《機械優(yōu)化設計》復習題及答案

一、填空題

1用最速下降法求f(X)=100(x2-X12)2+(1-xl)2的最優(yōu)解時,設X(0)

=[-0.5,0.5]T,第一步迭代的搜索方向為[-47;-50]。

2.機械優(yōu)化設計采用數(shù)學規(guī)劃法,其核心一是建立搜索方向二是計算最佳

步長因子。

3.當優(yōu)化問題是—凸規(guī)劃____的情況下，任何局部最優(yōu)解就是全域最優(yōu)

解。

4、應用進退法來確定搜索區(qū)間時，最后得到的三點，即為搜索區(qū)間的始

點、中間點和終點，它們的函數(shù)值形成高-低-高趨勢。

5.包含n個設計變量的優(yōu)化問題，稱為n維優(yōu)化問題。

6.函數(shù)的梯度為HX+Bo

7、設G為nXn對稱正定矩陣，若n維空間中有兩個非零向量dO,dl,滿

足(dO)TGd『O,則d0、dl之間存在一共輾關系。

8、設計變量、約束條件、目標函數(shù)

是優(yōu)化設計問題數(shù)學模型的基本要素。

9、對于無約束二元函數(shù)，若在點處取得極小值，其必要條件是梯度

為零，充分條件是海塞矩陣正定。

10、庫恩-塔克條件可以敘述為在極值點處目標函數(shù)

的梯度為起作用的各約束函數(shù)梯度的非負線性組合。

11.用黃金分割法求一元函數(shù)的極小點，初始搜索區(qū)間，經(jīng)第一次區(qū)

間消去后得到的新區(qū)間為[-2.36,2.36]o

12.優(yōu)化設計問題的數(shù)學模型的基本要素有設計變量、約束條件目標函

數(shù)、

13.牛頓法的搜索方向dk二,其計算量大，且要求初始點在極

小點逼近位置。

14.將函數(shù)f(X)=xl2+x22-xlx2T0xl-4x2+60表示成的形

式。

15.存在矩陣H,向量dl,向量d2,當滿足(dl)TGd2=0,向量

dl和向量d2是關于H共是。

16、采用外點法求解約束優(yōu)化問題時，將約束優(yōu)化問題轉化為外點形式時

引入的懲罰因子r數(shù)列，具有由小到大趨于無窮

特點。

17、采用數(shù)學規(guī)劃法求解多元函數(shù)極值點時，根據(jù)迭代公式需要進行一維

搜索，即求0

二、選擇題

1.下面方法需要求海賽矩陣。

A.最速下降法

B.共知梯度法

C.牛頓型法

D.DFP法

2.對于約束問題

根據(jù)目標函數(shù)等值線和約束曲線，判斷為，

為。

A.內(nèi)點；內(nèi)點

B.外點;外..

C.內(nèi)點;外..

D.夕卜點；內(nèi)點

3.內(nèi)點懲罰函數(shù)法可用于求解優(yōu)化問題。

A無約束優(yōu)化問題

B只含有不等式約束的優(yōu)化問題

C只含有等式的優(yōu)化問題

D含有不等式和等式約束的優(yōu)化問題

4?對于一維搜索，搜索區(qū)間為[a,b],中間插入兩個點al.bl,al<bl,計

算出則縮短后的搜索區(qū)間為o

A[al,bl]

B[bl,b]

C[al,b]

D[a,bl]

5.不是優(yōu)化設計問題數(shù)學模型的基本要素。

A設計變量

B約束條件

C目標函數(shù)

D最佳步長

6.變尺度法的迭代公式為xk+l=xk-akHkVf(xk),下列不屬于Hk必須滿足

的條件的是o

A.Hk之間有簡單的迭代形...

B.擬牛頓條件

C.及海塞矩陣正交

D.對稱正定

7、函數(shù)/(X)在某點的梯度方向為函數(shù)在該點的o

A.最速上升方向

B.上升方向

C.最速下降方向

D.下降方向

8、下面四種無約束優(yōu)化方法中，在構成搜索方向時沒有使用到

目標函數(shù)的一階或二階導數(shù)。

A梯度法

B牛頓法

C變尺度法

D坐標輪換法

9、設為定義在凸集R上且具有連續(xù)二階導數(shù)的函數(shù)，則在R上為凸函

數(shù)的充分必要條件是海塞矩陣G(X)在R上處處。

A正定

B半正定

C負定

D半負定

10、下列關于最常用的一維搜索試探方法一一黃金分割法的敘述，錯誤的

是,假設要求在區(qū)間［a,b］插入兩點QLa2,且aka2。

A.其縮短率為0.618

B.al=b-X(b-a)

C.Ql=a+入(b-a)

D.在該方法中縮短搜索區(qū)間采用的是外推法。

11、及梯度成銳角的方向為函數(shù)值上升方向，及負梯度成銳角的方向

為函數(shù)值下降方向，及梯度成直角的方向為函數(shù)值不變方向。

A、上升

B、卜降

C、不變

D、為零

12.二維目標函數(shù)的無約束極小點就是。

A.等值線族的一個共同中心

B.梯度為0的點

C.全局最優(yōu)解

D.海塞矩陣正定的點

13.最速下降法相鄰兩搜索方向dk和dk+1必為向量。

A相切

B正交

C成銳角

D共班

14.下列關于內(nèi)點懲罰函數(shù)法的敘述，錯誤的是。

A可用來求解含不等式約束和等式約束的最優(yōu)化問題。

B懲罰因子是不斷遞減的正值

C初始點應選擇一個離約束邊界較遠的點。

D初始點必須在可行域內(nèi)

15.通常情況下，下面四種算法中收斂速度最慢的是

A牛頓法B梯度法C共枕梯度

法D變尺度法

16.一維搜索試探方法——黃金分割法比二次插值法的收斂速

度

A.慢B.快C.?樣D.不確定

17、下列關于共輒梯度法的敘述，錯誤的

是。A需要求海賽矩陣

B除第一步以外的其余各步的搜索方向是將負梯度偏轉一個角

度C共一梯度法具有二次收斂性

D第一步迭代的搜索方向為初始點的負梯度

三、問答題

1.試述兩種一維搜索方法的原理，它們之間有何區(qū)

答：搜索的原理是：區(qū)間消去法原理

區(qū)別：（1）、試探法：給定的規(guī)定來確定插入點的位置，此點的位置確定

僅僅按照區(qū)間的縮短如何加快，而不顧及函數(shù)值的分布關系，如黃金分割

法

（2）、插值法：沒有函數(shù)表達式，可以根據(jù)這些點處的函數(shù)值，利用插值

方法建立函數(shù)的某種近似表達式，近而求出函數(shù)的極小點，并用它作為原

來函數(shù)的近似值。這種方法稱為插值法，又叫函數(shù)逼近法。

2.懲罰函數(shù)法求解約束優(yōu)化問題的基本原理是什么？

答，基本原理是將優(yōu)化問題的不等式和等式約束函數(shù)經(jīng)過加權轉化后，和

原目標函數(shù)結合形成新的目標函數(shù)一一懲罰函數(shù)（求解該新目標函數(shù)的無

約束極值，以期得到原問題的約束最優(yōu)解

3.試述數(shù)值解法求最佳步長因子的基本思路。

答主要用數(shù)值解法，利用計算機通過反復迭代計算求得最佳步長因子

的近似值

4.試述求解無約束優(yōu)化問題的最速下降法及牛頓型方法的優(yōu)缺點，

答：最速下降法此法優(yōu)點是直接、簡單，頭幾步下降速度快。缺點是收斂

速度慢，越到后面收斂越慢。牛頓法優(yōu)點是收斂比較快，對二次函數(shù)具有

二次收斂性。缺點是每次迭代需要求海塞矩陣及其逆矩陣，維數(shù)高時及數(shù)

量比較大。

5、寫出用數(shù)學規(guī)劃法求解優(yōu)化設計問題的數(shù)值迭代公式，并說明公式中各

變量的意義，并說明迭代公式的意義。

四、解答題

L試用梯度法求目標函數(shù)f(X)=1.5x12+0.5x22-xlx2-2xl的最優(yōu)解,設初

始點x(0)=[-2,4",選代精度￡=0.02(迭代一步)。

2、試用牛頓法求f(X)=(x-2)2+(x1-2x2)2的最優(yōu)解，設初始點

x(0)=[2,l]To

3.設有函數(shù)f(X)=xl2+2x22-2xlx2-4xl,試利用極值條件求其極值點和極

值。

4.求目標函數(shù)f(X)=xl2+xlx2+2x22+4x1+6x2+10的極值和極值點。

5、試證明函數(shù)f(X)=2x12+5x22+x32+2x3x2+2x3xl-6x2+3在點[1,1,-2]T

處具有極小值。

6.給定約束優(yōu)化問題

2-2

minf(X)=(xr3)+(x22)

s.t.gl(X);一xl2—x22+5N.

g-(X)=—Xi—2X2+4^0

g3(X)—Xi20

g4(X)=x2^0

驗證在點x=[2,ifKuhn-Tucker條件成立。

7、設非線性規(guī)劃問題

用K-T條件驗證X*=『O]『為其約束最優(yōu)點。

10、如圖，有一塊邊長為6m的正方形鋁板，四角截去相等的邊長為x的方

塊并折轉，造一個無蓋的箱子，問如何截法(x取何值)才能獲得最大容器

的箱子。試寫出這一一優(yōu)化問題的數(shù)學模型以及用MATLAB軟件求解的程序。

11、某廠生產(chǎn)一個容積為8000cm3的平底無蓋的圓柱形容器，要求設計此

容器消耗原材料最少，試寫出這一優(yōu)化問題的數(shù)學模型以及用MATLAB軟件

求解的程序。

12.一根長1的鉛絲截成兩段，一段彎成圓圈，另一段彎折成方形，問應以

怎樣的比例截斷鉛絲，才能使圓和方形的面積之和為最大，試寫出這一優(yōu)

化設計問題的數(shù)學模型以及用MATLAB軟件求解的程序。

13.求表面積為300m2的體積最大的圓柱體體積。試寫出這一優(yōu)化設計問題

的數(shù)學模型以及用MA