11.1

隨機(jī)事件與概率、事件的相互獨(dú)立性第十一章課標(biāo)要求1.結(jié)合具體實(shí)例,理解樣本點(diǎn)和有限樣本空間的含義,理解隨機(jī)事件與樣本點(diǎn)的關(guān)系.了解隨機(jī)事件的并、交與互斥的含義,能結(jié)合實(shí)例進(jìn)行隨機(jī)事件的并、交運(yùn)算.2.通過實(shí)例,理解概率的性質(zhì),掌握隨機(jī)事件概率的運(yùn)算法則.3.結(jié)合實(shí)例,會(huì)用頻率估計(jì)概率.4.結(jié)合有限樣本空間,了解兩個(gè)隨機(jī)事件獨(dú)立性的含義,結(jié)合古典概型,利用獨(dú)立性計(jì)算概率.備考指導(dǎo)隨機(jī)事件與概率、事件的相互獨(dú)立性是高考的重點(diǎn)內(nèi)容,高考中主要在選擇題、填空題中考查,難度中等.本節(jié)內(nèi)容在解答題中一般不會(huì)單獨(dú)命題,但經(jīng)常滲透到概率和統(tǒng)計(jì)的解答題中.本節(jié)常用的方法有代入法、估算法、間接法,使用公式時(shí)尤其要注意使用條件.素養(yǎng)方面要加強(qiáng)邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象的培養(yǎng).內(nèi)容索引010203第一環(huán)節(jié)必備知識(shí)落實(shí)第二環(huán)節(jié)關(guān)鍵能力形成第三環(huán)節(jié)學(xué)科素養(yǎng)提升第一環(huán)節(jié)必備知識(shí)落實(shí)【知識(shí)篩查】

1.隨機(jī)試驗(yàn)的相關(guān)概念(1)隨機(jī)試驗(yàn):我們把對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的實(shí)現(xiàn)和對(duì)它的觀察稱為隨機(jī)試驗(yàn),簡(jiǎn)稱試驗(yàn),常用字母E表示.溫馨提示我們所研究的隨機(jī)試驗(yàn)有如下特點(diǎn):(1)試驗(yàn)可以在相同條件下重復(fù)進(jìn)行;(2)試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是明確可知的,并且不止一個(gè);(3)每次試驗(yàn)總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個(gè),但事先不能確定出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果.(2)樣本點(diǎn):隨機(jī)試驗(yàn)E的每個(gè)可能的基本結(jié)果稱為樣本點(diǎn).(3)樣本空間:全體樣本點(diǎn)的集合稱為試驗(yàn)E的樣本空間.(4)有限樣本空間:一般地,我們用Ω表示樣本空間,用ω表示樣本點(diǎn).如果一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)有n個(gè)可能結(jié)果ω1,ω2,…,ωn,則稱樣本空間Ω={ω1,ω2,…,ωn}為有限樣本空間.2.事件的概念(1)隨機(jī)事件:一般地,隨機(jī)試驗(yàn)中的每個(gè)隨機(jī)事件都可以用這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間的子集來表示.樣本空間Ω的子集稱為隨機(jī)事件,簡(jiǎn)稱事件.隨機(jī)事件一般用大寫字母A,B,C,…表示.在每次試驗(yàn)中,當(dāng)且僅當(dāng)A中某個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)時(shí),稱為事件A發(fā)生.(2)基本事件:只包含一個(gè)樣本點(diǎn)的事件稱為基本事件.(3)必然事件:Ω作為自身的子集,包含了所有的樣本點(diǎn),在每次試驗(yàn)中總有一個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生,所以Ω總會(huì)發(fā)生,我們稱Ω為必然事件.(4)不可能事件:空集?不包含任何樣本點(diǎn),在每次試驗(yàn)中都不會(huì)發(fā)生,我們稱?為不可能事件.3.頻率與概率(1)頻率的概念:在相同的條件下重復(fù)n次試驗(yàn),觀察某一事件A是否出現(xiàn),稱n次試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)nA為事件A出現(xiàn)的頻數(shù),稱事件A出現(xiàn)的比例

為事件A出現(xiàn)的頻率.(2)頻率與概率的關(guān)系:對(duì)于給定的隨機(jī)事件A,由于事件A發(fā)生的頻率fn(A)隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加穩(wěn)定于概率P(A),因此可以用頻率fn(A)來估計(jì)概率P(A).溫馨提示隨機(jī)事件A發(fā)生的頻率是隨機(jī)的,而概率是客觀存在的確定的常數(shù),但在大量隨機(jī)試驗(yàn)中,事件A發(fā)生的頻率穩(wěn)定在事件A發(fā)生的概率附近.4.事件的關(guān)系與運(yùn)算

溫馨提示如圖,對(duì)于隨機(jī)事件A,B之間的關(guān)系或運(yùn)算可以用Venn圖表示.問題思考1隨機(jī)事件A,B互斥與對(duì)立有何區(qū)別與聯(lián)系?當(dāng)隨機(jī)事件A,B互斥時(shí),不一定對(duì)立,但當(dāng)隨機(jī)事件A,B對(duì)立時(shí),一定互斥.5.概率的基本性質(zhì)性質(zhì)1

對(duì)任意的事件A,都有P(A)≥0.性質(zhì)2

必然事件的概率為1,不可能事件的概率為0,即P(Ω)=1,P(?)=0.性質(zhì)3

如果事件A與事件B互斥,那么P(A∪B)=P(A)+P(B).性質(zhì)4

如果事件A與事件B互為對(duì)立事件,那么P(B)=1-P(A),P(A)=1-P(B).性質(zhì)5

如果A?B,那么P(A)≤P(B).性質(zhì)6

設(shè)A,B是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件,我們有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B).6.事件的相互獨(dú)立性對(duì)任意兩個(gè)事件A與B,如果P(AB)=P(A)P(B)成立,則稱事件A與事件B相互獨(dú)立,簡(jiǎn)稱為獨(dú)立.溫馨提示若事件A1,A2,…,An相互獨(dú)立,則P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An).問題思考2兩個(gè)事件相互獨(dú)立與兩個(gè)事件互斥有何不同?兩個(gè)事件互斥是指兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生,兩個(gè)事件相互獨(dú)立是指一個(gè)事件發(fā)生與否對(duì)另一個(gè)事件的發(fā)生沒有影響.【知識(shí)鞏固】

1.下列說法正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”.(1)事件發(fā)生的頻率與概率是相同的.(

)(2)在大量重復(fù)試驗(yàn)中,概率是頻率的穩(wěn)定值.(

)(3)兩個(gè)事件的和事件是指兩個(gè)事件都發(fā)生.(

)(4)兩互斥事件的概率和是1.(

)×√××√2.某地新高考規(guī)定:語文、數(shù)學(xué)、英語是必考科目,考生還需從思想政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物學(xué)6個(gè)科目中自主選擇3個(gè)作為選考科目.某考生已經(jīng)確定物理作為自己的選考科目,還需從剩下的5個(gè)科目中再選擇2個(gè)組成自己的選考方案,則事件“選擇思想政治、化學(xué)”和“選擇生物學(xué)、地理”(

)A.是相互獨(dú)立事件

B.是對(duì)立事件C.不是互斥事件

D.是互斥事件,但不是對(duì)立事件D由題意可知事件“選擇思想政治、化學(xué)”和“選擇生物學(xué)、地理”不能同時(shí)發(fā)生,但能同時(shí)不發(fā)生,故事件“選擇思想政治、化學(xué)”和“選擇生物學(xué)、地理”是互斥事件,但不是對(duì)立事件.3.(多選)利用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法抽查某工廠生產(chǎn)的100件產(chǎn)品,其中一等品有20件,合格品有70件,其余為不合格品.現(xiàn)在從這個(gè)工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽查1件,設(shè)事件A為“產(chǎn)品為一等品”,B為“產(chǎn)品為合格品”,C為“產(chǎn)品為不合格品”,用頻率估計(jì)概率,則下列結(jié)論正確的是(

)ABC4.從一箱產(chǎn)品中隨機(jī)抽取一件,設(shè)事件A=“抽到一等品”,事件B=“抽到二等品”,事件C=“抽到三等品”.若P(A)=0.65,P(B)=0.2,P(C)=0.1,則事件“抽到的產(chǎn)品不是一等品”的概率為

.

0.35因?yàn)槭录俺榈降漠a(chǎn)品不是一等品”與事件A互為對(duì)立,P(A)=0.65,所以事件“抽到的產(chǎn)品不是一等品”的概率P=1-P(A)=1-0.65=0.35.5.根據(jù)天氣預(yù)報(bào),在元旦假期,甲地的降雨概率為0.2,乙地的降雨概率為0.3.假設(shè)在這段時(shí)間內(nèi)兩地是否降雨相互之間沒有影響,則這兩地中恰有一個(gè)地方降雨的概率為

.

0.38第二環(huán)節(jié)關(guān)鍵能力形成能力形成點(diǎn)1隨機(jī)事件的關(guān)系例1

(1)(多選)已知不透明的口袋內(nèi)裝有除顏色外質(zhì)地均勻的紅色、綠色和藍(lán)色卡片各2張,一次性任意取出2張卡片,則與事件“2張卡片都是紅色”互斥而不對(duì)立的事件為(

)A.2張卡片都不是紅色B.2張卡片恰有一張紅色C.2張卡片至少有一張紅色D.2張卡片都是綠色ABD事件“2張卡片都是紅色”與事件“2張卡片都不是紅色”不可能同時(shí)發(fā)生,但可以同時(shí)不發(fā)生,故選項(xiàng)A符合題意.同理,選項(xiàng)B,D符合題意,選項(xiàng)C不符合題意.故選ABD.(2)下列事件中,事件A,B是相互獨(dú)立事件的是(

)A.擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣兩次,A=“第一次為正面向上”,B=“第二次為反面向上”B.袋中裝有除顏色外完全相同的兩個(gè)白球和兩個(gè)黑球,不放回地摸出兩球,A=“第一次摸出白球”,B=“第二次摸出白球”C.擲一枚質(zhì)地均勻的骰子一次,A=“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”,B=“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”D.從一批燈泡中隨機(jī)抽取一個(gè),A=“該燈泡能使用800h以上”,B=“該燈泡能使用1000h以上”A對(duì)于A,因?yàn)榈谝淮螖S硬幣的結(jié)果與第二次擲硬幣的結(jié)果互不影響,所以事件A,B是相互獨(dú)立事件.對(duì)于B,因?yàn)椴环呕氐孛鰞汕?所以第一次是否摸出白球影響第二次摸出白球的發(fā)生,所以事件A,B不是相互獨(dú)立事件.對(duì)于C,事件A,B是對(duì)立事件,不是相互獨(dú)立事件.對(duì)于D,因?yàn)槭录嗀的發(fā)生與否影響事件B的發(fā)生,所以事件A,B不是相互獨(dú)立事件.解題心得1.判斷互斥事件、對(duì)立事件一般利用定義直接判斷,互斥事件不可能同時(shí)發(fā)生,對(duì)立事件一定是互斥事件,且必有一個(gè)發(fā)生.2.判斷事件是否相互獨(dú)立可以看事件之間的發(fā)生是否有影響,若事件的發(fā)生彼此有影響,則兩個(gè)事件不是相互獨(dú)立事件;若事件的發(fā)生彼此沒有影響,則兩個(gè)事件是相互獨(dú)立事件.還可以利用定義進(jìn)行判斷,即若P(AB)=P(A)P(B),則事件A,B是相互獨(dú)立事件.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1(1)一個(gè)均勻的正方體玩具的各個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6.將這個(gè)玩具向上拋擲1次,設(shè)事件A表示向上的一面出現(xiàn)奇數(shù),事件B表示向上的一面出現(xiàn)的數(shù)字不超過3,事件C表示向上的一面出現(xiàn)的數(shù)字不小于4,則(

)A.A與B是互斥而非對(duì)立事件B.A與B是對(duì)立事件C.B與C是互斥而非對(duì)立事件D.B與C是對(duì)立事件D根據(jù)互斥事件與對(duì)立事件的定義作答.A∩B=“向上的一面出現(xiàn)數(shù)字1或3”,故事件A,B不互斥,更不對(duì)立;B∩C=?,B∪C=Ω,故事件B,C是對(duì)立事件.(2)(多選)分別拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子,設(shè)事件M=“第一枚骰子向上的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”,事件N=“第二枚骰子向上的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”,則(

)A.M與N互斥 B.M與N不對(duì)立C.M與N相互獨(dú)立

D.BCD因?yàn)镻(MN)=P(M)P(N),所以M與N相互獨(dú)立.因?yàn)镸與N可能同時(shí)發(fā)生,所以M與N不互斥,也不對(duì)立.故選BCD.能力形成點(diǎn)2隨機(jī)事件的頻率與概率例2

某超市計(jì)劃按月訂購(gòu)一種酸奶,每天進(jìn)貨量相同,進(jìn)貨成本為4元每瓶,售價(jià)為6元每瓶,未售出的酸奶降價(jià)處理,以2元每瓶的價(jià)格當(dāng)天全部處理完.根據(jù)往年銷售經(jīng)驗(yàn),每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位:℃)有關(guān).如果最高氣溫不低于25℃,那么需求量為500瓶;如果最高氣溫位于區(qū)間[20,25)內(nèi),那么需求量為300瓶;如果最高氣溫低于20℃,那么需求量為200瓶.為了確定六月份的訂購(gòu)計(jì)劃,統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù),得下面的頻數(shù)分布表:以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計(jì)最高氣溫位于該區(qū)間的概率.(1)估計(jì)六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率;(2)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤(rùn)為Y(單位:元),當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量為450瓶時(shí),寫出Y的所有可能值,并估計(jì)Y大于零的概率.解

(1)這種酸奶一天的需求量不超過300瓶,當(dāng)且僅當(dāng)最高氣溫低于25

℃,由表格數(shù)據(jù)知,最高氣溫低于25

℃的頻率為

,所以這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率的估計(jì)值為0.6.(2)當(dāng)這種酸奶一天的進(jìn)貨量為450瓶時(shí),若最高氣溫不低于25

℃,則Y=6×450-4×450=900;若最高氣溫位于區(qū)間[20,25),則Y=6×300+2×(450-300)-4×450=300;若最高氣溫低于20

℃,則Y=6×200+2×(450-200)-4×450=-100.所以Y的所有可能值為900,300,-100.所以當(dāng)且僅當(dāng)最高氣溫不低于20

℃時(shí),Y大于零.由表格數(shù)據(jù)知,最高氣溫不低于20

℃的頻率為因此Y大于零的概率的估計(jì)值為0.8.解題心得1.概率是頻率的穩(wěn)定值,它從數(shù)量上反映了隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小,它是頻率的科學(xué)抽象.當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)越來越多時(shí),頻率越穩(wěn)定于概率.2.求隨機(jī)事件的概率的常用方法有兩種:(1)可用頻率來估計(jì)概率;(2)利用隨機(jī)事件A包含的樣本點(diǎn)數(shù)除以樣本點(diǎn)總數(shù).對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2如圖,A地到火車站共有兩條路徑L1和L2,現(xiàn)隨機(jī)抽取100名從A地到達(dá)火車站的人進(jìn)行調(diào)查,調(diào)查結(jié)果如下:(1)分別求通過路徑L1和L2所用時(shí)間落在上表中各時(shí)間段內(nèi)的頻率;(2)現(xiàn)甲、乙兩人分別有40min和50min時(shí)間用于趕往火車站,為了盡最大可能在允許的時(shí)間內(nèi)趕到火車站,試通過計(jì)算說明,他們應(yīng)如何選擇各自的路徑.解

(1)選擇L1的有60人,選擇L2的有40人,故由調(diào)查結(jié)果得頻率如下表.(2)設(shè)A1,A2分別表示甲選擇L1和L2時(shí),在40

min內(nèi)趕到火車站;B1,B2分別表示乙選擇L1和L2時(shí),在50

min內(nèi)趕到火車站.用頻率估計(jì)概率,由(1)得P(A1)=0.1+0.2+0.3=0.6,P(A2)=0.1+0.4=0.5,P(A1)>P(A2),故甲應(yīng)選擇L1;P(B1)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8,P(B2)=0.1+0.4+0.4=0.9,P(B2)>P(B1),故乙應(yīng)選擇L2.能力形成點(diǎn)3求復(fù)雜事件的概率命題角度1互斥事件與對(duì)立事件的概率例3

(1)“二十四節(jié)氣”是古代農(nóng)耕文明的產(chǎn)物,表達(dá)了人與自然宇宙之間獨(dú)特的時(shí)間觀念,蘊(yùn)含著中華民族悠久的文化內(nèi)涵和歷史沉淀.根據(jù)多年氣象統(tǒng)計(jì)資料,某地在節(jié)氣夏至當(dāng)日下雨的概率為0.45,陰天的概率為0.20,則該地在節(jié)氣夏至當(dāng)日不下雨的概率為(

)A.0.65 B.0.55 C.0.35

D.0.75B由已知得該地在節(jié)氣夏至當(dāng)日不下雨的概率為1-0.45=0.55.命題角度2相互獨(dú)立事件的概率例4

(1)(多選)(2023新高考Ⅱ,12)在信道內(nèi)傳輸0,1信號(hào),信號(hào)的傳輸相互獨(dú)立.發(fā)送0時(shí),收到1的概率為α(0<α<1),收到0的概率為1-α;發(fā)送1時(shí),收到0的概率為β(0<β<1),收到1的概率為1-β.考慮兩種傳輸方案:單次傳輸和三次傳輸.單次傳輸是指每個(gè)信號(hào)只發(fā)送1次,三次傳輸是指每個(gè)信號(hào)重復(fù)發(fā)送3次.收到的信號(hào)需要譯碼,譯碼規(guī)則如下:單次傳輸時(shí),收到的信號(hào)即為譯碼;三次傳輸時(shí),收到的信號(hào)中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼(例如,若依次收到1,0,1,則譯碼為1).則下列說法正確的是(

)A.采用單次傳輸方案,若依次發(fā)送1,0,1,則依次收到1,0,1的概率為(1-α)(1-β)2B.采用三次傳輸方案,若發(fā)送1,則依次收到1,0,1的概率為β(1-β)2C.采用三次傳輸方案,若發(fā)送1,則譯碼為1的概率為β(1-β)2+(1-β)3D.當(dāng)0<α<0.5時(shí),若發(fā)送0,則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0的概率ABD設(shè)事件“發(fā)送0,收到0”為事件A0,設(shè)事件“發(fā)送0,收到1”為事件A1,設(shè)事件“發(fā)送1,收到0”為事件B0,設(shè)事件“發(fā)送1,收到1”為事件B1.由題知,P(A0)=1-α,P(A1)=α,P(B0)=β,P(B1)=1-β,且事件A0,A1,B0,B1相互獨(dú)立.對(duì)于選項(xiàng)A,所求事件為B1A0B1,所以P(B1A0B1)=P(B1)P(A0)P(B1)=(1-β)(1-α)(1-β)=(1-α)(1-β)2,所以A正確;對(duì)于選項(xiàng)B,所求事件為B1B0B1,所以P(B1B0B1)=P(B1)P(B0)P(B1)=(1-β)β(1-β)=β(1-β)2,所以B正確;對(duì)于選項(xiàng)C,所求事件為B1B1B0+B1B0B1+B0B1B1+B1B1B1,又P(B1B1B1)=P(B1)P(B1)P(B1)=(1-β)3,所以P(B1B1B0+B1B0B1+B0B1B1+B1B1B1)=(1-β)3+3β(1-β)2,所以C錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)D,采用三次傳輸,事件為A0A0A1+A0A1A0+A1A0A0+A0A0A0,所以P(A0A0A1+A0A1A0+A1A0A0+A0A0A0)=3α(1-α)2+(1-α)3.采用單次傳輸,P(A0)=1-α.所以P(A0A0A1+A0A1A0+A1A0A0+A0A0A0)-P(A0)=3α(1-α)2+(1-α)3-(1-α)=(1-α)[3α(1-α)+(1-α)2-1]=(1-α)(α-2α2)=α(1-α)(1-2α).因?yàn)?<α<0.5,所以α(1-α)(1-2α)>0.所以發(fā)送0,采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0的概率,所以選項(xiàng)D正確.故選ABD.(2)甲、乙兩名同學(xué)進(jìn)行籃球罰球比賽,罰中得1分,罰丟不得分,已知甲、乙兩同學(xué)的罰球命中率分別為70%和60%,且兩人的投籃結(jié)果相互獨(dú)立.現(xiàn)甲、乙兩同學(xué)各罰球一次,則兩人得分相同的概率為(

)A.12% B.42% C.46% D.54%D甲、乙兩同學(xué)各罰球一次,兩人得分相同是指兩人都沒有罰中或兩人都罰中,則兩人得分相同的概率為P=0.3×0.4+0.7×0.6=0.54=54%.故選D.解題心得1.求解互斥事件、對(duì)立事件的概率的方法(1)直接利用互斥事件的概率加法公式求解概率.(2)先求出所求事件的對(duì)立事件的概率,再利用公式

求出所求概率.2.求相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率的方法(1)利用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式直接求解.(2)直接計(jì)算較煩瑣或難以入手時(shí),可從其對(duì)立事件入手計(jì)算.D第三環(huán)節(jié)學(xué)科素養(yǎng)提升用直接法和間接法解概率問題典例

一個(gè)不透明的盒中裝有12個(gè)除顏色外大小質(zhì)地完全相同的球,其中5個(gè)紅球,4個(gè)黑球,2個(gè)白球,1個(gè)綠球.