.1用樣本估計總體考點抽樣方法與總體分布的估計1.(2024新課標(biāo)Ⅱ,4,5分,易)某農(nóng)業(yè)研究部門在面積相等的100塊稻田上種植一種新型水稻,得到各塊稻田的畝產(chǎn)量(單位:kg)并整理得下表:畝產(chǎn)量[900,950)[950,1000)[1000,1050)[1050,1100)[1100,1150)[1150,1200)頻數(shù)61218302410根據(jù)表中數(shù)據(jù),下列結(jié)論中正確的是()A.100塊稻田畝產(chǎn)量的中位數(shù)小于1050kgB.100塊稻田中畝產(chǎn)量低于1100kg的稻田所占比例超過80%C.100塊稻田畝產(chǎn)量的極差介于200kg至300kg之間D.100塊稻田畝產(chǎn)量的平均值介于900kg至1000kg之間4C列出頻率分布表如下:畝產(chǎn)量頻數(shù)頻率[900,950)60.06[950,1000)120.12[1000,1050)180.18[1050,1100)300.30[1100,1150)240.24[1150,1200)100.10合計1001.00對于A,由頻率分布表,知前三組的頻率之和為0.06+0.12+0.18=0.36<0.5,前四組的頻率之和為0.06+0.12+0.18+0.30=0.66>0.5,因此中位數(shù)在[1050,1100)內(nèi).因此中位數(shù)大于或等于1050kg,故A錯誤;對于B,由頻率分布表,知畝產(chǎn)量在[900,1100)內(nèi)的頻率為0.06+0.12+0.18+0.30=0.66<0.80,故B錯誤;對于C,由題意知1200-900=300,1150-950=200,所以這100塊稻田畝產(chǎn)量的極差介于200kg至300kg之間,故C正確;對于D,設(shè)這100塊稻田畝產(chǎn)量的平均值為x(單位:kg),則x=925×0.06+975×0.12+1025×0.18+1075×0.30+1125×0.24+1175×0.10=1067>1000,因此D錯誤.故選C.2.(多選)(2023新課標(biāo)Ⅰ,9,5分,中)有一組樣本數(shù)據(jù)x1,x2,…,x6,其中x1是最小值,x6是最大值,則()A.x2,x3,x4,x5的平均數(shù)等于x1,x2,…,x6的平均數(shù)B.x2,x3,x4,x5的中位數(shù)等于x1,x2,…,x6的中位數(shù)C.x2,x3,x4,x5的標(biāo)準(zhǔn)差不小于x1,x2,…,x6的標(biāo)準(zhǔn)差D.x2,x3,x4,x5的極差不大于x1,x2,…,x6的極差答案BDA錯誤,舉例說明,設(shè)樣本數(shù)據(jù)x1,x2,…,x6分別為1,2,3,4,5,8,則x2+x3+xx1+x2+xB正確,設(shè)這組數(shù)據(jù)從小到大排列為x1,x'2,x'3,x'4,x'5,x6,則x2,x3,x4,x5的中位數(shù)為x'3+x'42,x1,x2,x3,x4,x5,x6的中位數(shù)為x'3+x'42,∴x2,x3,x4,x5的中位數(shù)等于x1,x2C錯誤,設(shè)樣本數(shù)據(jù)x1,x2,…,x6分別為1,2,2,2,2,3,則x=16i=16xi=2,x2,x3,x4,x5的平均數(shù)為2,則x2,x3,xx1,x2,x3,x4,x5,x6的標(biāo)準(zhǔn)差s=16i=16D正確,由B選項知x2,x3,x4,x5的極差為x'5-x'2,x1,x2,x3,x4,x5,x6的極差為x6-x1,顯然x6-x1≥x'5-x'2.3.(2015湖南文,2,5分)在一次馬拉松比賽中,35名運動員的成績(單位:分鐘)的莖葉圖如圖所示.若將運動員按成績由好到差編為1~35號,再用系統(tǒng)抽樣方法從中抽取7人,則其中成績在區(qū)間[139,151]上的運動員人數(shù)是()A.3B.4C.5D.6答案B從35人中用系統(tǒng)抽樣方法抽取7人,則可將這35人分成7組,每組5人,從每一組中抽取1人,而成績在[139,151]上的有4組,所以抽取4人,故選B.4.(2015北京文,4,5分)某校老年、中年和青年教師的人數(shù)見下表.采用分層抽樣的方法調(diào)查教師的身體狀況,在抽取的樣本中,青年教師有320人,則該樣本中的老年教師人數(shù)為()類別人數(shù)老年教師900中年教師1800青年教師1600合計4300A.90B.100C.180D.300答案C本題考查分層抽樣,根據(jù)樣本中的青年教師有320人,且青年教師與老年教師人數(shù)的比為1600∶900=16∶9,可以得到樣本中的老年教師的人數(shù)為916×320=180,故選5.(2014重慶文,3,5分)某中學(xué)有高中生3500人,初中生1500人.為了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況,用分層抽樣的方法從該校學(xué)生中抽取一個容量為n的樣本,已知從高中生中抽取70人,則n為()A.100B.150C.200D.250答案A由分層抽樣的特點可知703500=n3500+1500,6.(2016山東,理3文3,5分)某高校調(diào)查了200名學(xué)生每周的自習(xí)時間(單位:小時),制成了如圖所示的頻率分布直方圖,其中自習(xí)時間的范圍是[17.5,30],樣本數(shù)據(jù)分組為[17.5,20),[20,22.5),[22.5,25),[25,27.5),[27.5,30].根據(jù)直方圖,這200名學(xué)生中每周的自習(xí)時間不少于22.5小時的人數(shù)是()A.56B.60C.120D.140答案D由頻率分布直方圖知這200名學(xué)生每周的自習(xí)時間不少于22.5小時的頻率為1-(0.02+0.10)×2.5=0.7,則這200名學(xué)生中每周的自習(xí)時間不少于22.5小時的人數(shù)為200×0.7=140,故選D.7.(2016課標(biāo)Ⅲ理,4,5分)某旅游城市為向游客介紹本地的氣溫情況,繪制了一年中各月平均最高氣溫和平均最低氣溫的雷達(dá)圖.圖中A點表示十月的平均最高氣溫約為15℃,B點表示四月的平均最低氣溫約為5℃.下面敘述不正確的是()A.各月的平均最低氣溫都在0℃以上B.七月的平均溫差比一月的平均溫差大C.三月和十一月的平均最高氣溫基本相同D.平均最高氣溫高于20℃的月份有5個答案D由雷達(dá)圖易知A、C正確;七月的平均最高氣溫超過20℃,平均最低氣溫約為12℃,一月的平均最高氣溫約為6℃,平均最低氣溫約為2℃,所以七月的平均溫差比一月的平均溫差大,故B正確;由雷達(dá)圖知平均最高氣溫超過20℃的月份有3個月.故選D.8.(2015課標(biāo)Ⅱ理,3,5分)根據(jù)下面給出的2004年至2013年我國二氧化硫年排放量(單位:萬噸)柱形圖,以下結(jié)論中不正確的是()A.逐年比較,2008年減少二氧化硫排放量的效果最顯著B.2007年我國治理二氧化硫排放顯現(xiàn)成效C.2006年以來我國二氧化硫年排放量呈減少趨勢D.2006年以來我國二氧化硫年排放量與年份正相關(guān)答案D由柱形圖可知:A、B、C均正確,2006年以來我國二氧化硫年排放量在逐漸減少,所以排放量與年份負(fù)相關(guān),∴D不正確.9.(2015陜西理,2,5分)某中學(xué)初中部共有110名教師,高中部共有150名教師,其性別比例如圖所示,則該校女教師的人數(shù)為()A.167B.137C.123D.93答案B初中部女教師的人數(shù)為110×70%=77,高中部女教師的人數(shù)為150×(1-60%)=60,則該校女教師的人數(shù)為77+60=137,故選B.10.(2022全國甲,理2,文2,5分,應(yīng)用性)某社區(qū)通過公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類知識.為了解講座效果,隨機抽取10位社區(qū)居民,讓他們在講座前和講座后各回答一份垃圾分類知識問卷,這10位社區(qū)居民在講座前和講座后問卷答題的正確率如下圖:則()A.講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)小于70%B.講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)大于85%C.講座前問卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差小于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差D.講座后問卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差答案B對于A項,將講座前的10個數(shù)據(jù)從小到大排列依次為60%,60%,65%,65%,70%,75%,80%,85%,90%,95%,易知這10個數(shù)據(jù)的中位數(shù)是第5個與第6個數(shù)據(jù)的平均數(shù),為70%+75%2=72.5%>70%,故A錯誤對于B項,x后=110×(90%+85%+80%+90%+85%+85%+95%+100%+85%+100%)=89.5%>85%,對于C項,x前=110×(60%+60%+65%+65%+70%+75%+80%+85%+90%+95%)=74.5%,s前=110s后=110×[(90%?89.5%)2+…+(100%?89.5%)2]=6.5%,11.93對于D項,講座前問卷答題的正確率的極差為95%-60%=35%,講座后問卷答題的正確率的極差為100%-80%=20%,20%<35%,故D錯誤.故選B.11.(2021全國甲理,2,5分)為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟情況,對該地農(nóng)戶家庭年收入進(jìn)行抽樣調(diào)查,將農(nóng)戶家庭年收入的調(diào)查數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布直方圖:根據(jù)此頻率分布直方圖,下面結(jié)論中不正確的是()A.該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶比率估計為6%B.該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率估計為10%C.估計該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值不超過6.5萬元D.估計該地有一半以上的農(nóng)戶,其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間答案C解題指導(dǎo):利用頻率分布直方圖估計頻率,再將頻率轉(zhuǎn)化為比率.解析由頻率分布直方圖可得,該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元和不低于10.5萬元的頻率分別為0.06和0.1,則農(nóng)戶比率分別為6%和10%,故A、B中結(jié)論正確;家庭年收入介于4.5萬元和8.5萬元之間的頻率為0.1+0.14+0.2+0.2=0.64,故D中結(jié)論正確;家庭年收入的平均值為0.02×3+0.04×4+0.1×5+0.14×6+0.2×7+0.2×8+0.1×9+0.1×10+0.04×11+0.02×12+0.02×13+0.02×14=7.68萬元,因為7.68>6.5,所以估計該地區(qū)農(nóng)戶家庭年收入的平均值超過6.5萬元,故C中結(jié)論不正確.故選C.12.(多選)(2021新高考Ⅰ,9,5分)有一組樣本數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn,由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)y1,y2,…,yn,其中yi=xi+c(i=1,2,…,n),c為非零常數(shù),則()A.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同B.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同C.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差相同D.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差相同答案CDA項,設(shè)x=1ni=1nxi,則y=1ni=1nyi=1ni=1n(x所以x≠y,所以AB項,因為yi=xi+c(i=1,2,…,n),所以y1,y2,…,yn的中位數(shù)是x1,x2,…,xn的中位數(shù)加c,所以B選項錯誤.C項,設(shè)s12=1ni=1n(xi-x)2,s所以s22=1ni=1n(xi+c-x-c)2=1所以s1所以兩組數(shù)據(jù)的方差相同,從而這兩組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差相同,所以C選項正確.D項,設(shè)x1<x2<…<xn,則第一組數(shù)據(jù)的極差為xn-x1,設(shè)y1<y2<…<yn,則第二組數(shù)據(jù)的極差為yn-y1=(xn+c)-(x1+c)=xn-x1,所以兩組數(shù)據(jù)的極差相同,所以D選項正確,故選CD.13.(2015安徽理,6,5分)若樣本數(shù)據(jù)x1,x2,…,x10的標(biāo)準(zhǔn)差為8,則數(shù)據(jù)2x1-1,2x2-1,…,2x10-1的標(biāo)準(zhǔn)差為()A.8B.15C.16D.32答案C設(shè)樣本數(shù)據(jù)x1,x2,…,x10的標(biāo)準(zhǔn)差為s,則s=8,可知數(shù)據(jù)2x1-1,2x2-1,…,2x10-1的標(biāo)準(zhǔn)差為2s=16.14.(2014陜西文,9,5分)某公司10位員工的月工資(單位:元)為x1,x2,…,x10,其均值和方差分別為x和s2,若從下月起每位員工的月工資增加100元,則這10位員工下月工資的均值和方差分別為()A.x,s2+1002B.x+100,s2+1002C.x,s2D.x+100,s2答案D設(shè)增加工資后10位員工下月工資均值為x',方差為s'2,則x'=110[(x1+100)+(x2+100)+…+(x10+100)]=110(x1+x2+…+x10)+100=x+100;方差s'2=110[(x1+100-x')2+(x2+100-x')2+…+(x10+100-x')2]=110[(x1-x)2+(x2-x)2+…+(x10-x)2]=s15.(2015福建文,13,4分)某校高一年級有900名學(xué)生,其中女生400名.按男女比例用分層抽樣的方法,從該年級學(xué)生中抽取一個容量為45的樣本,則應(yīng)抽取的男生人數(shù)為.

答案25解析男生人數(shù)為900-400=500.設(shè)應(yīng)抽取男生x人,則由45900=x500得x=25.即應(yīng)抽取男生2516.(2014天津理,9,5分)某大學(xué)為了解在校本科生對參加某項社會實踐活動的意向,擬采用分層抽樣的方法,從該校四個年級的本科生中抽取一個容量為300的樣本進(jìn)行調(diào)查.已知該校一年級、二年級、三年級、四年級的本科生人數(shù)之比為4∶5∶5∶6,則應(yīng)從一年級本科生中抽取名學(xué)生.

答案60解析420×300=60(名17.(2012天津理,9,5分)某地區(qū)有小學(xué)150所,中學(xué)75所,大學(xué)25所.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這些學(xué)校中抽取30所學(xué)校對學(xué)生進(jìn)行視力調(diào)查,應(yīng)從小學(xué)中抽取所學(xué)校,中學(xué)中抽取所學(xué)校.

答案18;9解析應(yīng)從小學(xué)中抽取150150+75+25×30=18(所應(yīng)從中學(xué)中抽取75150+75+25×30=9(所評析本題考查分層抽樣及數(shù)據(jù)處理能力.18.(2012福建文,14,4分)一支田徑隊有男女運動員98人,其中男運動員有56人.按男女比例用分層抽樣的方法,從全體運動員中抽出一個容量為28的樣本,那么應(yīng)抽取女運動員人數(shù)是.

答案12解析男女運動員人數(shù)比例為5698?56分層抽樣中男女人數(shù)比例不變,則女運動員人數(shù)為28×37=12.故應(yīng)抽取女運動員人數(shù)是評析本題考查分層抽樣方法.考查學(xué)生運算求解能力.19.(2011江蘇,6,5分)某老師從星期一到星期五收到的信件數(shù)分別為10,6,8,5,6,則該組數(shù)據(jù)的方差s2=.

答案16解析記星期一到星期五收到的信件數(shù)分別為x1,x2,x3,x4,x5,則x=x1+x∴s2=15[(x1-x)2+(x2-x)2+(x3-x)2+(x4-x)2+(x5-x)2]=15[(10-7)2+(6-7)2+(8-7)2+(5-7)2+(6-7)2]=評析本題主要考查方差的公式,考查學(xué)生的運算求解能力.公式記憶準(zhǔn)確,運算無誤是解答本題的關(guān)鍵,屬中等難度題.20.(2015湖北文,14,5分)某電子商務(wù)公司對10000名網(wǎng)絡(luò)購物者2014年度的消費情況進(jìn)行統(tǒng)計,發(fā)現(xiàn)消費金額(單位:萬元)都在區(qū)間[0.3,0.9]內(nèi),其頻率分布直方圖如圖所示.(1)直方圖中的a=;

(2)在這些購物者中,消費金額在區(qū)間[0.5,0.9]內(nèi)的購物者的人數(shù)為.

答案(1)3(2)6000解析(1)由頻率分布直方圖可知:0.1×(0.2+0.8+1.5+2.0+2.5+a)=1,解得a=3.(2)消費金額在區(qū)間[0.5,0.9]內(nèi)的購物者的頻率為0.1×(3.0+2.0+0.8+0.2)=0.6,所以所求購物者的人數(shù)為0.6×10000=6000.21.(2014江蘇文,6,5分)為了了解一片經(jīng)濟林的生長情況,隨機抽測了其中60株樹木的底部周長(單位:cm),所得數(shù)據(jù)均在區(qū)間[80,130]上,其頻率分布直方圖如圖所示,則在抽測的60株樹木中,有株樹木的底部周長小于100cm.

答案24解析60×(0.015+0.025)×10=24(株).22.(2019課標(biāo)Ⅱ,理13文14,5分)我國高鐵發(fā)展迅速,技術(shù)先進(jìn).經(jīng)統(tǒng)計,在經(jīng)停某站的高鐵列車中,有10個車次的正點率為0.97,有20個車次的正點率為0.98,有10個車次的正點率為0.99,則經(jīng)停該站高鐵列車所有車次的平均正點率的估計值為.

答案0.98解析本題考查離散型隨機變量的均值計算;考查抽象概括能力和運算求解能力;考查的核心素養(yǎng)為數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運算.設(shè)經(jīng)停該站高鐵列車所有車次中正點率為0.97的事件為A,正點率為0.98的事件為B,正點率為0.99的事件為C,則用頻率估計概率有P(A)=1010+20+10=14,P(B)=2010+20+10=12,P(C)=1010+20+10=14,所以經(jīng)停該站高鐵列車所有車次的平均正點率的估計值為0.97×23.(2023新課標(biāo)Ⅱ,19,12分,中)某研究小組經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項醫(yī)學(xué)指標(biāo)有明顯差異,經(jīng)過大量調(diào)查,得到如下的患病者和未患病者該指標(biāo)的頻率分布直方圖:利用該指標(biāo)制定一個檢測標(biāo)準(zhǔn),需要確定臨界值c,將該指標(biāo)大于c的人判定為陽性,小于或等于c的人判定為陰性.此檢測標(biāo)準(zhǔn)的漏診率是將患病者判定為陰性的概率,記為p(c);誤診率是將未患病者判定為陽性的概率,記為q(c).假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布.以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率.(1)當(dāng)漏診率p(c)=0.5%時,求臨界值c和誤診率q(c);(2)設(shè)函數(shù)f(c)=p(c)+q(c).當(dāng)c∈[95,105]時,求f(c)的解析式,并求f(c)在區(qū)間[95,105]的最小值.解析(1)由題意知(c-95)×0.002=0.5%,得c=97.5,q(c)=0.01×2.5+5×0.002=0.035=3.5%.(2)當(dāng)c∈[95,100]時,f(c)=p(c)+q(c)=(c-95)×0.002+(100-c)×0.01+5×0.002=-0.008c+0.82≥0.02.當(dāng)c∈(100,105]時,f(c)=p(c)+q(c)=5×0.002+(c-100)×0.012+(105-c)×0.002=0.01c-0.98>0.02.∴f(c)=?0.008∴f(c)min=0.02.24.(2023全國乙理,17,12分,中)某廠為比較甲、乙兩種工藝對橡膠產(chǎn)品伸縮率的處理效應(yīng),進(jìn)行10次配對試驗,每次配對試驗選用材質(zhì)相同的兩個橡膠產(chǎn)品,隨機地選其中一個用甲工藝處理,另一個用乙工藝處理,測量處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率.甲、乙兩種工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率分別記為xi,yi(i=1,2,…,10),試驗結(jié)果如下:試驗序號i12345678910伸縮率xi545533551522575544541568596548伸縮率yi536527543530560533522550576536記zi=xi-yi(i=1,2,…,10),記z1,z2,…,z10的樣本平均數(shù)為z,樣本方差為s2.(1)求z,s2;(2)判斷甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率是否有顯著提高如果z≥2s210,則認(rèn)為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高,解析(1)zi=xi-yi(i=1,2,…,10)依次為9,6,8,-8,15,11,19,18,20,12,則z=110×(9+6+8-8+15+11+19+18+20+12s2=110×[(9-11)2+(6-11)2+(8-11)2+(-8-11)2+(15-11)2+(11-11)2+(19-11)2+(18-11)2+(20-11)2+(12-11)2]=61(2)由(1)知z=11,s2=61,則z?2s210=11?2611025.(2021全國乙理,17,12分)某廠研制了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設(shè)備,為檢驗新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項指標(biāo)有無提高,用一臺舊設(shè)備和一臺新設(shè)備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品,得到各件產(chǎn)品該項指標(biāo)數(shù)據(jù)如下:舊設(shè)備9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新設(shè)備10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5舊設(shè)備和新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標(biāo)的樣本平均數(shù)分別記為x和y,樣本方差分別記為(1)求x,(2)判斷新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標(biāo)的均值較舊設(shè)備是否有顯著提高如果y?x≥2s12+解析(1)x=110×(9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+10.1+10.2+9.7y=110×(10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5)=10s12=110×(0.22+0.32+02+0.22+0.12+0.22+02+0.12+0.22+0.32s22=110×(0.22+0.12+0.22+0.32+0.22+02+0.32+0.22+0.12+0.22(2)∵y?x=10.3?10=0.3=310=1550,2易錯警示1.要牢記數(shù)據(jù)方差的計算公式;2.注意數(shù)據(jù)計算的準(zhǔn)確性.26.(2022新高考Ⅱ,19,12分,應(yīng)用性)在某地區(qū)進(jìn)行流行病學(xué)調(diào)查,隨機調(diào)查了100位某種疾病患者的年齡,得到如下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖:(1)估計該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表);(2)估計該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間[20,70)的概率;(3)已知該地區(qū)這種疾病的患病率為0.1%,該地區(qū)年齡位于區(qū)間[40,50)的人口占該地區(qū)總?cè)丝诘?6%.從該地區(qū)中任選一人,若此人的年齡位于區(qū)間[40,50),求此人患這種疾病的概率(以樣本數(shù)據(jù)中患者的年齡位于各區(qū)間的頻率作為患者的年齡位于該區(qū)間的概率,精確到0.0001).解析(1)平均年齡為(5×0.001+15×0.002+25×0.012+35×0.017+45×0.023+55×0.020+65×0.017+75×0.006+85×0.002)×10=47.9(歲).(2)設(shè)事件A=“該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間[20,70)”,則P(A)=1-P(A)=1-(0.001+0.002+0.006+0.002)×10=1-0.11=0.89.(3)設(shè)事件B=“任選一人年齡位于區(qū)間[40,50)”,事件C=“任選一人患這種疾病”,由條件概率公式可得P(C|B)=P(BC)P(B27.(2022全國乙,理19,文19,12分,應(yīng)用性)某地經(jīng)過多年的環(huán)境治理,已將荒山改造成了綠水青山.為估計一林區(qū)某種樹木的總材積量,隨機選取了10棵這種樹木,測量每棵樹的根部橫截面積(單位:m2)和材積量(單位:m3),得到如下數(shù)據(jù):樣本號i12345678910總和根部橫截面積xi0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材積量yi0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9并計算得i=110xi2=0.038,i=110yi2=1.6158(1)估計該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量;(2)求該林區(qū)這種樹木的根部橫截面積與材積量的樣本相關(guān)系數(shù)(精確到0.01);(3)現(xiàn)測量了該林區(qū)所有這種樹木的根部橫截面積,并得到所有這種樹木的根部橫截面積總和為186m2.已知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比.利用以上數(shù)據(jù)給出該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計值.附:相關(guān)系數(shù)i=1n(xi?x解析(1)估計該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積為x=0.610=0.06(平均一棵的材積量為y=3.910=0.39(m(2)樣本相關(guān)系數(shù)i=1=i=0.2474?10×0.06×0.39=0.01340.002×0.0948=0.01340.01即該林區(qū)這種樹木的根部橫截面積與材積量的樣本相關(guān)系數(shù)約為0.97.(3)設(shè)這種樹木的根部橫截總面積為Xm2,總材積量為Ym3,則XY=xy,則Y所以該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計值為1209m3.25.(2019課標(biāo)Ⅱ文,19,12分)某行業(yè)主管部門為了解本行業(yè)中小企業(yè)的生產(chǎn)情況,隨機調(diào)查了100個企業(yè),得到這些企業(yè)第一季度相對于前一年第一季度產(chǎn)值增長率y的頻數(shù)分布表.y的分組[-0.20,0)[0,0.20)[0.20,0.40)[0.40,0.60)[0.60,0.80)企業(yè)數(shù)22453147(1)分別估計這類企業(yè)中產(chǎn)值增長率不低于40%的企業(yè)比例、產(chǎn)值負(fù)增長的企業(yè)比例;(2)求這類企業(yè)產(chǎn)值增長率的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差的估計值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表).(精確到0.01)附:74≈8.602.解析本題考查了統(tǒng)計的基礎(chǔ)知識、基本思想和方法,考查學(xué)生對頻數(shù)分布表的理解與應(yīng)用,考查樣本的平均數(shù),標(biāo)準(zhǔn)差等數(shù)字特征的計算方法,以及對現(xiàn)實社會中實際數(shù)據(jù)的分析處理能力.(1)根據(jù)產(chǎn)值增長率頻數(shù)分布表得,所調(diào)查的100個企業(yè)中產(chǎn)值增長率不低于40%的企業(yè)頻率為14+7100產(chǎn)值負(fù)增長的企業(yè)頻率為2100用樣本頻率分布估計總體分布得這類企業(yè)中產(chǎn)值增長率不低于40%的企業(yè)比例為21%,產(chǎn)值負(fù)增長的企業(yè)比例為2%.(2)y=1100s2=1100∑i=15ni(y=1100[2×(-0.40)2+24×(-0.20)2+53×02+14×0.202+7×0.402]=0.029s=0.0296=0.02×74≈0.17.所以,這類企業(yè)產(chǎn)值增長率的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差的估計值分別為30%,17%.方法總結(jié)利用頻數(shù)分布表求平均數(shù)估計值的方法:各組區(qū)間中點值乘該組頻數(shù),并求和,再除以樣本容量.利用頻數(shù)分布表求標(biāo)準(zhǔn)差估計值的方法:用各組區(qū)間中點值代表該組,代入標(biāo)準(zhǔn)差公式即可.26.(2016四川理,16,12分)我國是世界上嚴(yán)重缺水的國家,某市政府為了鼓勵居民節(jié)約用水,計劃調(diào)整居民生活用水收費方案,擬確定一個合理的月用水量標(biāo)準(zhǔn)x(噸),一位居民的月用水量不超過x的部分按平價收費,超出x的部分按議價收費.為了了解居民用水情況,通過抽樣,獲得了某年100位居民每人的月均用水量(單位:噸),將數(shù)據(jù)按照[0,0.5),[0.5,1),…,[4,4.5]分成9組,制成了如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求直方圖中a的值;(2)設(shè)該市有30萬居民,估計全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù),并說明理由;(3)若該市政府希望使85%的居民每月的用水量不超過標(biāo)準(zhǔn)x(噸),估計x的值,并說明理由.解析(1)由頻率分布直方圖知,月均用水量在[0,0.5)中的頻率為0.08×0.5=0.04,同理,在[0.5,1),[1.5,2),[2,2.5),[3,3.5),[3.5,4),[4,4.5]中的頻率分別為0.08,0.20,0.26,0.06,0.04,0.02.由0.04+0.08+0.5×a+0.20+0.26+0.5×a+0.06+0.04+0.02=1,解得a=0.30.(2)由(1),100位居民每人月均用水量不低于3噸的頻率為0.06+0.04+0.02=0.12.由以上樣本的頻率分布,可以估計全市30萬居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)為300000×0.12=36000.(3)因為前6組的頻率之和為0.04+0.08+0.15+0.20+0.26+0.15=0.88>0.85,而前5組的頻率之和為0.04+0.08+0.15+0.20+0.26=0.73<0.85,所以2.5≤x<3.由0.3×(x-2.5)=0.85-0.73,解得x=2.9.所以,估計月用水量標(biāo)準(zhǔn)為2.9噸時,85%的居民每月的用水量不超過標(biāo)準(zhǔn).思路分析由圖易知組距為0.5,再由頻率之和等于1即可求出a;由圖可知前6組的頻率之和為0.88>0.85,前5組的頻率之和為0.73<0.85,說明x∈[2.5,3),再由0.3×(x-2.5)=0.85-0.73即可求出x.評析本題中求a值的關(guān)鍵是抓住頻率之和為1,確定x在哪個區(qū)間內(nèi)是解題的關(guān)鍵.29.(2015課標(biāo)Ⅱ文,18,12分)某公司為了解用戶對其產(chǎn)品的滿意度,從A,B兩地區(qū)分別隨機調(diào)查了40個用戶,根據(jù)用戶對產(chǎn)品的滿意度評分,得到A地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖和B地區(qū)用戶滿意度評分的頻數(shù)分布表.B地區(qū)用戶滿意度評分的頻數(shù)分布表滿意度評分分組[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]頻數(shù)2814106(1)作出B地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖,并通過直方圖比較兩地區(qū)滿意度評分的平均值及分散程度(不要求計算出具體值,給出結(jié)論即可);(2)根據(jù)用戶滿意度評分,將用戶的滿意度分為三個等級:滿意度評分低于70分70分到89分不低于90分滿意度等級不滿意滿意非常滿意估計哪個地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意的概率大,說明理由.解析(1)通過兩地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖可以看出,B地區(qū)用戶滿意度評分的平均值高于A地區(qū)用戶滿意度評分的平均值;B地區(qū)用戶滿意度評分比較集中,而A地區(qū)用戶滿意度評分比較分散.(2)A地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意的概率大.記CA表示事件:“A地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意”;CB表示事件:“B地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意”.由直方圖得P(CA)的估計值為(0.01+0.02+0.03)×10=0.6,P(CB)的估計值為(0.005+0.02)×10=0.25.所以A地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意的概率大.30.(2015廣東文,17,12分)某城市100戶居民的月平均用電量(單位:度),以[160,180),[180,200),[200,220),[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]分組的頻率分布直方圖如圖.(1)求直方圖中x的值;(2)求月平均用電量的眾數(shù)和中位數(shù);(3)在月平均用電量為[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]的四組用戶中,用分層抽樣的方法抽取11戶居民,則月平均用電量在[220,240)的用戶中應(yīng)抽取多少戶?解析(1)由已知得,20×(0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025)=1,解得x=0.0075.(2)由題圖可知,面積最大的矩形對應(yīng)的月平均用電量區(qū)間為[220,240),所以月平均用電量的眾數(shù)的估計值為230;因為20×(0.002+0.0095+0.011)=0.45<0.5,20×(0.002+0.0095+0.011+0.0125)=0.7>0.5,所以中位數(shù)在區(qū)間[220,240)內(nèi).設(shè)中位數(shù)為m,則20×(0.002+0.0095+0.011)+0.0125×(m-220)=0.5,解得m=224.所以月平均用電量的中位數(shù)為224.(3)由題圖知,月平均用電量為[220,240)的用戶數(shù)為(240-220)×0.0125×100=25,同理可得,月平均用電量為[240,260),[260,280),[280,300]的用戶數(shù)分別為15,10,5.故用分層抽樣的方式抽取11戶居民,月平均用電量在[220,240)的用戶中應(yīng)抽取11×2525+15+10+5=5(戶31.(2014課標(biāo)Ⅰ文,18,12分)從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取100件,測量這些產(chǎn)品的一項質(zhì)量指標(biāo)值,由測量結(jié)果得如下頻數(shù)分布表:質(zhì)量指標(biāo)值分組[75,85)[85,95)[95,105)[105,115)[115,125)頻數(shù)62638228(1)作出這些數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖;(2)估計這種產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)及方差(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表);(3)根據(jù)以上抽樣調(diào)查數(shù)據(jù),能否認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合“質(zhì)量指標(biāo)值不低于95的產(chǎn)品至少要占全部產(chǎn)品80%”的規(guī)定?解析(1)(2)質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)為x=80×0.06+90×0.26+100×0.38+110×0.22+120×0.08=100.質(zhì)量指標(biāo)值的樣本方差為s2=(-20)2×0.06+(-10)2×0.26+0×0.38+102×0.22+202×0.08=104.所以這種產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)的估計值為100,方差的估計值為104.(3)質(zhì)量指標(biāo)值不低于95的產(chǎn)品所占比例的估計值為0.38+0.22+0.08=0.68.由于該估計值小于0.8,故不能認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合“質(zhì)量指標(biāo)值不低于95的產(chǎn)品至少要占全部產(chǎn)品的80%”的規(guī)定.評析本題考查繪制頻率分布直方圖,計算樣本的數(shù)字特征,及用樣本估計總體等知識,同時考查統(tǒng)計的思想方法.32.(2014北京文,18,13分)從某校隨機抽取100名學(xué)生,獲得了他們一周課外閱讀時間(單位:小時)的數(shù)據(jù),整理得到數(shù)據(jù)分組及頻數(shù)分布表和頻率分布直方圖:組號分組頻數(shù)1[0,2)62[2,4)83[4,6)174[6,8)225[8,10)256[10,12)127[12,14)68[14,16)29[16,18)2合計100(1)從該校隨機選取一名學(xué)生,試估計這名學(xué)生該周課外閱讀時間少于12小時的概率;(2)求頻率分布直方圖中的a,b的值;(3)假設(shè)同一組中的每個數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中點值代替,試估計樣本中的100名學(xué)生該周課外閱讀時間的平均數(shù)在第幾組.(只需寫出結(jié)論)解析(1)根據(jù)頻數(shù)分布表知,100名學(xué)生中一周課外閱讀時間不少于12小時的學(xué)生共有6+2+2=10名,所以樣本中的學(xué)生一周課外閱讀時間少于12小時的頻率是1-10100故從該校隨機選取一名學(xué)生,估計其該周課外閱讀時間少于12小時的概率為0.9.(2)課外閱讀時間落在組[4,6)內(nèi)的有17人,頻率為0.17,所以a=頻率組距=0.17課外閱讀時間落在組[8,10)內(nèi)的有25人,頻率為0.25,所以b=頻率組距=0.25(3)樣本中的100名學(xué)生該周課外閱讀時間的平均數(shù)在第4組.33.(2013課標(biāo)Ⅱ文,19,12分)經(jīng)銷商經(jīng)銷某種農(nóng)產(chǎn)品,在一個銷售季度內(nèi),每售出1t該產(chǎn)品獲利潤500元,未售出的產(chǎn)品,每1t虧損300元.根據(jù)歷史資料,得到銷售季度內(nèi)市場需求量的頻率分布直方圖,如圖所示.經(jīng)銷商為下一個銷售季度購進(jìn)了130t該農(nóng)產(chǎn)品,以X(單位:t,100≤X≤150)表示下一個銷售季度內(nèi)的市場需求量,T(單位:元)表示下一個銷售季度內(nèi)經(jīng)銷該農(nóng)產(chǎn)品的利潤.(1)將T表示為X的函數(shù);(2)根據(jù)直方圖估計利潤T不少于57000元的概率.解析(1)當(dāng)X∈[100,130)時,T=500X-300(130-X)=800X-39000.當(dāng)X∈[130,150]時,T=500×130=65000.所以T=800(2)由(1)知利潤T不少于57000元當(dāng)且僅當(dāng)120≤X≤150.由直方圖知需求量X∈[120,150]的頻率為0.7,所以下一個銷售季度內(nèi)的利潤T不少于57000元的概率的估計值為0.7.22.(2013安徽文,17,12分)為調(diào)查甲、乙兩校高三年級學(xué)生某次聯(lián)考數(shù)學(xué)成績情況,用簡單隨機抽樣,從這兩校中各抽取30名高三年級學(xué)生,以他們的數(shù)學(xué)成績(百分制)作為樣本,樣本數(shù)據(jù)的莖葉圖如下:(1)若甲校高三年級每位學(xué)生被抽取的概率為0.05,求甲校高三年級學(xué)生總?cè)藬?shù),并估計甲校高三年級這次聯(lián)考數(shù)學(xué)成績的及格率(60分及60分以上為及格);(2)設(shè)甲、乙兩校高三年級學(xué)生這次聯(lián)考數(shù)學(xué)平均成績分別為x1、x2,估計x1-解析(1)設(shè)甲校高三年級學(xué)生總?cè)藬?shù)為n.由題意知,30n=0.05,即樣本中甲校高三年級學(xué)生數(shù)學(xué)成績不及格人數(shù)為5,據(jù)此估計甲校高三年級此次聯(lián)考數(shù)學(xué)成績及格率為1-530=5(2)設(shè)甲、乙兩校樣本平均數(shù)分別為x'1、x'2,根據(jù)樣本莖葉圖可知,30(x'1-x'2)=30x'1-30x'2=(7-5)+(55+8-14)+(24-12-65)+(26-24-79)+(22-20)+92=2+49-53-77+2+92=15.因此x'1-x'2=0.5.故x1-x2的估計值為0.5評析本題考查隨機抽樣與莖葉圖等統(tǒng)計學(xué)的基本知識,考查學(xué)生用樣本估計總體的思想以及數(shù)據(jù)分析處理能力.23.(2017課標(biāo)Ⅲ文,18,12分)某超市計劃按月訂購一種酸奶,每天進(jìn)貨量相同,進(jìn)貨成本每瓶4元,售價每瓶6元,未售出的酸奶降價處理,以每瓶2元的價格當(dāng)天全部處理完.根據(jù)往年銷售經(jīng)驗,每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位:℃)有關(guān).如果最高氣溫不低于25,需求量為500瓶;如果最高氣溫位于區(qū)間[20,25),需求量為300瓶;如果最高氣溫低于20,需求量為200瓶.為了確定六月份的訂購計劃,統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù),得下面的頻數(shù)分布表:最高氣溫[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計最高氣溫位于該區(qū)間的概率.(1)估計六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率;(2)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y(單位:元).當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量為450瓶時,寫出Y的所有可能值,并估計Y大于零的概率.解析本題考查概率的計算.(1)這種酸奶一天的需求量不超過300瓶,當(dāng)且僅當(dāng)最高氣溫低于25,由表格數(shù)據(jù)知,最高氣溫低于25的頻率為2+16+3690=0.6,所以這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率的估計值為(2)當(dāng)這種酸奶一天的進(jìn)貨量為450瓶時,若最高氣溫不低于25,則Y=6×450-4×450=900;若最高氣溫位于區(qū)間[20,25),則Y=6×300+2×(450-300)-4×450=300;若最高氣溫低于20,則Y=6×200+2×(450-200)-4×450=-100.所以,Y的所有可能值為900,300,-100.Y大于零當(dāng)且僅當(dāng)最高氣溫不低于20,由表格數(shù)據(jù)知,最高氣溫不低于20的頻率為36+25+7+490=0.8,因此Y大于零的概率的估計值為24.(2016課標(biāo)Ⅰ文,19,12分)某公司計劃購買1臺機器,該種機器使用三年后即被淘汰.機器有一易損零件,在購進(jìn)機器時,可以額外購買這種零件作為備件,每個200元.在機器使用期間,如果備件不足再購買,則每個500元.現(xiàn)需決策在購買機器時應(yīng)同時購買幾個易損零件,為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù),得下面柱狀圖:記x表示1臺機器在三年使用期內(nèi)需更換的易損零件數(shù),y表示1臺機器在購買易損零件上所需的費用(單位:元),n表示購機的同時購買的易損零件數(shù).(1)若n=19,求y與x的函數(shù)解析式;(2)若要求“需更換的易損零件數(shù)不大于n”的頻率不小于0.5,求n的最小值;(3)假設(shè)這100臺機器在購機的同時每臺都購買19個易損零件,或每臺都購買20個易損零件,分別計算這100臺機器在購買易損零件上所需費用的平均數(shù),以此作為決策依據(jù),購買1臺機器的同時應(yīng)購買19個還是20個易損零件?解析(1)當(dāng)x≤19時,y=3800;當(dāng)x>19時,y=3800+500(x-19)=500x-5700,所以y與x的函數(shù)解析式為y=3800,x≤19,500x(2)由柱狀圖知,需更換的零件數(shù)不大于18的頻率為0.46,不大于19的頻率為0.7,故n的最小值為19.(5分)(3)若每臺機器在購機同時都購買19個易損零件,則這100臺機器中有70臺在購買易損零件上的費用為3800元,20臺的費用為4300元,10臺的費用為4800元,因此這100臺機器在購買易損零件上所需費用的平均數(shù)為1100(3800×70+4300×20+4800×10)=4000(元).(7分若每臺機器在購機同時都購買20個易損零件,則這100臺機器中有90臺在購買易損零件上的費用為4000元,10臺的費用為4500元,因此這100臺機器在購買易損零件上所需費用的平均數(shù)為1100(4000×90+4500×10)=4050(元).(10分比較兩個平均數(shù)可知,購買1臺機器的同時應(yīng)購買19個易損零件.(12分)思路分析先寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式(分段函數(shù)),然后分別求所需費用的平均數(shù),通過比較兩個平均數(shù)的大小可得所求結(jié)果.評析本題以條形圖為載體,考查了函數(shù)的綜合應(yīng)用,對考生用圖、識圖的能力進(jìn)行了考查,同時體現(xiàn)了數(shù)學(xué)源于生活又服務(wù)于生活的特點.25.(2016課標(biāo)Ⅱ文,18,12分)某險種的基本保費為a(單位:元),繼續(xù)購買該險種的投保人稱為續(xù)保人,續(xù)保人本年度的保費與其上年度出險次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下:上年度出險次數(shù)01234≥5保費0.85aa1.25a1.5a1.75a2a隨機調(diào)查了該險種的200名續(xù)保人在一年內(nèi)的出險情況,得到如下統(tǒng)計表:出險次數(shù)01234≥5頻數(shù)605030302010(1)記A為事件:“一續(xù)保人本年度的保費不高于基本保費”.求P(A)的估計值;(2)記B為事件:“一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費但不高于基本保費的160%”.求P(B)的估計值;(3)求續(xù)保人本年度平均保費的估計值.解析(1)事件A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險次數(shù)小于2.由所給數(shù)據(jù)知,一年內(nèi)出險次數(shù)小于2的頻率為60+50200故P(A)的估計值為0.55.(3分)(2)事件B發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險次數(shù)大于1且小于4.由所給數(shù)據(jù)知,一年內(nèi)出險次數(shù)大于1且小于4的頻率為30+30200故P(B)的估計值為0.3.(6分)(3)由所給數(shù)據(jù)得保費0.85aa1.25a1.5a1.75a2a頻率0.300.250.150.150.100.05(10分)調(diào)查的200名續(xù)保人的平均保費為0.85a×0.30+a×0.25+1.25a×0.15+1.5a×0.15+1.75a×0.10+2a×0.05=1.1925a.因此,續(xù)保人本年度平均保費的估計值為1.1925a.(12分)評析本題考查了頻率的求解方法,同時對考生的應(yīng)用意識及數(shù)據(jù)處理能力進(jìn)行了巧妙的考查,屬中檔題.26.(2014湖南文,17,12分)某企業(yè)有甲、乙兩個研發(fā)小組,為了比較他們的研發(fā)水平,現(xiàn)隨機抽取這兩個小組往年研發(fā)新產(chǎn)品的結(jié)果如下:(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),其中a,a分別表示甲組研發(fā)成功和失敗;b,b分別表示乙組研發(fā)成功和失敗.(1)若某組成功研發(fā)一種新產(chǎn)品,則給該組記1分,否則記0分.試計算甲、乙兩組研發(fā)新產(chǎn)品的成績的平均數(shù)和方差,并比較甲、乙兩組的研發(fā)水平;(2)若該企業(yè)安排甲、乙兩組各自研發(fā)一種新產(chǎn)品,試估計恰有一組研發(fā)成功的概率.解析(1)甲組研發(fā)新產(chǎn)品的成績?yōu)?,1,1,0,0,1,1,1,0,1,0,1,1,0,1,其平均數(shù)為x甲=1015=方差為s甲2=115乙組研發(fā)新產(chǎn)品的成績?yōu)?,0,1,1,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1,其平均數(shù)為x乙=915=方差為s乙2=115因為x甲>x乙,s甲2<(2)記E={恰有一組研發(fā)成功}.在所抽得的15個結(jié)果中,恰有一組研發(fā)成功的結(jié)果是(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),共7個,故事件E發(fā)生的頻率為715.將頻率視為概率,即得所求概率為P(E)=7評析本題考查樣本的數(shù)字特征及用樣本的頻率估計概率,同時考查分析問題、解決問題及運用統(tǒng)計思想的能力.27.(2012課標(biāo)文,18,12分)某花店每天以每枝5元的價格從農(nóng)場購進(jìn)若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的價格出售.如果當(dāng)天賣不完,剩下的玫瑰花作垃圾處理.(1)若花店一天購進(jìn)17枝玫瑰花,求當(dāng)天的利潤y(單位:元)關(guān)于當(dāng)天需求量n(單位:枝,n∈N)的函數(shù)解析式;(2)花店記錄了100天玫瑰花的日需求量(單位:枝),整理得下表:日需求量n14151617181920頻數(shù)10201616151310(i)假設(shè)花店在這100天內(nèi)每天購進(jìn)17枝玫瑰花,求這100天的日利潤(單位:元)的平均數(shù);(ii)若花店一天購進(jìn)17枝玫瑰花,以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率,求當(dāng)天的利潤不少于75元的概率.解析(1)當(dāng)日需求量n≥17時,利潤y=85.當(dāng)日需求量n<17時,利潤y=10n-85.所以y關(guān)于n的函數(shù)解析式為y=10n?85,(2)(i)這100天中有10天的日利潤為55元,20天的日利潤為65元,16天的日利潤為75元,54天的日利潤為85元,所以這100天的日利潤的平均數(shù)為1100(ii)利潤不低于75元當(dāng)且僅當(dāng)日需求量不少于16枝.故當(dāng)天的利潤不少于75元的概率為P=0.16+0.16+0.15+0.13+0.1=0.7.評析本題考查概率統(tǒng)計,考查運用樣本頻率估計總體概率及運算求解能力.28.(2011課標(biāo)文,19,12分)某種產(chǎn)品的質(zhì)量以其質(zhì)量指標(biāo)值衡量,質(zhì)量指標(biāo)值越大表明質(zhì)量越好,且質(zhì)量指標(biāo)值大于或等于102的產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)品.現(xiàn)用兩種新配方(分別稱為A配方和B配方)做試驗,各生產(chǎn)了100件這種產(chǎn)品,并測量了每件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值,得到下面試驗結(jié)果:A配方的頻數(shù)分布表指標(biāo)值分組[90,94)[94,98)[98,102)[102,106)[106,110]頻數(shù)82042228B配方的頻數(shù)分布表指標(biāo)值分組[90,94)[94,98)[98,102)[102,106)[106,110]頻數(shù)412423210(1)分別估計用A配方,B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率;(2)已知用B配方生產(chǎn)的一件產(chǎn)品的利潤y(單位:元)與其質(zhì)量指標(biāo)值t的關(guān)系式為y=?估計用B配方生產(chǎn)的一件產(chǎn)品的利潤大于0的概率,并求用B配方生產(chǎn)的上述100件產(chǎn)品平均一件的利潤.解析(1)由試驗結(jié)果知,用A配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的頻率為22+8100=0.3,所以用A配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率的估計值為0.3.由試驗結(jié)果知,用B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的頻率為32+10100=0.42,所以用B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率的估計值為0.42.(2)由條件知,用B配方生產(chǎn)的一件產(chǎn)品的利潤大于0當(dāng)且僅當(dāng)其質(zhì)量指標(biāo)值t≥94,由試驗結(jié)果知,質(zhì)量指標(biāo)值t≥94的頻率為0.96.所以用B配方生產(chǎn)的一件產(chǎn)品的利潤大于0的概率估計值為0.96.用1100×[4×(-2)+54×2+42×4]=2.68(元

11.2成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析考點1變量間的相關(guān)關(guān)系1.(2024天津,3,5分,易)下列散點圖中,樣本相關(guān)性系數(shù)最大的是()3A觀察各選項可知,A圖中散點分布比較集中,且大體接近一條直線,呈現(xiàn)明顯的正相關(guān),線性回歸模型的擬合效果比較好,|r|相比于其他3圖更接近1.故選A.2.(2020課標(biāo)Ⅱ理,18,12分)某沙漠地區(qū)經(jīng)過治理,生態(tài)系統(tǒng)得到很大改善,野生動物數(shù)量有所增加.為調(diào)查該地區(qū)某種野生動物的數(shù)量,將其分成面積相近的200個地塊,從這些地塊中用簡單隨機抽樣的方法抽取20個作為樣區(qū),調(diào)查得到樣本數(shù)據(jù)(xi,yi)(i=1,2,…,20),其中xi和yi分別表示第i個樣區(qū)的植物覆蓋面積(單位:公頃)和這種野生動物的數(shù)量,并計算得i=120xi=60,i=120yi=1200,i=120(xi-x)2=80,i=1209000,i=120(xi-x)(yi-y)(1)求該地區(qū)這種野生動物數(shù)量的估計值(這種野生動物數(shù)量的估計值等于樣區(qū)這種野生動物數(shù)量的平均數(shù)乘以地塊數(shù));(2)求樣本(xi,yi)(i=1,2,…,20)的相關(guān)系數(shù)(精確到0.01);(3)根據(jù)現(xiàn)有統(tǒng)計資料,各地塊間植物覆蓋面積差異很大.為提高樣本的代表性以獲得該地區(qū)這種野生動物數(shù)量更準(zhǔn)確的估計,請給出一種你認(rèn)為更合理的抽樣方法,并說明理由.附:相關(guān)系數(shù)i=1n(xi?x解析(1)由已知得樣本平均數(shù)y=120i=12012000.(2)樣本(xi,yi)(i=1,2,…,20)的相關(guān)系數(shù)i=120(x(3)分層抽樣:根據(jù)植物覆蓋面積的大小對地塊分層,再對200個地塊進(jìn)行分層抽樣.理由如下:由(2)知各樣區(qū)的這種野生動物數(shù)量與植物覆蓋面積有很強的正相關(guān).由于各地塊間植物覆蓋面積差異很大,從而各地塊間這種野生動物數(shù)量差異也很大,采用分層抽樣的方法較好地保持了樣本結(jié)構(gòu)與總體結(jié)構(gòu)的一致性,提高了樣本的代表性,從而可以獲得該地區(qū)這種野生動物數(shù)量更準(zhǔn)確的估計.3.(2015課標(biāo)Ⅰ,理19,文19,12分)某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費,需了解年宣傳費x(單位:千元)對年銷售量y(單位:t)和年利潤z(單位:千元)的影響.對近8年的年宣傳費xi和年銷售量yi(i=1,2,…,8)數(shù)據(jù)作了初步處理,得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值.xyw∑i=18(xi-∑i=18(wi-∑i=18(xi-x)(yi∑i=18(wi-w)(yi46.65636.8289.81.61469108.8表中(1)根據(jù)散點圖判斷,y=a+bx與y=c+dx哪一個適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費x的回歸方程類型?(給出判斷即可,不必說明理由)(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù),建立y關(guān)于x的回歸方程;(3)已知這種產(chǎn)品的年利潤z與x,y的關(guān)系為z=0.2y-x.根據(jù)(2)的結(jié)果回答下列問題:(i)年宣傳費x=49時,年銷售量及年利潤的預(yù)報值是多少?(ii)年宣傳費x為何值時,年利潤的預(yù)報值最大?附:對于一組數(shù)據(jù)(u1,v1),(u2,v2),…,(un,vn),其回歸直線v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估計分別為β^=∑i=1n(ui?u解析(1)由散點圖可以判斷,y=c+dx適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費x的回歸方程類型.(2分)(2)令w=x,先建立y關(guān)于w的線性回歸方程.由于d^=∑i=1c^=y-d^所以y關(guān)于w的線性回歸方程為y^=100.6+68w,因此y關(guān)于x的回歸方程為y^=100.6+68x.(6(3)(i)由(2)知,當(dāng)x=49時,年銷售量y的預(yù)報值y^=100.6+6849年利潤z的預(yù)報值z^=576.6×0.2-49=66.32.(9分(ii)根據(jù)(2)的結(jié)果知,年利潤z的預(yù)報值z^=0.2(100.6+68x)-x=-x+13.6x所以當(dāng)x=13.62=6.8,即x=46.24時,z^故年宣傳費為46.24千元時,年利潤的預(yù)報值最大.(12分)4.(2015重慶文,17,13分)隨著我國經(jīng)濟的發(fā)展,居民的儲蓄存款逐年增長.設(shè)某地區(qū)城鄉(xiāng)居民人民幣儲蓄存款(年底余額)如下表:年份20102011201220132014時間代號t12345儲蓄存款y(千億元)567810(1)求y關(guān)于t的回歸方程y^=b^t+(2)用所求回歸方程預(yù)測該地區(qū)2015年(t=6)的人民幣儲蓄存款.附:回歸方程y^=b^t+ab^=∑i=1nt解析(1)列表計算如下:itiyittiyi11515226412337921448163255102550∑153655120這里n=5,t=1n∑i=1nti=155=3,y=又ltt=∑i=1nti2-nt2=55-5×32=10,lty=∑i=1從而b^=ltyltt=1210=1.2,a故所求回歸方程為y^(2)將t=6代入回歸方程可預(yù)測該地區(qū)2015年的人民幣儲蓄存款為y^=1.2×6+3.6=10.8(千億元5.(2014課標(biāo)Ⅱ理,19,12分)某地區(qū)2007年至2013年農(nóng)村居民家庭人均純收入y(單位:千元)的數(shù)據(jù)如下表:年份2007200820092010201120122013年份代號t1234567人均純收入y2.93.33.64.44.85.25.9(1)求y關(guān)于t的線性回歸方程;(2)利用(1)中的回歸方程,分析2007年至2013年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入的變化情況,并預(yù)測該地區(qū)2015年農(nóng)村居民家庭人均純收入.附:回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為:b^=∑i=1n(ti解析(1)由所給數(shù)據(jù)計算得t=17y=17∑i=17(ti-t∑i=17(ti-t)(yib^=∑i=1a^=y-b所求回歸方程為y^(2)由(1)知,b^=0.5>0,故2007年至2013年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入逐年增加,平均每年增加0.5千元將2015年的年份代號t=9代入(1)中的回歸方程,得y^故預(yù)測該地區(qū)2015年農(nóng)村居民家庭人均純收入為6.8千元.評析本題考查了回歸直線方程的求解,注意回歸直線恒過點(t,y)是關(guān)鍵,考查了回歸系數(shù)b^的幾何意義.考查了學(xué)生的計算求解能力考點2列聯(lián)表和獨立性檢驗1.(2024全國甲理,17,12分,易)某工廠進(jìn)行生產(chǎn)線智能化升級改造.升級改造后,從該工廠甲、乙兩個車間的產(chǎn)品中隨機抽取150件進(jìn)行檢驗,數(shù)據(jù)如下:優(yōu)級品合格品不合格品總計甲車間2624050乙車間70282100總計96522150(1)填寫如下列聯(lián)表:優(yōu)級品非優(yōu)級品甲車間乙車間能否有95%的把握認(rèn)為甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級品率存在差異?能否有99%的把握認(rèn)為甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級品率存在差異?(2)已知升級改造前該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級品率p=0.5.設(shè)p為升級改造后抽取的n件產(chǎn)品的優(yōu)級品率,如果p>p+1.65p(1-p)n,則認(rèn)為該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級品率提高了.根據(jù)抽取的150件產(chǎn)品的數(shù)據(jù),能否認(rèn)為生產(chǎn)線智能化升級改造后,該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級品率提高了附:K2=n(P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828.17解析(1)列聯(lián)表如下:優(yōu)級品非優(yōu)級品甲車間2624乙車間7030K2=150×(26×30?24×70)296×54×100×50∵3.841<4.6875<6.635,∴有95%的把握認(rèn)