高中向量題目及答案大題題目一：向量的數(shù)量積已知向量\(\vec{a}=(2,3)\)和向量\(\vec=(4,-1)\)，求這兩個(gè)向量的數(shù)量積。答案一：向量\(\vec{a}\)和向量\(\vec\)的數(shù)量積（點(diǎn)積）可以通過以下公式計(jì)算：\[\vec{a}\cdot\vec=a_1b_1+a_2b_2\]將給定的向量值代入公式：\[\vec{a}\cdot\vec=(2)(4)+(3)(-1)=8-3=5\]所以，向量\(\vec{a}\)和向量\(\vec\)的數(shù)量積為5。題目二：向量的模長已知向量\(\vec{c}=(3,-4)\)，求該向量的模長。答案二：向量的模長可以通過以下公式計(jì)算：\[|\vec{c}|=\sqrt{c_1^2+c_2^2}\]將給定的向量值代入公式：\[|\vec{c}|=\sqrt{(3)^2+(-4)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5\]所以，向量\(\vec{c}\)的模長為5。題目三：向量的夾角已知向量\(\vecz3jilz61osys=(1,0)\)和向量\(\vec{e}=(0,1)\)，求這兩個(gè)向量的夾角。答案三：兩個(gè)向量的夾角\(\theta\)可以通過以下公式計(jì)算：\[\cos\theta=\frac{\vecz3jilz61osys\cdot\vec{e}}{|\vecz3jilz61osys||\vec{e}|}\]首先計(jì)算數(shù)量積：\[\vecz3jilz61osys\cdot\vec{e}=(1)(0)+(0)(1)=0\]然后計(jì)算模長：\[|\vecz3jilz61osys|=\sqrt{(1)^2+(0)^2}=1\]\[|\vec{e}|=\sqrt{(0)^2+(1)^2}=1\]代入公式計(jì)算夾角的余弦值：\[\cos\theta=\frac{0}{1\cdot1}=0\]由于\(\cos\theta=0\)，所以\(\theta=90^\circ\)或\(\theta=\frac{\pi}{2}\)弧度。所以，向量\(\vecz3jilz61osys\)和向量\(\vec{e}\)的夾角為\(90^\circ\)。題目四：向量的線性組合已知向量\(\vec{f}=(2,5)\)和向量\(\vec{g}=(3,-2)\)，求一個(gè)實(shí)數(shù)\(k\)使得\(\vec{f}+k\vec{g}\)與向量\(\vec{h}=(1,1)\)平行。答案四：若兩個(gè)向量平行，則它們的數(shù)量積與模長的比值相等。設(shè)\(\vec{f}+k\vec{g}=(2+3k,5-2k)\)，則有：\[\frac{2+3k}{1}=\frac{5-2k}{1}\]解這個(gè)方程求\(k\)：\[2+3k=5-2k\]\[5k=3\]\[k=\frac{3}{5}\]所以，當(dāng)\(k=\frac{3}{5}\)時(shí)，向量\(\vec{f}+k\vec{g}\)與向量\(\vec{h}\)平行。題目五：向量的投影已知向量\(\vec{i}=(4,1)\)和向量\(\vec{j}=(1,2)\)，求向量\(\vec{i}\)在向量\(\vec{j}\)上的投影。答案五：向量\(\vec{i}\)在向量\(\vec{j}\)上的投影可以通過以下公式計(jì)算：\[\text{proj}_{\vec{j}}\vec{i}=\frac{\vec{i}\cdot\vec{j}}{|\vec{j}|^2}\vec{j}\]首先計(jì)算數(shù)量積：\[\vec{i}\cdot\vec{j}=(4)(1)+(1)(2)=4+2=6\]然后計(jì)算向量\(\vec{j}\)的模長的平方：\[|\vec{j}|^2=(1)^2+(2)^2=1+4=5\]代入公式計(jì)算投影：\[\text{proj}_{\vec{j}}\vec{i}=\frac{6}{5}\vec{j}=\frac{6}{5}(1,2)=\left(\frac{6}{5},\frac{1