山西省太原市常青藤中學(xué)校、朔州市平魯區(qū)李林中學(xué)2024?2025學(xué)年高一下學(xué)期聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．復(fù)數(shù)的虛部是（

）A．i B． C．1 D．2．已知向量，若∥，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．2 B． C．8 D．3．在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，若，，，則的面積為（

）A． B． C． D．4．以邊長(zhǎng)為6的正方形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將該正方形旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的側(cè)面積為（

）A． B． C． D．5．已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且滿足的三角形有兩個(gè)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．6．在中，角的對(duì)邊分別是，若，則（

）A．2 B．3 C． D．7．結(jié)合圖示，某坡度為的看臺(tái)上，同一列的第一排和最后一排測(cè)得地標(biāo)建筑頂部的仰角為和，第一排和最后一排的距離為60m，則建筑的高度為（

）A． B． C．90m D．8．已知三內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且，若角的平分線交于點(diǎn)，且，則的最小值為A． B． C． D．二、多選題9．下列說(shuō)法正確的有（

）A．用斜二測(cè)畫法畫出邊長(zhǎng)為2的正方形的直觀圖，則直觀圖的面積為B．棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是平行四邊形C．兩個(gè)底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺(tái)D．以直角三角形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐10．已知是復(fù)數(shù)，i為虛數(shù)單位，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，則 B．C．是的充要條件 D．若，則中至少有一個(gè)為011．是的外心，是所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的外接圓半徑為B．在方向上的投影向量等于C．D．的最小值為三、填空題12．若正四棱臺(tái)的上底面邊長(zhǎng)為2，下底面邊長(zhǎng)為4，且高為1，則其體積為.13．如圖，點(diǎn)分別是直角三角形的邊上的點(diǎn)，斜邊與扇形的弧相切，已知，則陰影部分繞直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體的體積為.14．如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為2，若K為棱的中點(diǎn)，過(guò)A，C，K三點(diǎn)作正方體的截面，則截面的周長(zhǎng)為．

四、解答題15．已知復(fù)數(shù)．（1）若，求；（2）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量分別是，其中是原點(diǎn)，求的大?。?6．記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知向量，，且.(1)求；(2)若的面積為，且，求.17．如圖，在平面四邊形中，，，，．（1）求四邊形的周長(zhǎng)；（2）求四邊形的面積．18．已知分別為三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，且.（1）求；（2）若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍.19．高一年級(jí)舉辦立體幾何模型制作大賽，某同學(xué)想制作一個(gè)頂部是正四棱錐、底部是正四棱柱的模型，并畫出了如圖所示的直觀圖.其中正四棱柱.的高是正四棱錐.的高的4倍.（1）若；(i)求該模型的體積；(ii)求頂部正四棱錐的側(cè)面積；（2）若頂部正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為6，當(dāng)為多少時(shí)，底部正四棱柱的側(cè)面積S最大?并求出S的最大值.

參考答案1．【答案】C【詳解】由復(fù)數(shù)，根據(jù)復(fù)數(shù)的定義，可得復(fù)數(shù)的虛部為.故選C.2．【答案】B【詳解】由題意，向量，因?yàn)椤?，可得，解?故選B.3．【答案】A【詳解】因?yàn)?，，，所以，因?yàn)椋?，所?故選A4．【答案】D【詳解】由題意可得所得幾何體為圓柱體，底面半徑，高，側(cè)面積，故選D.5．【答案】D【詳解】在中，，由有兩解，得，即，解得，所以的取值范圍為.故選D6．【答案】A【詳解】因?yàn)椋烧叶ɡ?，可得，所以，又因?yàn)?，所以，所以，又由正弦定理，可得，即因?yàn)?，所?故選A.7．【答案】A【詳解】如圖所示，由題意，則，在中，因?yàn)?，所以，在中，，所以建筑的高度?故選A.8．【答案】C【詳解】由及正弦定理，得，因?yàn)?，，所以，即，因?yàn)椋?如圖，，所以，所以，即，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為.故選C.9．【答案】AB【詳解】對(duì)于A，直觀圖的面積為，故A正確；對(duì)于B，棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是平行四邊形，正確；對(duì)于C，兩個(gè)底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體不一定是棱臺(tái)，因?yàn)槠鋫?cè)棱延長(zhǎng)線不一定交于一點(diǎn)，故錯(cuò)誤；對(duì)于D，以直角三角形的斜邊為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是兩個(gè)圓錐的組合體，故錯(cuò)誤．故選AB10．【答案】BD【詳解】若，則可以為，故A錯(cuò)；設(shè)，，，則，，所以，，故B正確；當(dāng)，時(shí)，為虛數(shù)，不能比較大小，故C錯(cuò)；，則，解得或，故D正確.故選BD.11．【答案】AC【分析】利用余弦定理及正弦定理求外接圓的半徑，計(jì)算與比較即可判斷，利用坐標(biāo)系來(lái)求解，通過(guò)數(shù)形結(jié)合，理解當(dāng)，重合時(shí)，，取最小值．【詳解】A．由余弦定理得：，解得：，根據(jù)正弦定理：，解得：，故正確；B．，，所以在方向上的投影向量等于，故錯(cuò)誤；C．建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)E為中點(diǎn)，D為C在x軸上的射影，，，，，，，，故正確；D．取的中點(diǎn)，連結(jié)，，取中點(diǎn)，則，，則，則，，當(dāng)，重合時(shí)，，取最小值，故錯(cuò)誤，故選AC．12．【答案】【詳解】體積.13．【答案】【詳解】在中，，則，由斜邊與扇形的弧相切，扇形半徑，陰影部分繞直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體是繞直線旋轉(zhuǎn)一周所得圓錐，挖去扇形弧繞直線旋轉(zhuǎn)一周所得半球，所以所求體積為.14．【答案】/【詳解】如圖，取的中點(diǎn)，連接，則，則在正方體中，，所以四邊形是平行四邊形，所以，又，所以，則四邊形即為過(guò)A，C，K三點(diǎn)截面，因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為2，所以，，，則其周長(zhǎng)為.

15．【答案】（1）（2）【詳解】（1）（2）依題意向量于是有為與的夾角，，16．【答案】(1)；(2).【詳解】（1）由題意知，，由正弦定理得，因?yàn)椋?，則，即，又，所以.（2）因?yàn)榈拿娣e為，解得，所以，由余弦定理得，所以.17．【答案】（1）（2）【詳解】（1）因?yàn)?，，所以，在中，由余弦定理得，所以，在中，由余弦定理得，所以，解得，所以四邊形的周長(zhǎng)為；（2）因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以四邊形的面積為．18．【答案】（1）（2）【詳解】（1）根據(jù)正弦定理，可化為，由.因，所以，故有，即有，因?yàn)?，所以，故有，所?（2）因?yàn)闉殇J角三角形，由（1）已得，則有，解得.由正弦定理可得，所以有，所以，因?yàn)椋?，所以，所以面積的取值范圍是.19．【答案】（1）（i）312；