隨機事件與概率專題41專題41——隨機事件與概率【知識要點】1．在實際生活中，往往在完全相同的綜合條件下出現(xiàn)的結果是不同的，為了敘述的方便，我們把條件每實現(xiàn)一次，叫作進行一次試驗．試驗的結果中所發(fā)生的現(xiàn)象叫作

．若試驗的每一個結果事先不能確定，但是一切可能出現(xiàn)的結果卻是已知的，這樣的試驗叫作隨機試驗，簡稱試驗．事件專題41——隨機事件與概率【知識要點】2．我們把一個隨機試驗的一切可能結果構成的集合叫作這個試驗的樣本空間，常用大寫希臘字母Ω表示；樣本空間的元素為基本事件或樣本點，常用小寫希臘字母ω表示．樣本空間的子集叫作隨機事件，簡稱事件．專題41——隨機事件與概率【知識要點】必然事件：在一定條件下

的事件叫作必然事件，用Ω表示．不可能事件：在一定條件下

的事件叫作不可能事件，用?表示．隨機事件：在一定條件下

的事件叫作隨機事件，常用大寫字母A，B，C表示．必然要發(fā)生不可能發(fā)生可能發(fā)生也可能不發(fā)生專題41——隨機事件與概率【知識要點】3．如果在相同的條件下，事件A在n次重復試驗中出現(xiàn)了m次，那么比值

叫作事件A的頻率．當試驗次數(shù)充分大時，事件A發(fā)生的頻率

總在某個常數(shù)附近擺動，此時就把這個常數(shù)叫作事件A發(fā)生的概率，記作P(A)．這個定義叫作概率的統(tǒng)計定義．專題41——隨機事件與概率【知識要點】4．如果一個隨機試驗的所有基本事件的總結果數(shù)為n，事件A所包含的基本事件結果數(shù)為m，則事件A的概率P(A)＝

．必然事件的概率為

，不可能事件的概率為

．因此，概率的范圍是

．10[0，1]專題41——隨機事件與概率概率與頻率區(qū)別與聯(lián)系頻率和概率的區(qū)別是頻率隨著試驗次數(shù)的變化而變化，概率卻是一個常數(shù)，它是頻率的科學抽象.當試驗次數(shù)越來越多時，頻率向概率靠近，只要次數(shù)足夠多，所得頻率就可以近似地當作隨機事件的概率.專題41——隨機事件與概率【知識要點】5.互斥事件（或互不相容事件）一次試驗中不可能同時發(fā)生的兩個事件，叫做互斥（或互不相容事件）6.對立事件一次試驗中必有一個發(fā)生的兩個互斥事件，叫做對立事件，事件A的對立事件記為7.相互獨立事件一個事件的發(fā)生與否對另一個事件的發(fā)生的概率沒有影響，則稱這兩個事件為相互獨立事件專題41——隨機事件與概率互斥事件與對立事件區(qū)別與聯(lián)系在一次試驗中，兩個互斥的事件有可能都不發(fā)生，也可能有一個發(fā)生；而兩個對立的事件必有一個發(fā)生，但不可能同時發(fā)生.所以，兩個事件互斥，它們未必對立；反之，兩個事件對立，它們一定互斥.也就是說，兩個事件對立是這兩個事件互斥的充分不必要條件.專題41——隨機事件與概率【三年模擬+真題】1.(2023年山東省春季高考模擬卷七)從12件產(chǎn)品中（其中10件時正品，2件是次品）任意抽取3件產(chǎn)品，則下列事件中是必然事件的是（

）A.3件都是正品B.3件產(chǎn)品中至少有1件是次品C.3件產(chǎn)品都是次品D.3件產(chǎn)品至少有1件是正品【解析】因為3件產(chǎn)品中最多只能有2件次品，所以至少有1件是正品，故答案選D專題41——隨機事件與概率2.（2018年河南省對口升學招生考試數(shù)學試卷）下列事件是必然事件的是（

）A.擲一枚硬幣出現(xiàn)正面向上B.若x是實數(shù)，則x2≥0C.買一張獎券中獎D.檢驗一只燈泡合格【解析】因為對任意實數(shù)x，都有x2≥0，故是必然事件，其他是隨機事件，答案選B專題41——隨機事件與概率3.（2021年河南省對口升學考試數(shù)學試卷）若事件A為必然事件，則其對立事件

的概率等于

?！窘馕觥恳驗榇鸢福簩ｎ}41——隨機事件與概率4.（2021年河北省對口高考）設事件A與B為互斥事件，則下列式子一定成立的是（

）A.P(A)+P(B)<1B.P(A)+P(B)>1C.P(A)+P(B)=1D.P(A)+P(B)≤1【解析】因為事件A與B為互斥事件，所以P(A)+P(B)≤1答案選D專題41——隨機事件與概率【例1】

下列事件中，指出哪些是隨機事件，哪些是必然事件，哪些是不可能事件．(1)擲一顆骰子，出現(xiàn)的點數(shù)是4；(2)擲一枚硬幣，正面向上；(3)在一天中的某一時刻，測試某人的體溫為36.8℃；(4)定點投籃球，第一次就投籃命中；(5)在標準大氣壓下，將水加熱到100℃時，水沸騰；(6)在標準大氣壓下，100℃時，金屬鐵變?yōu)橐簯B(tài)．專題41——隨機事件與概率【解析】(1)，(2)，(3)，(4)為隨機事件；(5)是必然事件；(6)是不可能事件．專題41——隨機事件與概率【變式練習1】

有下列事件：①口袋里有巧克力味、水果味的糖果若干顆，隨機地摸出一顆是巧克力味的；②在標準大氣壓下，水在90℃沸騰；③射擊運動員射擊一次命中10環(huán)；④直線y＝k(x＋1)過定點(－1，0)；⑤沒有水分，黃豆能發(fā)芽；⑥在地球上觀看，太陽升于東方，落于西方．其中是隨機事件的有

，是必然事件的有

，是不可能事件的有

．(填序號)①③④⑥②⑤專題41——隨機事件與概率【例2】某批乒乓球產(chǎn)品質量檢查結果如表所示．抽取球數(shù)(n)5010020050010002000優(yōu)等品數(shù)(m)45921944709541902優(yōu)等品頻率()0.900.920.970.940.950.95專題41——隨機事件與概率(1)填寫表中抽到優(yōu)等品的各個頻率；(結果保留兩位小數(shù))(2)抽查優(yōu)等品的概率約為

．(結果保留兩位小數(shù))0.95【解析】(1)表中抽到優(yōu)等品的優(yōu)等品頻率＝

．(2)頻率在什么值左右擺動，則抽查優(yōu)等品的概率就是多少．專題41——隨機事件與概率【例3】寫出下列隨機試驗的樣本空間和隨機事件的基本事件，并求出隨機事件發(fā)生的概率．(1)擲一枚骰子，擲出點數(shù)為6；(2)擲兩枚硬幣，出現(xiàn)兩枚正面朝上．專題41——隨機事件與概率【解析】(1)樣本空間Ω＝{1，2，3，4，5，6}，基本事件為{6}，P＝

．(2)樣本空間Ω＝{(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)}，基本事件為{(正，正)}，P＝

．專題41——隨機事件與概率【變式訓練3】

一個口袋中有五個外形完全相同的球，編號分別為1，2，3，4，5從中抽取一個．求：(1)“取出球的編號為5”的概率；(2)“取出兩個球，編號恰為3，5”的概率．【解析】：(1)P＝

．(2)P＝

．專題41——隨機事件與概率【例4】判斷下列各對事件是否是互斥事件或對立事件.某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名同學去參加演講比賽，其中(1)恰有1名男生和恰有2名男生；(2)至少有1名男生和至少有1名女生；(3)至少有1名男生和全是男生；(4)至少有1名男生和全是女生.【解析】(1)是互斥事件，不是對立事件.原因是：在所選的2名同學中，“恰有1名男生”實質是選出的是“1名男生和1名女生”，它與“恰有兩名男生”不可能同時發(fā)生，所以是一對互斥事件.但其并事件不是必然事件，所以不是對立事件.專題41——隨機事件與概率(2)不可能是互斥事件，從而也不是對立事件.原因是：“至少有1名男生”包括“1名男生和1名女生”與“兩名都是男生”兩種結果.“至少有1名女生”包括“1名女生和1名男生”與“兩名都是女生”兩種結果，它們可能同時發(fā)生.(3)不可能是互斥事件，也不是對立事件.原因是：“至少有1名男生”包括“1名男生和1名女生”與“兩名都是男生”，這與“全是男生”可能同時發(fā)生.(4)是互斥事件，也是對立事件.原因是：“至少有1名男生”包括“1名男生和1名女生”與“兩名都是男生”兩種結果，它與“全是女生”不可能同時發(fā)生，且其并事件是必然事件，所以也是對立事件.專題41——隨機事件與概率【變式練習4】從一副橋牌(52張)中任取1張.判斷下列每對事件是否為互斥事件，是否為對立事件.(1)“抽出紅桃”與“抽出黑桃”；(2)“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”；(3)“抽出的牌點數(shù)為3的倍數(shù)”與“抽出的牌點數(shù)大于10”.專題41——隨機事件與概率【解析】(1)是互斥事件但不是對立事件.因為“抽出紅桃”與“抽出黑桃”在僅取一張時不可能同時發(fā)生，因而是互斥的.同時，不能保證其中必有一個發(fā)生，因為還可能抽出“方塊”或“梅花”，因此兩者不對立.(2)是互斥事件又是對立事件.因為兩者不可能同時發(fā)生，但其中必有一個發(fā)生.(3)不是互斥事件，更不是對立事件.因為“抽出的牌點數(shù)為3的倍數(shù)”與“抽出的牌點數(shù)大于10”這兩個事件有可能同時發(fā)生.專題41——隨機事件與概率【課堂自測題】1．下列說法正確是(

)

A．概率很小的事件不可能發(fā)生B．隨機事件發(fā)生的概率為1C．不可能發(fā)生事件的概率為0D．拋擲一枚質地均勻的硬幣10次，正面朝上的次數(shù)一定是5【解析】根據(jù)隨機事件的概率

答案選C專題41——隨機事件與概率2．下列事件中必然會發(fā)生的是(

)

A．擲一枚硬幣，正面向上

B．沒有空氣，動物也能生存下去C．擲兩顆骰子點數(shù)之和為13

D．在標準大氣壓下，水在－10℃會結成冰【解析】根據(jù)必然事件的定義，答案選D專題41——隨機事件與概率3．若E＝{擲一枚骰子點數(shù)不超過6}，則P(E)等于(

)

A．P(E)＝1 B．P(E)＝

C．P(E)＝6 D．P(E)＝0【解析】事件E是必然事件．答案選A專題41——隨機事件與概率4．若從1名男生和4名女生中任選2人擔任某活動的志愿者，則基本事件的個數(shù)為(

)

A．2

B．7

C．10

D．12【解析】

＝10．答案選C專題41——隨機事件與概率5.袋中裝有3個白球，4個黑球，從中任取3個球，則①恰有1個白球和全是白球；②至少有1個白球和全是黑球；③至少有1個白球和至少有2個白球；④至少有1個白球和至少有1個黑球．在上述事件中，是對立事件的為()(A)① (B)② (C)③ (D)④【解析】由對立事件的定義可知，“至少有一個白球”和“全是黑球”為對立事件．答案選B專題41——隨機事件與概率6．下列事件中必然事件有

；不可能事件有

；隨機事件有

．①在標準大氣壓下，水加熱到80℃時會沸騰；②實數(shù)的絕對值不小于0；③某人買彩票中獎；④地球繞著太陽轉；⑤擲一顆骰子出現(xiàn)4點．②④①③⑤專題41——隨機事件與概率7．拋擲一顆骰子一次，“擲得偶數(shù)點”的概率為

．8．密碼箱上四個撥盤(四位密碼)，撥盤0～9共10個數(shù)字，“開一次就能開鎖”的概率是

．【解析】7.

8.P＝

．專題41——隨機事件與概率9．將一顆骰子先后拋擲兩次，求：(1)一共有多少種不同的結果？(2)其中“朝上點數(shù)之和為5”的結果有多少種？【解析】：(1)∵拋擲一次有6種不同的結果，∴拋擲兩次共有6×6＝36(種)不同的結果．(2)“朝上點數(shù)之和為5”的結果有(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，共4種．專題41——隨機事件與概率10．連續(xù)抽檢了某車間一周內的產(chǎn)品，結果如下表所示(精確到0.01)．星期一二三四五六日100150600900120018002400生產(chǎn)產(chǎn)品總數(shù)(n)次品數(shù)(m)101952100109