江蘇最難函數(shù)題目及答案一、選擇題1.函數(shù)f(x)=x^3-3x+1的單調(diào)遞減區(qū)間是（）。A.(-∞，1)B.(-∞，-1)C.(-1，1)D.(1，+∞)答案：C解析：首先求導(dǎo)數(shù)f'(x)=3x^2-3，令f'(x)<0，解得-1<x<1，所以函數(shù)f(x)=x^3-3x+1的單調(diào)遞減區(qū)間是(-1，1)。2.函數(shù)f(x)=x^2-4x+3的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（）。A.0B.1C.2D.3答案：C解析：令f(x)=0，即x^2-4x+3=0，解得x=1或x=3，所以函數(shù)f(x)=x^2-4x+3有兩個(gè)零點(diǎn)。3.函數(shù)f(x)=x^3-6x^2+9x+a的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)是（）。A.0B.1C.2D.3答案：D解析：首先求導(dǎo)數(shù)f'(x)=3x^2-12x+9，令f'(x)=0，解得x=1或x=3。再求二階導(dǎo)數(shù)f''(x)=6x-12，當(dāng)x=1時(shí)，f''(1)=-6<0，所以x=1是極大值點(diǎn)；當(dāng)x=3時(shí)，f''(3)=6>0，所以x=3是極小值點(diǎn)。因此，函數(shù)f(x)=x^3-6x^2+9x+a有兩個(gè)極值點(diǎn)。二、填空題4.函數(shù)f(x)=x^4-4x^3+6x^2-4x+1的最小值是______。答案：0解析：令f'(x)=4x^3-12x^2+12x-4=0，解得x=1。再求二階導(dǎo)數(shù)f''(x)=12x^2-24x+12，當(dāng)x=1時(shí)，f''(1)=0，所以x=1是拐點(diǎn)。又因?yàn)閒(1)=0，所以函數(shù)f(x)=x^4-4x^3+6x^2-4x+1的最小值是0。5.函數(shù)f(x)=x^3+3x^2-9x-27的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是______。答案：4解析：令f(x)=0，即x^3+3x^2-9x-27=0。首先求導(dǎo)數(shù)f'(x)=3x^2+6x-9，令f'(x)=0，解得x=-3或x=1。當(dāng)x<-3時(shí)，f'(x)>0，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)-3<x<1時(shí)，f'(x)<0，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)x>1時(shí)，f'(x)>0，函數(shù)單調(diào)遞增。所以f(x)在x=-3處取得極大值，在x=1處取得極小值。又因?yàn)閒(-3)=27>0，f(1)=-24<0，所以函數(shù)f(x)=x^3+3x^2-9x-27在(-∞，-3)、(-3，1)和(1，+∞)上各有一個(gè)零點(diǎn)，共4個(gè)零點(diǎn)。三、解答題6.求函數(shù)f(x)=x^5-5x^3+6x的單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn)。解：首先求導(dǎo)數(shù)f'(x)=5x^4-15x^2+6，令f'(x)=0，解得x=±1或x=±√3。再求二階導(dǎo)數(shù)f''(x)=20x^3-30x，當(dāng)x=1時(shí)，f''(1)=-10<0，所以x=1是極大值點(diǎn)；當(dāng)x=-1時(shí)，f''(-1)=10>0，所以x=-1是極小值點(diǎn)；當(dāng)x=√3時(shí)，f''(√3)=0，所以x=√3是拐點(diǎn)；當(dāng)x=-√3時(shí)，f''(-√3)=0，所以x=-√3是拐點(diǎn)。當(dāng)x<-√3時(shí)，f'(x)>0，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)-√3<x<-1時(shí)，f'(x)<0，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)-1<x<1時(shí)，f'(x)>0，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)1<x<√3時(shí)，f'(x)<0，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)x>√3時(shí)，f'(x)>0，函數(shù)單調(diào)遞增。綜上，函數(shù)f(x)=x^5-5x^3+6x的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞，-√3)和(-1，1)和(√3，+∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(-√3，-1)和(1，√3)。極大值點(diǎn)為x=1，極小值點(diǎn)為x=-1。7.求函數(shù)f(x)=x^4-4x^3+6x^2-4x+1的零點(diǎn)和極值點(diǎn)。解：首先求導(dǎo)數(shù)f'(x)=4x^3-12x^2+12x-4，令f'(x)=0，解得x=1。再求二階導(dǎo)數(shù)f''(x)=12x^2-24x+12，當(dāng)x=1時(shí)，f''(1)=0，所以x=1是拐點(diǎn)。令f(x)=0，即x^4-4x^3+6x^2-4x+1=0。因?yàn)閒(0)=1>0，f(1)=0，所以函數(shù)f(x)=x^4-4x^3+6x^2-4x+1在x=1處有一個(gè)零點(diǎn)。8.求函數(shù)f(x)=x^3+3x^2-9x-27的零點(diǎn)和極值點(diǎn)。解：首先求導(dǎo)數(shù)f'(x)=3x^2+6x-9，令f'(x)=0，解得x=-3或x=1。再求二階導(dǎo)數(shù)f''(x)=6x+6，當(dāng)x=-3時(shí)，f''(-3)=-12<0，所以x=-3是極大值點(diǎn)；當(dāng)x=1時(shí)，f''(1)=12>0，所以x=1是極小值點(diǎn)。令f(x)=0，即x^3+3x^2-9x-27=0。因?yàn)閒(-3)=27>0，f(1)=-24<0，所以函數(shù)f(x)=x^3+3x^2-9x-27在(-∞，-3)、(-3，1)和(1，+∞)上各有一個(gè)零點(diǎn)。綜上，函數(shù)f(x)=x^3+3x^2-9x-27的零點(diǎn)為x1∈(-∞，-3)，x2∈(-3，1)，x3∈(1，+∞)，極大值點(diǎn)為x=-3，