單位化聚題目及答案一、單項選擇題（每題2分，共10分）1.單位化聚是指將一個數(shù)表示為一個單位向量與一個標(biāo)量的乘積。以下哪個選項不是單位化聚的定義？A.將一個向量表示為一個單位向量與一個標(biāo)量的乘積B.將一個向量表示為一個單位向量和它的模的乘積C.將一個向量表示為一個單位向量和它的范數(shù)的乘積D.將一個向量表示為一個單位向量和它的模的平方的乘積答案：D2.給定向量\(\vec{v}=(3,4)\)，其單位化聚后的向量是？A.\(\left(\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right)\)B.\(\left(\frac{3}{4},\frac{4}{3}\right)\)C.\(\left(\frac{4}{5},\frac{3}{5}\right)\)D.\(\left(\frac{4}{3},\frac{3}{4}\right)\)答案：A3.對于向量\(\vec{a}=(2,-3)\)和\(\vec=(-4,6)\)，下列哪個選項是正確的？A.\(\vec{a}\)和\(\vec\)是平行的B.\(\vec{a}\)和\(\vec\)是垂直的C.\(\vec{a}\)和\(\vec\)是非共線的D.\(\vec{a}\)和\(\vec\)既不是平行的也不是垂直的答案：A4.如果向量\(\vec{u}\)和\(\vec{v}\)是單位向量，那么它們的點積\(\vec{u}\cdot\vec{v}\)的取值范圍是？A.\(-1\leq\vec{u}\cdot\vec{v}\leq1\)B.\(0\leq\vec{u}\cdot\vec{v}\leq1\)C.\(-1\leq\vec{u}\cdot\vec{v}\leq0\)D.\(0\leq\vec{u}\cdot\vec{v}\leq2\)答案：A5.給定向量\(\vec{w}=(1,2,3)\)，其單位化聚后的向量是？A.\(\left(\frac{1}{\sqrt{14}},\frac{2}{\sqrt{14}},\frac{3}{\sqrt{14}}\right)\)B.\(\left(\frac{1}{\sqrt{6}},\frac{2}{\sqrt{6}},\frac{3}{\sqrt{6}}\right)\)C.\(\left(\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{2}{\sqrt{3}},\frac{3}{\sqrt{3}}\right)\)D.\(\left(\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{3}{3}\right)\)答案：A二、填空題（每題3分，共15分）6.單位化聚一個向量\(\vec{x}=(x_1,x_2,...,x_n)\)的步驟是：首先計算向量的模\(\|\vec{x}\|=\sqrt{x_1^2+x_2^2+...+x_n^2}\)，然后計算單位化聚后的向量\(\vec{u}=\frac{\vec{x}}{\|\vec{x}\|}=\left(\frac{x_1}{\|\vec{x}\|},\frac{x_2}{\|\vec{x}\|},...,\frac{x_n}{\|\vec{x}\|}\right)\)。7.如果向量\(\vec{p}=(p_1,p_2)\)和\(\vec{q}=(q_1,q_2)\)是共線的，那么存在一個標(biāo)量\(k\)使得\(\vec{p}=k\vec{q}\)，即\(p_1=kq_1\)和\(p_2=kq_2\)。8.兩個向量\(\vec{a}\)和\(\vec\)的點積定義為\(\vec{a}\cdot\vec=a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n\)。9.向量\(\vec{r}=(r_1,r_2,r_3)\)的模（或范數(shù)）定義為\(\|\vec{r}\|=\sqrt{r_1^2+r_2^2+r_3^2}\)。10.如果向量\(\vec{s}\)和\(\vec{t}\)是垂直的，那么它們的點積\(\vec{s}\cdot\vec{t}=0\)。三、計算題（每題10分，共20分）11.給定向量\(\vec{A}=(4,-3,6)\)，計算其單位化聚后的向量。解：首先計算向量\(\vec{A}\)的模：\[\|\vec{A}\|=\sqrt{4^2+(-3)^2+6^2}=\sqrt{16+9+36}=\sqrt{61}\]然后計算單位化聚后的向量：\[\vec{u}=\frac{\vec{A}}{\|\vec{A}\|}=\left(\frac{4}{\sqrt{61}},\frac{-3}{\sqrt{61}},\frac{6}{\sqrt{61}}\right)\]12.給定向量\(\vec{B}=(2,5)\)和\(\vec{C}=(4,10)\)，判斷它們是否共線，并說明理由。解：計算向量\(\vec{B}\)和\(\vec{C}\)的對應(yīng)分量的比值：\[\frac{2}{4}=\frac{1}{2},\quad\frac{5}{10}=\frac{1}{2}\]由于\(\vec{B}\)和\(\vec{C}\)的對應(yīng)分量的比值相等，所以它們是共線的。四、證明題（每題15分，共30分）13.證明：如果向量\(\vec{u}\)和\(\vec{v}\)是單位向量，那么它們的點積\(\vec{u}\cdot\vec{v}\)的取值范圍是\([-1,1]\)。證明：由于\(\vec{u}\)和\(\vec{v}\)是單位向量，它們的模都是1。根據(jù)點積的定義，我們有：\[\vec{u}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|\cos\theta=\cos\theta\]其中\(zhòng)(\theta\)是\(\vec{u}\)和\(\vec{v}\)之間的夾角。由于\(\cos\theta\)的取值范圍是\([-1,1]\)，因此\(\vec{u}\cdot\vec{v}\)的取值范圍也是\([-1,1]\)。14.證明：如果兩個向量\(\vec{a}\)和\(\vec\)是垂直的，那么它們的點積\(\vec{a}\cdot\vec=0\)。證明：根據(jù)點積的定義，我們有：\[\vec{a}\cdot\vec=a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n\]如果\(\vec{a}\)和\(\vec\)是垂直的，那么它們之間的夾角\(\theta\)是\(90^\circ