專題五平面向量與復(fù)數(shù)5.1平面向量的概念及線性運(yùn)算、平面向量基本定理及坐標(biāo)表示考點(diǎn)1平面向量的概念及線性運(yùn)算1.(2023北京,3,4分)已知向量a,b滿足a+b=(2,3),a-b=(-2,1),則|a|2-|b|2=()A.-2B.-1C.0D.1答案B由題知a+b所以|a|2-|b|2=4-5=-1.2.(2022全國乙文,3,5分)已知向量a=(2,1),b=(-2,4),則|a-b|=()A.2B.3C.4D.5答案D由題意知a-b=(4,-3),所以|a-b|=42+(?3)2=53.(2022新高考Ⅰ,3,5分)在△ABC中,點(diǎn)D在邊AB上,BD=2DA.記CA=m,CD=n,則CB=()A.3m-2nB.-2m+3nC.3m+2nD.2m+3n答案B由題意可知,DA=CA?CD=m-n,又BD=2DA,所以BD=2DA=2(m-n),所以CB=CD+DB=n-2(m-4.(2015課標(biāo)Ⅰ理,7,5分)設(shè)D為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),BC=3CD,則()A.AD=-13AB+43ACB.ADC.AD=43AB+13ACD.AD答案AAD=AB+BD=AB+BC+CD=AB+43BC=AB+43(AC-AB)=-13AB5.(2014課標(biāo)Ⅰ文,6,5分)設(shè)D,E,F分別為△ABC的三邊BC,CA,AB的中點(diǎn),則EB+FC=()A.ADB.12ADC.BC答案A設(shè)AB=a,AC=b,則EB=-12b+a,FC=-12a+b,從而EB+FC=?12b+a+?12a+6.(2015課標(biāo)Ⅱ理,13,5分)設(shè)向量a,b不平行,向量λa+b與a+2b平行,則實(shí)數(shù)λ=.

答案1解析由于a,b不平行,所以可以以a,b作為一組基底,于是λa+b與a+2b平行等價(jià)于λ1=12,即λ=7.(2015北京理,13,5分)在△ABC中,點(diǎn)M,N滿足AM=2MC,BN=NC.若MN=xAB+yAC,則x=,y=.

答案12;-解析由AM=2MC知M為AC上靠近C的三等分點(diǎn),由BN=NC知N為BC的中點(diǎn),作出草圖如下:則有AN=12(AB+AC),所以MN=AN-AM=12(AB+AC)-23·AC=1又因?yàn)镸N=xAB+yAC,所以x=12,y=-18.(2013江蘇,10,5分)設(shè)D,E分別是△ABC的邊AB,BC上的點(diǎn),AD=12AB,BE=23BC.若DE=λ1AB+λ2AC(λ1,λ2為實(shí)數(shù)),則λ1+λ2的值為答案1解析DE=DB+BE=12AB+23BC=12AB+23(AC∵DE=λ1AB+λ2AC,∴λ1=-16,λ2=23,故λ1+λ2=考點(diǎn)2平面向量的基本定理及坐標(biāo)運(yùn)算1.(2015課標(biāo)Ⅰ文,2,5分)已知點(diǎn)A(0,1),B(3,2),向量AC=(-4,-3),則向量BC=()A.(-7,-4)B.(7,4)C.(-1,4)D.(1,4)答案A根據(jù)題意得AB=(3,1),∴BC=AC-AB=(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4).故選A.2.(2014北京文,3,5分)已知向量a=(2,4),b=(-1,1),則2a-b=()A.(5,7)B.(5,9)C.(3,7)D.(3,9)答案A由a=(2,4)知2a=(4,8),所以2a-b=(4,8)-(-1,1)=(5,7).故選A.3.(2014廣東文,3,5分)已知向量a=(1,2),b=(3,1),則b-a=()A.(-2,1)B.(2,-1)C.(2,0)D.(4,3)答案Bb-a=(3,1)-(1,2)=(2,-1).故答案為B.4.(2014福建理,8,5分)在下列向量組中,可以把向量a=(3,2)表示出來的是()A.e1=(0,0),e2=(1,2)B.e1=(-1,2),e2=(5,-2)C.e1=(3,5),e2=(6,10)D.e1=(2,-3),e2=(-2,3)答案B設(shè)a=k1e1+k2e2,A選項(xiàng),∵(3,2)=(k2,2k2),∴k2=3,B選項(xiàng),∵(3,2)=(-k1+5k2,2k1-2k2),∴?k1故B中的e1,e2可把a(bǔ)表示出來.同理,C、D選項(xiàng)同A選項(xiàng),無解.5.(2021全國乙文,13,5分)已知向量a=(2,5),b=(λ,4),若a∥b,則λ=.

答案8解題指導(dǎo):利用“若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a∥b?x1y2=x2y1”解題.解析由已知a∥b得2×4=5λ,∴λ=85解題關(guān)鍵:記準(zhǔn)兩平面向量共線的充要條件是解這類問題的關(guān)鍵.6.(2017山東文,11,5分)已知向量a=(2,6),b=(-1,λ).若a∥b,則λ=.

答案-3解析本題考查向量平行的條件.∵a=(2,6),b=(-1,λ),a∥b,∴2λ-6×(-1)=0,∴λ=-3.7.(2016課標(biāo)Ⅱ文,13,5分)已知向量a=(m,4),b=(3,-2),且a∥b,則m=.

答案-6解析因?yàn)閍∥b,所以m3=4?2易錯(cuò)警示容易把兩個(gè)向量平行與垂直的條件混淆.評(píng)析本題考查了兩個(gè)向量平行的充要條件.8.(2014陜西,13,5分)設(shè)0<θ<π2,向量a=(sin2θ,cosθ),b=(cosθ,1),若a∥b,則tanθ=答案1解析∵a∥b,∴sin2θ×1-cos2θ=0,∴2sinθcosθ-cos2θ=0,∵0<θ<π2,∴cosθ>0,∴2sinθ=cosθ,∴tanθ=125.2平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用考點(diǎn)1平面向量數(shù)量積的定義夾角及模的的問題1.(2024新課標(biāo)Ⅰ,3,5分,易)已知向量a=(0,1),b=(2,x),若b⊥(b-4a),則x=()A.-2 B.-1 C.1 D.23D因?yàn)閎⊥(b-4a),所以b·(b-4a)=0,則b2-4a·b=22+x2-4(0×2+1×x)=0,即x2-4x+4=(x-2)2=0,解得x=2,故選D.一題多解因?yàn)閎-4a=(2,x-4),又b⊥(b-4a),所以b·(b-4a)=0,則4+x(x-4)=0,解得x=2,故選D.2.(2024新課標(biāo)Ⅱ,3,5分,易)已知向量a,b滿足|a|=1,|a+2b|=2,且(b-2a)⊥b,則|b|=()A.12 B.22 C.33B∵(b-2a)⊥b,∴b2-2a·b=0,即b2=2a·b.又∵|a+2b|=(a+2b)2,∴a2∴a2+6b2=4.又∵|a|=1,∴b2=12,∴|b|=22,3.（2023全國甲文，3）已知向量，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，則，，所以，故選：B.4.（2023全國乙文，6）正方形的邊長是2，是的中點(diǎn)，則（）A. B.3 C. D.5【答案】B【解析】方法一：以為基底向量，可知，則，所以；方法二：如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則，可得，所以；方法三：由題意可得：，在中，由余弦定理可得，所以.故選：B.5.(2022全國乙理,3,5分)已知向量a,b滿足|a|=1,|b|=3,|a-2b|=3,則a·b=()A.-2B.-1C.1D.2答案C由|a-2b|=3,可得|a-2b|2=a2-4a·b+4b2=9,又|a|=1,|b|=3,所以a·b=1,故選C.6.(2015山東理,4,5分)已知菱形ABCD的邊長為a,∠ABC=60°,則BD·CD=()A.-32a2B.-34a2C.34a2D.答案DBD·CD=(BC+CD)·CD=BC·CD+CD2=12a2+a2=325.(2015重慶理,6,5分)若非零向量a,b滿足|a|=223|b|,且(a-b)⊥(3a+2b),則a與bA.π4B.π2C.答案A∵(a-b)⊥(3a+2b),∴(a-b)·(3a+2b)=0?3|a|2-a·b-2|b|2=0?3|a|2-|a|·|b|·cos<a,b>-2|b|2=0.又∵|a|=223|b|,∴83|b|2-223|b|2·cos<a,b>-2|b|2=0.∴cos<a,b>=22.∵<∴<a,b>=π4.選7.(2015重慶文,7,5分)已知非零向量a,b滿足|b|=4|a|,且a⊥(2a+b),則a與b的夾角為()A.π3B.π2C.2答案C因?yàn)閍⊥(2a+b),所以a·(2a+b)=0,得到a·b=-2|a|2,設(shè)a與b的夾角為θ,則cosθ=a·b|a||b|=?2|a|24|a|28.(2015課標(biāo)Ⅱ文,4,5分)向量a=(1,-1),b=(-1,2),則(2a+b)·a=()A.-1B.0C.1D.2答案C因?yàn)?a+b=2(1,-1)+(-1,2)=(2,-2)+(-1,2)=(1,0),所以(2a+b)·a=(1,0)·(1,-1)=1×1+0×(-1)=1.故選C.9.(2015四川理,7,5分)設(shè)四邊形ABCD為平行四邊形,|AB|=6,|AD|=4.若點(diǎn)M,N滿足BM=3MC,DN=2NC,則AM·NM=()A.20B.15C.9D.6答案C依題意有AM=AB+BM=AB+34BC,NM=NC+CM=13DC-14BC=13AB-14BC,所以AM·NM=10.(2015廣東文,9,5分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知四邊形ABCD是平行四邊形,AB=(1,-2),AD=(2,1),則AD·AC=()A.5B.4C.3D.2答案A∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AC=AB+AD=(3,-1),∴AD·AC=2×3+1×(-1)=5.選A.11.(2014課標(biāo)Ⅱ,理3,文4,5分)設(shè)向量a,b滿足|a+b|=10,|a-b|=6,則a·b=()A.1B.2C.3D.5答案A∵|a+b|=10,∴a2+2a·b+b2=10.①又|a-b|=6,∴a2-2a·b+b2=6.②①-②,得4a·b=4,即a·b=1,故選A.12.(2014大綱全國文,6,5分)已知a、b為單位向量,其夾角為60°,則(2a-b)·b=()A.-1B.0C.1D.2答案B(2a-b)·b=2a·b-|b|2=2×1×1×cos60°-12=0,故選B.13.(2014大綱全國理,4,5分)若向量a、b滿足:|a|=1,(a+b)⊥a,(2a+b)⊥b,則|b|=()A.2B.2C.1D.2答案B由題意得(a+b)·a=a2+a·b=0,(2a+b)·b=2a·b+b214.(2016課標(biāo)Ⅲ,3,5分)已知向量BA=12,32,BC=3A.30°B.45°C.60°D.120°答案Acos∠ABC=BA·BC|BA|·|BC思路分析由向量的夾角公式可求得cos∠ABC的值,進(jìn)而得∠ABC的大小.15.(2022新高考Ⅱ,4,5分)已知向量a=(3,4),b=(1,0),c=a+tb,若<a,c>=<b,c>,則t=()A.-6B.-5C.5D.6答案C由題意可得c=(3+t,4),由<a,c>=<b,c>得cos<a,c>=cos<b,c>,即3(3+t)+4×45(3+t)2+16.(2022北京,10,4分)在△ABC中,AC=3,BC=4,∠C=90°.P為△ABC所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn),且PC=1,則PA·PB的取值范圍是(A.[-5,3]B.[-3,5]C.[-6,4]D.[-4,6]答案D解法一:取AB的中點(diǎn)D,PA·PB=(PC+CA)·(PC+CB)=PC2+(CA+CB)·PC+CA·CB=PC2+2CD·PC=1+5×1×cosθ=1+5cosθ(θ為解法二:建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,則A(0,3),B(-4,0),設(shè)P(cosθ,sinθ),θ∈[0,2π),則PA·PB=(-cosθ,3-sinθ)·(-4-cosθ,-sin=cos2θ+4cosθ+sin2θ-3sinθ=1+4cosθ-3sinθ=1+5cos(θ+φ),其中tanφ=34因?yàn)棣取蔥0,2π),所以PA·PB∈[-4,6].故選16.(2019課標(biāo)Ⅱ文,3,5分)已知向量a=(2,3),b=(3,2),則|a-b|=()A.2B.2C.52D.50答案A本題主要考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及向量模的計(jì)算;考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).∵a=(2,3),b=(3,2),∴a-b=(-1,1),∴|a-b|=(?1)2+一題多解∵a=(2,3),b=(3,2),∴|a|2=13,|b|2=13,a·b=12,則|a-b|=a2?2a·b+17.（2023課標(biāo)II，13）已知向量，滿足，，則______．【答案】【解析】法一：因?yàn)?，即，則，整理得，又因?yàn)?，即，則，所以.法二：設(shè)，則，由題意可得：，則，整理得：，即.18.(2021全國甲文,13,5分)若向量a,b滿足|a|=3,|a-b|=5,a·b=1,則|b|=.

答案32解析依題意可得|a-b|=(a?b)2=a|19.(2017課標(biāo)Ⅰ理,13,5分)已知向量a,b的夾角為60°,|a|=2,|b|=1,則|a+2b|=.

答案23解析本題考查向量數(shù)量積的計(jì)算.由題意知a·b=|a|·|b|cos60°=2×1×12=1,則|a+2b|2=(a+2b)2=|a|2+4|b|2+4a·b所以|a+2b|=23.20.(2014重慶文,12,5分)已知向量a與b的夾角為60°,且a=(-2,-6),|b|=10,則a·b=.

答案10解析由a=(-2,-6),得|a|=(?2)∴a·b=|a||b|cos<a,b>=210×10×cos60°=10.21.(2016北京文,9,5分)已知向量a=(1,3),b=(3,1),則a與b夾角的大小為.

答案π解析∵cos<a,b>=a·b|a|∴a與b夾角的大小為π622.(2015浙江,13,4分)已知e1,e2是平面單位向量,且e1·e2=12.若平面向量b滿足b·e1=b·e2=1,則|b|=答案2解析令e1與e2的夾角為θ,∴e1·e2=|e1|·|e2|cosθ=cosθ=12,又0°≤θ≤180°,∴θ=60°.因?yàn)閎·(e1-e2)=0,所以b與e1、e2的夾角均為30°,從而|b|=1cos30°23.(2014課標(biāo)Ⅰ理,15,5分)已知A,B,C為圓O上的三點(diǎn),若AO=12(AB+AC),則AB與AC的夾角為答案90°解析由AO=12(AB+AC)可知O為BC的中點(diǎn),即BC為圓O的直徑,又因?yàn)橹睆剿鶎?duì)的圓周角為直角,所以∠BAC=90°,所以AB與AC的夾角為24.(2014湖北文,12,5分)若向量OA=(1,-3),|OA|=|OB|,OA·OB=0,則|AB|=.

答案25解析|AB|=|OB-OA|=OA2∵|OA|=|OB|=12+(?3)2=∴|AB|=20=25,故答案為25.25.(2019課標(biāo)Ⅲ文,13,5分)已知向量a=(2,2),b=(-8,6),則cos<a,b>=.

答案-2解析本題考查平面向量夾角的計(jì)算,通過向量的坐標(biāo)運(yùn)算考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力,體現(xiàn)運(yùn)算法則與運(yùn)算方法的素養(yǎng)要素.由題意知cos<a,b>=a·b|a|考點(diǎn)2.平面向量數(shù)量積的應(yīng)用1.（2023課標(biāo)I，3）已知向量，若，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，，由可得，，即，整理得：．故選：D．2.（2023全國甲理，4）向量，且，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?所以,即,即,所以.如圖,設(shè),由題知,是等腰直角三角形，AB邊上的高,所以，,.故選:D.3.(2015福建文,7,5分)設(shè)a=(1,2),b=(1,1),c=a+kb.若b⊥c,則實(shí)數(shù)k的值等于()A.-32B.-53C.5答案Ac=a+kb=(1+k,2+k).由b⊥c,得b·c=0,即1+k+2+k=0,解得k=-32.故選4.(2016山東,8,5分)已知非零向量m,n滿足4|m|=3|n|,cos<m,n>=13.若n⊥(tm+n),則實(shí)數(shù)t的值為A.4B.-4C.94D.-答案B因?yàn)閚⊥(tm+n),所以tm·n+n2=0,所以m·n=-n2t,又4|m|=3|所以cos<m,n>=m·n|m|·|n|=4m5.(2017課標(biāo)Ⅱ理,12,5分)已知△ABC是邊長為2的等邊三角形,P為平面ABC內(nèi)一點(diǎn),則PA·(PB+PC)的最小值是()A.-2B.-32C.-4答案B設(shè)BC的中點(diǎn)為D,AD的中點(diǎn)為E,則有PB+PC=2PD,則PA·(PB+PC)=2PA·PD=2(PE+EA)·(PE-EA)=2(PE2-EA而AE2=322當(dāng)P與E重合時(shí),PE2有最小值0,故此時(shí)PA·(PB+PC)取最小值最小值為-2EA2=-2×34=-方法總結(jié)在求向量數(shù)量積的最值時(shí),常用取中點(diǎn)的方法,如本題中利用PA·PD=PE2-EA2一題多解以AB所在直線為x軸,AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系,如圖,則A(-1,0),B(1,0),C(0,3),設(shè)P(x,y),取BC的中點(diǎn)D,則D12,32.PA·(PB+PC)=2PA·PD=2(-1-x,-y)·12因此,當(dāng)x=-14,y=34時(shí),PA·(PB+PC)取得最小值,為2×?34=-6.(2016四川文,9,5分)已知正三角形ABC的邊長為23,平面ABC內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)P,M滿足|AP|=1,PM=MC,則|BM|2的最大值是()A.434B.494C.37+6答案B以A為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,則A(0,0),C(23,0),B(3,3).設(shè)P(x,y),∵|AP|=1,∴x2+y2=1,∵PM=MC,∴M為PC的中點(diǎn),∴Mx+2∴|BM|2=x+232?32+y2?3又∵-1≤y≤1,∴當(dāng)y=-1時(shí),|BM|2取得最大值,且最大值為494思路分析由△ABC為正三角形,|AP|=1,考慮到用建立平面直角坐標(biāo)系的方法來解決向量問題.評(píng)析本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算,運(yùn)用了轉(zhuǎn)化與化歸思想.7.(2020新高考Ⅰ,7,5分)已知P是邊長為2的正六邊形ABCDEF內(nèi)的一點(diǎn),則AP·AB的取值范圍是(A.(-2,6)B.(-6,2)C.(-2,4)D.(-4,6)答案A解法一:如圖,過點(diǎn)P作PP1⊥直線AB于P1,過點(diǎn)C作CC1⊥直線AB于C1,過點(diǎn)F作FF1⊥直線AB于F1,AP·AB=|AP|·|AB|·cos∠PAB,當(dāng)∠PAB為銳角時(shí),|AP|·cos∠PAB=|AP1|,當(dāng)∠PAB為鈍角時(shí),|AP|·cos∠PAB=?|AP1|,所以當(dāng)點(diǎn)P與C重合時(shí),AP·AB最大,此時(shí)AP·AB=|AC1||解法二:連接AE,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB所在直線為x軸,AE所在直線為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系(圖略),則A(0,0),B(2,0),設(shè)P(x0,y0),則-1<x0<3.AB=(2,0),AP=(x0,y0),則AB·AP=2x0∈(-2,6),故選解后反思解決以平面多邊形為載體,有關(guān)平面向量數(shù)量積的復(fù)雜計(jì)算問題時(shí),可以建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,將復(fù)雜的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的坐標(biāo)運(yùn)算,會(huì)大大降低難度.8.(多選)(2021新高考Ⅰ,10,5分)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)P1(cosα,sinα),P2(cosβ,-sinβ),P3(cos(α+β),sin(α+β)),A(1,0),則()A.|OPC.OA答案ACA項(xiàng),∵|OP1|=cos2α+sin2α=1,|OP2|=cos2β|AP2|=(cosβ?1)2+(?sinβ)2=2?2cosβ,C選項(xiàng),∵OA·OP3=(1,0)·(cos(α+β),sin(α+β))=cos(OP1·OP2=(cosα,sinα)·(cosβ,-sinβ)=cosαcosβ-sinαsinβ∴OA·OP3D選項(xiàng),∵OA·OP1=(1,0)·(cosα,sinαOP2·OP3=(cosβ,-sinβ)·(cos(α+β),sin(α+β))=cosβ·cos(α+β)-sinβ·sin(α+β)=cos(β+α+β)∴OA·OD選項(xiàng)不正確.故選AC.9..(2022全國甲文,13,5分)已知向量a=(m,3),b=(1,m+1).若a⊥b,則m=.

答案-3解析因?yàn)閍⊥b,所以a·b=0,即m×1+3(m+1)=0,解得m=-3410.(2021全國乙理,14,5分)已知向量a=(1,3),b=(3,4),若(a-λb)⊥b,則λ=.

答案3解題指導(dǎo):根據(jù)(a-λb)⊥b得(a-λb)·b=0,再轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算,得到關(guān)于λ的方程求解即可.解析解法一:由a=(1,3),b=(3,4),得a-λb=(1-3λ,3-4λ),由(a-λb)⊥b得(a-λb)·b=0,故3(1-3λ)+4(3-4λ)=0?15-25λ=0?λ=35解法二:由(a-λb)⊥b得(a-λb)·b=0,即a·b-λb2=0,a·b=1×3+3×4=15,b2=3×3+4×4=25,則15-25λ=0,∴λ=3511.(2021全國甲理,14,5分)已知向量a=(3,1),b=(1,0),c=a+kb.若a⊥c,則k=.

答案-10解題指導(dǎo):首先確定c的坐標(biāo)表示,然后依據(jù)向量垂直的條件建立等式,進(jìn)而確定k的值.解析由題意知c=a+kb=(3,1)+k(1,0)=(3+k,1),結(jié)合a⊥c得3(3+k)+1×1=0,解得k=-103易錯(cuò)警示在利用a,b的坐標(biāo)表示c時(shí),易出現(xiàn)運(yùn)算錯(cuò)誤.12.(2018上海,8,5分)在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A(-1,0)、B(2,0),E、F是y軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且|EF|=2,則AE·BF的最小值為.

答案-3解析本題主要考查數(shù)量積的運(yùn)算以及二次函數(shù)的最值問題.設(shè)E(0,m),F(0,n),又A(-1,0),B(2,0),∴AE=(1,m),BF=(-2,n).∴AE·BF=-2+mn,又知|EF|=2,∴|m-n|=2.①當(dāng)m=n+2時(shí),AE·BF=mn-2=(n+2)n-2=n2+2n-2=(n+1)2-3.∴當(dāng)n=-1,即E(0,1),F(0,-1)時(shí),AE·BF取得最小值-3.②當(dāng)m=n-2時(shí),AE·BF=mn-2=(n-2)n-2=n2-2n-2=(n-1)2-3.∴當(dāng)n=1,即E(0,-1),F(0,1)時(shí),AE·BF取得最小值-3.綜上可知,AE·BF的最小值為-3.13.(2016課標(biāo)Ⅰ,13,5分)設(shè)向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,則m=.

答案-2解析由|a+b|2=|a|2+|b|2可得a·b=0,∴a·b=m+2=0,∴m=-2.思路分析由|a+b|2=|a|2+|b|2得a·b=0,然后利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示得到關(guān)于m的方程,解方程求得m.14.(2018北京文,9,5分)設(shè)向量a=(1,0),b=(-1,m).若a⊥(ma-b),則m=.

答案-1解析本題主要考查平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算.∵a=(1,0),b=(-1,m),∴a2=1,a·b=-1,由a⊥(ma-b)得a·(ma-b)=0,即ma2-a·b=0,即m-(-1)=0,∴m=-1.15.(2017課標(biāo)Ⅰ文,13,5分)已知向量a=(-1,2),b=(m,1).若向量a+b與a垂直,則m=.

答案7解析本題考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算.∵a=(-1,2),b=(m,1),∴a+b=(m-1,3),又(a+b)⊥a,∴(a+b)·a=-(m-1)+6=0,解得m=7.16.(2016課標(biāo)Ⅰ文,13,5分)設(shè)向量a=(x,x+1),b=(1,2),且a⊥b,則x=.

答案-2解析因?yàn)閍⊥b,所以x+2(x+1)=0,解得x=-23易錯(cuò)警示混淆兩向量平行與垂直的條件是造成失分的主要原因.17.(2016山東文,13,5分)已知向量a=(1,-1),b=(6,-4).若a⊥(ta+b),則實(shí)數(shù)t的值為.

答案-5解析因?yàn)閍⊥(ta+b),所以a·(ta+b)=0,即ta2+a·b=0,又因?yàn)閍=(1,-1),b=(6,-4),所以|a|=2,a·b=1×6+(-1)×(-4)=10,因此可得2t+10=0,解得t=-5.評(píng)析本題主要考查向量的數(shù)量積運(yùn)算,向量的模以及兩向量垂直的充要條件等基礎(chǔ)知識(shí),考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力以及方程思想的應(yīng)用.18.(2014湖北理,11,5分)設(shè)向量a=(3,3),b=(1,-1).若(a+λb)⊥(a-λb),則實(shí)數(shù)λ=.

答案±3解析|a|=32,|b|=2,a·b=3×1+3×(-1)=0.因?yàn)?a+λb)⊥(a-λb),所以(a+λb)·(a-λb)=|a|2-λ2|b|2=18-2λ2=0.故λ=±3.19.(2013課標(biāo)Ⅰ,理13,文13,5分)已知兩個(gè)單位向量a,b的夾角為60°,c=ta+(1-t)b.若b·c=0,則t=.

答案2解析解法一:∵b·c=0,∴b·[ta+(1-t)b]=0,ta·b+(1-t)·b2=0,又∵|a|=|b|=1,<a,b>=60°,∴12解法二:由t+(1-t)=1知向量a、b、c的終點(diǎn)A、B、C共線,在平面直角坐標(biāo)系中設(shè)a=(1,0),b=12則c=32把a(bǔ)、b、c的坐標(biāo)代入c=ta+(1-t)b,得t=2.評(píng)析本題考查了向量的運(yùn)算,利用三點(diǎn)共線的條件得到c的坐標(biāo)是解題關(guān)鍵.20.(2012課標(biāo),理13,文13,5分)已知向量a,b夾角為45°,且|a|=1,|2a-b|=10,則|b|=.

答案32解析|2a-b|=10兩邊平方得4|a|2-4|a|·|b|cos45°+|b|2=10.∵|a|=1,∴|b|2-22|b|-6=0.∴|b|=32或|b|=-2(舍去).評(píng)析本題考查了向量的基本運(yùn)算,考查了方程的思想.通過“平方”把向量轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積是求解的關(guān)鍵.21.(2012安徽文,11,5分)設(shè)向量a=(1,2m),b=(m+1,1),c=(2,m),若(a+c)⊥b,則|a|=.

答案2解析a+c=(3,3m),∵(a+c)⊥b,∴(a+c)·b=0,∴3m+3+3m=0,∴m=-12∴a=(1,-1),∴|a|=12+(?評(píng)析本題主要考查向量的基本運(yùn)算,考查了向量垂直的充要條件.22.(2011課標(biāo),文13,5分)已知a與b為兩個(gè)不共線的單位向量,k為實(shí)數(shù),若向量a+b與向量ka-b垂直,則k=.

答案1解析由題意知|a|=1,|b|=1,<a,b>≠0且<a,b>≠π.由a+b與向量ka-b垂直,得(a+b)·(ka-b)=0,即k|a|2+(k-1)|a||b|·cos<a,b>-|b|2=0,(k-1)(1+cos<a,b>)=0.又1+cos<a,b>≠0,∴k-1=0,k=1.評(píng)析本題考查向量的模、向量的數(shù)量積等相關(guān)知識(shí),考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力,屬中等難度試題.23.(2015福建理,9,5分)已知AB⊥AC,|AB|=1t,|AC|=t.若點(diǎn)P是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn),且AP=AB|AB|+4AC|ACA.13B.15C.19D.21答案A以A為原點(diǎn),AB所在直線為x軸,AC所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系,則B1t,0(t>0),C(0,t),P(1,4),PB·PC=1t?1,?4·(-1,t-4)=17-4t+1t≤24.(2019浙江,17,6分)已知正方形ABCD的邊長為1.當(dāng)每個(gè)λi(i=1,2,3,4,5,6)取遍±1時(shí),|λ1AB+λ2BC+λ3CD+λ4DA+λ5AC+λ6BD|的最小值是,最大值是.

答案0;25解析本題考查平面向量的坐標(biāo)表示及坐標(biāo)運(yùn)算,在向量的坐標(biāo)運(yùn)算中涉及多個(gè)未知數(shù)據(jù)以此來考查學(xué)生的數(shù)據(jù)處理能力,數(shù)學(xué)運(yùn)算及數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng).如圖,建立平面直角坐標(biāo)系,則A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1),∴AB=(1,0),BC=(0,1),CD=(-1,0),DA=(0,-1),AC=(1,1),BD=(-1,1),故|λ1AB+λ2BC+λ3CD+λ4DA+λ5AC+λ6BD|=|(λ1-λ3+λ5-λ6,λ2-λ4+λ5+λ6)|=(λ顯然(*)式中第一個(gè)括號(hào)中的λ1,λ3與第二個(gè)括號(hào)中的λ2,λ4的取值互不影響,∴只需討論λ5與λ6的取值情況即可,當(dāng)λ5與λ6同號(hào)時(shí),不妨取λ5=1,λ6=1,則(*)式即為(λ∵λ1,λ2,λ3,λ4∈{-1,1},∴λ1=λ3,λ2-λ4=-2(λ2=-1,λ4=1)時(shí),(*)式取最小值0,當(dāng)|λ1-λ3|=2(如λ1=1,λ3=-1),λ2-λ4=2(λ2=1,λ4=-1)時(shí),(*)式取最大值25,當(dāng)λ5與λ6異號(hào)時(shí),不妨取λ5=1,λ6=-1,則(*)式即為(λ同理可得最小值仍為0,最大值仍為25,綜上,最小值為0,最大值為25.解題關(guān)鍵本題未知量比較多,所以給學(xué)生的第一感覺是難,而實(shí)際上注意到圖形為規(guī)則的正方形,λi(i=1,2,3,4,5,6)的取值只有兩種可能(1或-1),這就給建系及討論λi的值創(chuàng)造了條件,也是求解本題的突破口.25.(2019北京文,9,5分)已知向量a=(-4,3),b=(6,m),且a⊥b,則m=.

答案8解析本題考查兩向量垂直的充要條件和向量的坐標(biāo)運(yùn)算,考查了方程的思想方法.∵a⊥b,∴a·b=(-4,3)·(6,m)=-24+3m=0,∴m=8.易錯(cuò)警示容易把兩向量平行與垂直的條件混淆.26.(2017北京文,12,5分)已知點(diǎn)P在圓x2+y2=1上,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-2,0),O為原點(diǎn),則AO·AP的最大值為.

答案6解析解法一:AO·AP表示AP在AO方向上的投影與|AO|的乘積,當(dāng)P在B點(diǎn)時(shí),AO·AP有最大值,此時(shí)AO·AP=2×3=6.解法二:設(shè)P(x,y),則AO·AP=(2,0)·(x+2,y)=2x+4,由題意知-1≤x≤1,∴x=1時(shí),AO·AP取最大值6,∴AO·AP的最大值為6.

5.3復(fù)數(shù)考點(diǎn)1復(fù)數(shù)的概念1.(2023新課標(biāo)Ⅱ,1,5分,易)在復(fù)平面內(nèi),(1+3i)·(3-i)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限答案A(1+3i)(3-i)=6+8i,對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(6,8)位于第一象限,故選A.2.(2023全國乙文,1,5分,易)|2+i2+2i3|=()A.1B.2C.5D.5答案C|2+i2+2i3|=|2-1-2i|=|1-2i|=5,故選C.3.(2023北京,2,4分,易)在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是(-1,3),則z的共軛復(fù)數(shù)z=()A.1+3iB.1?C.-1+3iD.?1?答案D由題知復(fù)數(shù)z=-1+3i,則z=?1?34.(2021浙江,2,4分)已知a∈R,(1+ai)i=3+i(i為虛數(shù)單位),則a=()A.-1B.1C.-3D.3答案C解題指導(dǎo):先將等式左邊化成a+bi(a,b∈R)的形式,然后利用復(fù)數(shù)相等的充要條件得出結(jié)果.解析由(1+ai)i=3+i,得-a+i=3+i,所以-a=3,即a=-3.故選C.方法總結(jié)設(shè)z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),則z1=z2的充要條件是a5.(2022浙江,2,4分)已知a,b∈R,a+3i=(b+i)i(i為虛數(shù)單位),則()A.a=1,b=-3B.a=-1,b=3C.a=-1,b=-3D.a=1,b=3答案B∵a+3i=bi+i2=-1+bi,∴a=-1,b=3.故選B.6.(2022北京,2,4分)若復(fù)數(shù)z滿足i·z=3-4i,則|z|=()A.1B.5C.7D.25答案B由i·z=3-4i可知,z=3?4ii=(3?4i)·(?i)i(?i)=-4-3i,故|z|=7.(2022新高考Ⅰ,2,5分)若i(1-z)=1,則z+z=()A.-2B.-1C.1D.2答案D由題意知1-z=1i=-i,所以z=1+i,則z=1-i,所以z+z=(1+i)+(1-i)=2,故選D8.(2022全國乙文,2,5分)設(shè)(1+2i)a+b=2i,其中a,b為實(shí)數(shù),則()A.a=1,b=-1B.a=1,b=1C.a=-1,b=1D.a=-1,b=-1答案A由題意知(a+b)+2ai=2i,所以a+b=0,9.(2022全國乙理,2,5分)已知z=1-2i,且z+az+b=0,其中a,b為實(shí)數(shù),則()A.a=1,b=-2B.a=-1,b=2C.a=1,b=2D.a=-1,b=-2答案A由題意知z=1+2i,所以z+az+b=1-2i+a(1+2i)+b=a+b+1+(2a-2)i,又z+az+b=0,所以a+b+1+(2a-2)i=0,所以a+b+1=0,10.(2021全國乙理,1,5分)設(shè)2(z+z)+3(z-z)=4+6i,則z=()A.1-2iB.1+2iC.1+iD.1-i答案C設(shè)z=a+bi(a,b∈R),則z=a-bi,代入2(z+z)+3(z-z)=4+6i,得4a+6bi=4+6i,所以a=1,b=1,故z=1+i.故選C.11.(2019課標(biāo)Ⅱ文,2,5分)設(shè)z=i(2+i),則z=()A.1+2iB.-1+2iC.1-2iD.-1-2i答案D本題主要考查復(fù)數(shù)的有關(guān)概念及復(fù)數(shù)的運(yùn)算;考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力;考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).∵z=i(2+i)=2i+i2=-1+2i,∴z=-1-2i,故選D.解題關(guān)鍵正確理解共軛復(fù)數(shù)的概念是求解的關(guān)鍵.12.(2017課標(biāo)Ⅲ文,2,5分)復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)z=i(-2+i)的點(diǎn)位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限答案Cz=i(-2+i)=-2i+i2=-2i-1=-1-2i,所以復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(-1,-2),位于第三象限.故選C.13.(2017課標(biāo)Ⅲ理,2,5分)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足(1+i)z=2i,則|z|=()A.12B.22C.答案C本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算及復(fù)數(shù)的模.∵(1+i)z=2i,∴z=2i1+i=2∴|z|=12+1一題多解∵(1+i)z=2i,∴|1+i|·|z|=|2i|,即12+1214.(2017課標(biāo)Ⅰ文,3,5分)下列各式的運(yùn)算結(jié)果為純虛數(shù)的是()A.i(1+i)2B.i2(1-i)C.(1+i)2D.i(1+i)答案C本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算和純虛數(shù)的定義.A.i(1+i)2=i×2i=-2;B.i2(1-i)=-(1-i)=-1+i;C.(1+i)2=2i;D.i(1+i)=-1+i,故選C.15.(2016課標(biāo)Ⅰ理,2,5分)設(shè)(1+i)x=1+yi,其中x,y是實(shí)數(shù),則|x+yi|=()A.1B.2C.3D.2答案B∵x,y∈R,(1+i)x=1+yi,∴x+xi=1+yi,∴x=1,y=1,∴|x+yi|=|1+i|=12+評(píng)析本題考查復(fù)數(shù)相等的條件,屬容易題.16.(2016課標(biāo)Ⅰ文,2,5分)設(shè)(1+2i)(a+i)的實(shí)部與虛部相等,其中a為實(shí)數(shù),則a=()A.-3B.-2C.2D.3答案A∵(1+2i)(a+i)=(a-2)+(2a+1)i,∴a-2=2a+1,解得a=-3,故選A.解后反思將復(fù)數(shù)化為x+yi(x,y∈R)的形式,然后建立方程是解決問題的關(guān)鍵.評(píng)析本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算及復(fù)數(shù)的有關(guān)概念,將復(fù)數(shù)化為x+yi(x,y∈R)的形式是解題關(guān)鍵.17.(2016課標(biāo)Ⅱ文,2,5分)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z+i=3-i,則z=()A.-1+2iB.1-2iC.3+2iD.3-2i答案Cz=3-2i,所以z=3+2i,故選C.18.(2016課標(biāo)Ⅲ文,2,5分)若z=4+3i,則z|A.1B.-1C.45+35iD.45答案D由z=4+3i得|z|=32+42=5,z=4-3i,則z|z|19.(2015安徽理,1,5分)設(shè)i是虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)2i1A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限答案B∵2i1?i=2i(1+i20.(2015課標(biāo)Ⅰ理,1,5分)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足1+z1?A.1B.2C.3D.2答案A由已知1+z1?z=i,可得z=i?1i21.(2015湖北理,1,5分)i為虛數(shù)單位,i607的共軛復(fù)數(shù)····為A.iB.-iC.1D.-1答案A∵i607=i4×151+3=(i4)151·i3=-i,∴i607的共軛復(fù)數(shù)為i.22.(2014課標(biāo)Ⅱ理,2,5分)設(shè)復(fù)數(shù)z1,z2在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱,z1=2+i,則z1z2=()A.-5B.5C.-4+iD.-4-i答案A由題意得z2=-2+i,∴z1z2=(2+i)(-2+i)=-5,故選A.23.(2014重慶理,1,5分)復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)i(1-2i)的點(diǎn)位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限答案Ai(1-2i)=i-2i2=2+i,對(duì)應(yīng)復(fù)平面上的點(diǎn)為(2,1),在第一象限.選A.24.(2014課標(biāo)Ⅰ文,3,5分)設(shè)z=11+i+i,A.12B.22C.答案Bz=11+i+i=1?i2+i=12+12i,因此|z|=125.(2013課標(biāo)Ⅰ理,2,5分)若復(fù)數(shù)z滿足(3-4i)z=|4+3i|,則z的虛部為()A.-4B.-45C.4D.答案D∵|4+3i|=42+32=5,∴z=53?4i=5(3+4i)26.(2013課標(biāo)Ⅱ文,2,5分)21+A.22B.2C.2D.1答案C21+i=2(1?i)27.(2016課標(biāo)Ⅱ,1,5分)已知z=(m+3)+(m-1)i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A.(-3,1)B.(-1,3)C.(1,+∞)D.(-∞,-3)答案A由已知可得m+3>0,m?1<0?m方法總結(jié)復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部分別是其在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo),所以研究復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置時(shí),關(guān)鍵是確定復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部.28.(2016山東,1,5分)若復(fù)數(shù)z滿足2z+z=3-2i,其中i為虛數(shù)單位,則z=()A.1+2iB.1-2iC.-1+2iD.-1-2i答案B設(shè)z=a+bi(a、b∈R),則2z+z=2(a+bi)+a-bi=3a+bi=3-2i,∴a=1,b=-2,∴z=1-2i,故選B.29.(2019江蘇,2,5分)已知復(fù)數(shù)(a+2i)(1+i)的實(shí)部為0,其中i為虛數(shù)單位,則實(shí)數(shù)a的值是.

答案2解析本題考查了復(fù)數(shù)的概念及運(yùn)算,考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力,考查的核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)運(yùn)算.∵(a+2i)(1+i)=(a-2)+(a+2)i的實(shí)部為0,∴a-2=0,解得a=2.解題關(guān)鍵掌握復(fù)數(shù)的有關(guān)概念及代數(shù)形式的四則運(yùn)算是解題的關(guān)鍵.30.(2017江蘇,2,5分)已知復(fù)數(shù)z=(1+i)(1+2i),其中i是虛數(shù)單位,則z的模是.

答案10解析本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算.∵z=(1+i)(1+2i)=1+2i+i+2i2=3i-1,∴|z|=32+(?31.(2016江蘇,2,5分)復(fù)數(shù)z=(1+2i)(3-i),其中i為虛數(shù)單位,則z的實(shí)部是.

答案5解析(1+2i)(3-i)=3+5i-2i2=5+5i,所以z的實(shí)部為5.32.(2016北京理,9,5分)設(shè)a∈R.若復(fù)數(shù)(1+i)(a+i)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于實(shí)軸上,則a=.

答案-1解析(1+i)(a+i)=(a-1)+(a+1)i,∵a∈R,該復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于實(shí)軸上,∴a+1=0,∴a=-1.33.(2015天津,9,5分)i是虛數(shù)單位,若復(fù)數(shù)(1-2i)(a+i)是純虛數(shù),則實(shí)數(shù)a的值為.

答案-2解析∵(1-2i)(a+i)=2+a+(1-2a)i為純虛數(shù),∴1?234.(2015重慶理,11,5分)設(shè)復(fù)數(shù)a+bi(a,b∈R)的模為3,則(a+bi)(a-bi)=.

答案3解析復(fù)數(shù)a+bi(a,b∈R)的模為a2+b2=3,則a2+b2=3,則(a+bi)(a-bi)=a2-(bi)2=a2-b2·i2=a考點(diǎn)2復(fù)數(shù)的運(yùn)算1.(2024全國甲理,1,5分,易)若z=5+i,則i(z+z)=()A.10i B.2i C.10 D.21A∵z=5-i,∴i(z+z)=i(5-i+5+i)=10i,故選A.2.(2024新課標(biāo)Ⅱ,1,5分,易)已知z=-1-i,則|z|=()A.0 B.1 C.2 D.21C∵z=-1-i,∴|z|=(-1)2+(?1)23.(2024北京,2,4分,易)若復(fù)數(shù)z滿足zi=-1-i,則z=(A.-1-i B.-1+i C.1-i D.1+i2Cz=i(-1-i)=1-i,故選C.4.(2024新課標(biāo)Ⅰ,2,5分,易)若zz-1=1+i,則z=(A.-1-i B.-1+i C.1-i D.1+i2C依題意知z=(z-1)(1+i)=z(1+i)-1-i,則z=1+ii=(1+i5.(2023全國甲理,2,5分,易)設(shè)a∈R,(a+i)(1-ai)=2,則a=()A.-2B.-1C.1D.2答案C因?yàn)?a+i)(1-ai)=a-a2i+i-ai2=2a+(1-a2)i=2,所以2a=2,1?a2=0,6.(2023新課標(biāo)Ⅰ,2,5分,易)已知z=1?i2+2i,則z-z=(A.-iB.iC.0D.1答案Az=1?i2(1+i)=(1?i)22(1+i)(1?i)=?2i4=-12i,∴z=12i,∴z7.(2023全國乙理,1,5分,易)設(shè)z=2+i1+i2+i5,則A.1-2iB.1+2iC.2-iD.2+i答案Bz=2+i1+i2+i5=2+i1?1+i=(2+i)ii8.(2023全國甲文,2,5分,易)5(1+i3)(2+i)(2?i)=A.-1B.1C.1-iD.1+i答案C5(1+i3)(2+i)(2?i)=5(1?i)4?i9.(2021新高考Ⅰ,2,5分)已知z=2-i,則z(z+i)=()A.6-2iB.4-2iC.6+2iD.4+2i答案C∵z=2-i,∴z=2+i,∴z(z+i)=(2-i)(2+i+i)=(2-i)(2+2i)=4+4i-2i-2i2=6+2i.故選C.10.(2022新高考Ⅱ,2,5分)(2+2i)(1-2i)=()A.-2+4iB.-2-4iC.6+2iD.6-2i答案D(2+2i)(1-2i)=2-4i+2i-4i2=6-2i,故選D.11.(2022全國甲文,3,5分)若z=1+i,則|iz+3z|=()A.45答案D∵z=1+i,∴iz=i-1,3z=3(1-i)=3-3i,∴iz+3z=2-2i,∴|iz+3z|=22.故選12.(2021全國甲理,3,5分)已知(1-i)2z=3+2i,則z=()A.-1-32C.-32答案B解法一:由題意得z=3+2i(1?i)2解法二:設(shè)z=a+bi(a,b∈R).由(1-i)2z=3+2i得(1-i)2(a+bi)=3+2i,∴-2i(a+bi)=2b-2ai=3+2i,∴a=-1,b=32,∴z=-1+32i.故選13.(2022全國甲理,1,5分)若z=-1+3i,則zzz?1=(A.-1+3i答案C因?yàn)閦=-1+3i,所以zzz?1=?1+14.(2021全國乙文,2,5分)設(shè)iz=4+3i,則z=()A.-3-4iB.-3+4iC.3-4iD.3+4i答案C解題指導(dǎo):解法一:直接用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求解;解法二(待定系數(shù)法):利用方程思想求解.解析解法一:由題意得z=4+3ii=(4+3i)ii2解法二:由題意,設(shè)z=a+bi(a,b∈R),則iz=i(a+bi)=-b+ai,又iz=4+3i,所以a=3,b=-4,則z=3-4i,故選C.易錯(cuò)警示學(xué)生不熟悉復(fù)數(shù)的除法法則,在運(yùn)算中出錯(cuò).15.(2021北京,2,4分)若復(fù)數(shù)z滿足(1-i)·z=2,則z=()A.-1-iB.-1+iC.1-iD.1+i答案D解法一:設(shè)z=a+bi(a,b∈R),因?yàn)?1-i)·z=2,即a+b+(b-a)i=2,所以a+b=2,b?a=0,解得a=b=1,解法二:因?yàn)?1-i)·z=2,所以z=21?i=2(1+i)(1?i)(1+i)=1+i16.(2020新高考Ⅰ,2,5分)2?i1+2i=()A.1B.-1C.iD.-i答案D2?i1+2i=(2?i)(1?2i)(1+2i)(1?2i)=17.(2019課標(biāo)Ⅰ文,1,5分)設(shè)z=3?i1+2A.2B.3C.2D.1答案