江蘇省徐州市沛縣2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期第三次學(xué)情調(diào)研數(shù)學(xué)試卷一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的4個選項中，只有一項符合題目要求．1.圓柱的軸截面是一個邊長為2的正方形，則此圓柱的側(cè)面積為（）A.4 B.6 C. D.【答案】D【解析】【分析】圓柱的軸截面是以底面直徑和圓柱的高為鄰邊的長方形，故圓柱的底面直徑和高均為2，由此可求得底面圓的周長，乘以高即為此圓柱的側(cè)面積.【詳解】由題意可知圓柱的底面直徑和高均為2，所以圓柱的底面周長為，故圓柱的側(cè)面積為.故選：D.2.如果兩條直線與沒有公共點，那么與（）A.共面 B.平行C.是異面直線 D.可能平行，也可能是異面直線【答案】D【解析】【分析】根據(jù)空間中兩條直線的位置關(guān)系，即可求解.【詳解】根據(jù)空間中兩條直線的位置關(guān)系，可得如果兩條直線與沒有公共點，那么與可能平行，也可能是異面直線.故選：D.3.如圖，正方形邊長為1cm，它是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，則原平面圖形的周長是（）A.8cm B. C.4cm D.【答案】A【解析】【分析】由直觀圖得原圖形的形狀，結(jié)構(gòu)，得邊長后可得周長．【詳解】作出原圖形如下圖所示：由直觀圖知原圖形是平行四邊形，如圖，，，，，所以平行四邊形的周長是．故選：A．4.已知空間3條不同的直線m，n，l和平面，則下列說法正確的是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則【答案】C【解析】【分析】ABD可舉出反例；C選項，利用線面平行的性質(zhì)及線面垂直的性質(zhì)得到答案.【詳解】A選項，若，，則或相交或異面，A錯誤；B選項，若，，則或，B錯誤；C選項，若，不妨設(shè)，則，又，，則，所以，C正確；D選項，若，，則，或相交，D錯誤.故選：C5.在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為，，.向量，.若，則角的大小為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)，得，由余弦定理可求.【詳解】因為向量，，因為，所以，即，由余弦定理可得.因為，所以，故選：B.6.正方體中，直線與平面所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用線面角的定義找到直線與平面所成的角為，找到角即可求出余弦值.【詳解】連接，如圖所示，為正方體，易得平面，為直線與平面所成的角，令，由正方體知識可得，.故選：D.7.已知的內(nèi)角所對的邊分別為，若，則的形狀一定是（）A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形【答案】D【解析】【分析】根據(jù)邊角互化得，再結(jié)合，化簡整理得，進(jìn)而得或，即的形狀一定是等腰或直角三角形.【詳解】解：因為，所以由正弦定理邊角互化得，因為，，所以，整理得所以，所以或，因為，所以或，即的形狀一定是等腰或直角三角形故選：D8.已知三棱錐的底面是邊長為2的正三角形，平面，，分別是，上的點，且，平面平面，三棱錐的體積與四棱錐的體積之比為，則該三棱錐的體積為（）A. B. C.3 D.【答案】A【解析】【分析】先通過線面垂直、面面垂直的判定定理找出相關(guān)垂直關(guān)系，進(jìn)而得到在直角三角形中的線段關(guān)系；再根據(jù)三棱錐與四棱錐體積比推出相關(guān)三角形面積比，從而得到線段比例關(guān)系，求出關(guān)鍵線段長度，最后利用三棱錐體積公式計算體積．【詳解】如圖，取的中點，連接，，，連接，是正三角形，，又平面，平面，，又，平面，平面，平面，，，．平面平面，且平面平面，平面，平面，平面，，在中，（※）．三棱錐的體積與四棱錐的體積之比為，，，，設(shè)，，代入（※）式得，，，，三棱錐的體積，故選：A．【點睛】二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯得0分．9.下列選項中，與的值相等的是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】由誘導(dǎo)公式先求出的值，然后用三角恒等公式逐一驗證即可.【詳解】由題意有，對于A選項：因為，故A選項不符合題意；對于B選項：因為，故B選項符合題意；對于C選項：因為，故C選項符合題意；對于D選項：因為，故D選項不符合題意；故選：BC.10.已知正方體的棱長為4，分別為棱和的中點，則下列說法正確的有（）A.平面B.平面C.異面直線與所成角D.平面截正方體所得截面的面積為18【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)線面平行的判斷定理，即可判斷A；根據(jù)線面垂直的定義，結(jié)合垂直關(guān)系，即可判斷B；根據(jù)異面直線所成角的定義，以及平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化，即可判斷C，首先作出平面截正方體所得截面，再計算截面的面積.【詳解】對于A，如圖，由條件可知，，平面，平面，所以平面，故A正確；

對于B，取的中點，連結(jié)，因為，，，所以,則，不滿足勾股定理，所以不垂直于，則不垂直于平面，所以不垂直于平面，故B錯誤；

對于C，連結(jié)，是等邊三角形，所以直線與所成角為，所以異面直線與所成角為，故C正確；

D.連結(jié)，所以四點共面，四邊形是平面截正方體所得截面，如圖，四邊形是等腰梯形，，，作于，則，所以四邊形的面積，故D正確.故選：ACD.11.在正三棱錐中，側(cè)棱長為3，底面邊長為2，E，F(xiàn)分別為棱AB，CD的中點，則下列命題正確的是A.EF與AD所成角的正切值為 B.EF與AD所成角的正切值為C.AB與面ACD所成角的余弦值為 D.AB與面ACD所成角的余弦值為【答案】BC【解析】【分析】如圖所示，先找出EF與AD所成角再求解，再找出AB與面ACD所成角求解.【詳解】（1）設(shè)中點為，的中點為，連接、、、，因為，，，所以，，所以就是直線與所成的角或補角，在三角形中，，，由于三棱錐是正三棱錐，，，又因平面，，所以平面，平面，所以，所以，所以，所以A錯誤B正確.（2）過點作垂直，垂足為.因為，，平面，所以平面，平面，所以，因為，平面，所以平面，所以就是與平面所成角.由題得，所以.所以C正確D錯誤.故答案為：BC.【點睛】本題主要考查空間異面直線所成的角的求法，考查直線和平面所成的角的求法，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．12.竹簡于上世紀(jì)八十年代在湖北省江陵縣張家山出土，這是我國現(xiàn)存最早的有系統(tǒng)的數(shù)學(xué)典著，其中記載有求“囷蓋”的術(shù)：“置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一”.該術(shù)相當(dāng)于給出圓錐的底面周長與高，計算其體積的近似公式為.該結(jié)論實際上是將圓錐體積公式中的圓周率取近似值得到的.則根據(jù)你所學(xué)知識，該公式中取的近似值為______.【答案】3【解析】【分析】首先求出圓錐體的體積，然后與近似公式對比，即可求出公式中取的近似值.【詳解】由題知圓錐體的體積，因為圓錐的底面周長為，所以圓錐的底面面積，所以圓錐體體積，根據(jù)題意與近似公式對比發(fā)現(xiàn)，公式中取的近似值為.故答案為：.【點睛】本題考查了圓錐體的體積公式，屬于基礎(chǔ)題.13.設(shè)向量，且，則________；＝________.【答案】①.##②.【解析】【分析】利用向量坐標(biāo)運算得到方程組，利用和角的三角公式展開化簡后即可求出的值，再運用二倍角公式與和角公式化簡所求式，最后化弦為切即得.【詳解】由題意，，化簡得，由；則故答案為：；.14.如圖，邊長為1的菱形中，，沿將翻折，得到三棱錐，當(dāng)平面平面時，異面直線與所成的角的余弦值等于______．【答案】##【解析】【分析】取的中點，以為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得的坐標(biāo)，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.【詳解】取的中點，連接，可得，因為平面平面，平面，且平面平面，所以平面，以為原點，以所在的直線分別為軸，軸和軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，可得，設(shè)異面直線與所成的角為，則，所以異面直線與所成的角的余弦值為.故答案為：.四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟．15.如圖，在正方體中，（1）求證：平面；（2）求證：.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)正方體的性質(zhì)得到，即可得證；（2）根據(jù)正方體的性質(zhì)得到、，即可證明平面，從而得證.【小問1詳解】在正方體中，又平面，平面，所以平面；【小問2詳解】連接、，在正方體中為正方形，所以，又平面，平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以.16.如圖，正方體中，分別是的中點．（1）求證：四點共面；（2）設(shè)平面與平面交于直線，求證：．【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）作出輔助線，由中位線得到，再證明出四邊形為平行四邊形，得到，從而得到線線平行，得到結(jié)論；（2）由面面平行得到線線平行；【小問1詳解】連接，因為E，F(xiàn)分別是的中點，所以，因，且，所以四邊形為平行四邊形，故，所以，故四點共面；【小問2詳解】因為平面平面，平面平面，平面平面，所以；17.在中，角、、所對的邊分別為、、，若，，且.（1）求；（2）已知點線段上，且，求長.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由余弦定理可得答案；（2）由余弦定理求出，平方關(guān)系求出，在中再由正弦定理可得答案.【小問1詳解】由余弦定理可得，，，解得；【小問2詳解】由（1）可得，，，在中，，，解得.18.如圖，在四面體中，已知，.（1）求證：；（2）求直線與平面所成的角；（3）求二面角的正切值.【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）取的中點，連接，借助等腰三角形證得，利用線面垂直的判定定理得平面，，再利用線面垂直性質(zhì)定理證明即可.（2）利用勾股定理得，利用線面垂直的判定定理得平面，利用線面角的定義得即為所求，在直角三角形中求解即可.（3）取的中點，連接，利用面面角的定義得是二面角的平面角，在三角形中求解正切值即可.【小問1詳解】取的中點，連接，因為，所以，因為，平面，所以平面，因為平面，所以.【小問2詳解】因為，，所以，又，所以為等腰直角三角形，且，又，，平面，所以平面，所以直線與平面所成的角為，在中，，所以，所以直線與平面所成的角為；【小問3詳解】取的中點，連接，則，且，因為，所以，同理，所以，又，所以，所以是二面角的平面角，在中，，即二面角的正切值為.19.如圖1，在直角梯形中，，，且，現(xiàn)以為一邊向梯形外作正方形，然后沿邊將正方形翻折，使，為的中點，如圖2．（1）求證：平面；（2）求證：平面平面；（3）若，求點到平面的距離．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）．【解析】【分析】（1）證得，根據(jù)線面平行的判定定理即可證出結(jié)論；（2）證得平面，根據(jù)面面垂直的判定定理即可證出結(jié)