高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1內(nèi)蒙古赤峰市2025屆高三下學(xué)期4.20模擬考試數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題滿分5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，選對(duì)得5分，選錯(cuò)得0分．1.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意得，∴，故選：D．2.在等差數(shù)列中，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，故選：D3.已知函數(shù)，，則（）A.2 B.e C.3 D.【答案】B【解析】由解析式可得：，所以，所以，故選：B4.在的展開(kāi)式中，的系數(shù)為15，則的值為（）A.6 B.5 C.4 D.3【答案】A【解析】二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，因?yàn)榈南禂?shù)為15，所以，解得，.故選：A.5.如圖，一個(gè)質(zhì)量為的木塊靜止在與水平面成的斜坡上，已知重力加速度，重力方向豎直向下，以水平向右為軸，豎直向上為軸建立平面直角坐標(biāo)系，那么重力在斜面正方向（斜面向下為正方向）上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】為了方便運(yùn)算，不妨以直角三角形的直角頂點(diǎn)為坐標(biāo)頂點(diǎn)，因?yàn)?，則不影響一般性可設(shè)，則，，則，取，則重力在斜面正方向（斜面向下為正方向）上的投影向量為.故選：C6.已知函數(shù)滿足：①在上單調(diào)遞增；②，都有；③是偶函數(shù)，且，則的表達(dá)式為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由函數(shù)滿足，可得為指數(shù)函數(shù)型，可排除C、D項(xiàng)；又由是偶函數(shù)，且，對(duì)于A中，若，則滿足，函數(shù)為偶函數(shù)，且，不符合題意，舍去；對(duì)于B中，若，則滿足，函數(shù)偶函數(shù)，且，符合題意.故選：B.7.已知雙曲線，若直線與沒(méi)有公共點(diǎn)，則的離心率的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵漸近線方程為且的斜率為，∴，則，∴離心率，又∵，則離心率的取值范圍為.故選：C8.已知函數(shù)與的圖象相鄰三個(gè)交點(diǎn)構(gòu)成的三角形為直角三角形，則此三角形面積為（）A. B. C.2 D.3【答案】D【解析】先求交點(diǎn)，對(duì)于，有：，即，解得，.再確定相鄰三個(gè)交點(diǎn)，取相鄰三個(gè)整數(shù)，當(dāng)時(shí)，得到交點(diǎn).當(dāng)時(shí)，得到交點(diǎn).當(dāng)時(shí)，得到交點(diǎn).最后判定直角三角形，已知向量，.根據(jù)向量點(diǎn)積的坐標(biāo)運(yùn)算公式：所以.令，即.解得所以，同理.因?yàn)樵撊切螢橹苯侨切危覂蓷l直角邊長(zhǎng)度都為.所以該三角形面積.故選：D..二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題滿分6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.一組數(shù)據(jù)，，，，滿足，若去掉，后組成一組新數(shù)據(jù)，則新數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)相比（）A.極差變小 B.平均數(shù)變大 C.方差變小 D.第25百分位數(shù)變小【答案】AC【解析】由于，故，A選項(xiàng)，原來(lái)極差為，去掉，后，極差為，極差變小，A正確；B選項(xiàng)，原來(lái)的平均數(shù)為，去掉，后的平均數(shù)為，平均數(shù)不變，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，原來(lái)的方差為，去掉，后的方差為，方差變小，C正確；D選項(xiàng)，，從小到大排列，選第3個(gè)數(shù)作為第25百分位數(shù)，即，去掉，后，，故從小到大排列，選擇第2個(gè)數(shù)和第3個(gè)數(shù)的平均數(shù)作為第25百分位數(shù)，即，由于，第25百分位數(shù)變大，D錯(cuò)誤．故選：AC10.將一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形鐵片的四角截去四個(gè)邊長(zhǎng)均為的小正方形，做成一個(gè)無(wú)蓋方盒，方盒的容積為，則下列說(shuō)法正確的是（）A.（）B.方盒容積的最大值為C.在區(qū)間上單調(diào)遞增D.當(dāng)時(shí)，【答案】ABD【解析】由題意可知，無(wú)蓋方盒底面是邊長(zhǎng)為的正方形，高為.根據(jù)長(zhǎng)方體體積公式，可得方盒容積，展開(kāi)可得：因?yàn)橐茏龀蔁o(wú)蓋方盒，則且，即，所以，故A選項(xiàng)正確.對(duì)求導(dǎo)，可得：令，即，解得，.因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.則在處取得極大值，也是最大值，，故B選項(xiàng)正確.由上述求導(dǎo)分析可知，當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤.當(dāng)時(shí)，.易知.所以，，，，.一共有組和為的數(shù)對(duì)，再加上，則，故D選項(xiàng)正確.故選：ABD.11.如圖，棱長(zhǎng)為2的正方體，為底面的中心，為側(cè)面的中心，是線段上的動(dòng)點(diǎn)，為內(nèi)（含邊界）的動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.平面 B.C.最小值為 D.三棱錐的外接球的體積為【答案】ABC【解析】對(duì)于A，以為原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.已知正方體棱長(zhǎng)為，則各點(diǎn)坐標(biāo)為：，，，，.可得.設(shè)平面的法向量為，，.由，即，令，解得，，所以.因?yàn)?，所以，又平面，所以平?故A正確.對(duì)于B，，，則.設(shè)，，則..由于在平面上，平面的方程可由法向量和點(diǎn)得到，即，所以，則.故B正確.對(duì)于C，先求關(guān)于平面對(duì)稱(chēng)點(diǎn).在中，已知，，根據(jù)余弦定理.再在中，已知、條件，代入余弦定理公式可算出，即，所以最小值是.故C正確.對(duì)于D，三棱錐的外接球就是正方體的外接球.正方體棱長(zhǎng)為，則外接球的直徑，所以半徑.根據(jù)球的體積公式，可得外接球體積，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．把答案填在答題卡中的橫線上．12.經(jīng)過(guò)點(diǎn)，的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)____．【答案】【解析】已知橢圓經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn).點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在軸上，且，所以橢圓的焦點(diǎn)在軸上.對(duì)于焦點(diǎn)在軸上的橢圓，其標(biāo)準(zhǔn)方程為（），因?yàn)闄E圓過(guò)點(diǎn)，所以；橢圓過(guò)點(diǎn)，所以.將，代入橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中，可得，即.故答案為：.13.已知二次函數(shù)的圖象是拋物線，則其焦點(diǎn)坐標(biāo)是_____．【答案】【解析】是由，即右移一個(gè)單位，再向上移動(dòng)一個(gè)單位得到，則原焦點(diǎn)平移后變?yōu)?故答案為：.14.已知數(shù)列滿足，，表示不超過(guò)的最大整數(shù)，則_____．【答案】0【解析】由已知，，所以數(shù)列為正項(xiàng)數(shù)列，且，則數(shù)列為正項(xiàng)遞增數(shù)列．對(duì)條件兩邊取倒數(shù)得：，所以，所以有：，又?jǐn)?shù)列為正項(xiàng)遞增數(shù)列，則，則，所以．故答案為：0四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.在中，分別是角，，的對(duì)邊，已知是銳角，且（1）若，求實(shí)數(shù)的值；（2）若，求面積的最大值.解：（1）由為銳角，且得，即.可變形為，由余弦定理可知，即，故；（2）由（1）知，，所以，(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立)，即.故，故面積的最大值為.16.已知函數(shù)．（1）求的單調(diào)區(qū)間及最小值；（2）令，求的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．解：（1）由求導(dǎo)得：，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.故的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，；（2）由可得，則的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即函數(shù)與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù).由（1）已得上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，，又時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，作出函數(shù)的圖象.由圖知，當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象沒(méi)有交點(diǎn)，此時(shí)函數(shù)無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有1個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)函數(shù)有1個(gè)零點(diǎn).17.如圖，四邊形為菱形，平面，過(guò)的平面交平面于，．（1）求證：平面；（2）若平面平面，，且四棱錐的體積是．①求長(zhǎng)；②求直線與平面所成角的正弦值．（1）證明：∵平面，過(guò)的平面交平面于，∴，又∵，∴四邊形為菱形∴，∵平面，平面，∴平面.又∵四邊形為菱形，∴同理平面，∵，平面，∴平面平面，又平面，∴平面；（2）解：①連接交于點(diǎn)，連接，∵，且，則為等邊三角形，又四邊形為菱形，則為中點(diǎn)，∴又∵平面平面，且交線為∴平面∵，∴∴∴.②建系：以為原點(diǎn)，為軸，為軸，建立直角坐標(biāo)系，∴，，，，，∴，，，令平面的法向量為，則，，∴設(shè)與平面所成角為，∴.18.為倡導(dǎo)節(jié)能環(huán)保，實(shí)現(xiàn)廢舊資源再利用，小明與小亮兩位小朋友打算將自己家中的閑置玩具進(jìn)行交換，其中小明家有1臺(tái)玩具車(chē)和2個(gè)不同的玩偶，小亮家也有與小明家不同的1臺(tái)玩具車(chē)和2個(gè)不同的玩偶，他們每次等可能的各取一件玩具進(jìn)行交換．（1）兩人進(jìn)行一次交換后，設(shè)小明手中玩具車(chē)的臺(tái)數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；（2）兩人進(jìn)行次交換后，記小明手中恰有1個(gè)玩具車(chē)的概率為．①求；②求．解：（1）由題意知X的可能取值為0，1，2，，X012P所以．（2）①若兩次都交換玩具車(chē)，則概率為，若兩次都交換玩偶，則概率為，若一次交換玩具車(chē)，一次交換玩偶，情況1：每次互換的玩具相同，則概率為，情況2：每次互換的玩具不同，則概率為，則.②重復(fù)n復(fù)這樣的操作后，記小明手中恰有0個(gè)玩具車(chē)的概率為，則小明手中恰有2個(gè)玩具車(chē)的概率為，根據(jù)全概率公式可得，當(dāng)時(shí)，，∴，由（1）是，∴，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，故，所以，即．19.在平面直角坐標(biāo)系中，一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離比它到軸的距離大1，設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線．（1）求曲線的方程；（2）若直線過(guò)定點(diǎn)，其斜率為．當(dāng)分別為何值時(shí)，直線與曲線：只有一個(gè)公共點(diǎn)；有兩個(gè)公共點(diǎn)；有三個(gè)公共點(diǎn)；（3）過(guò)點(diǎn)做兩條互相垂直的弦、，分別交曲線于，，，，令、的中點(diǎn)分別為、，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，求的最大值．解：（1）由已知得，令，則整理得，.（2）由題意，直線l的方程為.聯(lián)立方程組（*）（i）當(dāng)時(shí)，直線l：與有唯一公共點(diǎn)，與無(wú)公共點(diǎn)，此時(shí)共有一個(gè)公共點(diǎn).（ii）當(dāng)時(shí)，判別式為①由，.故或時(shí)，方程（*）只有一個(gè)解，即直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，與各有一個(gè)交點(diǎn)為，，故分別有兩個(gè)公共點(diǎn).②當(dāng)直線過(guò)時(shí)，直線方程為，與交于，，與無(wú)交點(diǎn)，故直線與軌跡共有兩個(gè)公共點(diǎn)③由.故當(dāng)且，時(shí)，方程（*）有