/陜西省商洛市2023?2024學(xué)年高一下冊期末考試數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題）1．已知向量，且，則（

）A． B．5 C． D．72．已知復(fù)數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．3．已知單位向量，滿足，則與夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．4．記三角形的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，，則（

）A． B． C． D．5．已知向量，，則在上的投影向量的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．6．在正方體中，為的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．7．記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，則（

）A． B． C． D．8．在正三棱柱中，，M是AB的中點(diǎn)，N是棱上的動(dòng)點(diǎn)，則直線與平面所成角的正切值的最大值為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知復(fù)數(shù)為的共軛復(fù)數(shù)，若，下列結(jié)論正確的是（

）A．在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于軸上B．的實(shí)部為0C．的虛部為D．10．Z國進(jìn)口的天然氣主要分為液化天然氣和氣態(tài)天然氣兩類.2023年Z國天然氣進(jìn)口11997噸，其中液化天然氣進(jìn)口7132噸，氣態(tài)天然氣進(jìn)口4865噸.2023年Z國天然氣及氣態(tài)天然氣進(jìn)口來源分布及數(shù)據(jù)如圖所示：下列結(jié)論正確的是（

）A．2023年Z國從B國進(jìn)口的液化天然氣比從A國進(jìn)口的多B．2023年Z國沒有從A國進(jìn)口液化天然氣C．2023年Z國從C國進(jìn)口的液化天然氣一定比從D國進(jìn)口的多D．2023年Z國從B國進(jìn)口的液化天然氣一定比從D國進(jìn)口的多11．在中，D是BC的中點(diǎn)，，，下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則 B．面積的最大值為C． D．若，則三、填空題（本大題共3小題）12．有一組樣本數(shù)據(jù)為1，3，5，7，則它的方差為.13．已知a，b均為實(shí)數(shù)，，則.14．已知某圓臺(tái)的母線長為3，下底面的半徑為1，若球O與該圓臺(tái)的上、下底面及側(cè)面都相切，則球O的表面積為．四、解答題（本大題共5小題）15．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，，點(diǎn)P滿足.(1)當(dāng)，時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(2)若，求的值.16．已知，復(fù)數(shù).(1)若為純虛數(shù)，求；(2)若在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，求整數(shù)的值.17．在中，已知為的中點(diǎn)，，，.(1)求的面積；(2)求的長.18．如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面，，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn).(1)證明：平面.(2)求點(diǎn)到平面的距離.19．如圖，在四棱錐中，底面ABCD，E是PC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在棱BP上，且，四邊形ABCD為正方形，.

(1)證明：；(2)求三棱錐的體積；(3)求二面角的余弦值.

答案1．【正確答案】C【分析】根據(jù)向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算可得答案.【詳解】因?yàn)?，所以，解?故選C.2．【正確答案】A【分析】由題意可得，再根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)椋?故選A.3．【正確答案】C【分析】運(yùn)用數(shù)量積的定義，運(yùn)算律，模長公式求解即可.【詳解】，兩邊平方得到，即，解得．故選C.4．【正確答案】B【分析】由，根據(jù)正弦定理可得，結(jié)合余弦定理計(jì)算即可.【詳解】，由正弦定理得.又，根據(jù)余弦定理，得.故選.5．【正確答案】D【分析】由投影向量的計(jì)算公式計(jì)算即可.【詳解】由投影向量的公式可得在方向上的投影向量為：.故選D.6．【正確答案】B【分析】取的中點(diǎn)，連接，設(shè)正方體棱長為，則為異面直線與所成角或其補(bǔ)角，利用余弦定理求解.【詳解】

取的中點(diǎn)，連接，設(shè)正方體棱長為，因?yàn)椋运倪呅螢槠叫兴倪呅?，所以，則為異面直線與所成角或其補(bǔ)角，由所以.故選B.7．【正確答案】B【分析】先根據(jù)正弦定理化邊為角，根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系得，再利用余弦定理得，即可得解.【詳解】根據(jù)題意，由正弦定理可得：，，，，化簡得，，由余弦定理，，，.故選B.8．【正確答案】D【分析】根據(jù)題意，先畫出圖象，作，然后由面面的垂直的性質(zhì)可得平面，進(jìn)而可知為直線與平面所成的角，當(dāng)取得最大值時(shí)，取得最大值，取得最小值，從而可得直線與平面所成角的正切值的最大值.【詳解】如圖，作，垂足為G，連接.

在正三棱柱中，平面平面，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面，，所以平?故為直線與平面所成的角.當(dāng)取得最大值時(shí)，取得最大值，取得最小值.不妨設(shè)，則，的最小值為a，于是.故選D.9．【正確答案】BCD【分析】由題意可得，即可根據(jù)復(fù)數(shù)的除法求出，結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義以及相關(guān)概念一一判斷各選項(xiàng)，即得答案.【詳解】因?yàn)?，故，所以，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于軸上，的實(shí)部與虛部分別為0和，A錯(cuò)誤，B，C，D正確.故選BCD.10．【正確答案】ABC【分析】由餅狀統(tǒng)計(jì)圖的實(shí)際含義逐一驗(yàn)算各個(gè)選項(xiàng)即可求解.【詳解】對于B，2023年Z國從A國進(jìn)口天然氣2480噸，全部為氣態(tài)天然氣，所以2023年Z國沒有從A國進(jìn)口液化天然氣，B正確.對于A，2023年Z國從B國進(jìn)口天然氣2435噸，其中氣態(tài)天然氣1630噸，液化天然氣805噸，所以2023年Z國從B國進(jìn)口的液化天然氣比從A國進(jìn)口的多，A正確.對于C，假設(shè)2023年Z國氣態(tài)天然氣其余部分全部來自C國，共噸，則Z國從C國進(jìn)口液化天然氣噸，仍然大于從D國進(jìn)口的天然氣的總量，所以2023年Z國從C國進(jìn)口的液化天然氣一定比從D國進(jìn)口的多，C正確.對于D，2023年Z國從B國進(jìn)口液化天然氣噸，2023年Z國從D國進(jìn)口的天然氣總量為1666噸，若全部為液化天然氣，則2023年Z國從B國進(jìn)口的液化天然氣比從D國進(jìn)口的少，D錯(cuò)誤.故選ABC.11．【正確答案】BCD【分析】根據(jù)勾股定理可判定A;根據(jù)三角形面積公式可判定B;根據(jù)向量運(yùn)算可判定C;結(jié)合正余弦定理可判定D.【詳解】在中，，所以，，A錯(cuò)誤.當(dāng)時(shí)，最大，所以面積的最大值為，B正確.，C正確.在中，由正弦定理可得，得.在中，由余弦定理可得，即.在中，由余弦定理可得，即，所以，整理得，解得（舍去），D正確.12．【正確答案】5【分析】首先計(jì)算出這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，結(jié)合方差公式即可得解.【詳解】這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，這組數(shù)據(jù)的方差為.故5.13．【正確答案】21【分析】直接由復(fù)數(shù)的乘法及復(fù)數(shù)相等求解即可.【詳解】根據(jù)可得到，故，，求得，所以.故21.14．【正確答案】【分析】把空間問題降維，轉(zhuǎn)化在軸截面中進(jìn)行研究，需要理解軸截面的概念，利用等面積法及勾股定理建立等式求解．【詳解】如圖：

在軸截面梯形中，，，設(shè)球O的半徑為r，．，解得：，因?yàn)?，所以，所以球O的表面積為，故．15．【正確答案】(1)(2)【分析】（1）由坐標(biāo)運(yùn)算得出點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）由向量垂直的坐標(biāo)表示得出的值．【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)，，，所以．又因?yàn)辄c(diǎn)滿足，所以，當(dāng)時(shí)，，又，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）由點(diǎn)，，可得，因?yàn)椋?，所以，所以?6．【正確答案】(1)；(2)和【分析】（1）由為純虛數(shù)，求出的值，從而得到復(fù)數(shù)，求解模長即可；（2）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，求出的取值范圍，進(jìn)而得到整數(shù)的值即可.【詳解】（1）由于復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，所以，解得，此時(shí)，（2）若在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，則，解得，故整數(shù)的值有.17．【正確答案】(1).(2).【分析】(1)，又因已知為的中點(diǎn)，可得，根據(jù)余弦定理可求出長，繼而求出面積，所以即可求出的面積；(2)根據(jù)余弦定理可求出的長.【詳解】（1）根據(jù)題意可知，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，可得，，，，根據(jù)余弦定理，代入已知條件得，得到，故所以可得是直角三角形，所以可得故（2）由第一問可知，根據(jù)余弦定理可知，代入得，所以可得，故18．【正確答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）取中點(diǎn)，連接，由四邊形為平行四邊形，則，所以平面；（2）根據(jù)等體積法，可求點(diǎn)到平面的距離.【詳解】（1）取中點(diǎn)，連接，由為的中點(diǎn)，則，而為的中點(diǎn)，所以，所以四邊形為平行四邊形，則，又平面，平面，所以平面；（2）因?yàn)?，平面，平面，所以平面，則到平面的距離等于到平面的距離，為，所以，又，所以，且，則點(diǎn)到平面的距離為.19．【正確答案】(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）由線面垂直的判定求證；（2）由轉(zhuǎn)化求解；（3）由線面垂直的性質(zhì)得即二面角的平面角，即可求解．【詳解】（1）證明：因?yàn)榈酌?，底面，所?因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，所?因?yàn)?，所以平?因?yàn)槠?/p>