【答案】7【解析】【解答】解：因為向量a，b的夾角為150°，|a|=則|a故答案為：7.【分析】由題意，利用向量數(shù)量積公式，結(jié)合向量模公式求解即可.6．【答案】165【解析】【解答】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為d，且d>0，因為a3,a6,32a8則S10故答案為：165.【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，利用等比中項結(jié)合等差數(shù)列的通項公式列式求得公差，再根據(jù)等差數(shù)列的前n項和公式求解即可.7．【答案】(【解析】【解答】解：因為向量a與b的夾角為π3，|a|=1，b=(1,2)，所以|b→|=58．【答案】3π【解析】【解答】解：將函數(shù)f（x）=sin（2x+π4所得圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式為y=sin[2（x﹣φ）+π4]=sin（2x+π則π4﹣2φ=kπ+π2，k∈z，即φ=﹣kπ2﹣π故答案為：3π8【分析】根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，可得所得圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式為y=sin（2x+π4﹣2φ），再根據(jù)所得圖象關(guān)于y軸對稱可得π4﹣2φ=kπ+9．【答案】(【解析】【解答】解：因為數(shù)列{an}是嚴格遞增數(shù)列，且對于任意的n∈所以對于任意n∈N*，an+1>an，即又因為?4n?2單調(diào)遞減，所以λ>?6，即實數(shù)λ的取值范圍是(故答案為：(?6【分析】由題意，可得an+1>a10．【答案】98【解析】【解答】解：設(shè)∠AOC=∠OBC=θ，則OC=14cosθ由∠AOB=60°，∠AOC=∠OBC，得∠OCB=120°，在△BOC中，由正弦定理OBsin∠OCB則tanθ=32，故OC=47，AC=221，則sin∠BOC=sin所以S△又知扇形AOB的面積為S扇形故陰影部分的面積為S扇形故答案為：983【分析】根據(jù)陰影部分的面積為S扇形11．【答案】①④【解析】【解答】解：①、當(dāng)a與b不共線時，a?當(dāng)a與b共線時，a?b=②、當(dāng)a與b共線時，λ(a?所以λ(a?b)③、當(dāng)a，b，c共線時，(a+b所以(a+b)?④、當(dāng)a與e不共線時，記a,e=當(dāng)a與e共線時，|a?e故答案為：①④.【分析】分a與b是否共線，根據(jù)新定義和向量數(shù)量積性質(zhì)，以及向量模的性質(zhì)即可判斷①；按照新定義驗證a與b共線的情形即可判斷②；按照新定義驗證a，b，c共線的情形即可判斷③；根據(jù)新定義，結(jié)合單位向量的定義即可判斷④.12．【答案】[【解析】【解答】解：在1～5n的整數(shù)中與5n不互質(zhì)的數(shù)有5,10,???,5n在1～10n的整數(shù)中，2的倍數(shù)共有10n2個，5的倍數(shù)共有1故an=φ故Sn則Sn+n?1≤λ即λ≥2+n?22令bn=n?2所以b4?b所以(2+n?22n?1)max故答案為：[9【分析】根據(jù)題目設(shè)定的歐拉函數(shù)的概念，結(jié)合數(shù)列前n項和的概念以及不等式恒成立的轉(zhuǎn)化方法即可求得實數(shù)λ的取值范圍.13．【答案】D【解析】【解答】解：在等差數(shù)列{an}則a3a7=(故答案為：D.【分析】根據(jù)已知條件，利用等差數(shù)列的通項列式列式求解即可.14．【答案】D【解析】【解答】解：A，因為x∈(π4,3π4B、因為x∈(π4,3π4)，所以C、因為x∈(π4,3π4D、因為x∈(π4,3π4故答案為：D.【分析】根據(jù)x∈(15．【答案】A【解析】【解答】解：因為復(fù)數(shù)z1、z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點分別為P、Q，|OP|=5（O為坐標原點），

則z對于方程x2?xsin解方程x2?xsin所以|z2z在△OPQ中，由于∠POQ不是定值，則△OPQ的面積、故答案為：A.【分析】根據(jù)已知條件可得(z2z16．【答案】A【解析】【解答】解：因為sinB=cosA所以sinAcosC+又因為sinA>0，cosC=0又因為S△ABC=12AB?AC?sinA=36又因為S△ABC=又sinB=sinπ3=又因為CP→=x因P為線段AB上的動點，即A,B,P共線，因為所以3x當(dāng)且僅當(dāng)x=3y=3故答案為：A.【分析】由題意，結(jié)合兩角和的正弦公式推得C=π2；再由S△ABC=36AB?AC17．【答案】（1）解：因為2?i是方程x2+mx+n=0(m所以3+2m+n?(4+m)i=0，所以3+2m+n=0，4+m=0（2）解：由（1）知：z=?4+5i，z=?4?5i故|z【解析】【分析】（1）由題意，將x=2?i（2）由（1）的結(jié)論，求出共軛復(fù)數(shù)，再根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算化簡復(fù)數(shù)，最后利用復(fù)數(shù)模長公式求解即可.18．【答案】（1）解：因為向量m=(cos2x,令2kπ?π則函數(shù)y=f(x)（2）解：因為x∈[0,π2]，所以故函數(shù)y=f(x)【解析】【分析】（1）由題意，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標表示余弦的二倍角公式、輔助角公式得f(（2）由正弦型函數(shù)的性質(zhì)求值域即可.19．【答案】（1）解：由圖象可知A+B=1?A+B=?3，解得A=2又由T2=7π12?π由圖象知f(π12)=1，sin所以2×π12+φ=由2kx?π2≤2x+π3≤2kπ則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是[kπ?（2）解：將f(x)g(令2x?π3=kπ,k∈Z因為x∈[?π6,π3]，所以當(dāng)2x?π3=π3【解析】【分析】（1）利用函數(shù)圖象列出A+B=1?A+B=?3，解得A，B，結(jié)合函數(shù)的周期，求解ω，利用函數(shù)的最大值求解φ（2）根據(jù)三角函數(shù)的變換規(guī)則求出g(x)解析式，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求出對稱中心坐標，通過x20．【答案】（1）解：設(shè){a①由a3=0，S解得a1=?2，所以an{b②因為an<a當(dāng)i≠j時，aii+j?2可以是任意正整數(shù)，所以數(shù)列{bm}由S10=100解得a1=1，d=2，所以數(shù)列{b所以{bm}（2）證明：假設(shè)存在i≠k或j≠l使得ai+aj=當(dāng)i=k且j≠l時，因為2i+2j=2k同理i≠k且j=l時也不成立，當(dāng)i≠k且j≠l時，設(shè)i<k，因為2i所以1+2左邊為奇數(shù)，右邊為偶數(shù)，所以1+2綜上得，對任意i≠k或j≠l，ai+aj≠所以數(shù)列{bm}【解析】【分析】(1)①根據(jù)等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式列方程組求解首項a1與公差d，即可得{an}的通項公式，從而根據(jù)數(shù)列{an}的和數(shù)列概念，確定{bm}的前5項；

②由an<an+1，得d>0，求解ai+aj，從而可得數(shù)列{bm}的第m項為bm=2a1+md，結(jié)合已知即可得首項a1與公差d，由和數(shù)列的概念可得數(shù)列{bm}的前50項的和；

(2)假設(shè)存在i≠k或j≠l使得ai+aj=ak+al(1≤i<j≤100，1≤k<l≤100)，分別討論當(dāng)i=k且j≠l時，當(dāng)i≠k且j≠l時，ai+aj=ak+ai是否成立，從而可證得結(jié)論.21．【答案】（1）解：已知可得：f(所以sin(因為x∈(?π6,π3則sinx=（2）解：g(=3所以O(shè)M=(0,2),（3）解：h(因為OT=(?所以32m=?3?m所以φ(假設(shè)在y=φ(x)的圖象上是否存在一點所以AP=所以(x+2所