一維非定常連續(xù)流動

一維非定常流動是指氣流的速度和熱力學參數(shù)僅與時間，和一個

坐標變量X有關的流動，也就是說，在某一時刻，在任何一個垂直于

X軸的平面上，氣流的速度和熱力學參數(shù)是不變的。它包括連續(xù)流（等

埔波）和間斷流（激波、接觸面）。下面主要介紹連續(xù)流。

在進行討論之前，首先假定氣體為常比熱完全氣體（或稱量熱完

全氣體），忽略氣流的粘性和熱傳導作用，流動過程是等端的。

作為理解非定常連續(xù)流動的基礎，首先介紹小擾動波的產(chǎn)生，傳

播及其簡化分析。

一、小擾動波

1.產(chǎn)生

小擾動是指氣流的速度和熱力學參量的相對變化量都很小，例如

聲波就是一種小擾動波，它以聲速傳播，因此，通常人們把小擾動在

介質(zhì)中的傳播速度稱為聲速。對介質(zhì)的擾動形式有很多，但總歸起來

不外乎速度不匹配和壓力不平衡。下面將要介紹的是由于活塞運動引

起速度不匹配所產(chǎn)生的波。

在一個等截面無限長的圓管中，初始時刻，活塞及其兩邊的氣體

處于靜止狀態(tài)。設活塞在很短的時間內(nèi)，速度增加至duQ此后，它

以勻速向右運動。這時，活塞左右兩邊的氣體同時受到一個微弱的擾

動：右邊的氣體被壓縮，左邊的氣體變得稀疏，其效果以小擾動波的

形式向兩邊傳播。這種波通過以后，波后氣體均以活塞的速度向右運

動。同時，右邊氣體壓力增加一個微量dp,左邊氣體減小一個微量

dp,這兩種波分別稱為小擾動壓縮波和小擾動稀疏波。

上述兩類小擾動波得傳播過程在（X,/）圖上的圖示法如下

壓縮波通過以后，波后氣流速度方向與波面?zhèn)鞑シ较蛞恢?，質(zhì)點

跡線靠近波面跡線；稀疏波通過以后，波后氣流速度方向與波面?zhèn)鞑?/p>

方向相反，質(zhì)點跡線偏離波面跡線。對于運動的氣體，壓縮波后氣體

被加速，稀疏波后氣體被減速。

取1-1)

2.傳播

定義向右為X軸的正方向，如果氣體本身以〃（代數(shù)值）的速度

在運動，則波的傳播速度為

dx

77=u±Q

dt（1-1）

定義以速度（〃+。）傳播的波為“右行波"，以速度傳播的波八41.

行波”。對于右行波而言，氣體質(zhì)點一定從右邊（X軸正向）進入波

陣面，對于左行波而言，氣體質(zhì)點一定從左邊（X軸負向）進入波陣

面。

2.小擾動波的簡化物理分析

以一道右行小擾動波為例進行分析。把坐標系取在波陣面上，則

變成駐波，波前的氣體以(/)的速度流進波面，而波后的氣體以(/+小，)

的速度流出波面。

圖(1-2)

由連續(xù)性方程

p(-Q)=(p+dp)(-Q+du)

略去二階小量，得”2)

dpdu

T=~(,-3)

小擾動波是一種等焰波，滿足下列關系式：p=cpY,p=p/?r和

2

a=YRTo其微分形式為：

dpIdp1dT2da

pYPy-1Ty-1a(I-4)

代入上式，可得

2

du=---da

Y-1(1-5)

對于左行波，則有

2

du------da

y-1d-6)

二、特征線方法

在可壓縮流體中，有限幅值連續(xù)波流動所滿足的方程一般是一組

非線性偏微分方程，不能再采用小擾動線化方法，否則，將造成較大

的誤差。特征線法根據(jù)數(shù)學上特征線所具有的性質(zhì)，運用數(shù)值解法或

者圖解法，為解決這類問題提供了一種比較簡便而實用的計算方法。

1.基本方程

連續(xù)性方程，在等截向管中

?P?

帝+方(P")=°

(2-1)

動量方程，在忽略體積力和粘性力情況下

?u?ul?p

—+u—=---(2-2)

?t?xp?x

能量方程，忽略粘性和熱傳導作用，流動過程是等牖的，熱力學

第二定律可寫成

?s?s

—+u—=0

(2-3)

狀態(tài)方程，對于多方氣體來說，等場關系為

P=CpY（2-4）

有時為了便于應用，可將方程改寫成統(tǒng)一用〃，4,S參量表〃、心

形式。

?a?ay-1?u

-—I-u-—Ia--=0(2-5)

?t?x2?x

?u?u2a?Qa2Is

—+u—+---------(2-6)

?t?xY-1?%

?s?s

--I-u~-=0

?t?x(2-7)

2.特征線及其相容關系

假定上述方程組和（X,f）平面內(nèi)沿著某一曲線工。=”。（￡）上各點的

〃0,。0,So的值已知，如果不能單值地決定曲線“。=%。（￡）附近任意點

的〃，。，S的值，則表示“。（￡）是弱間斷線，它就是所求的特征線。

特征線及其相容關系為

第一族特征線

j=U+Q(2-8)

2a

du+da-ds(2.9)

y-1yR

第二族特征線

=Ua

(S2-(MO)

du-da--ds(211)

Y-1YR

第三族特征線

偌卜u。-⑵

ds=0（2-13）

從公式可以看出，氣體的流速和熱力學參數(shù)的擾動沿著第一?代

第二族特征線以音速傳播。燧的擾動沿著第三族特征線傳播，而第三

族特征線就是流體質(zhì)點的運動軌跡，這就表明，對于某一個流體質(zhì)點

而言，在運動過程中焙值保持不變。

在均炳條件下，?F=0,57=0,因而，在全流場的任何時刻都有

心=0。因此第三族特征線已經(jīng)失去意義，第一族和第二族特征線簡

化為：

第一族特征線

(2-14)

2(2-15)

du+-------da=0

Y-1

第二族特征線

(2-16)

2(2-17)

du---------da=0

Y-1

此時特征線相容關系可以直接積分

2

u+-------a=KI(2-18)

r-1

2(2-19)

式中Ki和K2稱為黎曼不變量。

1和（箸）2代表。平面上的兩族特征線，稱為物理平面上的特征

線，見圖（l-3a）；K1和K2在（“，4）平面上構(gòu)成兩族特征線，稱為狀態(tài)

平面特征線，見圖（l-3b）。在（x,f）平面上，第一族特征線中的每一根，

對應于一個確定的Ki值，第二族特征線中的每一根對應于一個確定的

心值。物理平面特征線表達了小擾動波的位置隨時間的變化關系，也

就是小擾動波波陣面的運動跡線。其中，第一族特征線對應于右行波，

第二族特征線對應于左行波。不過，此時的人4均不是常數(shù)。

圖（1-3）

在不同的位置x和時IF，，〃e”是不同的，可以應用節(jié)點法求

解流場中氣流的速度和音速。

圖（14）

根據(jù)Ki和心是否為絕對常數(shù)，可以把一維非定常均焙流動分為

三類：

第一類：Ki和心均為絕對常數(shù)（Ki。和心0）,此時〃和。均為常數(shù)。

第二類：Ki和心中有一個為絕對常數(shù)，稱為簡單波流動，這是流場

中只有單向傳播的波。

第三類：Ki和Kz均不是絕對常數(shù)，稱為雙波流。在流場中既有左行

波，也有右行波。

三、簡單波

假定黎曼不變量之一七在整個波區(qū)為絕對常數(shù)以0,可以得到

u=K1+-20（3.1）

r-1

Q=F—（K1—K20）

4（3-2）

由于沿著第一族特征線，K1保持不變，可知沿著第一族特征線流動參

數(shù)〃和。等均為常數(shù)。

dx

Zy="+Q=常數(shù)（3-3）

由此可以斷定，第一族特征線一定是直線，沿著這一族特征線的任何

一根，流動參量保持不變，整個簡單波流場只需用（”，。）平面上的一

根特征線表示。

1.簡單波的產(chǎn)生和分類

簡單波是由無窮多道小擾動波迭加而成的。在圖（1?5）所示的一根

兩端敞開的無限長管中，活塞在靜止氣體中向右持續(xù)加速。活塞右邊

不斷產(chǎn)生小擾動壓縮波，當無窮多道壓縮波通過后，波后氣體壓力、

音速和質(zhì)點速度便增加一個有限量。對于石行簡單壓縮波而言，日于

小擾動壓縮波連續(xù)通過時，后面壓縮波的傳播速度一定比前面的塊，

因而波面跡線（第一族特征線）為一族收斂的直線。

圖（1-5）

同時，在活塞左邊，立次J工，J7外動稀疏波，波面跡線（第二族

特征線）為一族發(fā)散的直線。

圖（1-5）中各畫出了四道小擾動壓縮波和稀疏波的產(chǎn)生過程，其中

1-4是一段曲線，表示活塞的加速過程，4點以后為直線，表示活塞

作勻速運動，沒有非定常波產(chǎn)生。

簡單波大致可分為四類：右行稀疏波，右行壓縮波，左行稀疏波

和左行壓縮波。

2.簡單波的基本關系

跨過簡單波波面跡線時氣體參數(shù)之間的關系如下:

對于右行波

%=(〃+Q)t+/'(U)

2(3-4)

.a-KO

y-12(3-5)

對于左行波

%=(u-a)t4-/(u)

2(3-6)

u+a-K

K-110(3-7)

/(")是速度的任意函數(shù)。

若已知簡單波波前氣流參數(shù)⑷和求波后參數(shù)時，由K】?；騅20

為常數(shù)可得

22

,_鏟一"「鏟1(3-8)

整理后得到

Qy-1u-ui

—=1±F—(------)⑶力

Q12Q]

如果波前氣體是靜止的，3=0,則有

2=1+丫_1“(3-io)

ai.2ai

“十”號表示右行波，“-”號表示左行波。

對于波后氣流的溫度、壓力和密度變化，利用等端關系得

二_(2；(3-11)

2y

pay-i(3-12)

一=(一)

piai

2

pay-i(3-13)

*=(二

四、中心稀疏波

在一維非定常簡單波中，有一種比較特殊的情況，就是所謂“中

心稀疏波”。它的一個重要特點是流場中的速度〃和音速。等參數(shù)不

是單獨地依賴于X和，，而是依賴于它們的組合參數(shù)X",這種運動通

常稱為“一維自模擬運動”。

1.中心稀疏波的產(chǎn)生

假定活塞由靜止突然向右加速至某一均勻速度，那么，在圖中，

活塞跡線1-4的長度便縮短為零，即圖(1-6)。由圖可見，由于活塞突

然加速，在f)圖的坐標原點發(fā)出的所有壓縮波匯聚成一道運動激

波，向右傳播。在活塞左邊，同樣由坐標原點發(fā)出一束左行稀疏波，

把它稱為中心稀疏波。波頭與波尾之間的區(qū)域稱為中心稀疏波區(qū)，波

尾與活塞之間的區(qū)域?qū)儆诰鶆騾^(qū)，在該區(qū)中氣流通過中心稀疏波區(qū)以

后，被等燧地加速到等于活塞的速度；可以是亞音速的，等音速的，

也可以是超音速的，究竟屬于哪一種情況，完全由活塞的速度決定。

圖(1-6)

若要求通過稀疏波以?/口，L阿坯度等于音速(〃=。)，所需活塞

的速度大小由方程(2-15)在波頭和波尾之間積分來確定，即

2

du=----da〃_i、

-1

f"du=2

f\a(4-2)

J叫r-1JA

所以

2

UP=U=廠廠鏟1(4-3)

當活塞速度作即時，波后氣流將被加速到超音速，但是由于極

2

限速度的存在，波后氣流速度最大只能被加速到〃max=(逃逸速

度)。使波后氣流速度達到逃逸速度的稀疏波稱為“完全膨脹的稀疏

波”。

2.中心稀疏波的基本關系式

中心稀疏波是簡單波的一種特殊形式，因此，只要令簡單波關系

式中的任意函數(shù)/(〃)=0,即可得到中心稀疏波的相應關系式。

對于右行波