2025年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試

數(shù)學(xué)

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共計(jì)40分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)

選項(xiàng)是正確的.

1.ii的虛部為（）

A.(?+?)B.0C.1D.6

??

2.設(shè)全集是小于的正整數(shù)，集合，則中元素個(gè)數(shù)為（）

A.0?=???B.3?={?,?,C?.}5???D.8

3.若雙曲線C的虛軸長為實(shí)軸長的倍，則C的離心率為（）

A.B.2?C.D.

????

π

4.若點(diǎn)是函數(shù)的圖象的一個(gè)對稱中心，則a的最小值為（）

π(?,?)(?>?)?=π?tan???π4π

A.B.C.D.

23

??

5.設(shè)是定義在上且周期為2的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（）

?

?(?)??≤?≤??(?)=???????=

A.B.C.D.

????

??????

6.帆船比賽中，運(yùn)動員可借助風(fēng)力計(jì)測定風(fēng)速的大小和方向，測出的結(jié)果在航海學(xué)中稱為視風(fēng)風(fēng)速，視風(fēng)

風(fēng)速對應(yīng)的向量，是真風(fēng)風(fēng)速對應(yīng)的向量與船行風(fēng)速對應(yīng)的向量之和，其中船行風(fēng)速對應(yīng)的向量與船速對

應(yīng)的向量大小相等，方向相反.圖1給出了部分風(fēng)力等級、名稱與風(fēng)速大小的對應(yīng)關(guān)系.已知某帆船運(yùn)動員在

某時(shí)刻測得的視風(fēng)風(fēng)速對應(yīng)的向量與船速對應(yīng)的向量如圖2（風(fēng)速的大小和向量的大小相同），單位（m/s），

則真風(fēng)為（）

A.輕風(fēng)B.微風(fēng)C.和風(fēng)D.勁風(fēng)

7.若圓上到直線的距離為1的點(diǎn)有且僅有2個(gè)，則r的取值范圍是

???

（）?+(?+?)=?(?>?)?=??+?

A.B.C.D.

(?,?)(?,?)(?,+∞)(?,+∞)

8.若實(shí)數(shù)x，y，z滿足，則x，y，z的大小關(guān)系不可能是（）

A.?+log??=?+log??=?+loBg.??

C.?>?>?D.?>?>?

?>?>??>?>?

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.在正三棱柱中，D為BC中點(diǎn)，則（）

A.??????????B.平面

C.??⊥?平?面?D.??⊥????

???//??????//????

10.設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，過F的直線交C于A、B，過F且垂直于的直線交于E，

??

?

過點(diǎn)A作準(zhǔn)線?l:?的垂=線??，垂足為D，則（）???:?=?

A.B.

C.|??|=|??|D.|??|=|??|

|??|≥?|??|?|??|≥??

11.已知的面積為，若，則（）

??

??

A.△???cos??+cos??+?sin?B.=?,cos?cos?sin?=

??

C.sin?=sin?+sin?D.??=?

???

sin?+sin?=???+??=?

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共計(jì)15分.

12.若直線是曲線e的切線，則＿＿＿＿＿.

?

?=??+??=+?+??=

13.若一個(gè)等比數(shù)列的前4項(xiàng)和為4，前8項(xiàng)和為68，則該等比數(shù)列的公比為＿＿＿＿＿.

14.一個(gè)箱子里有5個(gè)相同的球，分別以1~5標(biāo)號，若每次取一顆，有放回地取三次，記至少取出一次的球

的個(gè)數(shù)X，則數(shù)學(xué)期望_＿＿＿＿＿.

?(?)=

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.（13分）為研究某疾病與超聲波檢查結(jié)果的關(guān)系，從做過超聲波檢查的人群中隨機(jī)調(diào)查了1000人，得

到如下列聯(lián)表：

（1）記超聲波檢查結(jié)果不正常者患該疾病的概率為P，求P的估計(jì)值；

（2）根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析超聲波檢查結(jié)果是否與患該疾病有關(guān).

附?=?.，???

?

??(?????)

?=(?+?)(?+?)(?+?)(?+?)

16.（15分）設(shè)數(shù)列滿足，

??+????

???=?+?+?(?+?)

（1）證明：為?等差數(shù)列?；=?

（2）設(shè)???，求．

??'

?(?)=???+???+?+????(??)

17.（15分）如圖所示的四棱錐中，平面，∥．

????????⊥????????,??⊥??

（1）證明：平面平面；

（2）???⊥???，，，，在同一個(gè)球面上，設(shè)該球面的球心為．

（i）證??明=：??在=平面?,??=上?；+?,??=??????

（ⅱ）求直線?與直線????所成角的余弦值．

????

18.（17分）設(shè)橢圓的離心率為，下頂點(diǎn)為A，右頂點(diǎn)為B，．

??

????

??

?:?+?=?(?>?>?)?|??|=??

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）已知動點(diǎn)P不在y軸上，點(diǎn)R在射線AP上，且滿足．

（i）設(shè)，求點(diǎn)的坐標(biāo)（用m，n表示）；?????=?

（ⅱ）設(shè)?O(?為,?坐)標(biāo)原點(diǎn)，?是橢圓上的動點(diǎn)，直線OR的斜率為直線的斜率的3倍，求的最大值．

???|??|

π

19.（17分）（1）設(shè)函數(shù),求在的最大值；

?

（2）給定π，設(shè)?a(為?)實(shí)=數(shù)?c，os證?明?：co存s?在??(?)?,，使得；

（3）若存在?∈使(?得,)對任意x，都有?∈[???,?，+求?]b的最小co值s?．≤cos?

??cos??cos(??+?)≤?

參考答案

一、選擇題

1-5：CCDBA6-8：ABB

二、選擇題

9.BC10.ACD11.ABC

三、填空題

12.13.14./

??

?±????.??

四、解答題

15.（1）

?

??

（2）有關(guān)

16.（1）證明：由題意證明如下，

?

在數(shù)列中，?∈N

??+1??1

?1

∴??=3,?，即=?+1+?(?+1)

∴(?+1是)?以?+1=??為?+首1項(xiàng)，(?為+公1差)?的?+等1?差?數(shù)??列=.1

?1

（?）??=31

2?

'???+???

???=???

17.（1）證明：由題意證明如下，

在四棱雉中，平面，

????????⊥????,??⊥??

平面平面，

???????,???????

∴

??⊥??,??⊥??

∵平面平面，

??????,??????,??∩??=?

∴平面，

??⊥???

∵平面，

??????

∴平面平面．

???⊥???

（2）（i）證明：由題意及（1）證明如下，

在四棱雉中，，

????????⊥??,??⊥??,??⊥??,??∥??

，

??=??=2,??=1+3

建立空間直角坐標(biāo)系如下圖所示，

∴

?(0,0,0),?(2,0,0),?(2,2,0),?(0,1+3,0),?(0,0,2),

若在同一個(gè)球面上，

?,?,?,?

則，

在平|?面?|x=Ay|中??，|=|??|=|??|

∴

?(0,0),?(2,0),?(2,2),?(0,1+3),

∴線段中點(diǎn)坐標(biāo)，

23+3

???2,2

直線的斜率：，

1+3?23?1

???1=0?2=?2

直線的垂直平分線斜率：，

26+2

?????2=3?1=2

∴直線的方程：，即，

3+36+226+223+3

????2=2??2?=2??2+2

當(dāng)時(shí)，，解得：，

6+223+3

?=11=2???2+2??=0

∴

?(0,1)

在立體幾何中，，

?(0,1,0)

222

|??|=0+1+(0?2)

∴222

|??|=(0?2)+1+0

222

|??|=(0?2)+(1?2)+0

222

|??|=0+(1?1?3)+0

解得：，