/天津市2024-2025學(xué)年高二下冊(cè)第一次質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷一、單選題（每題3分，共27分）1.若函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為5，則（）A. B.2 C.3 D.1【正確答案】C【分析】根據(jù)平均變化率的定義列方程求參數(shù)即可.【詳解】∵函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為5，∴，解得．故選：C2.（）A.65 B.160 C.165 D.210【正確答案】C【分析】根據(jù)排列數(shù)及組合數(shù)公式計(jì)算可得.【詳解】.故選：C3.下列求導(dǎo)正確的是（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】對(duì)于A：根據(jù)基本初等函數(shù)法則求解；對(duì)于B：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的乘法法則運(yùn)算求解；對(duì)于C：根據(jù)復(fù)合函數(shù)的鏈?zhǔn)椒▌t運(yùn)算求解；對(duì)于D：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的加法法則運(yùn)算求解.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：，故D錯(cuò)誤；故選：C.4.已知曲線C：上一點(diǎn)，則曲線C在點(diǎn)P處的切線的傾斜角為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可求出切線的斜率，從而求出切線的傾斜角.【詳解】因?yàn)?，所以，則，所以曲線C在點(diǎn)P處的切線的斜率為，則傾斜角為.故選：B5.已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，且，則（）A. B. C.1 D.【正確答案】B【分析】直接求導(dǎo)，令求出，再將帶入原函數(shù)即可求解.【詳解】由得，當(dāng)時(shí)，，解得，所以，.故選：B6.若函數(shù)在處取得極值1，則（）A.-4 B.-3 C.-2 D.2【正確答案】D【分析】通過對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，得出和的參數(shù)值，即可求出的值.【詳解】由題意，，在中，，在處取得極值1，∴，解得：，經(jīng)經(jīng)驗(yàn)滿足題意，∴，故選：D.7.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，的導(dǎo)函數(shù)為，若函數(shù)的圖象如圖所示，則（）A.的單調(diào)遞減區(qū)間是B.的單調(diào)遞增區(qū)間是，C.當(dāng)時(shí)，有極值D.當(dāng)時(shí)，【正確答案】A【分析】利用函數(shù)圖象解不等式可得的單調(diào)性，即可判斷A正確，B錯(cuò)誤，再根據(jù)極值定義可得C錯(cuò)誤，根據(jù)不等式結(jié)果可得D錯(cuò)誤.【詳解】根據(jù)圖象可知當(dāng)時(shí)，，可得；當(dāng)時(shí)，，可得；當(dāng)時(shí)，，可得，且；對(duì)于AB，易知時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增，因此的單調(diào)遞減區(qū)間是，的單調(diào)遞增區(qū)間是，即A正確，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，易知當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即在處左右函數(shù)的單調(diào)性不改變，因此C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)闀r(shí)，，可得，因此，即D錯(cuò)誤.故選：A8.用0、1、2、3這四個(gè)數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中偶數(shù)共有（）個(gè).A.4 B.10 C.12 D.24【正確答案】B【分析】由排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問題，結(jié)合分類加法計(jì)數(shù)原理求解．【詳解】當(dāng)個(gè)位數(shù)字為0時(shí)，偶數(shù)共有個(gè)，當(dāng)個(gè)位數(shù)字為2時(shí)，偶數(shù)共有個(gè)，所以偶數(shù)共有個(gè)．故選：B.9.已知函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】問題化為與有三個(gè)交點(diǎn)，導(dǎo)數(shù)研究的性質(zhì)并確定極值，列不等式求參數(shù)范圍.【詳解】由題意，與有三個(gè)交點(diǎn)，由，在上，在上單調(diào)遞增，在上，在上單調(diào)遞減，當(dāng)趨向時(shí)趨向于0，趨向時(shí)趨向于，且，，所以，，即.故選：C二、填空題（每題4分，共24分）10.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為____________．【正確答案】##【分析】先求出導(dǎo)函數(shù)，再根據(jù)，計(jì)算求解即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，定義域?yàn)?，所以，令，所以，的單調(diào)遞減區(qū)間為.故或.11.記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則__________.【正確答案】##【分析】利用等比數(shù)列性質(zhì)求出，進(jìn)而可得，可得.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，所以，所以.故12.已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為，則__________.【正確答案】【分析】利用求導(dǎo)得出單調(diào)區(qū)間，即可得出最值，求出結(jié)果.【詳解】因，，或，，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.因?yàn)?，所以，?故13.已知函數(shù)的圖像在處的切線與直線垂直，則實(shí)數(shù)___________．【正確答案】1【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義及兩直線垂直的斜率關(guān)系即可求出的值．【詳解】由，得，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象在處的切線與直線垂直，所以，則．故114.在長(zhǎng)方體中，，，點(diǎn)為長(zhǎng)方體的底面的中心，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，則平面與平面夾角的余弦值為___________.【正確答案】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面與平面的法向量，利用面面角的向量公式求解即可.【詳解】如圖所示，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系；由題意，，，，則，，設(shè)平面的法向量，由，得，令，解得，，則平面的一個(gè)法向量，因?yàn)槠矫?，所以是平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面與平面夾角為，則,因此，平面與平面夾角的余弦值為.故答案為.15.已知函數(shù)，若對(duì)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________．【正確答案】【分析】先求導(dǎo)函數(shù)再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)正負(fù)得出函數(shù)單調(diào)性即可得出函數(shù)的最小值，再把恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值計(jì)算求解.【詳解】由題可得，當(dāng)時(shí)，，在上遞減；當(dāng)時(shí)，，所以在上遞增；則，所以，又，即，則．故答案為.三、解答題（要求：需要有必要的推理過程及解題步驟）（共49分）16.已知函數(shù).（1）若函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程是，求和；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【正確答案】（1）（2）遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為.【分析】（1）求得，得到且，根據(jù)題意，列出方程組，即可求解；（2）求得，結(jié)合和的解集和定義域，即可求解.【小問1詳解】解：由函數(shù)，可得，則且，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程是，可得解得.【小問2詳解】解：由函數(shù)的定義域?yàn)?，且，令，即，即，可得；令，即，即，可得，所以函?shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.17.已知函數(shù)在處取得極值．（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值．【正確答案】（1）3（2）?【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)在處取得極值，求出的值；再根據(jù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)驗(yàn)證函數(shù)的極值；（2）利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的在上的單調(diào)性，求出最值.【小問1詳解】由題意得的定義域，且因?yàn)楹瘮?shù)在處取值得極值，所以解得此時(shí)，，令得或，令得，故函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在處取極大值，在處取極小值，符合題意所以．【小問2詳解】由（1）得，，令，得，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，令，得，所以函數(shù)單調(diào)遞減，所以函數(shù)在處取極小值，所以當(dāng)時(shí)，的最小值為18.已知函數(shù)在處有極大值.（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）若函數(shù)，研究方程實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)及實(shí)數(shù)的取值范圍.【正確答案】（1）（2）答案見解析【分析】（1）由題意題干中的函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系建立方程，分別檢驗(yàn)解得的根，可得答案；（2）由（1）明確函數(shù)解析式，利用導(dǎo)數(shù)求得其極值與單調(diào)性，并作圖，根據(jù)零點(diǎn)定義，將問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為函數(shù)交點(diǎn)問題，可得答案.【小問1詳解】由函數(shù)，求導(dǎo)可得，由函數(shù)在處取極大值，則，解得或，當(dāng)時(shí)，可得，易知當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，則此時(shí)函數(shù)在處取得極小值，不符合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，可得，易知當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，則此時(shí)函數(shù)在處取得極大值，符合題意.綜上所述，.【小問2詳解】由（1）可得函數(shù)，求導(dǎo)可得，令，解得或3，可得下表：1300單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以函數(shù)的極大值為，極小值為，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，等價(jià)于函數(shù)圖象與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，如下圖：由圖可得當(dāng)，則，此時(shí)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，當(dāng)或，則或，此時(shí)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，當(dāng)或，則或，此時(shí)有一個(gè)零點(diǎn)，19.已知函數(shù)（為常數(shù)）.（1）求證：當(dāng)時(shí)，；（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；（3）不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的最小整數(shù)值.【正確答案】（1）證明見解析；（2）答案見解析；（3）2.【分析】（1）把代入，利用導(dǎo)數(shù)求出最小值即可證得不等式.（2）求出導(dǎo)數(shù)，再分類討論求出單調(diào)區(qū)間.（3）等價(jià)轉(zhuǎn)化不等式，構(gòu)造函數(shù)并用導(dǎo)數(shù)求出最大值即可.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以.【小問2詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，由，得；由，得，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是.【小問3詳解】不等式，依題意，，恒成立，令，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，則，所以實(shí)數(shù)的最小整數(shù)值是.20.設(shè)函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若在區(qū)間上單調(diào)遞增，求的取值范圍；（3）當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍．【正確答案】（1）（2）（3）【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求解；（2）由條件轉(zhuǎn)化為恒成立．再轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)的最小值大于等于0，即可求解；（3）方法一：首先將不等式整理為，再參變分離為，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值；方法二：根據(jù)（2）的結(jié)果，由的值，討論的取值，判斷不等式是否成立，即可求解；方法三：從命題成立的必要條件入手，再證明命題成立的充分條件，即可求解的取值范圍.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，則，則曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，又，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為．【小問2詳解】，由題意得，恒成立．令，則，且在單調(diào)遞增，令，解得，所以當(dāng)時(shí)，，故單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，故單調(diào)遞增；所以，又，當(dāng)且僅當(dāng)，故．【小問3詳解】解法一：因?yàn)椋灶}意等價(jià)于當(dāng)時(shí)，．即，整理，得，因?yàn)?，所以，故題意等價(jià)于．設(shè)，的導(dǎo)函數(shù)，化簡(jiǎn)得，考察函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，當(dāng)單調(diào)遞減；當(dāng)單調(diào)遞增；故在時(shí)，取到最小值，即，即，所以，所以當(dāng)單調(diào)遞減；當(dāng)單調(diào)遞增；所以的最小值為，故．解法二：先考察，由（2）分析可得，情況1：當(dāng)，即，此時(shí)區(qū)間單調(diào)遞增，故，即，符合題意；情況2：若，則，注意到，且，故對(duì)進(jìn)一步討論．①當(dāng)時(shí)，即且由（2）分析知：當(dāng)單調(diào)遞減，故當(dāng)，即單調(diào)遞減，故恒有，不符合題意，舍去；②當(dāng)時(shí)，注意到在區(qū)間單調(diào)遞減，且，又，故在區(qū)間存在唯一的滿足；同理在區(qū)間單調(diào)遞增，且，故在區(qū)間存在唯一的滿足；故可得+0-0+極大值極小值所以當(dāng)，符合題意；故題意等價(jià)于，即．又因?yàn)?，即，化?jiǎn)，得所以，整理得．注意到，所以，故解得，由之前分析得即考察函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，當(dāng)單調(diào)遞減；當(dāng)單調(diào)遞增；故在時(shí)，取到最小值，即，即，所以恒成立，故，又注意到情況（2）討論范圍，所以也符合題意．綜上①②本題所求的取值范圍為．方法三：先探究必要性，由題意知當(dāng)時(shí)，是的最小值，則必要