試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)2025年上海市初中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共6題，每題4分，滿(mǎn)分24分）1．下列代數(shù)式中，計(jì)算正確的是（

）A． B．C． D．2．用代數(shù)式表示與差的平方，正確的是（

）A． B． C． D．3．下列函數(shù)中，為正比例函數(shù)的是（

）A． B． C． D．4．某學(xué)校組織了一場(chǎng)體育測(cè)試，現(xiàn)抽出60個(gè)人的體育考試分?jǐn)?shù)，并對(duì)此進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，如圖所示．關(guān)于這60人的分?jǐn)?shù)，下列說(shuō)法正確的是（

）A．中位數(shù)是12 B．中位數(shù)是75 C．眾數(shù)是21 D．眾數(shù)是855．在正方形中，的值為（

）A． B．1 C． D．26．在銳角三角形中，，，的外接圓為，且半徑為5，邊中點(diǎn)為，如果以為圓心的圓與相交，那么的平徑可以為（

）A．2 B．5 C．8 D．9二、填空題（本大題共12題，每題4分，滿(mǎn)分48分）7．分解因式：．8．不等式組的解集為．9．已知關(guān)于的一元二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是．10．已知一個(gè)反比例函數(shù)在各個(gè)象限內(nèi)，隨的增大而減小，那么這個(gè)反比例函數(shù)的解析式可以是．（只需寫(xiě)出一個(gè)）11．方程的解為．12．將函數(shù)的圖像向下平移2個(gè)單位后，得到的新函數(shù)的解析式為．13．小明與小杰在玩卡牌游戲，已知小明手里有1．2，3，4四張牌，小杰手里有2，4，6，8四張牌，小明從小杰手里抽出一張牌，如果抽到小杰手中四張卡牌中的任意一張概率都相等，那么小明抽出的這張卡牌中，和自己手中某一張卡牌的數(shù)字一樣的概率為．14．某公司需要員工上班時(shí)通過(guò)門(mén)禁，在門(mén)禁上方設(shè)置了人臉掃描儀，已知掃描儀（線段）的豎直高度2.7米，某人（線段）身高為1.8米，掃描儀測(cè)得，那么該人與掃描儀的水平距離為米．（備用數(shù)據(jù)：，，，精確到米）15．為了解乘客到達(dá)高鐵站后離開(kāi)的方式．某地開(kāi)展問(wèn)卷調(diào)查，共收到有效答復(fù)2000張，調(diào)查結(jié)果如圖所示．如果當(dāng)?shù)孛刻祀x開(kāi)高鐵站的人數(shù)約為1.8萬(wàn)人，那么當(dāng)?shù)孛刻斐俗鲎廛?chē)離開(kāi)的人數(shù)大約為．16．據(jù)報(bào)道，我國(guó)某科研團(tuán)隊(duì)近期成功研制出一種新閃存器件，其快速擦寫(xiě)速度全球領(lǐng)先．已知一皮秒等于秒，該器件執(zhí)行一次擦寫(xiě)需要400皮秒，則該器件一秒可以擦寫(xiě)次（科學(xué)記數(shù)法表示）．17．在矩形中，在邊上，關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，聯(lián)結(jié)，，如果四邊形是菱形，那么的值為．18．已知一個(gè)圓與一個(gè)角的兩邊各有兩個(gè)公共點(diǎn)，且在兩邊上截得的兩條弦正好是該圓內(nèi)接正五邊形的兩條邊，那么這個(gè)角的大小是．三、解答題（本大題共7題，滿(mǎn)分78分）19．計(jì)算：．20．解方程：．21．已知學(xué)校熱水器有一個(gè)可以?xún)?chǔ)200升（L）水的儲(chǔ)水裝置，且水在裝滿(mǎn)儲(chǔ)水裝置時(shí)會(huì)自動(dòng)停止，如圖所示為儲(chǔ)水量與加水時(shí)間的關(guān)系，已知溫度（單位：℃）與的關(guān)系為：．(1)求關(guān)于的函數(shù)解析式并寫(xiě)出定義域；(2)當(dāng)水加滿(mǎn)時(shí)，儲(chǔ)水裝置內(nèi)水的溫度為多少?22．小明正在進(jìn)行探究活動(dòng)：分割梯形并將其拼成等腰三角形，請(qǐng)你幫他一起探究．(1)如圖（1）所示，在梯形中，，．設(shè)為邊中點(diǎn)，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)的位置，得到的是等腰三角形，其中，設(shè)，求邊的長(zhǎng)（用表示）；(2)如圖（2）所示，已知梯形中，，且，．請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一種方案，用一條或兩條直線將梯形分割，并使得分割成的幾個(gè)部分可以通過(guò)圖形運(yùn)動(dòng)拼成與剩余部分不重疊無(wú)縫隙的等腰三角形．請(qǐng)寫(xiě)出兩腰的線段，以及這兩條或一條直線與梯形的交點(diǎn)的位置．（模仿（1）中的論述語(yǔ)言：為邊中點(diǎn)，是梯形的頂點(diǎn)）．23．如圖，已知，為中的兩弦，聯(lián)結(jié)，交弦于點(diǎn)，，且．(1)求證：；(2)如果，求證：．24．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線過(guò)，，與軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)為．(1)求，的值．(2)設(shè)拋物線過(guò)點(diǎn)，，且與軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)為．①求的值；②當(dāng)四邊形是直角梯形時(shí)，求該直角梯形中最小內(nèi)角的正弦值．25．在平行四邊形中，，分別為邊，上兩點(diǎn)．(1)當(dāng)是邊中點(diǎn)時(shí)，①如圖（1），聯(lián)結(jié)，如果，求證：；②如圖（2），如果，聯(lián)結(jié)，交邊于點(diǎn)，求的值；(2)如圖（3）所示，聯(lián)結(jié)，，如果，，，．求的長(zhǎng)．答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)1．A【分析】本題考查代數(shù)式的運(yùn)算，涉及合并同類(lèi)項(xiàng)、同底數(shù)冪相乘、冪的乘方等基本法則；逐一驗(yàn)證各選項(xiàng)的正確性即可．【詳解】解：A：，合并同類(lèi)項(xiàng)時(shí)，系數(shù)相加，字母部分不變，的系數(shù)為1，故，結(jié)果為，計(jì)算正確；B：，加法運(yùn)算中，指數(shù)不改變，僅系數(shù)相加；正確結(jié)果應(yīng)為，而非，計(jì)算錯(cuò)誤；C：，同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加；，結(jié)果應(yīng)為，而非，計(jì)算錯(cuò)誤；D：，冪的乘方運(yùn)算中，底數(shù)不變，指數(shù)相乘；，結(jié)果應(yīng)為，而非，計(jì)算錯(cuò)誤；故選：A．2．B【分析】本題考查了列代數(shù)式，理解題中的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵；“a與b差的平方”指先求a減b的差，再將這個(gè)差整體平方，即．【詳解】解：A.：這是平方差公式的結(jié)果，表示的平方減去的平方，而非差的平方，錯(cuò)誤，不符合題意；B.：表示先求差再平方，正確，符合題意；C.：僅對(duì)平方后減去，未對(duì)差整體平方，錯(cuò)誤，不符合題意；D.：表示減去的平方，運(yùn)算順序錯(cuò)誤，錯(cuò)誤，不符合題意；故選：B．3．D【分析】本題考查了正比例函數(shù)的定義，形如（為常數(shù)且）的函數(shù)是正比例函數(shù)；根據(jù)此定義逐一驗(yàn)證各選項(xiàng)是否符合該形式即可．【詳解】解：A：，該函數(shù)含常數(shù)項(xiàng)“”，不符合正比例函數(shù)的形式，不符合題意；B：，該函數(shù)為二次函數(shù)（最高次數(shù)為2），而正比例函數(shù)為一次函數(shù)，不符合題意；C：，該函數(shù)可寫(xiě)為，屬于反比例函數(shù)，不符合一次函數(shù)的形式，不符合題意；D：，該函數(shù)可化簡(jiǎn)為，符合（）的形式，是正比例函數(shù)，符合題意；故答案為：D．4．D【分析】本題考查了眾數(shù)與中位數(shù)，一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)叫做眾數(shù)；把一組數(shù)據(jù)按大小排列，最中間一個(gè)（奇數(shù)個(gè)數(shù)據(jù)）或兩個(gè)（偶數(shù)個(gè)數(shù)據(jù)）數(shù)據(jù)的平均數(shù)是中位數(shù)，按照這兩個(gè)概念進(jìn)行求解即可．【詳解】解：從統(tǒng)計(jì)圖知，85分出現(xiàn)的次數(shù)最多，故眾數(shù)是85；把分?jǐn)?shù)按大小排列，最中間的兩個(gè)數(shù)是第30與31個(gè)數(shù)，而，故中位數(shù)是；故只有選項(xiàng)D正確；故選：D．5．C【分析】本題考查了向量、向量的加法及向量模，理解這些知識(shí)是關(guān)鍵；在正方形中，向量相加的模長(zhǎng)即為正方形對(duì)角線的長(zhǎng)，它與邊長(zhǎng)的比值可通過(guò)勾股定理直接計(jì)算即可．【詳解】解：設(shè)正方形邊長(zhǎng)為，由勾股定理得：；在正方形中，表示從A到B再到C的路徑，其結(jié)果為向量，即；∴．故選：C．6．【解析】略7．【分析】原式提取ab進(jìn)行分解即可．【詳解】解：原式=故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查了提公因式法的運(yùn)用，熟練掌握因式分解的提公因式方法是解本題的關(guān)鍵．8．【分析】本題考查求不等式組的解集，先求出每一個(gè)不等式的解集，找到它們的公共部分，即為不等式組的解集．【詳解】解：由①，得：；由②，得：；∴不等式組的解集為：；故答案為：．9．【分析】本題考查根的判別式，根據(jù)方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，得到，進(jìn)行求解即可．熟練掌握根的判別式與根的個(gè)數(shù)之間的關(guān)系，是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由題意，得：，解得：；故答案為：．10．（答案不唯一）【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)的增減性，根據(jù)增減性可知該反比例函數(shù)的比例系數(shù)大于0，據(jù)此可得答案．【詳解】解：∵一個(gè)反比例函數(shù)在各個(gè)象限內(nèi)，隨的增大而減小，∴該反比例函數(shù)的比例系數(shù)大于0，∴符合題意的反比例函數(shù)解析式可以為，故答案為：（答案不唯一）．11．【分析】本題考查解無(wú)理方程，利用平方法將方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程，進(jìn)行求解，檢驗(yàn)即可．【詳解】解：∵，∴，∴；經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，故答案為：．12．【分析】本題考查了二次函數(shù)圖像的平移，平移法則是：左加右減，上加下減；據(jù)此法則即可求解．【詳解】解：∵函數(shù)的圖像向下平移2個(gè)單位，∴平移后的新函數(shù)的解析式為；故答案為：．13．【分析】本題主要考查了簡(jiǎn)單的概率計(jì)算，直接用小杰手中卡牌上的數(shù)字與小明手中卡牌上的數(shù)字相同的卡牌數(shù)除以小杰的卡牌總數(shù)即可得到答案．【詳解】解：∵小杰一共有4種卡牌，其中有2張卡牌上的數(shù)字與小明手中卡片的數(shù)字相同，∴小明抽出的這張卡牌中，和自己手中某一張卡牌的數(shù)字一樣的概率為，故答案為：．14．【分析】本題考查解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，由題意，得，線段的和差求出的長(zhǎng)，解，求出的長(zhǎng)即可．添加輔助線構(gòu)造直角三角形，是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則：米，∵米，∴米，在中，，∴米；故答案為：．15．1800人【分析】本題考查利用樣本估計(jì)總體，扇形統(tǒng)計(jì)圖，根據(jù)扇形統(tǒng)計(jì)圖求出樣本中當(dāng)?shù)孛刻斐俗鲎廛?chē)離開(kāi)的人數(shù)所占的比例，再用總?cè)藬?shù)乘以這個(gè)比例，進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：（萬(wàn)人）（人）；故答案為：1800人．16．【分析】本題主要考查了科學(xué)記數(shù)法，根據(jù)題意可得1秒等于皮秒，再由該器件執(zhí)行一次擦寫(xiě)需要400皮秒列式求解即可．【詳解】解：，∴該器件一秒可以擦寫(xiě)次，故答案為：．17．##【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，勾股定理，由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可得，設(shè)，則，由菱形的性質(zhì)得到，證明，利用勾股定理可得，據(jù)此可得答案．【詳解】解；∵關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，∴，設(shè)，則，∵四邊形是菱形，∴，∵四邊形是矩形，∴，∴，∴，∴，故答案為：．18．【解析】略19．【分析】本題考查的是實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，二次根式的混合運(yùn)算，分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的含義，先分母有理化，計(jì)算分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，絕對(duì)值，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，再合并即可.【詳解】解：.20．【分析】本題主要考查了解分式方程，先把原方程去分母化為整式方程，再解方程并檢驗(yàn)即可得到答案．【詳解】解：方差兩邊同時(shí)乘以得：，去括號(hào)得：，移項(xiàng)，合并同類(lèi)項(xiàng)得：，∴，∴或，解得或，檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)是原方程的增根，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)是原方程的解，∴原方程的解為．21．(1)(2)【解析】略22．(1)(2)見(jiàn)解析【分析】本題考查了變換：旋轉(zhuǎn)、平移與軸對(duì)稱(chēng)，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)；（1）過(guò)點(diǎn)D作于H，則由等腰三角形的性質(zhì)得；證明四邊形是矩形，則有；再由旋轉(zhuǎn)知，則可求得的長(zhǎng)，最后求得結(jié)果；（2）連接，把通過(guò)平移變換，再軸對(duì)稱(chēng)變換得到，則為滿(mǎn)足條件的等腰三角形．【詳解】（1）解：如圖，過(guò)點(diǎn)D作于H，∵，∴；∵，，∴，∴，∴四邊形是矩形，∴；由旋轉(zhuǎn)知，∴，∴，∴；（2）解：如圖（2），連接，把沿平移使M與P對(duì)應(yīng)，得到；再把沿對(duì)折，得到，H與N是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，則是等腰三角形，其中兩腰分別為，點(diǎn)N、Q分別是梯形的頂點(diǎn)．23．(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，弧，弦與圓心角之間的關(guān)系，全等三角形的性質(zhì)與判定，