2025年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（新1卷）★祝大家學(xué)習(xí)生活愉快★注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號(hào)，試室號(hào)，座位號(hào)填寫在答題卡上.用2B鉛筆將試卷類型和考生號(hào)填涂在答題卡相應(yīng)位置上.2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)的題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑：如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再填涂其他答案.答案不能答在試卷上.3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上：如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案，不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共計(jì)40分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的.請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.1.的虛部為（）A. B.0 C.1 D.6【答案】C【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算法則以及虛部的定義即可求出.【詳解】因?yàn)椋云涮摬繛?，故選：C.2.設(shè)全集，集合，則中元素個(gè)數(shù)為（）A0 B.3 C.5 D.8【答案】C【解析】【分析】根據(jù)補(bǔ)集的定義即可求出．【詳解】因?yàn)?，所以，中的元素個(gè)數(shù)為，故選：C．3.若雙曲線C的虛軸長(zhǎng)為實(shí)軸長(zhǎng)的倍，則C的離心率為（）A. B.2 C. D.【答案】D【解析】【分析】由題可知雙曲線中的關(guān)系，結(jié)合和離心率公式求解【詳解】設(shè)雙曲線的實(shí)軸，虛軸，焦距分別為，由題知，，于是，則，即.故選：D4.若點(diǎn)是函數(shù)的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，則a的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)正切函數(shù)的對(duì)稱中心的結(jié)論求解.【詳解】根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)，的對(duì)稱中心橫坐標(biāo)滿足，即的對(duì)稱中心是，即，又，則時(shí)最小，最小值是，即故選：C5.設(shè)是定義在上且周期為2的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)周期性和奇偶性把待求自變量轉(zhuǎn)化為的范圍中求解.【詳解】由題知對(duì)一切成立，于是.故選：A6.帆船比賽中，運(yùn)動(dòng)員可借助風(fēng)力計(jì)測(cè)定風(fēng)速的大小和方向，測(cè)出的結(jié)果在航海學(xué)中稱為視風(fēng)風(fēng)速，視風(fēng)風(fēng)速對(duì)應(yīng)的向量，是真風(fēng)風(fēng)速對(duì)應(yīng)的向量與船行風(fēng)速對(duì)應(yīng)的向量之和，其中船行風(fēng)速對(duì)應(yīng)的向量與船速對(duì)應(yīng)的向量大小相等，方向相反.圖1給出了部分風(fēng)力等級(jí)、名稱與風(fēng)速大小的對(duì)應(yīng)關(guān)系.已知某帆船運(yùn)動(dòng)員在某時(shí)刻測(cè)得的視風(fēng)風(fēng)速對(duì)應(yīng)的向量與船速對(duì)應(yīng)的向量如圖2（風(fēng)速的大小和向量的大小相同），單位（m/s），則真風(fēng)為（）等級(jí)風(fēng)速大小m/s名稱21.1~3.3輕風(fēng)33.4~5.4微風(fēng)45.5~7.9和風(fēng)58.0~10.1勁風(fēng)A.輕風(fēng) B.微風(fēng) C.和風(fēng) D.勁風(fēng)【答案】A【解析】【分析】結(jié)合題目條件和圖寫出視風(fēng)風(fēng)速對(duì)應(yīng)的向量和船行風(fēng)速對(duì)應(yīng)的向量，求出真風(fēng)風(fēng)速對(duì)應(yīng)的向量，得出真風(fēng)風(fēng)速的大小，即可由圖得出結(jié)論.【詳解】由題意及圖得，視風(fēng)風(fēng)速對(duì)應(yīng)的向量為：，視風(fēng)風(fēng)速對(duì)應(yīng)的向量，是真風(fēng)風(fēng)速對(duì)應(yīng)的向量與船行風(fēng)速對(duì)應(yīng)的向量之和，船速方向和船行風(fēng)速的向量方向相反，設(shè)真風(fēng)風(fēng)速對(duì)應(yīng)的向量為，船行風(fēng)速對(duì)應(yīng)的向量為，∴，船行風(fēng)速：，∴，，∴由表得，真風(fēng)風(fēng)速為輕風(fēng)，故選：A.7.若圓上到直線的距離為1的點(diǎn)有且僅有2個(gè)，則r的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出圓心到直線的距離，然后結(jié)合圖象，即可得出結(jié)論.【詳解】由題意，在圓中，圓心，半徑為，到直線的距離為的點(diǎn)有且僅有個(gè)，∵圓心到直線的距離為：，故由圖可知，當(dāng)時(shí)，圓上有且僅有一個(gè)點(diǎn)（點(diǎn)）到直線的距離等于；當(dāng)時(shí)，圓上有且僅有三個(gè)點(diǎn)（點(diǎn)）到直線的距離等于；當(dāng)則的取值范圍為時(shí)，圓上有且僅有兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于.故選：B.8.若實(shí)數(shù)x，y，z滿足，則x，y，z的大小關(guān)系不可能是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】法一：設(shè)，對(duì)討論賦值求出，即可得出大小關(guān)系，利用排除法求出；法二：根據(jù)數(shù)形結(jié)合解出.【詳解】法一：設(shè)，所以令，則，此時(shí)，A有可能；令，則，此時(shí)，C有可能；令，則，此時(shí)，D有可能；故選：B．法二：設(shè)，所以，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，易知各方程只有唯一的根，作出函數(shù)的圖象，以上方程的根分別是函數(shù)的圖象與直線的交點(diǎn)縱坐標(biāo)，如圖所示：易知，隨著的變化可能出現(xiàn)：，，，，故選：B．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.在正三棱柱中，D為BC中點(diǎn)，則（）A. B.平面C.平面 D.【答案】BC【解析】【分析】法一：對(duì)于A，利用空間向量的線性運(yùn)算與數(shù)量積運(yùn)算即可判斷；對(duì)于B，利用線面垂直的判定與性質(zhì)定理即可判斷；對(duì)于C，利用線面平行的判定定理即可判斷；對(duì)于D，利用反證法即可判斷；法二：根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法逐一分析判斷各選項(xiàng)即可得解.【詳解】法一：對(duì)于A，在正三棱柱中，平面，又平面，則，則，因?yàn)槭钦切?，為中點(diǎn)，則，則又，所以，則不成立，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)樵谡庵?，平面，又平面，則，因?yàn)槭钦切危瑸橹悬c(diǎn)，則，又平面，所以平面，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)樵谡庵校制矫嫫矫?，所以平面，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)樵谡庵?，，假設(shè)，則，這與矛盾，所以不成立，故D錯(cuò)誤；故選：BC.法二：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)該正三棱柱的底邊為，高為，則，對(duì)于A，，則，則不成立，故A錯(cuò)誤；對(duì)于BC，，設(shè)平面的法向量為，則，得，令，則，所以，，則平面，平面，故BC正確；對(duì)于D，，則，顯然不成立，故D錯(cuò)誤；故選：BC.10.設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，過F的直線交C于A、B，過F且垂直于的直線交于E，過點(diǎn)A作準(zhǔn)線l的垂線，垂足為D，則（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】對(duì)于A，先判斷得直線為拋物線的準(zhǔn)線，再利用拋物線的定義即可判斷；對(duì)于B，利用三角形相似證得，進(jìn)而得以判斷；對(duì)于C，利用直線的反設(shè)法（法一）與正設(shè)法（法二），聯(lián)立直線與拋物線方程，結(jié)合韋達(dá)定理與焦點(diǎn)弦公式可判斷C；利用利用三角形相似證得，，結(jié)合焦半徑公式可判斷D.【詳解】法一：對(duì)于A，對(duì)于拋物線，則，其準(zhǔn)線方程為，焦點(diǎn)，則為拋物線上點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，為拋物線上點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，由拋物線的定義可知，，故A正確；對(duì)于B，過點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，交于點(diǎn)，由題意可知，則，又，，所以，所以，同理，又，所以，即，顯然為的斜邊，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，易知直線的斜率不為，設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立，得，易知，則，又，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故C正確；對(duì)于D，在與中，，所以，則，即，同理，又，，所以，則，故D正確.故選：ACD.法二：對(duì)于A，對(duì)于拋物線，則，其準(zhǔn)線方程為，焦點(diǎn)，則為拋物線上點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，為拋物線上點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，由拋物線的定義可知，，故A正確；對(duì)于B，過點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，交于點(diǎn)，由題意可知，則，又，，所以，所以，同理，又，所以，即，顯然為的斜邊，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，聯(lián)立，消去，得，易知，則，所以，綜上，，故C正確；對(duì)于D，在與中，，所以，則，即，同理，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，；所以，即；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，，，所以，則；綜上，，故D正確.故選：ACD.11.已知的面積為，若，則（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】對(duì)由二倍角公式先可推知A選項(xiàng)正確，然后分情況比較和的大小，亦可使用正余弦定理討論解決，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性可推出，然后利用算出取值，最后利用三角形面積求出三邊長(zhǎng)，即可判斷每個(gè)選項(xiàng).【詳解】，由二倍角公式，，整理可得，，A選項(xiàng)正確；由誘導(dǎo)公式，，展開可得，即，若，則可知等式成立；若，即，由誘導(dǎo)公式和正弦函數(shù)的單調(diào)性可知，，同理，又，于是，與條件不符，則不成立；若，類似可推導(dǎo)出，則則不成立.綜上討論可知，，即.方法二：時(shí)，由，則，于是，由正弦定理，，由余弦定理可知，，則，若，則，注意到，則，于是（兩者同負(fù)會(huì)有兩個(gè)鈍角，不成立），于是，結(jié)合，而都是銳角，則，于是，這和相矛盾，故不成立，則由，由，則，即，則，同理，注意到是銳角，則，不妨設(shè)，則，即，由兩角和差的正弦公式可知，C選項(xiàng)正確由兩角和的正切公式可得，，設(shè)，則，由，則，則，于是，B選項(xiàng)正確，由勾股定理可知，，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：ABC三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共計(jì)15分.12.若直線是曲線的切線，則_________.【答案】【解析】【分析】法一：利用導(dǎo)數(shù)的幾何性質(zhì)與導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算求得切點(diǎn)，進(jìn)而代入曲線方程即可得解；法二：利用導(dǎo)數(shù)的幾何性質(zhì)與導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算得到關(guān)于切點(diǎn)與的方程組，解之即可得解.【詳解】法一：對(duì)于，其導(dǎo)數(shù)為，因?yàn)橹本€是曲線的切線，直線的斜率為2，令，即，解得，將代入切線方程，可得，所以切點(diǎn)坐標(biāo)為，因?yàn)榍悬c(diǎn)在曲線上，所以，即，解得.故答案為：.法二：對(duì)于，其導(dǎo)數(shù)為，假設(shè)與的切點(diǎn)為，則，解得.故答案為：.13.若一個(gè)等比數(shù)列的前4項(xiàng)和為4，前8項(xiàng)和為68，則該等比數(shù)列的公比為_________.【答案】【解析】【分析】法一：利用等比數(shù)列的求和公式作商即可得解；法二：利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和的定義，得到關(guān)于的方程，解之即可得解；法三：利用等比數(shù)列的前項(xiàng)和性質(zhì)得到關(guān)于的方程，解之即可得解.【詳解】法一：設(shè)該等比數(shù)列為，是其前項(xiàng)和，則，設(shè)的公比為，當(dāng)時(shí)，，即，則，顯然不成立，舍去；當(dāng)時(shí)，則，兩式相除得，即，則，解得，所以該等比數(shù)列公比為.故答案為：.法二：設(shè)該等比數(shù)列為，是其前項(xiàng)和，則，設(shè)的公比為，所以，，所以，則，解得，所以該等比數(shù)列公比為.故答案為：.法三：設(shè)該等比數(shù)列為，是其前項(xiàng)和，則，設(shè)的公比為，因?yàn)?，又，所以，解得，所以該等比?shù)列公比為.故答案為：.14.一個(gè)箱子里有5個(gè)相同的球，分別以1~5標(biāo)號(hào)，若有放回地取三次，記至少取出一次的球的個(gè)數(shù)X，則數(shù)學(xué)期望_________.【答案】##【解析】【分析】法一：根據(jù)題意得到的可能取值，再利用分步乘法原理與古典概型的概率公式求得的分布列，從而求得；法二，根據(jù)題意假設(shè)隨機(jī)變量，利用對(duì)立事件與獨(dú)立事件的概率公式求得，進(jìn)而利用數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)求得.【詳解】法一：依題意，的可能取值為1、2、3，總的選取可能數(shù)為，其中：三次抽取同一球，選擇球的編號(hào)有5種方式，故，：恰好兩種不同球被取出（即一球出現(xiàn)兩次，另一球出現(xiàn)一次），選取出現(xiàn)兩次的球有5種方式，選取出現(xiàn)一次的球有4種方式，其中選取出現(xiàn)一次球的位置有3種可能，故事件的可能情況有種，故，：三種不同球被取出，由排列數(shù)可知事件的可能情有況種，故，所以.故答案為：.法二：依題意，假設(shè)隨機(jī)變量，其中：其中，則，由于球的對(duì)稱性，易知所有相等，則由期望的線性性質(zhì)，得，由題意可知，球在單次抽取中未被取出的概率為，由于抽取獨(dú)立，三次均未取出球概率為，因此球至少被取出一次的概率為：，故，所以故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.為研究某疾病與超聲波檢查結(jié)果的關(guān)系，從做過超聲波檢查的人群中隨機(jī)調(diào)查了1000人，得到如下列聯(lián)表：超聲波檢查結(jié)果組別正常不正常合計(jì)患該疾病20180200未患該疾病78020800合計(jì)8002001000（1）記超聲波檢查結(jié)果不正常者患該疾病的概率為P，求P的估計(jì)值；（2）根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析超聲波檢查結(jié)果是否與患該疾病有關(guān).附，0.0050.0100.0013.8416.63510.828【答案】（1）（2）有關(guān)【解析】【分析】（1）根據(jù)古典概型的概率公式即可求出；（2）根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想,求出,然后與小概率值對(duì)應(yīng)的臨界值比較,即可判斷.【小問1詳解】根據(jù)表格可知，檢查結(jié)果不正常的人中有人患病，所以的估計(jì)值為；【小問2詳解】零假設(shè)為：超聲波檢查結(jié)果與患病無關(guān)，根據(jù)表中數(shù)據(jù)可得，，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，即認(rèn)為超聲波檢查結(jié)果與患該病有關(guān)，該推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過.16.設(shè)數(shù)列滿足，（1）證明：為等差數(shù)列；（2）設(shè)，求．【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題目所給條件化簡(jiǎn)，即可證明結(jié)論；（2）先求出的通項(xiàng)公式，代入函數(shù)并求導(dǎo)，函數(shù)兩邊同乘以，作差并利用等比數(shù)列前項(xiàng)和得出導(dǎo)函數(shù)表達(dá)式，即可得出結(jié)論.【小問1詳解】由題意證明如下，，在數(shù)列中，，，∴，即，∴是以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列.【小問2詳解】由題意及（1）得，，在數(shù)列中，首項(xiàng)為3，公差為1，∴，即，在中，，∴，當(dāng)且時(shí)，∴，∴∴.17.如圖所示的四棱錐中，平面，．（1）證明：平面平面；（2），，，，在同一個(gè)球面上，設(shè)該球面的球心為．（i）證明：在平面上；（ⅱ）求直線與直線所成角的余弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）（i）證明見解析；（ii）.【解析】【分析】（1）通過證明，，得出平面，即可證明面面垂直；（2）（i）法一：建立空間直角坐標(biāo)系并表達(dá)出各點(diǎn)的坐標(biāo)，假設(shè)在同一球面上，在平面中，得出點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得出點(diǎn)在空間中的坐標(biāo)，計(jì)算出，即可證明結(jié)論；法二：作出的邊和的垂直平分線，找到三角形的外心，求出，求出出外心到，，，的距離相等，得出外心即為，，，所在球的球心，即可證明結(jié)論；（ii）法一：寫出直線和的方向向量，即可求出余弦值.法二：求出的長(zhǎng)，過點(diǎn)作的平行線，交的延長(zhǎng)線為，連接，，利用勾股定理求出的長(zhǎng)，進(jìn)而得出的長(zhǎng)，在中由余弦定理求出，即可求出直線與直線所成角的余弦值.【小問1詳解】由題意證明如下，在四棱錐中，⊥平面，，平面，平面，∴，，∵平面，平面，，∴平面，∵平面，∴平面平面.【小問2詳解】（i）由題意及（1）證明如下，法一：在四棱錐中，，，，∥，，，建立空間直角坐標(biāo)系如下圖所示，∴，若，，，在同一個(gè)球面上，則，在平面中，∴，∴線段中點(diǎn)坐標(biāo)，直線的斜率：，直線的垂直平分線斜率：，∴直線的方程：，即，當(dāng)時(shí)，，解得：，∴在立體幾何中，，∵解得：，∴點(diǎn)在平面上.法二：∵，，，在同一個(gè)球面上，∴球心到四個(gè)點(diǎn)的距離相等在中，到三角形三點(diǎn)距離相等的點(diǎn)是該三角形的外心，作出和的垂直平分線，如下圖所示，由幾何知識(shí)得，，，，∴，∴點(diǎn)是的外心，在Rt中，，，由勾股定理得，∴，∴點(diǎn)即為點(diǎn)，，，所在球的球心，此時(shí)點(diǎn)在線段上，平面，∴點(diǎn)在平面上.（ii）由題意，（1）（2）（ii）及圖得，，設(shè)直線與直線所成角為，∴.法2：由幾何知識(shí)得，，，∥，∴，在Rt中，，，由勾股定理得，，過點(diǎn)作的平行線，交的延長(zhǎng)線為，連接，，則，直線與直線所成角即為中或其補(bǔ)角.∵平面，平面，，∴，在Rt中，，，由勾股定理得，，在Rt中，，由勾股定理得，，在中，由余弦定理得，，即：解得：∴直線與直線所成角的余弦值為：.18.設(shè)橢圓的離心率為，下頂點(diǎn)為A，右頂點(diǎn)為B，．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知?jiǎng)狱c(diǎn)P不在y軸上，點(diǎn)R在射線AP上，且滿足．（i）設(shè)，求點(diǎn)的坐標(biāo)（用m，n表示）；（ⅱ）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，直線OR的斜率為直線的斜率的3倍，求的最大值．【答案】（1）（2）(ⅰ)(ⅱ)【解析】【分析】（1）根據(jù)題意列出的關(guān)系式,解方程求出,即可得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）(ⅰ)設(shè),根據(jù)斜率相等以及題目條件列式,化簡(jiǎn)即可求出或者利用數(shù)乘向量求出；(ⅱ)根據(jù)斜率關(guān)系可得到點(diǎn)的軌跡為圓（除去兩點(diǎn)），再根據(jù)點(diǎn)與圓的最值求法結(jié)合三角換元或者直接運(yùn)算即可解出.【小問1詳解】由題可知,，所以，解得，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；【小問2詳解】(ⅰ)設(shè)，易知，法一：所以，故，且．因?yàn)?，，所以，即，解得，所以，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.法二：設(shè)，則，所以，，故點(diǎn)的坐標(biāo)為.(ⅱ)因?yàn)?,由,可得,化簡(jiǎn)得,即,所以點(diǎn)在以為圓心,為半徑的圓上（除去兩個(gè)點(diǎn)）,為到圓心的距離加上半徑,法一：設(shè),所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),所以.法二：設(shè)，則，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),故.19.設(shè)函數(shù)．（1）求在的最大值；（2）給定，設(shè)a為實(shí)數(shù)，證明：存在，使得；（3）若存在使得對(duì)任意x，都有，求b的最小值．【答案】（1）（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合三角變換得導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)，討論導(dǎo)數(shù)的符號(hào)后得單調(diào)性，從而可求最大值；或者利用均值不等式可求最大值.（2）利用反證法可證三角不等式有解；（3）先考慮時(shí)的范圍，對(duì)于時(shí)，可利用（2）中的結(jié)論結(jié)合特值法求得，從而可得的最小值；或者先根據(jù)函數(shù)解析特征得，再結(jié)合特值法可得，結(jié)合（1）的結(jié)果可得的最小值.【小問1詳解】法1：，因?yàn)?，故，故，?dāng)時(shí)，即，當(dāng)時(shí)，即，故在上為增函數(shù)，在為減函數(shù)，故在上的最大值為.法2：我們有.所以：.這得到，同時(shí)又有，故在上的最大值為，在上的最大值也是.【小問2詳解】法1：由余弦函數(shù)的性質(zhì)得的解為，，若任意與交集空，則且，此時(shí)無解，矛盾，故無解；故存在，使得，法2：由余弦函數(shù)的性質(zhì)知的解為，若每個(gè)與交集都為空，則對(duì)每個(gè)，必有或之一成立.此即或，但長(zhǎng)度為的閉區(qū)間上必有一整數(shù)，該整數(shù)不滿足條件，矛盾.故存在，使得成立.【小問3詳解】法1：記，因?yàn)椋蕿橹芷诤瘮?shù)且周期為,故只需討論的情況.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，令，則，而，，故，當(dāng)，在（2）中取，則存在，使得，取，則，取即，故，故，綜上，可取，使得等號(hào)成立.綜上，.法2：設(shè).①一方面，若存在，使得對(duì)任意恒成立，則對(duì)這樣的，同樣有.所以對(duì)任意恒成立，這直接得到.設(shè)，則根據(jù)恒成立，有所以均不超過，再結(jié)合，就得到均不超過.假設(shè)，則，故.但這是不可能的，因?yàn)槿齻€(gè)角和單位圓的交點(diǎn)將單位圓三等分，這三個(gè)點(diǎn)不可能都在直線左側(cè).所以假設(shè)不成立，這意味著.②另一方面，若，則由（1）中已經(jīng)證明，知存在，使得.從而滿足題目要求.綜合上述兩個(gè)方面，可知的最小值是.

2025年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（新高考Ⅱ卷）注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在試卷上無效.3.考試結(jié)束后，本試卷和答題卡一并交回.一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.樣本數(shù)據(jù)2，8，14，16，20的平均數(shù)為（）A.8 B.9 C.12 D.18【答案】C【解析】【分析】由平均數(shù)的計(jì)算公式即可求解.【詳解】樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為.故選：C.2.已知，則（）A. B. C. D.1【答案】A【解析】【分析】由復(fù)數(shù)除法即可求解.【詳解】因?yàn)?，所?故選：A.3.已知集合則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】求出集合后結(jié)合交集的定義可求.【詳解】，故，故選：D.4.不等式的解集是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】移項(xiàng)后轉(zhuǎn)化為求一元二次不等式的解即可.【詳解】即為即，故，故解集為，故選：C.5.在中，，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由余弦定理直接計(jì)算求解即可.【詳解】由題意得，又，所以.故選：A6.設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為點(diǎn)A在C上，過A作的準(zhǔn)線的垂線，垂足為B，若直線BF的方程為，則（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C【解析】【分析】先由直線求出焦點(diǎn)和即拋物線的方程，進(jìn)而依次得拋物線的準(zhǔn)線方程和點(diǎn)B，從而可依次求出和，再由焦半徑公式即可得解.【詳解】對(duì)，令，則，所以，即拋物線，故拋物線的準(zhǔn)線方程為，故，則，代入拋物線得.所以.故選：C7.記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式結(jié)合題意列出關(guān)于首項(xiàng)和公差d的方程求出首項(xiàng)和公差d，再由等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式即可計(jì)算求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則由題可得，所以.故選：B.8.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用二倍角余弦公式得，則，最后再根據(jù)兩角差的正弦公式即可得到答案.【詳解】，因?yàn)椋瑒t，則，則.故選：D.二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.9.記為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，為的公比，若，則（）A B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】對(duì)A，根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式得到方程組，解出，再利用其通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式一一計(jì)算分析即可.【詳解】對(duì)A，由題意得，結(jié)合，解得或（舍去），故A正確；對(duì)B，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，，，則，故D正確；故選：AD.10.已知是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則（）A. B.當(dāng)時(shí)，C.當(dāng)且僅當(dāng) D.是的極大值點(diǎn)【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)A，根據(jù)奇函數(shù)特點(diǎn)即可判斷；對(duì)B，利用代入求解即可；對(duì)C，舉反例即可；對(duì)D，直接求導(dǎo)，根據(jù)極大值點(diǎn)判定方法即可判斷.【詳解】對(duì)A，因?yàn)槎x在上奇函數(shù)，則，故A正確；對(duì)B，當(dāng)時(shí)，，則，故B正確；對(duì)C，，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，當(dāng)時(shí)，，則，令，解得或（舍去），當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減，則是極大值點(diǎn)，故D正確；故選：ABD.11.雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別是，左、右頂點(diǎn)分別為，以為直徑的圓與C的一條漸近線交于M、N兩點(diǎn)，且，則（）A B.C.C的離心率為 D.當(dāng)時(shí)，四邊形的面積為【答案】ACD【解析】【分析】由平行四邊形的性質(zhì)判斷A；由且結(jié)合在漸近線上可求的坐標(biāo)，從而可判斷B的正誤，或者利用三角函數(shù)定義和余弦定理也可判斷；由中線向量結(jié)合B的結(jié)果可得，計(jì)算后可判斷C的正誤，或者利用并結(jié)合離心率變形公式即可判斷；結(jié)合BC的結(jié)果求出面積后可判斷D的正誤.【詳解】不妨設(shè)漸近線為，在第一象限，在第三象限，對(duì)于A，由雙曲線的對(duì)稱性可得為平行四邊形，故，故A正確；對(duì)于B，方法一：因?yàn)樵谝詾橹睆降膱A上，故且，設(shè)，則，故，故，由A得，故即，故B錯(cuò)誤；方法二：因?yàn)?，因?yàn)殡p曲線中，，則，又因?yàn)橐詾橹睆降膱A與的一條漸近線交于、，則，則若過點(diǎn)往軸作垂線，垂足為，則，則點(diǎn)與重合，則軸，則，方法三：在利用余弦定理知，，即，則，則為直角三角形，且，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，方法一：因?yàn)椋?，由B可知，故即，故離心率，故C正確；方法二：因?yàn)?，則，則，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，由C可知，故，故，故四邊形為，故D正確，故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知平面向量若，則___________【答案】【解析】【分析】根據(jù)向量坐標(biāo)化運(yùn)算得，再利用向量垂直的坐標(biāo)表示得到方程，解出即可.【詳解】，因?yàn)椋瑒t，則，解得.則，則.故答案為：.13.若是函數(shù)的極值點(diǎn)，則___________【答案】【解析】【分析】由題意得即可求解，再代入即可求解.【詳解】由題意有，所以，因?yàn)槭呛瘮?shù)極值點(diǎn)，所以，得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)x∈?∞,當(dāng)單調(diào)遞增，所以是函數(shù)的極小值點(diǎn)，符合題意；所以.故答案為：.14.一個(gè)底面半徑為，高為的封閉圓柱形容器（容器壁厚度忽略不計(jì)）內(nèi)有兩個(gè)半徑相等的鐵球，則鐵球半徑的最大值為____________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)圓柱與球的性質(zhì)以及球的體積公式可求出球的半徑；【詳解】圓柱的底面半徑為，設(shè)鐵球的半徑為r，且，由圓柱與球的性質(zhì)知，即，，故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù)．（1）求;（2）設(shè)函數(shù)，求的值域和單調(diào)區(qū)間．【答案】（1）（2）答案見解析【解析】【分析】（1）直接由題意得，結(jié)合余弦函數(shù)的單調(diào)性即可得解；（2）由三角恒等變換得，由此可得值域，進(jìn)一步由整體代入法可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.小問1詳解】由題意，所以；【小問2詳解】由（1）可知，所以，所以函數(shù)的值域?yàn)?，令，解得，令，解得，所以函?shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.16.已知橢圓離心率為，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4．（1）求C的方程；（2）過點(diǎn)的直線l與C交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若的面積為，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)長(zhǎng)軸長(zhǎng)和離心率求出基本量后可得橢圓方程；（2）設(shè)出直線方程并聯(lián)立橢圓方程后結(jié)合韋達(dá)定理用參數(shù)表示面積后可求的值，從而可求弦長(zhǎng).【小問1詳解】因?yàn)殚L(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，故，而離心率為，故，故，故橢圓方程為：.【小問2詳解】由題設(shè)直線的斜率不為0，故設(shè)直線，，由可得，故Δ=16t4且，故，解得，故.17.如圖，在四邊形中，，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AB上，，，將四邊形沿翻折至四邊形，使得面與面EFCB所成的二面角為．（1）證明:平面；（2）求面與面所成的二面角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）先應(yīng)用線面平行判定定理得出平面及平面，再應(yīng)用面面平行判定定理得出平面平面，進(jìn)而得出線面平行；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用已知條件將點(diǎn)的坐標(biāo)表示出來，然后將平面及平面的法向量求出來，利用兩個(gè)法向量的數(shù)量積公式可將兩平面的夾角余弦值求出來，進(jìn)而可求得其正弦值.小問1詳解】設(shè)，所以，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)?，，所以是平行四邊形，所以，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面，又，平面，所以平面平面，又平面，所以平面．【小?詳解】因?yàn)椋?，又因?yàn)椋?，以為原點(diǎn)，以及垂直于平面的直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)?，平面與平面所成二面角為60°，所以.則，，，，，.所以.設(shè)平面的法向量為，則，所以，令，則，則.設(shè)平面的法向量為，則，所以，令，則，所以.所以.所以平面與平面夾角的正弦值為.18.已知函數(shù)，其中．（1）證明：在區(qū)間存在唯一的極值點(diǎn)和唯一的零點(diǎn)；（2）設(shè)分別為在區(qū)間的極值點(diǎn)和零點(diǎn).（i）設(shè)函數(shù)·證明：在區(qū)間單調(diào)遞減；（ii）比較與的大小，并證明你的結(jié)論．【答案】（1）證明見解析；（2）（i）證明見解析；（ii），證明見解析.【解析】【分析】（1）先由題意求得，接著構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)工具研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)值情況，從而得到函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得證函數(shù)在區(qū)間上存在唯一極值點(diǎn)；再結(jié)合和時(shí)的正負(fù)情況即可得證在區(qū)間上存在唯一零點(diǎn)；（2）（i）由（1）和結(jié)合（1）中所得導(dǎo)函數(shù)計(jì)算得到，再結(jié)合得即可得證；（ii）由函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減得到，再結(jié)合，和函數(shù)的單調(diào)性以以及函數(shù)值的情況即可得證.【小問1詳解】由題得，因?yàn)椋?，設(shè)，則在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減，，令，所以當(dāng)時(shí)，，則；當(dāng)時(shí)，，則，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在上存在唯一極值點(diǎn)，對(duì)函數(shù)有在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減，所以在上恒成立，又因?yàn)?，時(shí)，所以時(shí)，所以存在唯一使得，即在上存在唯一零點(diǎn).【小問2詳解】（i）由（1）知，則，，則，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以函?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；（ii），證明如下：由（i）知：函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以即，又，由（1）可知在上單調(diào)遞減，，且對(duì)任意，所以.19.甲、乙兩人進(jìn)行乒乓球練習(xí)，每個(gè)球勝者得1分，負(fù)者得0分．設(shè)每個(gè)球甲勝的概率為，乙勝的概率為q，，且各球的勝負(fù)相互獨(dú)立，對(duì)正整數(shù)，記為打完k個(gè)球后甲比乙至少多得2分的概率，為打完k個(gè)球后乙比甲至少多得2分的概率．（1）求（用p表示）．（2）若，求p．（3）證明：對(duì)任意正整數(shù)m，．【答案】（1），（2）（3）證明過程見解析【解析】【分析】（1）直接由二項(xiàng)分布概率計(jì)算公式即可求解；（2）由題意，聯(lián)立，即可求解；（3）首先，，同理有，，作差有，另一方面，且同理有，作差能得到，由此即可得證.【小問1詳解】為打完3個(gè)球后甲比乙至少多得兩分的概率，故只能甲勝三場(chǎng)，故所求為，為打完4個(gè)球后甲比乙至少多得兩分的概率，故甲勝三場(chǎng)或四場(chǎng)，故所求為；【小問2詳解】由（1）得，，同理，若，，則，由于，所以，解得；【小問3詳解】我們有.以及.至此我們得到，，同理有，.故，即.另一方面，由于且同理有.故結(jié)合，就能得到，即，證畢.2025年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試上海數(shù)學(xué)試卷（考試時(shí)間120分鐘，滿分150分）一、填空題（本大題共12題，第1~6題每題4分，第7~12題每題5分，共54分.考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置直接填寫結(jié)果）1.已知全集，集合，則_________．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)補(bǔ)集的含義即可得到答案.【詳解】根據(jù)補(bǔ)集的含義知.故答案為：.2.不等式的解集為_________．【答案】【解析】【分析】轉(zhuǎn)化為一元二次不等式，解出即可.【詳解】原不等式轉(zhuǎn)化為，解得，則其解集為.故答案為：.3.己知等差數(shù)列的首項(xiàng)，公差，則該數(shù)列的前6項(xiàng)和為_________．【答案】【解析】【分析】直接根據(jù)等差數(shù)列求和公式求解.【詳解】根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，.故答案為：4.在二項(xiàng)式的展開式中，的系數(shù)為_________．【答案】【解析】【分析】利用通項(xiàng)公式求解可得.【詳解】由通項(xiàng)公式，令，得，可得項(xiàng)的系數(shù)為.故答案為：.5.函數(shù)在上的值域?yàn)開________．【答案】【解析】【分析】利用余弦函數(shù)的單調(diào)性可得.【詳解】由函數(shù)在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，且，故函數(shù)在上的值域?yàn)?故答案為：.6.已知隨機(jī)變量X的分布為，則期望_________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)分布列結(jié)合期望公式可求期望.【詳解】由題設(shè)有.故答案為：.7.如圖，在正四棱柱中，，則該正四棱柱的體積為_________．【答案】【解析】【分析】求出側(cè)棱長(zhǎng)和底面邊長(zhǎng)后可求體積.【詳解】因?yàn)榍宜倪呅螢檎叫危?，而，故，故，故所求體積為，故答案為：.8.設(shè)，則的最小值為_________．【答案】4【解析】【分析】靈活利用“1”將展開利用基本不等式計(jì)算即可.【詳解】易知，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得最小值.故答案為：49.4個(gè)家長(zhǎng)和2個(gè)兒童去爬山，6個(gè)人需要排成一條隊(duì)列，要求隊(duì)列的頭和尾均是家長(zhǎng)，則不同的排列個(gè)數(shù)有_________種．【答案】288【解析】【分析】先選家長(zhǎng)作隊(duì)尾和隊(duì)首，再排中間四人即可.【詳解】先選兩位家長(zhǎng)排在首尾有種排法；再排對(duì)中的四人有種排法，故有種排法.故答案為：28810.已知復(fù)數(shù)z滿足，則的最小值是_________．【答案】【解析】【分析】先設(shè)，利用復(fù)數(shù)的乘方運(yùn)算及概念確定，再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義數(shù)形結(jié)合計(jì)算即可.【詳解】設(shè)，由題意可知，則，又，由復(fù)數(shù)的幾何意義知在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在單位圓內(nèi)部（含邊界）的坐標(biāo)軸上運(yùn)動(dòng)，如圖所示即線段上運(yùn)動(dòng)，設(shè)，則，由圖象可知，所以.故答案為：11.小申同學(xué)觀察發(fā)現(xiàn)，生活中有些時(shí)候影子可以完全投射在斜面上．某斜面上有兩根長(zhǎng)為1米的垂直于水平面放置的桿子，與斜面的接觸點(diǎn)分別為A、B，它們?cè)陉?yáng)光的照射下呈現(xiàn)出影子，陽(yáng)光可視為平行光：其中一根桿子的影子在水平面上，長(zhǎng)度為0.4米；另一根桿子的影子完全在斜面上，長(zhǎng)度為0.45米．則斜面的底角_________．（結(jié)果用角度制表示，精確到）【答案】【解析】【分析】先根據(jù)在處的旗桿算出陽(yáng)光和水平面的夾角，然后結(jié)合處的旗桿算出斜面角.【詳解】如圖，在處，，在處滿足，（其中水平面，是射過處桿子最高點(diǎn)的光線，光線交斜面于），故設(shè)，則，由勾股定理，，解得，于是故答案為：12.已知，是平面內(nèi)三個(gè)不同的單位向量．若，則可的取值范圍是_______．【答案】【解析】【分析】利用分段函數(shù)值分類討論，可得，再根據(jù)數(shù)量積關(guān)系設(shè)出坐標(biāo)，利用坐標(biāo)運(yùn)算，結(jié)合三角恒等變換求解模的范圍可得.【詳解】若，則，又三個(gè)向量均為平面內(nèi)的單位向量，故向量?jī)蓛纱怪?，顯然不成立；故.不妨設(shè)，則，不妨設(shè)，，則，則，則，由，，則，故.故答案為：.二、選擇題（本大題共4題，第13、14題每題4分，第15、16題每題5分，共18分.每題有且僅有一個(gè)正確選項(xiàng)，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項(xiàng)的小方格涂黑.）13.己知事件A、B相互獨(dú)立，事件A發(fā)生的概率為，事件B發(fā)生的概率為，則事件發(fā)生的概率為（）A B. C. D.0【答案】B【解析】【分析】根據(jù)獨(dú)立事件的概率公式可求.【詳解】因?yàn)橄嗷オ?dú)立，故，故選：B.14.設(shè)．下列各項(xiàng)中，能推出的一項(xiàng)是（）A.，且 B.，且C.，且 D.，且【答案】D【解析】【分析】利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)分類討論與1的關(guān)系即可判定選項(xiàng).【詳解】∵，∴，當(dāng)時(shí)，定義域上嚴(yán)格單調(diào)遞減，此時(shí)若，則一定有成立，故D正確，C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，定義域上嚴(yán)格單調(diào)遞增，要滿足，需，即A、B錯(cuò)誤.故選：D15.已知，C在上，則的面積（）A.有最大值，但沒有最小值 B.沒有最大值，但有最小值C.既有最大值，也有最小值 D.既沒有最大值，也沒有最小值【答案】A【解析】【分析】設(shè)出曲線上一點(diǎn)為，得出，將三角形的高轉(zhuǎn)化成關(guān)于的函數(shù),分析其單調(diào)性，從而求解.【詳解】設(shè)曲線上一點(diǎn)為，則，則，，方程為：，即，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，到的距離為：，設(shè)，由于，顯然關(guān)于單調(diào)遞減，，無最小值，即中，邊上的高有最大值，無最小值，又一定，故面積有最大值，無最小值.故選：A16.已知數(shù)列、、的通項(xiàng)公式分別為，、，.若對(duì)任意的，、、的值均能構(gòu)成三角形，則滿足條件的正整數(shù)有（）A.4個(gè) B.3個(gè) C.1個(gè) D.無數(shù)個(gè)【答案】B【解析】【分析】由可知范圍，再由三角形三邊關(guān)系可得的不等關(guān)系，結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)解不等式可得.【詳解】由題意，不妨設(shè)，三點(diǎn)均在第一象限內(nèi)，由可知，，故點(diǎn)恒在線段上，則有.即對(duì)任意的，恒成立，令，構(gòu)造函數(shù)，則，由單調(diào)遞增，又，存在，使，即當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；故至多個(gè)零點(diǎn)，又由，可知存?zhèn)€零點(diǎn)，不妨設(shè)，且.①若，即時(shí)，此時(shí)或.則，可知成立，要使、、的值均能構(gòu)成三角形，所以恒成立，故，所以有，解得；②若，即時(shí)，此時(shí).則，可知成立，要使、、的值均能構(gòu)成三角形，所以恒成立，故，所以有，解得或；綜上可知，正整數(shù)的個(gè)數(shù)有個(gè).故選：B.三、解答題（本大題共5題，第17-19題每題14分，第20-21題每題18分，共78分.解答下列各題必須在答題紙的相應(yīng)位置寫出必要的步驟.）17.2024年?yáng)|京奧運(yùn)會(huì)，中國(guó)獲得了男子米混合泳接力金牌．以下是歷屆奧運(yùn)會(huì)男子米混合泳接力項(xiàng)目冠軍成績(jī)記錄（單位：秒），數(shù)據(jù)按照升序排列．206.78207.4620795209.34209.35210.68213.73214.84216.93216.93（1）求這組數(shù)據(jù)的極差與中位數(shù)；（2）從這10個(gè)數(shù)據(jù)中任選3個(gè)，求恰有2個(gè)數(shù)據(jù)在211以上的概率；（3）若比賽成績(jī)y關(guān)于年份x的回歸方程為，年份x的平均數(shù)為2006，預(yù)測(cè)2028年冠軍隊(duì)的成績(jī)（精確到0.01秒）．【答案】（1）；；（2）（3）【解析】【分析】（1）由最長(zhǎng)與最短用時(shí)可得極差，由中間兩數(shù)平均數(shù)可得中位數(shù)；（2）由古典概型概率公式可得；（3）先求成績(jī)平均數(shù)，再由在回歸直線上，代入方程可得，再代入年份預(yù)測(cè)可得.【小問1詳解】由題意，數(shù)據(jù)的最大值為，最小值為，則極差為；數(shù)據(jù)中間兩數(shù)為與，則中位數(shù)為.故極差為，中位數(shù)為；【小問2詳解】由題意，數(shù)據(jù)共個(gè)，以上數(shù)據(jù)共有個(gè)，故設(shè)事件“恰有個(gè)數(shù)據(jù)在以上”，則，故恰有個(gè)數(shù)據(jù)在以上的概率為；【小問3詳解】由題意，成績(jī)的平均數(shù)，由直線過，則，故回歸直線方程為.當(dāng)時(shí),.故預(yù)測(cè)年冠軍隊(duì)的成績(jī)?yōu)槊?18.如圖，P是圓錐的頂點(diǎn)，O是底面圓心，AB是底面直徑，且．（1）若直線PA與圓錐底面的所成角為，求圓錐的側(cè)面積；（2）已知Q是母線PA的中點(diǎn)，點(diǎn)C、D在底面圓周上，且弧AC的長(zhǎng)為，．設(shè)點(diǎn)M在線段OC上，證明：直線平面PBD．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）由線面角先算出母線長(zhǎng)，然后根據(jù)側(cè)面積公式求解.（2）證明平面平面，然后根據(jù)面面平行的性質(zhì)可得.【小問1詳解】由題知，，即軸截面是等邊三角形，故，底面周長(zhǎng)為，則側(cè)面積為：;【小問2詳解】由題知，則根據(jù)中位線性質(zhì)，，又平面，平面，則平面由于，底面圓半徑是，則，又，則，又，則為等邊三角形，則，于是且，則四邊形是平行四邊形，故，又平面，平面，故平面.又平面，根據(jù)面面平行的判定，于是平面平面，又，則平面，則平面19.已知．（1）若，求不等式的解集；（2）若函數(shù)滿足在上存在極大值，求m的取值范圍；【答案】（1）（2）且.【解析】【分析】（1）先求出，從而原不等式即為，構(gòu)建新函數(shù)，由該函數(shù)為增函數(shù)可求不等式的解；（2）求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)，就分類討論后可得參數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】因?yàn)?，故，故，故，故即為，設(shè)，則，故在上為增函數(shù)，而即為，故，故原不等式的解為.【小問2詳解】在有極大值即為有極大值點(diǎn).，若，則時(shí)，，時(shí)，，故為的極小值點(diǎn)，無極大值點(diǎn)，故舍；若即，則時(shí)，，時(shí)，，故為的極大值點(diǎn)，符合題設(shè)要求；若，則時(shí)，，無極值點(diǎn)，舍；若即，則時(shí)，，時(shí)，，故為的極大值點(diǎn)，符合題設(shè)要求；綜上，且.20.已知橢圓，，A是的右頂點(diǎn)．（1）若的焦點(diǎn)，求離心率e；（2）若，且上存在一點(diǎn)P，滿足，求m；（3）已知AM的中垂線l的斜率為2，l與交于C、D兩點(diǎn)，為鈍角，求a的取值范圍．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由方程可得，再由焦點(diǎn)坐標(biāo)得，從而求出得離心率；（2）設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，由向量關(guān)系坐標(biāo)化可解得坐標(biāo)，代入橢圓方程可得；（3）根據(jù)中垂線性質(zhì)，由斜率與中點(diǎn)坐標(biāo)得直線方程，聯(lián)立直線與橢圓方程，將鈍角條件轉(zhuǎn)化為向量不等式，再坐標(biāo)化利用韋達(dá)定理代入化簡(jiǎn)不等式求解可得范圍.【小問1詳解】由題意知，，則，由右焦點(diǎn)，可知，則，故離心率.【小問2詳解】由題意，由得，，解得，代入，得，又，解得.【小問3詳解】由線段中垂線的斜率為，所以直線的斜率為，則，解得，由得中點(diǎn)坐標(biāo)為，故直線，顯然直線過橢圓內(nèi)點(diǎn)，故直線與橢圓恒有兩不同交點(diǎn)，設(shè)，由消得，由韋達(dá)定理得，因?yàn)闉殁g角，則，且，則有，所以，即，解得，又，故，即的取值范圍是.21.已知函數(shù)的定義域?yàn)椋畬?duì)于正實(shí)數(shù)a，定義集合．（1）若，判斷是否是中的元素，請(qǐng)說明理由；（2）若，求a的取值范圍；（3）若是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，且對(duì)任意，均有．寫出，解析式，并證明：對(duì)任意實(shí)數(shù)c，函數(shù)在上至多有9個(gè)零點(diǎn)．【答案】（1）不是；（2）；（3）證明見解析.【解析】【分析】（1）直接代入計(jì)算和即可；（2）法一：轉(zhuǎn)化為在實(shí)數(shù)使得，分析得，再計(jì)算得，最后根據(jù)的范圍即可得到答案；法二：畫出函數(shù)圖象，轉(zhuǎn)化為直線與該函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)，將用表示，最后利用二次函數(shù)函數(shù)性質(zhì)即可得到答案；（3）利用函數(shù)奇偶性和集合新定義即可求出時(shí)解析式，再分析出，最后對(duì)的范圍進(jìn)行分類討論即可.【小問1詳解】（1），，則不是中的元素.【小問2詳解】法一：因?yàn)?，則存在實(shí)數(shù)使得，且，當(dāng)時(shí)，，其在上嚴(yán)格單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，其在上也嚴(yán)格單調(diào)遞增，則，則，令，解得，則，則.法二：作出該函數(shù)圖象，則由題意知直線與該函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)，由圖知，假設(shè)交點(diǎn)分別為，，聯(lián)立方程組得【小問3詳解】（3）對(duì)任意，因?yàn)槠涫桥己瘮?shù)，則，而，所以，所以，因?yàn)?，則，所以，所以，所以當(dāng)時(shí)，，，則，，則，而，，則，則，所以當(dāng)時(shí)，，而為偶函數(shù)，畫出函數(shù)圖象如下：其中，但其對(duì)應(yīng)的值均未知.首先說明，若，則，易知此時(shí)，則，所以，而時(shí)，，所以，與矛盾，所以，即，令，則，當(dāng)時(shí)，即使讓，此時(shí)最多7個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，若，此時(shí)有5個(gè)零點(diǎn)，故此時(shí)最多5個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，若，此時(shí)有5個(gè)零點(diǎn)，故此時(shí)最多5個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，若，此時(shí)有3個(gè)零點(diǎn)，若，則，易知此時(shí)，則，所以，而時(shí)，，所以，與矛盾，所以，則最多在之間取得6個(gè)零點(diǎn)，以及在處成為零點(diǎn)，故不超過9個(gè)零點(diǎn).綜上，零點(diǎn)不超過9個(gè).2025年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（天津卷回憶版）數(shù)學(xué)本試卷分第1卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試用時(shí)120分鐘.第1卷1至3頁(yè)第Ⅱ卷4至6頁(yè).答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在答題卡上，并在規(guī)定位置粘貼考試用條形碼.答卷時(shí)，考生務(wù)必將答案涂寫在答題卡上，答在試卷上的無效.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.在天津考生獲取更多學(xué)習(xí)資料祝各位考生考試順利！第I卷（選擇題）注意事項(xiàng)：1．每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).2．本卷共9小題，每小題5分，共45分.參考公式：·如果事件互斥，那么·如果事件相互獨(dú)立，那么·棱柱的體積公式，其中S表示棱柱的底面面積，h表示棱柱的高．·圓錐的體積公式，其中S表示圓錐的底面面積，h表示圓錐的高．一、選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由集合的并集、補(bǔ)集的運(yùn)算即可求解.【詳解】由，則，集合，故故選：D.2.設(shè)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】通過判斷是否能相互推出，由充分條件與必要條件的定義可得.【詳解】由，則“”是“”的充分條件；又當(dāng)時(shí)，，可知，故“”不是“”的必要條件，綜上可知，“”是“”的充分不必要條件.故選：A.3.已知函數(shù)的圖象如下，則的解析式可能為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先由函數(shù)奇偶性排除AB，再由時(shí)函數(shù)值正負(fù)情況可得解.【詳解】由圖可知函數(shù)為偶函數(shù)，而函數(shù)和函數(shù)為奇函數(shù)，故排除選項(xiàng)AB；又當(dāng)時(shí)，此時(shí)，由圖可知當(dāng)時(shí)，，故C不符合，D符合.故選：D4.若m為直線，為兩個(gè)平面，則下列結(jié)論中正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】C【解析】【分析】根據(jù)線面平行的定義可判斷A的正誤，根據(jù)空間中垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化可判斷BCD的正誤.【詳解】對(duì)于A，若，則可平行或異面，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，兩條平行線有一條垂直于一個(gè)平面，則另一個(gè)必定垂直這個(gè)平面，現(xiàn)，故，故C正確；對(duì)于D，，則與可平行或相交或，故D錯(cuò)誤；故選：C.5.下列說法中錯(cuò)誤的是（）A.若，則B.若，，則C.越接近1，相關(guān)性越強(qiáng)D.越接近0，相關(guān)性越弱【答案】B【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)分布以及相關(guān)系數(shù)的概念直接判斷即可.【詳解】對(duì)于A，根據(jù)正態(tài)分布對(duì)稱性可知，，A說法正確；對(duì)于B，根據(jù)正態(tài)分布對(duì)稱性可知，，B說法錯(cuò)誤；對(duì)于C和D，相關(guān)系數(shù)越接近0，相關(guān)性越弱，越接近1，相關(guān)性越強(qiáng)，故C和D說法正確.故選：B6.，則數(shù)列的前項(xiàng)和為（）A.112 B.48 C.80 D.64【答案】C【解析】【分析】先由題設(shè)結(jié)合求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再結(jié)合數(shù)列各項(xiàng)正負(fù)情況即可求解.【詳解】因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，經(jīng)檢驗(yàn)，滿足上式，所以，令，，設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則數(shù)列的前項(xiàng)和為數(shù)列的前項(xiàng)和為.故選：C7.函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合零點(diǎn)存在性定理計(jì)算即可.【詳解】由指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的單調(diào)性可知：在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以在定義域上單調(diào)遞減，顯然，所以根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可知的零點(diǎn)位于.故選：B8.，在上單調(diào)遞增，且為它的一條對(duì)稱軸，是它的一個(gè)對(duì)稱中心，當(dāng)時(shí)，的最小值為（）A. B. C.1 D.0【答案】A【解析】【分析】利用正弦函數(shù)的對(duì)稱性得出，根據(jù)單調(diào)性得出，從而確定，結(jié)合對(duì)稱軸與對(duì)稱中心再求出，得出函數(shù)解析式，利用整體思想及正弦函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】設(shè)最小正周期為，根據(jù)題意有，，由正弦函數(shù)的對(duì)稱性可知，即，又在上單調(diào)遞增，則，∴，則，∵，∴時(shí)，，∴，當(dāng)時(shí)，，由正弦函數(shù)的單調(diào)性可知.故選：A9.雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，以右焦點(diǎn)為焦點(diǎn)的拋物線與雙曲線交于另一象限點(diǎn)為P，若，則雙曲線的離心率（）A.2 B.5 C. D.【答案】A【解析】【分析】利用拋物線與雙曲線的定義與性質(zhì)得出，根據(jù)勾股定理從而確定P的坐標(biāo)，利用點(diǎn)在雙曲線上構(gòu)造齊次方程計(jì)算即可.【詳解】根據(jù)題意可設(shè)，雙曲線的半焦距為，，則，過作軸的垂線l，過作l的垂線，垂足為A，顯然直線為拋物線的準(zhǔn)線，則，由雙曲線的定義及已知條件可知，則，由勾股定理可知，易知，即，整理得，∴，即離心率為2.故選：第Ⅱ卷（非選擇題）注意事項(xiàng)：1．用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案寫在答題卡上．2．本卷共11小題，共105分．二、填空題：本大題共6個(gè)小題，每小題5分，共30分．10.已知i是虛數(shù)單位，則________．【答案】【解析】【分析】先由復(fù)數(shù)除法運(yùn)算化簡(jiǎn)，再由復(fù)數(shù)模長(zhǎng)公式即可計(jì)算求解.【詳解】先由題得，所以.故答案為：11.在的展開式中，項(xiàng)的系數(shù)為________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理相關(guān)知識(shí)直接計(jì)算即可.【詳解】展開式的通項(xiàng)公式為，當(dāng)時(shí)，，即展開式中的系數(shù)為.故答案為：12.，與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，與交于C、D兩點(diǎn)，，則_________．【答案】2【解析】【分析】先根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式得出，再計(jì)算出圓心到直線的距離，根據(jù)弦長(zhǎng)公式列等式求解即可.【詳解】因?yàn)橹本€與軸交于，與軸交于，所以，所以，圓的半徑為，圓心到直線的距離為，故，解得；故答案為：2.13.小桐操場(chǎng)跑圈，一周2次，一次5圈或6圈.第一次跑5圈或6圈的概率均為0．5，若第一次跑5圈，則第二次跑5圈的概率為0．4，6圈的概率為0．6；若第一次跑6圈，則第二次跑5圈的概率為0．6，4圈的概率為0．4．小桐一周跑11圈的概率為________；若一周至少跑11圈為動(dòng)量達(dá)標(biāo)，則連續(xù)跑4周，記合格周數(shù)為X，則期望_______【答案】①.②.【解析】【分析】先根據(jù)全概率公式計(jì)算求解空一，再求出概率根據(jù)二項(xiàng)分布數(shù)學(xué)期望公式計(jì)算求解.【詳解】設(shè)小桐一周跑11圈為事件A，設(shè)第一次跑5圈為事件，設(shè)第二次跑5圈為事件，則；若至少跑11圈為運(yùn)動(dòng)量達(dá)標(biāo)為事件，，所以，；故答案為：；14.中，D為AB邊中點(diǎn)，，則______（用，表示），若，，則_______【答案】①.；②.【解析】【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算求解即可空一，應(yīng)用數(shù)量積運(yùn)算律計(jì)算求解空二.【詳解】如圖，因?yàn)?，所以，所以．因?yàn)镈為線段的中點(diǎn)，所以；又因?yàn)椋?，，所以所以，所以．故答案為：?15.若，對(duì)，均有恒成立，則的最小值為_______【答案】【解析】【分析】先設(shè)，根據(jù)不等式的形式，為了消可以取，得到，驗(yàn)證時(shí)，是否可以取到，進(jìn)而判斷該最小值是否可取即可得到答案.【詳解】設(shè)，原題轉(zhuǎn)化為求的最小值，原不等式可化為對(duì)任意的，，不妨代入，得，得，當(dāng)時(shí)，原不等式可化為，即，觀察可知，當(dāng)時(shí)，對(duì)一定成立，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，此時(shí)，，說明時(shí)，均可取到，滿足題意，故的最小值為.故答案為：三、解答題：本大題共5小題，共75分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．16.在中，角的對(duì)邊分別為．已知，，．（1）求A的值；（2）求c的值；（3）求的值．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由正弦定理化邊為角再化簡(jiǎn)可求；（2）由余弦定理，結(jié)合（1）結(jié)論與已知代入可得關(guān)于的方程，求解可得，進(jìn)而求得；（3）利用正弦定理先求，再由二倍角公式分別求，由兩角和的正弦可得.【小問1詳解】已知，由正弦定理，得，顯然，得，由，故；【小問2詳解】由（1）知，且，，由余弦定理，則，解得（舍去），故；【小問3詳解】由正弦定理，且，得，且，則為銳角，故，故，且；故.17.正方體的棱長(zhǎng)為4，分別為中點(diǎn)，．（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值；（3）求三棱錐的體積．【答案】（1）證明見解析（2