PAGE1搶分秘籍16利用函數(shù)解決實際應(yīng)用問題（含一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的實際問題）目錄【解密中考】總結(jié)?？键c及應(yīng)對的策略，精選名校模擬題，講解通關(guān)策略（含押題型）【題型一】用一次函數(shù)解決實際問題【題型二】用反比例函數(shù)解決實際問題【題型三】用二次函數(shù)解決實際問題【題型四】用一次函數(shù)和反比例函數(shù)解決實際問題【題型五】用一次函數(shù)和二次函數(shù)解決實際問題【題型六】用一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)解決實際問題：利用函數(shù)解決實際應(yīng)用問題是全國中考的熱點內(nèi)容，更是全國中考的必考內(nèi)容。每年都有一些考生因為知識殘缺、基礎(chǔ)不牢、技能不熟、答欠規(guī)范等原因?qū)е率Х帧?．從考點頻率看，一次函數(shù)（行程、方案選擇）最頻，二次函數(shù)（利潤、拋物線型實際問題）次之，反比例函數(shù)（工程、幾何面積）偶考。增長率、最優(yōu)方案、圖形最值為高頻場景，常與方程結(jié)合。2．從題型角度看，以解答題為主（占20%-30%分值），含圖表分析（如函數(shù)圖象解讀）、建模求解（列解析式求最值）；選擇/填空?？蓟A(chǔ)應(yīng)用（如反比例函數(shù)k的實際意義）。題干多含“最大”“最省”“關(guān)系表達(dá)式”等關(guān)鍵詞。：在中考數(shù)學(xué)備考中，熟模型：掌握行程、利潤、幾何三類核心模型，牢記一次函數(shù)增減性、二次函數(shù)頂點最值、反比例函數(shù)k的幾何意義。強(qiáng)建模：訓(xùn)練從文字/圖表中提取變量關(guān)系，設(shè)元后準(zhǔn)確列函數(shù)式，注意定義域（如自變量非負(fù)、實際意義限制）。重檢驗：求解后驗證結(jié)果是否符合實際（如人數(shù)為整數(shù)、方案可行性），多練歷年真題中的綜合應(yīng)用題（如跨學(xué)科情境題）?！绢}型一】用一次函數(shù)解決實際問題【例1】（2025·云南保山·模擬預(yù)測）某商場購進(jìn)A、B兩種服裝共100件．已知購進(jìn)這100件服裝的總費用不超過7400元，A種服裝不少于60件，它們的進(jìn)價和售價如下表：商品進(jìn)價（元/件）售價（元/件）A80130B60100(1)設(shè)購進(jìn)A種服裝x件（x為正整數(shù)），求x的取值范圍；(2)如果購進(jìn)的這100件服裝全部賣完，且利潤為W，求W的最大值．【答案】(1)(2)4700元【知識點】用一元一次不等式解決實際問題、最大利潤問題(一次函數(shù)的實際應(yīng)用)【分析】本題考查一元一次不等式解決實際問題，一次函數(shù)解決實際問題．（1）根據(jù)“總費用不超過7400元”列出不等式，求解即可；（2）根據(jù)“利潤＝（售價－進(jìn)價）×數(shù)量”分別得到A，B兩種服裝的利潤，從而列出利潤W關(guān)于x的函數(shù)解析式，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)即可解答．【詳解】（1）解：根據(jù)題意得，解得，∵，∴x的取值范圍是（x是正整數(shù)）．（2）解：由題意得：，化簡得，，，隨的增大而增大，當(dāng)時，，即的最大值是4700元．答：如果購進(jìn)的這100件服裝全部賣完，利潤的最大值是4700元．1.

明變量定關(guān)系：確定自變量（如時間x）與因變量（如路程y），通過“每單位變化量固定”（如速度、單價）判定一次函數(shù)關(guān)系，設(shè)y=kx+b。2.

找條件求參數(shù)：利用兩組對應(yīng)值（如兩點坐標(biāo)）列方程組求k、b，或根據(jù)題意直接確定k（如斜率為速度）。3.

畫圖象助分析：畫函數(shù)圖象（注意定義域，如x≥0），利用增減性（k>0遞增，k<0遞減）解決最值問題（如最優(yōu)方案、臨界值）。4.

聯(lián)實際驗結(jié)果：求解后驗證是否符合實際意義（如人數(shù)為整數(shù)、費用非負(fù)），標(biāo)注單位并規(guī)范作答。【例2】（2025·廣東深圳·二模）小明用的練習(xí)本可以到甲超市購買，也可以到乙超市購買．已知兩超市的標(biāo)價都是每本1元，但甲超市的優(yōu)惠條件是購買10本以上，從第11本開始按標(biāo)價的7折賣；乙超市的優(yōu)惠條件是每本都按標(biāo)價的賣．(1)當(dāng)小明要買20本時，到哪家超市購買較省錢？(2)寫出在甲超市購買，總價（元）與購買本數(shù)x（本）的關(guān)系式．(3)小明現(xiàn)有31元，只去一個超市購買，最多可以買多少本練習(xí)本？【答案】(1)小明要買20本時，到兩家超市購買的費用相同(2)(3)小明用31元最多可買40本【知識點】銷售盈虧(一元一次方程的應(yīng)用)、其他問題(一次函數(shù)的實際應(yīng)用)、有理數(shù)乘法的實際應(yīng)用【分析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，函數(shù)關(guān)系式等知識；求出總價y甲與購買本數(shù)的關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)兩家超市的優(yōu)惠條件進(jìn)行計算即可；（2）當(dāng)時，，求解即可；（3）由（1）（2）知，超過17元時，甲商店每本顯然低于乙店，故用31元應(yīng)到甲商店買，當(dāng)時，，求解即可．【詳解】（1）解：甲超市收款為：（元），乙超市收款為：（元），∴小明要買20本時，到兩家超市購買的費用相同；（2）解：當(dāng)時，，即總價（元）與購買本數(shù)x（本）的關(guān)系式為；（3）解：由（1）（2）知，超過17元時，甲商店每本顯然低于乙店，故用31元應(yīng)到甲商店買，當(dāng)時，，解得：，答：小明用31元最多可買40本．【變式1】（2025·云南玉溪·一模）2025年1月29日全國各影院上映奇幻動畫電影《哪吒2》，截至2025年2月13日14時43分，該片總票房（含點映及預(yù)售）已突破100億元，成為中國影史首部票房破100億的電影，該片觀影人次破2億，成為中國影史首部觀影人次破2億的電影．某影院每天運營成本為2000元，該影院每天售出的電影票數(shù)量y（單位：張）與售價x（單位：元/張）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系（，且x是整數(shù)），部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示：電影票售價x（元/張）5060售出電影票數(shù)量y（張）12484(1)請求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)該影院將電影票售價x定為多少時，每天的利潤w（單位：元）最大？最大值是多少？（注：每天的利潤票房收入運營成本）【答案】(1)(2)該影院將電影票售價x定為40元或41元時，每天獲利最大，最大利潤是4560元【知識點】其他問題(一次函數(shù)的實際應(yīng)用)、銷售問題(實際問題與二次函數(shù))【分析】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式．（1）根據(jù)題意和表格中的數(shù)據(jù)，可以計算出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）根據(jù)利潤票房收入運營成本和（1）中的結(jié)果，可以寫出w與x之間的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和x的取值范圍，可以求得該影院將電影票售價x定為多少時，每天獲利最大，最大利潤是多少．【詳解】（1）解：設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是，由表格可得，，解得，即y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是（，且x是整數(shù)）；（2）解：由題意可得，，∵，且x是整數(shù)，∴當(dāng)或41時，w取得最大值，此時，答：該影院將電影票售價x定為40元或41元時，每天獲利最大，最大利潤是4560元．【變式2】（2025·河北保定·二模）在一條直線上依次有，，三個海島，某巡邏船執(zhí)行海洋巡邏任務(wù)，從島出發(fā)沿直線勻速行駛到島，保持速度不變，繼續(xù)行駛到達(dá)島．設(shè)該巡邏船行駛（）后，與島的距離為（km），與的函數(shù)關(guān)系如圖所示．(1)直接寫出，兩海島間的距離，并求出函數(shù)圖象中括號處缺失的數(shù)據(jù)；(2)求段的關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出自變量的取值范圍；(3)在島有一不間斷發(fā)射信號的信號發(fā)射臺，發(fā)射的信號覆蓋半徑為，請直接寫出該巡邏船能接收到該信號的時長．【答案】(1)，(2)(3)【知識點】從函數(shù)的圖象獲取信息、行程問題(一次函數(shù)的實際應(yīng)用)、求一次函數(shù)解析式【分析】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，理解題目信息是解題的關(guān)鍵．（1）把到，到間的距離相加即可得到兩個港口間的距離，再求出巡邏船的速度，最后利用公式可求出到間的時間；（2）利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式求解即可；（3）信號覆蓋范圍看作一個直徑為的圓，路程除以速度即可得到接收信號的時間．【詳解】（1）解：由圖象可知，兩島之間的距離為，兩島之間的距離為，，，三個海島在一條直線上,，兩海島間的距離為；由圖象可知，巡邏船從島到島的時間為，∴巡邏船的速度為，∴巡邏船從島至島的時間為，所以函數(shù)圖象中括號處缺失的數(shù)據(jù)為，故答案為：，；（2）解：設(shè)一次函數(shù)解析式為，將代入解析式得，解得∴段的關(guān)于的函數(shù)解析式為；（3）解：該巡邏船能接收到該信號的時長為．【變式3】（2025·天津紅橋·一模）已知學(xué)生宿舍、教室、餐廳、籃球場依次在同一條直線上，教室離宿舍，餐廳離宿舍，籃球場離宿舍．小明從教室出發(fā)，先勻速步行到達(dá)籃球場，在籃球場鍛煉了，之后勻速步行到達(dá)餐廳，在餐廳停留后，勻速騎行返回宿舍．下面圖中x表示時間，y表示離宿舍的距離．圖象反映了這個過程中小明離宿舍的距離與時間之間的對應(yīng)關(guān)系．請根據(jù)相關(guān)信息，解答下列問題：(1)填表：小明離開宿舍的時間5102075小明離宿舍的距離2(2)填空：小明從餐廳返回宿舍的騎行速度為______；(3)當(dāng)時，請直接寫出小明離宿舍的距離y關(guān)于時間x的函數(shù)解析式；(4)當(dāng)小明到達(dá)餐廳時，同宿舍的小華從餐廳出發(fā)，勻速步行直接返回宿舍，如果小華比小明晚到達(dá)宿舍，那么他在回宿舍的途中遇到小明時離宿舍的距離是多少？（直接寫出結(jié)果即可）【答案】(1)填表見解析(2)(3)(4)【知識點】求一次函數(shù)解析式、行程問題(一次函數(shù)的實際應(yīng)用)、從函數(shù)的圖象獲取信息【分析】本題主要考查一次函數(shù)的應(yīng)用，掌握并靈活運用速度、時間、路程三者之間的關(guān)系和用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)圖象以及路程、速度、時間三者之間的數(shù)量關(guān)系作答即可；（2）根據(jù)路程、速度、時間三者之間的數(shù)量關(guān)系作答即可；（3）利用待定系數(shù)法求解即可，然后寫成分段函數(shù)的形式；（4）根據(jù)題意，利用待定系數(shù)法求出小華和小明返回時離宿舍的距離y與時間x之間的關(guān)系式，根據(jù)二人離宿舍的距離相等列方程，求解再進(jìn)行計算即可．【詳解】（1）解：①小明從教室到籃球場過程中的速度為：，當(dāng)小明離開宿舍時，離宿舍的距離為：，由圖可知，當(dāng)小明離開時，他離宿舍的距離為，當(dāng)小明離開宿舍時，離宿舍的距離為：．如圖填表：小明離開宿舍的時間5102075小明離宿舍的距離22（2）小明從餐廳到宿舍的騎行速度為．故答案為：；（3）當(dāng)時，設(shè)小明離宿舍的距離y關(guān)于時間x的函數(shù)解析式為：（，，為常數(shù)，）將代入，得，解得，∴，當(dāng)時，由圖像可知，小明離宿舍的距離始終為．，∴，當(dāng)時，設(shè)小明離宿舍的距離y關(guān)于時間x的函數(shù)解析式為：（、、b均為常數(shù)），將和代入，得，解得，∴綜上所述，小明離宿舍的距離y關(guān)于時間x的函數(shù)解析式為：．（4）解：∵小明到達(dá)餐廳時，同宿舍的小華從餐廳出發(fā)，勻速步行直接返回宿舍，∴小華從第時回宿舍，∵小華比小明晚到達(dá)宿舍，∴小華第時到達(dá)宿舍，設(shè)小華離宿舍的距離y關(guān)于時間x的函數(shù)解析式為，（均為常數(shù)）將和代入，得，解得，∴，設(shè)小明離宿舍的距離y關(guān)于時間x的函數(shù)解析式為：（均為常數(shù)）將和代入，得，解得，∴，∵小華杰在回宿舍前往自習(xí)室的途中遇到了小明，∴，解得，此時離宿舍的距離為：．【題型二】用反比例函數(shù)解決實際問題【例1】（2025·陜西榆林·一模）近日，中國郵政在陜西商洛啟動常態(tài)化無人機(jī)郵路試運行，通過科技賦能破解山區(qū)投遞“最后一公里”難題．科技創(chuàng)新環(huán)境下，無人機(jī)產(chǎn)業(yè)蓬勃發(fā)展某科技公司設(shè)計了一款兒童“迷你無人機(jī)”，并投放網(wǎng)上某平臺進(jìn)行試銷．經(jīng)過調(diào)查，得到如下數(shù)據(jù)：銷售單價x（元/件）406080100120…每周銷售量y（件）400350300250200…(1)在平面直角坐標(biāo)系中描出表中數(shù)據(jù)對應(yīng)的點．若每周銷售量y（件）與銷售單價x（元/件）符合初中學(xué)習(xí)過的某種函數(shù)關(guān)系，則可能是______函數(shù)關(guān)系；（請選填“一次”“二次”“反比例”）(2)根據(jù)以上判斷，求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；(3)當(dāng)銷售單價定為140元/件時，請推算這種無人機(jī)每周銷售量．【答案】(1)描點見解析，一次(2)(3)這種無人機(jī)每周銷售量為150件【知識點】求一次函數(shù)解析式、其他問題(一次函數(shù)的實際應(yīng)用)、用描點法畫函數(shù)圖象【分析】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用．（1）根據(jù)表描點，結(jié)合描點即可得到圖象；（2）設(shè)y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為（為常數(shù)，），從表格找點代入求解即可得到答案；（3）將代入解析式求解即可得到答案．【詳解】（1）解：描出各點如圖所示，若每周銷售量y（件）與銷售單價x（元/件）符合初中學(xué)習(xí)過的某種函數(shù)關(guān)系，則可能是一次函數(shù)關(guān)系，故答案為：一次；（2）解：設(shè)y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為（為常數(shù)，），把代入得：，解得，關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為；（3）解：當(dāng)時，，當(dāng)銷售單價定為140元/件時，可推算這種無人機(jī)每周銷售量為150件．1.

辨關(guān)系定模型：識別變量間“乘積為定值”（如路程=速度×?xí)r間），設(shè)反比例函數(shù)y=kx（k≠0），明確k2.

用條件求參數(shù)：代入一組對應(yīng)值求k，或利用幾何意義（如矩形面積|k|）確定k，注意k的符號與變量增減性關(guān)聯(lián)。3.

限定義域分析：根據(jù)實際意義確定x>0或分段取值，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性（k>0時，x增大y減小）解決最值（如最小成本、最長時間）。4.

聯(lián)實際驗結(jié)果：驗證解是否符合情境（如人數(shù)為正整數(shù)），必要時用不等式限定范圍，結(jié)合圖象直觀判斷合理性?！纠?】（2025·浙江湖州·一模）電磁波由振蕩的電場和磁場構(gòu)成，我國嫦娥六號探測器就是通過無線電波（電磁波的一種）與地球通信，電磁波的波長（單位：）會隨著電磁波的頻率f（單位：）的變化而變化．已知某段電磁波在同種介質(zhì)中，波長與頻率f的部分對應(yīng)值如下表：頻率51015202530波長603020151210(1)根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，選擇合適的函數(shù)模型，求出波長關(guān)于頻率的函數(shù)表達(dá)式．(2)當(dāng)該電磁波的頻率為時，它的波長是多少？【答案】(1)(2)【知識點】實際問題與反比例函數(shù)【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)的實際應(yīng)用，正確理解表格得到與成反比例函數(shù)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．（1）觀察表格可得是一個定值，即與成反比例函數(shù)關(guān)系，據(jù)此設(shè)出解析式利用待定系數(shù)法求解即可；（2）求出當(dāng)時的值即可得到答案．【詳解】（1）解；根據(jù)表格數(shù)據(jù)的關(guān)系，可得與成反比例函數(shù)關(guān)系，設(shè)，把代入中得：，解得，∴．（2）解：當(dāng)時，，∴當(dāng)該電磁波的頻率為時，它的波長是．【變式1】（2025·山西朔州·一模）如圖1，黃河文化的保護(hù)與傳承是黃河流域生態(tài)保護(hù)和高質(zhì)量發(fā)展的重要內(nèi)容．近年來，多地建設(shè)黃河國家文化公園，山西省圍繞黃河國家文化公園建設(shè)項目構(gòu)建“兩廊三帶多片”的總體空間布局．如圖2，其中一處保護(hù)區(qū)需利用石板在灘涂上搭建一條矩形小路通行，灘涂起點和終點間的距離為18米，石板的數(shù)量一定，即石板搭建的小路面積一定，設(shè)小路的長為米，寬為米，當(dāng)時，．(1)求與之間的函數(shù)關(guān)系．(2)按照小路寬度為4米搭建小路，這種設(shè)計是否合理？請說明理由．【答案】(1)(2)不合理，理由見解析【知識點】實際問題與反比例函數(shù)【分析】本題考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用，正確求出函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意可得與之間的函數(shù)為反比例函數(shù)，利用待定系數(shù)法即可解答；（2）把代入函數(shù)可得小路的長，得到的結(jié)果和起點和終點間的距離比較即可解答．【詳解】（1）解；根據(jù)石板搭建的小路面積一定，可得為定值，與之間的函數(shù)為反比例函數(shù)，設(shè)，把，代入可得，，解得，與之間的函數(shù)關(guān)系式為；（2）解：當(dāng)時，，解得，經(jīng)檢驗分式成立，，故不符合題意，設(shè)計不合理．【變式2】（2025·廣東韶關(guān)·一模）根據(jù)物理學(xué)相關(guān)知識，在簡單電路中，閉合開關(guān)，當(dāng)導(dǎo)體兩端電壓（單位：）一定時，通過導(dǎo)體的電流（單位：）與導(dǎo)體的電阻（單位：）滿足反比例函數(shù)關(guān)系，它們的圖象如圖所示．當(dāng)時，．(1)求電流關(guān)于電阻的函數(shù)關(guān)系式；(2)若，求電阻的變化范圍．【答案】(1)電流關(guān)于電阻的函數(shù)關(guān)系式為(2)電阻的變化范圍為【知識點】求反比例函數(shù)解析式、實際問題與反比例函數(shù)【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用，利用待定系數(shù)法解得電流關(guān)于電阻的函數(shù)關(guān)系式是解題關(guān)鍵．（1）設(shè)與滿足反比例函數(shù)關(guān)系為，利用待定系數(shù)法求解即可；（2）分別求得當(dāng)和時電阻的值，即可獲得答案．【詳解】（1）解：設(shè)與滿足反比例函數(shù)關(guān)系為，當(dāng)時，，∴，∴，∴電流關(guān)于電阻的函數(shù)關(guān)系式為；（2）當(dāng)時，，當(dāng)時，，∴若時，電阻的變化范圍為．【變式3】如圖①，實驗課上，小明同學(xué)設(shè)計了一個探究杠桿平衡條件的實驗：在天平的固定托盤A中放置一些大小不等的立方體，在活動托盤B中放置一定質(zhì)量的砝碼，使得天平平衡．改變活動托盤B與點O的距離，觀察活動托盤B中砝碼的質(zhì)量的變化情況．實驗數(shù)據(jù)記錄如表：(1)把表中x，y的各組對應(yīng)值作為點的坐標(biāo)，如，……在圖②的坐標(biāo)系中描出相應(yīng)的點，并用平滑的曲線順次連接這些點；(2)觀察所畫的圖象，猜測y與x之間的函數(shù)關(guān)系，求出函數(shù)關(guān)系式；(3)當(dāng)砝碼的質(zhì)量為時，活動托盤B與點O的距離是多少？【答案】(1)見解析(2)(3)【知識點】實際問題與反比例函數(shù)、由反比例函數(shù)值求自變量、判斷（畫）反比例函數(shù)圖象、求反比例函數(shù)解析式【分析】本題考查反比例函數(shù)的應(yīng)用，求出反比例函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．（1）在坐標(biāo)系中描點連線即可；（2）根據(jù)圖象猜測是反比例函數(shù)，利用待定系數(shù)法求解；（3）將代入（2）中結(jié)論，求出x的值即可．【詳解】（1）解：由題意，可畫出圖象如下：（2）解：猜測y與x之間的函數(shù)關(guān)系為反比例函數(shù)，設(shè)函數(shù)關(guān)系式為，∵當(dāng)時，，，解得，∴函數(shù)關(guān)系式為；（3）解：當(dāng)時，解得，即活動托盤B與點O的距離是．【變式4】（2025·河南周口·一模）如圖1，小麗設(shè)計了一個探究杠桿平衡條件的實驗：取一根勻質(zhì)木桿，用細(xì)繩綁在木桿的中點處，并將其吊起．在中點左側(cè)固定位置處懸掛重物，在中點右側(cè)用一個彈簧秤向下拉，直至木桿平衡，改變彈簧秤與點的距離，重復(fù)上述步驟，觀察彈簧秤的示數(shù)的變化情況．實驗數(shù)據(jù)記錄如下：…4681012……964.53.63…(1)把表中，的各組對應(yīng)值作為點的坐標(biāo)，在如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系中描出相應(yīng)的點，用平滑的曲線連接這些點并觀察所得的圖象，求出與之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)彈簧秤的示數(shù)為時，彈簧秤與點的距離是多少？在彈簧的彈性限度內(nèi)，隨著彈簧秤與點的距離逐漸減小，彈簧秤的示數(shù)將發(fā)生怎樣的變化？【答案】(1)畫圖見解析，(2)；彈簧秤的示數(shù)將不斷增大【知識點】實際問題與反比例函數(shù)、判斷反比例函數(shù)的增減性【分析】本題考查了畫反比例函數(shù)圖象，反比例函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用，由圖象判斷出y與x之間的函數(shù)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)表格數(shù)值描點、連線即可畫出圖形，根據(jù)圖象特點判斷出y與x之間的函數(shù)關(guān)系，最后利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；（2）把代入（1）所得函數(shù)解析式即可求出x，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可判斷彈簧秤示數(shù)的變化情況；【詳解】（1）解∶畫圖如下∶由圖可得，y是x的反比例函數(shù)，設(shè)，把代入得，，解得，∴；（2）解∶把代入，得，積的，即當(dāng)彈簧秤的示數(shù)為時，彈簧秤與O點的距離是，∵，在第一象限內(nèi)，y的值隨著x的值的增大而減小，∴隨著彈簧秤與O點的距離不斷減小，彈簧秤的示數(shù)將不斷增大．【題型三】用二次函數(shù)解決實際問題【例1】（2025·陜西榆林·一模）碧玉妝成一樹高，萬條垂下綠絲絳．陽春三月，垂柳吐綠，生機(jī)盎然，依依垂柳的新芽，形成一道美麗的風(fēng)景．如圖1是某公園的一棵垂柳（局部），這棵垂柳中某一枝的形狀呈如圖2所示的拋物線形，它距離地面的高度與到樹干的水平距離之間滿足關(guān)系式（為常數(shù)），已知這枝柳條的始端A到地面的距離，末端B恰好距離水平地面處，且末端B到樹干（y軸）的水平距離為．（注：樹干近似看作直線，且與地面垂直，無風(fēng)，柳條不動）(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)王剛的身高為，他從點O出發(fā)沿x軸正方向走，請計算王剛走了多少米時，頭頂恰好碰到這枝柳條？【答案】(1)(2)王剛走了時，頭頂恰好碰到這枝柳條【知識點】其他問題(實際問題與二次函數(shù))【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，解題時要能熟練掌握并靈活運用二次函數(shù)的性質(zhì)是關(guān)鍵．（1）依據(jù)題意，得該拋物線經(jīng)過點和點，進(jìn)而建立方程組計算可以得解；（2）依據(jù)題意，在中，令，從而可得，求出x后即可判斷得解．【詳解】（1）解：由題意知，該拋物線經(jīng)過點和點，，解得，該拋物線的函數(shù)表達(dá)式為．（2）在中，令，．（不合題意，舍去），．王剛走了時，頭頂恰好碰到這枝柳條．1.

建模型定關(guān)系式：識別“拋物線型最值”（如利潤、面積），設(shè)一般式y(tǒng)=ax2+bx+c或頂點式y(tǒng)=a(x-h)2+k，根據(jù)題意（如頂點、對稱軸）列方程。2.

求頂點判最值：用公式x=-b2a求對稱軸，代入得最值（a<0有最大值，a>0有最小值），注意定義域限制（如x≥03.

用圖象助分析：畫開口方向、對稱軸、與坐標(biāo)軸交點，結(jié)合實際意義（如銷量非負(fù)）確定自變量范圍，端點值與頂點值比較取最優(yōu)解。4.

聯(lián)實際驗結(jié)果：驗證解是否符合情境（如產(chǎn)量為整數(shù)、成本合理性），標(biāo)注單位并結(jié)合問題作答（如“最大利潤為XX元”）。【例2】（2025·遼寧盤錦·二模）同學(xué)們在操場上玩跳長繩的游戲，跳長繩時，繩子甩到最高處的形狀可以近似的看作拋物線．如圖，正在甩繩的甲、乙兩名同學(xué)之間的水平距離為米，到地面的距離與均為米，繩子甩到最高點處時，最高點距地面的垂直距離為，以點為原點建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．(1)求出繩子甩到最高處時拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)如果身高為的小明站在之間，當(dāng)繩子甩到最高處，小明站在距離點的水平距離為時，繩子是否能剛好甩過他的頭頂上方？請說明理由；(3)現(xiàn)在老師要舉行集體跳長繩比賽，比賽時各隊跳繩人，搖繩人，共計人．某班挑選出身高都為的個同學(xué)參加跳繩．跳長繩比賽時，采用一路縱隊的方式安排學(xué)生位置，但為了保證安全，人與人之間距離至少，那么該班同學(xué)以一路縱隊的方式站在地面上時，為了能順利完成比賽（繩子超過頭頂），左邊第一位同學(xué)跑離點的水平距離的取值范圍？請說明理由．【答案】(1)該拋物線解析式為．(2)繩子不能剛好甩過他的頭頂上方．(3)的取值范圍是．【知識點】其他問題(實際問題與二次函數(shù))、解一元二次方程——直接開平方法、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式【分析】（1）根據(jù)題意得出點、點、點的坐標(biāo)后，代入拋物線的頂點式即可求解函數(shù)表達(dá)式；（2）代入橫坐標(biāo)計算對應(yīng)縱坐標(biāo)，比較即可得解；（3）通過解一元二次方程確定拋物線滿足高度的區(qū)間，結(jié)合隊伍長度確定取值范圍．【詳解】（1）解：依題得：，，最高點縱坐標(biāo)為，，，繩子甩到最高處的形狀可以近似的看作拋物線，點是該拋物線的頂點，橫坐標(biāo)應(yīng)為，，設(shè)拋物線解析式為，將代入可得，該拋物線解析式為．（2）解：依題得，小明所站位置的橫坐標(biāo)為，將代入拋物線解析式得，繩子能剛好甩過他的頭頂上方，當(dāng)繩子甩到最高處，小明站在距離點的水平距離為時，繩子不能剛好甩過他的頭頂上方．（3）解：當(dāng)時，即，解得，，可以站立跳繩的距離范圍為，人隊伍的總長度為，左邊第一位同學(xué)跑離點的水平距離需滿足，，綜合可得，的取值范圍是．【點睛】本題考查的知識點是待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二次函數(shù)的實際應(yīng)用、一元二次方程和二次函數(shù)綜合，解題關(guān)鍵是熟練掌握拋物線的頂點式求解、利用拋物線對稱性求解．【變式1】（2025·山東青島·一模）打印技術(shù)通過數(shù)字化建模與增材制造特性，成為傳統(tǒng)工藝數(shù)字化升級與消費體驗迭代的核心驅(qū)動力．在某次科技活動中，小明利用所學(xué)數(shù)學(xué)知識借助打印設(shè)備制作了兩款水杯（分別記為1號杯和2號杯），并對兩款水杯所盛水的水面高度與體積之間的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行了統(tǒng)計與分析：1號水杯所盛水的水面高度與體積的關(guān)系如表：00.10.20.30.40.45024m89水面高度與體積近似地滿足一次函數(shù)關(guān)系．2號水杯所盛水的水面高度與體積的關(guān)系可以近似地用二次函數(shù)刻畫，其圖象如圖所示：請解答下列問題：(1)_______；(2)求2號水杯所盛水的水面高度與體積的函數(shù)關(guān)系式；(3)當(dāng)時，在所盛水的體積相同的情況下，_______號水杯的水面高度較高（填“1”或“2”），兩個水杯水面高度差的最大值是多少？【答案】(1)6，(2)，(3)1，兩個水杯水面高度差的最大值是1．【知識點】其他問題(實際問題與二次函數(shù))【分析】本題考查待定系數(shù)法求解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)．（1）由表格數(shù)據(jù)可知高度與體積成正比例關(guān)系，由此即可得出答案；（2）根據(jù)待定系數(shù)法求解即可；（3）在坐標(biāo)系畫出兩個圖象，觀察圖象可知，當(dāng)時，在上方，由此即可得出1號水杯的水面高度較高，根據(jù)函數(shù)解析式求出兩個水杯水面高度差，利用二次函數(shù)的最值求解即可，【詳解】（1）解：由表格數(shù)據(jù)可知高度與體積成正比例關(guān)系，，當(dāng)時，，即．（2）由圖可知：時，；時，，∴，解得：∴2號水杯所盛水的水面高度與體積的函數(shù)關(guān)系式是．（3）由圖可知：當(dāng)時，在上方，即1號水杯的水面高度較高，兩個水杯水面高度差為：，當(dāng)時，的最大值為1．即兩個水杯水面高度差的最大值是1．【變式2】（2025·陜西榆林·二模）【素材1】在畢業(yè)晚會上，為了烘托晚會氣氛，需要在晚會上懸掛一串彩燈，如圖①．掛好后彩燈燈繩形狀可近似看成由兩段拋物線拼接而成．【素材2】將圖①的兩段拋物線抽象成如圖②所示的拋物線和拋物線，拋物線和拋物線大小形狀完全相同，，，三個支撐桿均垂直于地面，垂足分別是點，，，．【素材3】點C是的中點，．以點O為原點，所在直線為x軸，所在直線為y軸建立如圖②所示的平面直角坐標(biāo)系，拋物線的函數(shù)表達(dá)式為．【任務(wù)】(1)求的值；(2)求拋物線的函數(shù)表迭式；(3)在拋物線的點M處綁一根豎直彩帶（彩帶繃直，打結(jié)處的長度忽略不計，拋物線的形狀不改變），彩帶末端恰好接觸到地面N處，于點，，求彩帶的長度．【答案】(1)；(2)；(3)彩帶的長度為【知識點】二次函數(shù)圖象的平移、拱橋問題(實際問題與二次函數(shù))【分析】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，熟練掌握待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式是解答的關(guān)鍵．（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）根據(jù)題意可得，拋物線可由拋物線向右平移4個單位得到，據(jù)此求解即可；（3）根據(jù)題意，求得點N的橫坐標(biāo)為5，求得當(dāng)時，的值即可求解．【詳解】（1）解：根據(jù)題意，點，均在拋物線線上，把點，代入，得，解得；（2）解：由（1）可得拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，根據(jù)題意可得，拋物線可由拋物線向右平移4個單位得到，拋物線的函數(shù)表達(dá)式為；（3）解：點C是的中點，，，，當(dāng)時，，彩帶的長度為．【變式3】（2025·湖南·二模）某單位汽車停車棚如圖所示，棚頂?shù)臋M截面可以看作是拋物線的一部分，其中點為棚頂外沿，為斜拉桿．棚頂?shù)呢Q直高度（單位：）與距離停車棚支柱的水平距離（單位：）近似滿足函數(shù)關(guān)系，其圖象如圖所示，且點和點在圖象上．(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)某個數(shù)學(xué)興趣小組研究一輛校車能否在按如圖2所示的停車棚下避雨，他們將校車截面看作長，高的矩形．通過計算，發(fā)現(xiàn)校車不能完全停到車棚內(nèi)，請你幫助興趣小組通過計算說明理由．(3)小俊提出，若要使（2）中的校車能完全停到車棚內(nèi)，且為了安全，需要保證點與頂棚的豎直距離至少為米，現(xiàn)需要將頂棚整體沿支柱（支柱可加長）向上至少提升米，求的值．【答案】(1)(2)見解析(3)【知識點】其他問題(實際問題與二次函數(shù))【分析】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．（1）將點和點代入，待定系數(shù)法求解析式，即可求解；（2）根據(jù)題意，當(dāng)時，，即可求解；（3）根據(jù)（2）的結(jié)論以及題意可得在上，代入，即可求解．【詳解】（1）解：將點和點代入得解得：∴（2），，，在中，當(dāng)時，，，校車不能完全停到車棚內(nèi)，（3）解：依題意，設(shè)當(dāng)時，將代入得∴【變式4】（2025·山西陽泉·模擬預(yù)測）綜合與實踐問題情境如圖1，窯洞是黃土高原獨特的居住形式，具有十分濃厚的中國民俗風(fēng)情和鄉(xiāng)土氣息．為響應(yīng)國家鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略，協(xié)助當(dāng)?shù)卮迕窀纳凭幼…h(huán)境，留住文化底蘊(yùn)．當(dāng)?shù)卣媱潓⒏G洞現(xiàn)有的紗布糊窗統(tǒng)一改為玻璃窗戶，并將門上方的窗戶換為斷橋窗戶，進(jìn)一步提升窯洞的采光和通風(fēng)．方案設(shè)計小明對窯洞進(jìn)行了測量并繪制了如圖2所示的窯洞口的示意圖，窯洞口的輪廓可以看成是由矩形和拋物線組成的封閉圖形．已知米，米，窯洞口的最高點到地面的距離為4米，其中點在上，點在拋物線上．方案實施在圖2中，以所在的直線為軸，以的垂直平分線為軸建立平面直角坐標(biāo)系．請按照以上方法解決問題：(1)請在圖2中畫出坐標(biāo)系，并求拋物線的函數(shù)表達(dá)式．(2)當(dāng)時，求和的長．(3)如圖3，在矩形兩側(cè)分別作兩個正方形和正方形，其中，點，在拋物線上，點在上，點分別在和上．若將拋物線和構(gòu)成的封閉區(qū)域內(nèi)的線段定制為木質(zhì)框架（不含拋物線和，不考慮木質(zhì)框架寬度），當(dāng)矩形所需的木質(zhì)框架總長度最長時，請直接寫出封閉區(qū)域內(nèi)木質(zhì)框架的總長度．【答案】(1)圖見解析，拋物線的函數(shù)表達(dá)式為；(2)，；(3)封閉區(qū)域內(nèi)木質(zhì)框架的總長度為米．【知識點】拱橋問題(實際問題與二次函數(shù))【分析】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用．（1）根據(jù)題意畫出坐標(biāo)系，利用待定系數(shù)法求解即可；（2）由題意設(shè)，則點的坐標(biāo)為，再代入，求得，據(jù)此求解即可；（3）設(shè)，則矩形所需的木質(zhì)框架總長度，求得當(dāng)，矩形所需的木質(zhì)框架總長度有最大值為5，再設(shè)正方形和正方形的邊長為，得到，代入，求得的值，據(jù)此求解即可．【詳解】（1）解：坐標(biāo)系如圖所示，由題意得，拋物線的頂點坐標(biāo)為，，則設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，將代入得，解得，∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為；（2）解：由題意得四邊形為矩形，設(shè)，∵，∴，∴，，∵點在拋物線上，∴，解得或（舍去），∴，；（3）解：如圖，設(shè)，，∵四邊形為矩形，且點和在拋物線上，∴，，∴矩形所需的木質(zhì)框架總長度，∴當(dāng)，∴矩形所需的木質(zhì)框架總長度有最大值，最大值為5，此時，，設(shè)正方形和正方形的邊長為，則，，將代入，得，整理得，解得或（舍去），∴，∴封閉區(qū)域內(nèi)木質(zhì)框架的總長度米，即，封閉區(qū)域內(nèi)木質(zhì)框架的總長度為米．【變式5】（2025·河南周口·二模）愛思考的小芳在觀看排球比賽時發(fā)現(xiàn)一個有趣的現(xiàn)象：排球被墊起后，沿弧線運動，運動軌跡類似拋物線的一部分，于是她和同學(xué)小宛一起進(jìn)行實驗探究．【提出問題】排球運動過程中距地面的豎直高度與距墊球點的水平距離近似滿足怎樣的函數(shù)關(guān)系？【分析問題】經(jīng)實地測量可知，排球場地長為，球網(wǎng)在場地中央且高度為．建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．測得小宛第一次發(fā)球時排球運動過程中的豎直高度與水平距離的幾組數(shù)據(jù)如下表，并在平面直角坐標(biāo)系中，描出了各組數(shù)值的對應(yīng)點．水平距離024681112豎直高度2.002.442.712.802.712.242.00【解決問題】(1)①請在如圖的平面直角坐標(biāo)系中畫出表示排球運行的軌跡；②根據(jù)表格數(shù)據(jù)和所畫軌跡形狀，求排球運動過程中的豎直高度與水平距離近似滿足的函數(shù)關(guān)系式；③通過計算，判斷小宛這次發(fā)球能否過網(wǎng)，并說明理由．(2)小宛第二次發(fā)球時，如果只上下調(diào)整擊球高度，球運行軌跡形狀不變，那么為了確保排球既要過網(wǎng)，又不出界（排球壓線屬于沒出界），求擊球高度的取值范圍．【答案】(1)①作圖見解析；②；③能，理由見解析(2)【知識點】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、投球問題(實際問題與二次函數(shù))、用描點法畫函數(shù)圖象、二次函數(shù)圖象的平移【分析】本題考查拋物線解實際應(yīng)用題，熟練掌握用待定系數(shù)法求拋物線解析式、拋物線的圖象與性質(zhì)、拋物線的平移等知識是解題的關(guān)鍵．（1）①根據(jù)圖中描的點進(jìn)行連線即可作出圖象；②根據(jù)題意，設(shè)與的函數(shù)關(guān)系式為，將代入計算即可得到答案；③將代入拋物線解析式，求得值與比較即可得到答案；（2）設(shè)擊球高度，則平移距離為，可得平移后的拋物線的解析式為，再根據(jù)，則，，當(dāng)時解方程即可得到答案．【詳解】（1）解：①如圖所示：②根據(jù)題意，設(shè)與的函數(shù)關(guān)系式為，將代入，得，解得，即，將下表中數(shù)據(jù)：水平距離024681112豎直高度2.002.442.712.802.712.242.00代入檢驗，可知排球運動過程中的豎直高度與水平距離近似滿足的函數(shù)關(guān)系式為；③能，理由如下：小宛這次發(fā)球是站在點，發(fā)球點到球網(wǎng)水平距離為，當(dāng)時，，這次發(fā)球能過網(wǎng)；（2）解：由（1）②可知，當(dāng)時，拋物線的解析式為，設(shè)擊球高度，則平移距離為，平移后的拋物線的解析式為，，當(dāng)時，，，，當(dāng)時，，，，答：擊球高度的取值范圍是．【變式6】（2025·山東濰坊·一模）某學(xué)校數(shù)學(xué)興趣社團(tuán)利用二次函數(shù)的知識進(jìn)行探究學(xué)習(xí)．【數(shù)學(xué)建?！克麄儗σ粋€截面為拋物線且設(shè)有兩條（雙向）行車道的隧道進(jìn)行研究（行車道分界線的寬度忽略不計，行駛車輛不能越過分界線），建立如圖1所示的直角坐標(biāo)系，并畫出了隧道截面圖．【實踐應(yīng)用】已知隧道的路面寬為，隧道頂部最高處點P距地面，按規(guī)定，過隧道的車輛的頂部與隧道頂部在豎直方向上的高度差至少為．現(xiàn)有一輛寬、高的廂式貨車計劃從隧道駛過．（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式．（2）請問：廂式貨車能否順利通過隧道？請說明理由．【問題探究】該社團(tuán)為進(jìn)一步探索拋物線的有關(guān)知識，借助上述拋物線模型，設(shè)計了以下問題：（3）如圖2，在拋物線內(nèi)作矩形，使頂點C，D落在拋物線上，頂點A，B落在x軸上．設(shè)矩形的周長為l，求l的最大值．（4）在（3）的條件下，如圖3，在矩形周長最大時，將矩形繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)（），當(dāng)以點P，D，C為頂點的三角形為直角三角形時，請直接寫出旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)．【答案】（1）；（2）廂式貨車能順利通過隧道，理由見解析；（3）；（4）或或【知識點】拱橋問題(實際問題與二次函數(shù))、根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求解、y=ax2+bx+c的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式【分析】此題主要考查了頂點式求二次函數(shù)解析式以及二次函數(shù)最值求法和等腰直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．（1）利用頂點式求出二次函數(shù)解析式即可；（2）根據(jù)已知得出當(dāng)時，正好是汽車寬度，求出即可；（3）首先表示出矩形周長，再利用二次函數(shù)最值公式求出；（4）根據(jù)題意，畫出符合條件的三角形，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)分三種情況求解即可．【詳解】解：（1）根據(jù)坐標(biāo)系可知此函數(shù)頂點坐標(biāo)為，且圖象過點，代入頂點式得：，∴，解得：，∴；（2）廂式貨車能順利通過隧道，理由如下：當(dāng)寬、高的廂式貨車從隧道駛過時，∴，∴代入解析式得：；∴，∴廂式貨車能順利通過隧道；（3）假設(shè)，可得，∴；∵矩形的周長為l，∴，∴當(dāng)時，l的最大值為：；（4）在（3）的條件下，當(dāng)矩形周長最大時，，，，∴，，過點P作于點M，∵，∴，，∴，，如圖，分以下三種情況：當(dāng)時，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，由勾股定理得，∴，∴，∴；當(dāng)時，；當(dāng)時，；綜上所述，旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為或或．【題型四】用一次函數(shù)和反比例函數(shù)解決實際問題【例1】（2024·陜西渭南·模擬預(yù)測）某種玻璃原材料需在環(huán)境保存，取出后勻速加熱至高溫，之后停止加熱，玻璃制品溫度會逐漸降低至室溫，加熱和降溫過程中可以對玻璃進(jìn)行加工，且玻璃加工的溫度要求不低于，玻璃溫度與時間的函數(shù)的關(guān)系如圖所示，降溫階段y與x成反比例函數(shù)關(guān)系，根據(jù)圖象信息，回答下列問題：(1)求能夠?qū)ΣＡнM(jìn)行加工的時長；(2)求玻璃從降至室溫需要的時間．【答案】(1)(2)【知識點】實際問題與反比例函數(shù)【分析】本題考查了反比例函數(shù)和一次函數(shù)的應(yīng)用，讀懂函數(shù)圖象，獲取信息是解決本題的關(guān)鍵．（1）由題可得，在反比例函數(shù)圖象上，設(shè)反比例函數(shù)解析式為，代入點可得，；設(shè)玻璃溫度上升時的函數(shù)表達(dá)式為，求得y與x的函數(shù)關(guān)系式是，于是得到結(jié)論；（2）將代入得，根據(jù)，于是得到結(jié)論．【詳解】（1）解：由題可得，在正比例函數(shù)圖象和反比例函數(shù)圖象上，設(shè)反比例函數(shù)解析式為，代入點可得，，玻璃溫度下降時，與的函數(shù)關(guān)系式是，設(shè)玻璃溫度上升時的函數(shù)表達(dá)式為，代入點可得，，玻璃溫度上升時，與的函數(shù)關(guān)系式是，將代入，得，將代入，得，，能夠?qū)ΣＡнM(jìn)行加工的時長為．（2）解：將代入得，，，玻璃從降至室溫需要的時間為．1.

分關(guān)系建模：識別一次函數(shù)（如固定成本+線性變化量）與反比例函數(shù)（如乘積定值關(guān)系），分別設(shè)y1=k1x+b和y2=k2x，明確實際意義（如k2.

聯(lián)條件求參：用兩組數(shù)據(jù)分別求k1,b和k2，注意單位統(tǒng)一（如速度-時間對應(yīng)反比例，費用-數(shù)量對應(yīng)一次函數(shù)）。3.

結(jié)合圖象分析：畫兩函數(shù)圖象，交點為臨界值，利用一次函數(shù)增減性與反比例函數(shù)單調(diào)性（分象限）判斷最優(yōu)方案（如最小成本區(qū)間）。4.

驗實際定義域：根據(jù)變量非負(fù)性（如x>0）及實際情境（如人數(shù)為整數(shù)）篩選解，必要時用不等式聯(lián)立確定范圍?！纠?】（24-25九年級上·新疆省直轄縣級單位·期末）實驗數(shù)據(jù)顯示，一般成人喝50毫升某品牌白酒后開始計時，血液中酒精含量y（毫克/百毫升）與時間x（時）變化的圖象如圖（圖象由線段與部分雙曲線組成）所示．國家規(guī)定，車輛駕駛?cè)藛T血液中的酒精含大于或等于20（毫克/百毫升）時屬于“酒后駕駛”，不能駕車上路．(1)求部分雙曲線的函數(shù)表達(dá)式，并寫出相應(yīng)的自變量的取值范圍；(2)參照上述數(shù)學(xué)模型，假設(shè)某駕駛員晚上在家喝完50毫升該品牌白酒，第二天早上能否駕去上班？請說明理由．【答案】(1)(2)第二天早上能駕車去上班，見解析【知識點】實際問題與反比例函數(shù)、求一次函數(shù)解析式、求反比例函數(shù)解析式【分析】本題為一次函數(shù)和反比例函數(shù)的應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法等知識點．掌握自變量、函數(shù)值等知識是解題的關(guān)鍵．（1）首先求得線段所在直線的解析式，然后求得點A的坐標(biāo)，代入反比例函數(shù)的解析式即可求解；（2）把代入反比例函數(shù)解析式可求得時間，結(jié)合規(guī)定可進(jìn)行判斷．【詳解】（1）解：設(shè)直線的解析式為，直線過，，，直線的解析式為，當(dāng)時，，即，設(shè)雙曲線的解析式為，將點代入得：，；（2）解：由得，當(dāng)時，，從晚上到第二天早上時間間距為10小時，，第二天早上能駕車去上班．【變式1】（2025·吉林四平·一模）小明家在進(jìn)行房屋裝修時，使用了某品牌的裝修材料，此材料會散發(fā)甲醛．經(jīng)過測試，在自然擴(kuò)散的情況下，從施工開始到結(jié)束，室內(nèi)平均每立方米的甲醛含量（毫克/立方米）與時間（月）成正比例．施工結(jié)束后，與成反比例．這兩個變量之間的關(guān)系如圖所示．請根據(jù)圖中信息，回答下列問題：(1)求施工結(jié)束后關(guān)于的函數(shù)解析式；(2)已知國際上適宜居住的甲醛含量標(biāo)準(zhǔn)為小于或等于毫克/立方米，按照這個標(biāo)準(zhǔn)．請問小明一家從施工開始計算，至少經(jīng)過多久才可以入?。俊敬鸢浮?1)(2)個月【知識點】從函數(shù)的圖象獲取信息、實際問題與反比例函數(shù)【分析】本題主要考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的應(yīng)用，理解題意，結(jié)合函數(shù)圖像獲取所需信息是解題的關(guān)鍵．（1）利用待定系數(shù)法，將點代入，求出反比例函數(shù)解析式即可；（2）利用（1）求出的解析式，當(dāng)時，，解得，即可求出答案．【詳解】（1）解：當(dāng)時，設(shè)此階段關(guān)于的函數(shù)解析式為，將點代入，可得，解得：，所以施工結(jié)束后關(guān)于的函數(shù)解析式為；（2）解：當(dāng)時，，解得：，答：小明一家從施工開始計算，至少經(jīng)過個月才可以入?。咀兪?】（2024·湖南郴州·模擬預(yù)測）某數(shù)學(xué)小組探究“酒精對人體的影響”，資料顯示，一般飲用低度白酒100毫升后，血液中酒精含量y（毫克/百毫升）與時間x（時）的關(guān)系可近似的用如圖所示的圖象表示．國家規(guī)定，人體血液中的酒精含量大于或等于20（毫克/百毫升）時屬于“酒后駕駛”，不能駕車上路．(1)求部分雙曲線的函數(shù)表達(dá)式；(2)參照上述數(shù)學(xué)模型，假設(shè)某人晚上喝完100毫升低度白酒，則此人第二天早上能否駕車出行？請說明理由．【答案】(1)(2)不能，見解析【知識點】求反比例函數(shù)解析式、實際問題與反比例函數(shù)【分析】本題考查反比例函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象、待定系數(shù)法的應(yīng)用是解題關(guān)鍵．（1）由待定系數(shù)法可以求出的函數(shù)表達(dá)式，從而得到點坐標(biāo)，進(jìn)一步得到點坐標(biāo)，然后再利用待定系數(shù)法可以得到部分雙曲線的函數(shù)表達(dá)式；（2）在部分雙曲線的函數(shù)表達(dá)式中令，可以得到飲用低度白酒100毫升后完全醒酒的時間范圍，再把題中某人喝酒后到準(zhǔn)備駕車的時間間隔進(jìn)行比較即可得解．【詳解】（1）解：設(shè)的函數(shù)表達(dá)式為，則：，，的函數(shù)表達(dá)式為，當(dāng)時，，可設(shè)部分雙曲線的函數(shù)表達(dá)式為，由圖象可知，當(dāng)時，，，部分雙曲線的函數(shù)表達(dá)式為；（2）解：在中，令，可得：，解之可得：，晚上到第二天早上的時間間隔為，，某人晚上喝完100毫升低度白酒，則此人第二天早上時體內(nèi)的酒精含量高于20（毫克百毫升），某人晚上喝完100毫升低度白酒，則此人第二天早上不能駕車出行．【變式3】某校對教室采用藥薰法進(jìn)行滅蚊．根據(jù)藥品使用說明，藥物燃燒時，室內(nèi)每立方米空氣中含藥量與藥物點燃后的時間成正比例，藥物燃盡后，y與x成反比例（如圖）．已知藥物點燃后燃盡，此時室內(nèi)每立方米空氣中含藥量為．(1)求藥物燃燒時，y與x之間函數(shù)的表達(dá)式；(2)求藥物燃盡后，y與x之間函數(shù)的表達(dá)式；(3)根據(jù)滅蚊藥品使用說明，當(dāng)空氣中每立方米的含藥量低于時，對人體是安全的．那么從開始藥薰，至少經(jīng)過多少時間，學(xué)生才能進(jìn)入教室？(4)根據(jù)滅蚊藥品使用說明，當(dāng)每立方米空氣中含藥量不低于且持續(xù)時間不低于時，才能有效殺滅室內(nèi)的蚊蟲，那么此次滅蚊是否有效？為什么？【答案】(1)(2)(3)從藥薰開始，至少需要經(jīng)過30分鐘后，學(xué)生才能回到教室(4)能有效殺滅室內(nèi)的蚊蟲，見解析【知識點】實際問題與反比例函數(shù)、其他問題(一次函數(shù)的實際應(yīng)用)【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)和正比例函數(shù)的應(yīng)用，正確數(shù)形結(jié)合得出函數(shù)解析式是解題關(guān)鍵．（1）依據(jù)題意，利用待定系數(shù)法可得出答案；（2）依據(jù)題意，利用待定系數(shù)法可得出答案；（3）依據(jù)題意，當(dāng)時，求得反比例函數(shù)的值，可得出答案；（4）依據(jù)題意，將分別代入兩個解析式，得出答案．【詳解】（1）解：由題意，設(shè)藥物燃燒時y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是，將點代入，，，藥物燃燒時y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是，自變量x的取值范圍是；（2）解：由題意，設(shè)藥物燃燒后y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是，把代入，，藥物燃燒后y與x的函數(shù)關(guān)系式為，自變量x的取值范圍是；（3）解：由題意，當(dāng)時，代入，，從藥薰開始，至少需要經(jīng)過30分鐘后，學(xué)生才能回到教室；（4）解：此次滅蚊有效，將分別代入，，和，持續(xù)時間是，能有效殺滅室內(nèi)的蚊蟲．【題型五】用一次函數(shù)和二次函數(shù)解決實際問題【例1】（2025·云南昆明·模擬預(yù)測）某水果店出售一批水果，已知該水果的銷售量（千克）與銷售單價（元）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，其中該水果的銷售單價不超過元．(1)求與的函數(shù)解析式；(2)當(dāng)水果店將該批水果的銷售單價定為多少元時，銷售額最大，最大銷售額是多少元？【答案】(1)(2)該批水果的銷售單價定為元時，銷售額最大是元【知識點】銷售問題(實際問題與二次函數(shù))、求一次函數(shù)解析式、最大利潤問題(一次函數(shù)的實際應(yīng)用)、y=ax2+bx+c的最值【分析】本題考查二次函數(shù)的實際應(yīng)用，一次函數(shù)的實際應(yīng)用，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練根據(jù)題意正確確定取值范圍并列出式子是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意分時和時兩段分類討論即可；（2）設(shè)銷售額為，利用對分段函數(shù)分別求最值即可．【詳解】（1）解：由題意得，當(dāng)時，；當(dāng)時，是關(guān)于的一次函數(shù)，設(shè)，將和代入，得：，解得：，∴，綜上所述，；（2）解：設(shè)銷售額為，當(dāng)時，，是一次函數(shù)，且隨的增大而增大，∴當(dāng)時取得最大值；當(dāng)時，，是二次函數(shù)，且開口向下，∴當(dāng)時取得最大值，綜上所述，該批水果的銷售單價定為元時，銷售額最大，最大銷售額是元．1.

分場景建模：一次函數(shù)（線性變化，如勻速運動、固定單價）設(shè)y1=k1x+b，二次函數(shù)（拋物線最值，如利潤、面積）設(shè)y2=ax2+bx+c，根據(jù)“每…增加”“最大/小”等關(guān)鍵詞判斷。2.

聯(lián)條件求參：用實際數(shù)據(jù)（如兩點坐標(biāo)）求一次函數(shù)參數(shù)，用頂點（如最值點）或三點坐標(biāo)求二次函數(shù)參數(shù)，注意單位統(tǒng)一。3.

結(jié)合圖象分析：一次函數(shù)看增減性（k1正負(fù)），二次函數(shù)用頂點(-b2a,4ac?b24a)和開口方向（a正負(fù)）定最值，結(jié)合定義域（如4.

驗實際意義：驗證解是否符合情境（如銷量為整數(shù)、邊長為正），必要時比較端點值與頂點值，規(guī)范作答帶單位。【例2】（2025·四川成都·一模）春節(jié)期間，由“餃子”編劇并執(zhí)導(dǎo)的奇幻動畫電影《哪吒之魔童鬧?！芬簧嫌尘瞳@得觀眾好評．某商家抓住商機(jī)，隨即銷售一種成本為每件20元的特色哪吒紀(jì)念品．經(jīng)銷售發(fā)現(xiàn)：當(dāng)售價為每件30元時，每天可售出100件；售價每上漲2元，日銷量就會減少4件；售價每下降1元，日銷量就會增加5件．設(shè)該紀(jì)念品的售價為每件元（為整數(shù)且），每天的銷售量為件．(1)求出與的函數(shù)關(guān)系式；(2)該紀(jì)念品售價定為多少元時，商家每天獲得的銷售利潤最大？最大利潤是多少？【答案】(1)；(2)當(dāng)定價為50元時，商家每天獲得的最大利潤為1800元．【知識點】其他問題(一次函數(shù)的實際應(yīng)用)、銷售問題(實際問題與二次函數(shù))【分析】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，二次函數(shù)的應(yīng)用，掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．（1）分情況列出一次函數(shù)關(guān)系式即可；（2）根據(jù)題意，求出每種情況的最大利潤，再比較即可得出答案．【詳解】（1）解：當(dāng)時，每天的銷量為，當(dāng)時，日銷量為，∴；（2）解：設(shè)商家獲得的利潤為w元，當(dāng)時，則，對稱軸為，，且x為整數(shù)，此時w隨x的增大而增大，故當(dāng)時，則最大利潤，當(dāng)時，則，對稱軸為，，且x為整數(shù)，此時w隨x的增大而增大，當(dāng)時，則最大利潤，綜上所述：當(dāng)定價為50元時，商家每天獲得的利潤最大，最大利潤為1800元．【變式1】（2025·湖北襄陽·一模）某商家銷售一種成本為元的商品，當(dāng)售價定為元件時，每天可銷售件，根據(jù)經(jīng)驗，售價每漲價元，每天銷量將減少件，且單件該商品的利潤率不能超過．(1)求每天的銷量（件）與當(dāng)天的銷售單價（元件）滿足的函數(shù)關(guān)系式（不用寫出自變量的取值范圍）；(2)當(dāng)銷售單價定為多少元時，商家銷售該商品每天獲得的利潤最大，并求出最大利潤；(3)當(dāng)銷售單價定為什么范圍時，商家銷售該商品每天獲得的利潤不低于元？【答案】(1)；(2)當(dāng)銷售單價定為元時，商家銷售該商品每天獲得的利潤最大，最大利潤是元；(3)當(dāng)時每天獲得的利潤不低于元．【知識點】營銷問題(一元二次方程的應(yīng)用)、銷售問題(實際問題與二次函數(shù))、求一次函數(shù)解析式【分析】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，一元二次方程的應(yīng)用，二次函數(shù)的應(yīng)用，掌握知識點的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．（）根據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系式即可；（）設(shè)利潤為元，得出，再求出，再通過，開口向下，當(dāng)時，隨的增大而增大，則當(dāng)時，有最大值；（）根據(jù)題意，得，再根據(jù)根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可知當(dāng)時，．【詳解】（1）解：；（2）解：設(shè)利潤為元，，

又∵單件該商品的利潤率不能超過，∴，解得，，∵，開口向下，當(dāng)時，隨的增大而增大，∴時，最大為元，答：當(dāng)銷售單價定為元時，商家銷售該商品每天獲得的利潤最大，最大利潤是元；（3）解：根據(jù)題意，得，解這個方程，得，，∵，開口向下，且，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)：當(dāng)時，，答：當(dāng)時每天獲得的利潤不低于元．【變式2】（2025·山東濱州·一模）【問題背景】2025年春晚小品《借傘》中集齊京劇、粵劇、川劇、越劇四種不同風(fēng)格的《白蛇傳》，且出現(xiàn)的西湖竹骨綢傘是浙江省杭州地區(qū)特有的特色傳統(tǒng)手工藝品，造型靈巧、色彩鮮艷，既可遮蔽陽光，又可作為裝飾品．某商店銷售一種西湖竹骨綢傘，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：該商品的周銷售量（件）是售價（元/件）的一次函數(shù)，其售價、周銷售量、周銷售利潤（元）的三組對應(yīng)值如下表：售價（元/件）周銷售量周銷售利潤（元）注：周銷售利潤周銷售量×售價【建立模型】(1)求關(guān)于的函數(shù)解析式（不要求寫出自變量的取值范圍）；(2)求周銷售利潤關(guān)于的函數(shù)解析式（不需要寫出自變量的取值范圍），并求出周銷售利潤的最大值．【答案】(1)(2)；當(dāng)售價是元時，最大利潤是元；【知識點】其他問題(一次函數(shù)的實際應(yīng)用)、銷售問題(實際問題與二次函數(shù))【分析】本題考查了一次函數(shù)解析式和二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵；（1）設(shè)函數(shù)解析式為，再運用待定系數(shù)法解答即可；（2）先確定進(jìn)價，然后再利用銷售利潤銷售量售價進(jìn)價確定二次函數(shù)解析式，然后再確定函數(shù)解析式即可．【詳解】（1）解：設(shè)一次函數(shù)解析式為，根據(jù)題意，得，解得所以與的函數(shù)表達(dá)式為．（2）進(jìn)價為（元/件），所以所以當(dāng)元時，周銷售利潤最大，最大利潤為元．【變式3】（2025·江西吉安·一模）小黃做小商品的批發(fā)生意，其中某款“中國結(jié)”每件的成本為元，這款“中國結(jié)”的批發(fā)單價（元）與一次批發(fā)量（為正整數(shù)）（件）之間滿足如圖所示的函數(shù)關(guān)系．(1)當(dāng)時，求與的函數(shù)關(guān)系式；(2)某零售商在小黃處一次性批發(fā)該款“中國結(jié)”，共支付元，求此次批發(fā)量；(3)某零售商在小黃處一次性批發(fā)該款“中國結(jié)”（）件，小黃獲得的利潤為元，當(dāng)為何值時，小黃獲得的利潤最大？最大利潤是多少？【答案】(1)(2)件(3)當(dāng)時，小黃獲得的利潤最大，最大利潤為元【知識點】從函數(shù)的圖象獲取信息、銷售問題(實際問題與二次函數(shù))、求一次函數(shù)解析式【分析】本題主要涉及一次函數(shù)的求解、一元二次方程的應(yīng)用以及二次函數(shù)的最大值問題，解題的關(guān)鍵是通過給定的函數(shù)圖像和條件，逐步求解函數(shù)關(guān)系式、批發(fā)量以及最大利潤．（1）根據(jù)圖像中的兩點和，利用待定系數(shù)法，求解一次函數(shù)的系數(shù)和即可；（2）根據(jù)支付金額位于元和元之間，確定批發(fā)量位于與之間，利用函數(shù)關(guān)系式，確定，通過方程求解；（3）利潤等于收入減去成本，當(dāng)時，，通過二次函數(shù)的頂點式找到的最大值；當(dāng)時，，利潤隨增加而增加，求出的最大值；和的最大值作比較，即可得出答案．【詳解】（1）解：設(shè)當(dāng)時，與的函數(shù)關(guān)系式為：，把點和代入解析式得：，，解得：，，當(dāng)時，與的函數(shù)關(guān)系式為：；（2）由圖可知，當(dāng)時，所付款為（元），當(dāng)時，所付款為（元），，購買數(shù)量位于與之間，，整理得：，解得：，（舍去），答：此次批發(fā)量為件；（3）①當(dāng)時，，，當(dāng)時，有最大值，最大值為元；②當(dāng)時，批發(fā)單價固定，批發(fā)量越大，則利潤越大，當(dāng)時，利潤最大，最大利潤為元；綜上所述，，當(dāng)時，最大，最大利潤為元．【題型六】用一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)解決實際問題【例1】（2024·廣西欽州·一模）百惠超市從果農(nóng)處購進(jìn)柚子的成本價為3元/千克，在銷售過程中發(fā)現(xiàn)，每天的銷售量y（千克）與銷售單價x（元/千克）之間的關(guān)系如圖所示，其中為反比例函數(shù)圖象的一部分，為一次函數(shù)圖象的一部分．(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)銷售單價為多少元時，該超市每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少元？【答案】(1)(2)當(dāng)銷售單價為10元時，該超市每天的銷售利潤最大，最大利潤為980元【分析】本題主要考查了一次函數(shù)的實際應(yīng)用，反比例函數(shù)的實際應(yīng)用，二次函數(shù)的實際應(yīng)用：（1）分兩段：當(dāng)時，當(dāng)時，利用待定系數(shù)法解答，即可求解；（2）設(shè)利潤為w元，分兩段：當(dāng)時，當(dāng)時，求出w關(guān)于x的函數(shù)解析式，再根據(jù)反比例函數(shù)以及二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解．【詳解】（1）解：當(dāng)時，設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為，∵點在該函數(shù)圖象上，∴，解得：，∴當(dāng)時，y與x的函數(shù)關(guān)系式為，當(dāng)時，設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為，，解得，即當(dāng)時，y與x的函數(shù)關(guān)系式為，綜上所述，y與x的函數(shù)關(guān)系式為；（2）解：設(shè)利潤為w元，當(dāng)時，，∵，∴y隨x的增大而增大，∴w隨x的增大而減小，∴當(dāng)時，w取得最大值，此時，當(dāng)時，，∴當(dāng)x=10時，w取得最大值，此時w=980，∵980>480，∴當(dāng)銷售單價為10時，該超市每天的銷售利潤最大，最大利潤是980元，答：當(dāng)銷售單價為10時，該超市每天的銷售利潤最大，最大利潤是980元．1.

辨模型：一次函數(shù)（線性變化，如單價×數(shù)量+固定成本）、反比例函數(shù)（乘積定值，如路程=速度×?xí)r間）、二次函數(shù)（拋物線最值，如利潤=銷量×單利）。2.

定解析式：一次函數(shù)用兩點法求k,b，反比例函數(shù)用一點求k，二次函數(shù)用頂點或三點求a,h,k。3.

求最值與臨界：一次函數(shù)看增減性，反比例函數(shù)分象限討論，二次函數(shù)用頂點(-b2a,4ac?4.

驗實際意義：確保變量非負(fù)、符合情境（如人數(shù)為整數(shù)），結(jié)合圖象直觀判斷合理性?！纠?】（2025·河南信陽·一模）跳臺滑雪是冬季奧運會的比賽項目之一，運動員通過助滑道后在點A處起跳經(jīng)空中