第2課時(shí)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值§3.2

導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用課時(shí)作業(yè)題型分類(lèi)深度剖析內(nèi)容索引題型分類(lèi)深度剖析題型一用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)極值問(wèn)題多維探究答案解析命題點(diǎn)1根據(jù)函數(shù)圖象判斷極值典例

設(shè)函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，且函數(shù)y＝(1－x)f′(x)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論中一定成立的是A.函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(1)B.函數(shù)f(x)有極大值f(－2)和極小值f(1)C.函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(－2)D.函數(shù)f(x)有極大值f(－2)和極小值f(2)√解析由題圖可知，當(dāng)x<－2時(shí)，f′(x)>0；當(dāng)－2<x<1時(shí)，f′(x)<0；當(dāng)1<x<2時(shí)，f′(x)<0；當(dāng)x>2時(shí)，f′(x)>0.由此可以得到函數(shù)f(x)在x＝－2處取得極大值，在x＝2處取得極小值.典例

(2018·深圳調(diào)研)設(shè)函數(shù)f(x)＝ln(x＋1)＋a(x2－x)，其中a∈R.討論函數(shù)f(x)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由.命題點(diǎn)2求函數(shù)的極值解答令g(x)＝2ax2＋ax－a＋1，x∈(－1，＋∞).①當(dāng)a＝0時(shí)，g(x)＝1，此時(shí)f′(x)>0，函數(shù)f(x)在(－1，＋∞)上單調(diào)遞增，無(wú)極值點(diǎn).②當(dāng)a>0時(shí)，Δ＝a2－8a(1－a)＝a(9a－8).函數(shù)f(x)在(－1，＋∞)上單調(diào)遞增，無(wú)極值點(diǎn).設(shè)方程2ax2＋ax－a＋1＝0的兩根為x1，x2(x1<x2)，所以當(dāng)x∈(－1，x1)時(shí)，g(x)>0，f′(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(x1，x2)時(shí)，g(x)<0，f′(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(x2，＋∞)時(shí)，g(x)>0，f′(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增.因此函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn).③當(dāng)a<0時(shí)，Δ>0，由g(－1)＝1>0，可得x1<－1<x2.當(dāng)x∈(－1，x2)時(shí)，g(x)>0，f′(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(x2，＋∞)時(shí)，g(x)<0，f′(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減.所以函數(shù)有一個(gè)極值點(diǎn).綜上所述，當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)f(x)有一個(gè)極值點(diǎn)；典例

(1)(2017·滄州模擬)若函數(shù)f(x)＝x3－2cx2＋x有極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)c的取值范圍為_(kāi)_________________________.命題點(diǎn)3根據(jù)極值求參數(shù)解析答案解析f′(x)＝3x2－4cx＋1，由f′(x)＝0有兩個(gè)不同的根，可得Δ＝(－4c)2－12>0，解析答案√幾何畫(huà)板展示由f′(x)＝0有2個(gè)不相等的實(shí)根，得a<－2或a>2.函數(shù)極值的兩類(lèi)熱點(diǎn)問(wèn)題(1)求函數(shù)f(x)極值的一般解題步驟①確定函數(shù)的定義域；②求導(dǎo)數(shù)f′(x)；③解方程f′(x)＝0，求出函數(shù)定義域內(nèi)的所有根；④列表檢驗(yàn)f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右兩側(cè)值的符號(hào).(2)根據(jù)函數(shù)極值情況求參數(shù)的兩個(gè)要領(lǐng)①列式：根據(jù)極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0和極值這兩個(gè)條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解.②驗(yàn)證：求解后驗(yàn)證根的合理性.思維升華跟蹤訓(xùn)練(1)函數(shù)f(x)＝(x2－1)2＋2的極值點(diǎn)是A.x＝1 B.x＝－1C.x＝1或－1或0 D.x＝0解析答案解析∵f(x)＝x4－2x2＋3，∴由f′(x)＝4x3－4x＝4x(x＋1)(x－1)＝0，得x＝0或x＝1或x＝－1.又當(dāng)x<－1時(shí)，f′(x)<0，當(dāng)－1<x<0時(shí)，f′(x)>0，當(dāng)0<x<1時(shí)，f′(x)<0，當(dāng)x>1時(shí)，f′(x)>0，∴x＝0，1，－1都是f(x)的極值點(diǎn).√解析答案√解得1<a<2，故選C.解答題型二用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值師生共研引申探究解答令f′(x)<0，得1<x≤e，求函數(shù)f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步驟(1)求函數(shù)在(a，b)內(nèi)的極值.(2)求函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值f(a)，f(b).(3)將函數(shù)f(x)的極值與f(a)，f(b)比較，其中最大的一個(gè)為最大值，最小的一個(gè)為最小值.思維升華跟蹤訓(xùn)練

設(shè)函數(shù)f(x)＝x3－

－2x＋5，若對(duì)任意的x∈[－1,2]，都有f(x)>a，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_____________.解析答案解析由題意知，f′(x)＝3x2－x－2，令f′(x)＝0，得3x2－x－2＝0，題型三函數(shù)極值和最值的綜合問(wèn)題師生共研解答典例

(2018·珠海調(diào)研)已知函數(shù)f(x)＝

(a>0)的導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的兩個(gè)零點(diǎn)為－3和0.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；令g(x)＝－ax2＋(2a－b)x＋b－c，因?yàn)閑x>0，所以y＝f′(x)的零點(diǎn)就是g(x)＝－ax2＋(2a－b)x＋b－c的零點(diǎn)且f′(x)與g(x)符號(hào)相同.又因?yàn)閍>0，所以當(dāng)－3<x<0時(shí)，g(x)>0，即f′(x)>0，當(dāng)x<－3或x>0時(shí)，g(x)<0，即f′(x)<0，所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(－3,0)，單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，－3)，(0，＋∞).解答(2)若f(x)的極小值為－e3，求f(x)在區(qū)間[－5，＋∞)上的最大值.解由(1)知，x＝－3是f(x)的極小值點(diǎn)，解得a＝1，b＝5，c＝5，因?yàn)閒(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(－3,0)，單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，－3)，(0，＋∞)，所以f(0)＝5為函數(shù)f(x)的極大值，故f(x)在區(qū)間[－5，＋∞)上的最大值取f(－5)和f(0)中的最大者，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間[－5，＋∞)上的最大值是5e5.(1)求極值、最值時(shí)，要求步驟規(guī)范，含參數(shù)時(shí)，要討論參數(shù)的大小.(2)求函數(shù)在無(wú)窮區(qū)間(或開(kāi)區(qū)間)上的最值，不僅要研究其極值情況，還要研究其單調(diào)性，并通過(guò)單調(diào)性和極值情況，畫(huà)出函數(shù)的大致圖象，然后借助圖象觀察得到函數(shù)的最值.思維升華跟蹤訓(xùn)練

若函數(shù)f(x)＝

x3＋x2－

在區(qū)間(a，a＋5)上存在最小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是A.[－5,0) B.(－5,0)C.[－3,0) D.(－3,0)解析答案√幾何畫(huà)板展示解析由題意，得f′(x)＝x2＋2x＝x(x＋2)，故f(x)在(－∞，－2)，(0，＋∞)上是增函數(shù)，在(－2,0)上是減函數(shù)，作出其圖象如圖所示，x＝0或x＝－3，則結(jié)合圖象可知，典例

(12分)已知函數(shù)f(x)＝lnx－ax(a∈R).(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)a>0時(shí)，求函數(shù)f(x)在[1,2]上的最小值.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值答題模板思維點(diǎn)撥

(1)已知函數(shù)解析式求單調(diào)區(qū)間，實(shí)質(zhì)上是求f′(x)>0，f′(x)<0的解區(qū)間，并注意定義域.(2)先研究f(x)在[1,2]上的單調(diào)性，再確定最值是端點(diǎn)值還是極值.(3)兩小問(wèn)中，由于解析式中含有參數(shù)a，要對(duì)參數(shù)a進(jìn)行分類(lèi)討論.規(guī)范解答答題模板思維點(diǎn)撥幾何畫(huà)板展示規(guī)范解答綜上可知，當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，＋∞)；所以f(x)的最小值是f(2)＝ln2－2a. [6分]所以f(x)的最小值是f(1)＝－a. [7分]又f(2)－f(1)＝ln2－a，當(dāng)ln2≤a<1時(shí)，最小值為f(2)＝ln2－2a. [11分]綜上可知，當(dāng)0<a<ln2時(shí)，函數(shù)f(x)的最小值是f(1)＝－a；當(dāng)a≥ln2時(shí)，函數(shù)f(x)的最小值是f(2)＝ln2－2a. [12分]答題模板用導(dǎo)數(shù)法求給定區(qū)間上的函數(shù)的最值問(wèn)題的一般步驟第一步：(求導(dǎo)數(shù))求函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)；第二步：(求極值)求f(x)在給定區(qū)間上的單調(diào)性和極值；第三步：(求端點(diǎn)值)求f(x)在給定區(qū)間上的端點(diǎn)值；第四步：(求最值)將f(x)的各極值與f(x)的端點(diǎn)值進(jìn)行比較，確定f(x)的

最大值與最小值；第五步：(反思)反思回顧，查看關(guān)鍵點(diǎn)，易錯(cuò)點(diǎn)和解題規(guī)范.課時(shí)作業(yè)1.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又存在極值的是A.y＝x3

B.y＝ln(－x)C.y＝xe－x

D.y＝x＋基礎(chǔ)保分練12345678910111213141516解析由題可知，B，C選項(xiàng)中的函數(shù)不是奇函數(shù)；A選項(xiàng)中，函數(shù)y＝x3單調(diào)遞增(無(wú)極值)；D選項(xiàng)中的函數(shù)既為奇函數(shù)又存在極值.解析答案√答案12345678910111213141516解析f′(x)＝x2－4＝(x＋2)(x－2)，f(x)在(－∞，－2)上單調(diào)遞增，在(－2,2)上單調(diào)遞減，在(2，＋∞)上單調(diào)遞增，解析√3.(2018·南昌調(diào)研)已知e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，設(shè)函數(shù)f(x)＝(ex－1)(x－1)k(k＝1,2)，則A.當(dāng)k＝1時(shí)，f(x)在x＝1處取得極小值B.當(dāng)k＝1時(shí)，f(x)在x＝1處取得極大值C.當(dāng)k＝2時(shí)，f(x)在x＝1處取得極小值D.當(dāng)k＝2時(shí)，f(x)在x＝1處取得極大值答案12345678910111213141516解析√解析當(dāng)k＝1時(shí)，f′(x)＝ex·x－1，f′(1)≠0，∴x＝1不是f(x)的極值點(diǎn).當(dāng)k＝2時(shí)，f′(x)＝(x－1)(xex＋ex－2)，顯然f′(1)＝0，且在x＝1附近的左側(cè)f′(x)<0，當(dāng)x>1時(shí)，f′(x)>0，∴f(x)在x＝1處取得極小值.故選C.12345678910111213141516解析答案12345678910111213141516√12345678910111213141516123456789101112131415165.已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1處有極值10，則f(2)等于A.11或18 B.11C.18 D.17或18解析答案√12345678910111213141516解析∵函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1處有極值10，∴f(1)＝10，且f′(1)＝0，又f′(x)＝3x2＋2ax＋b，12345678910111213141516∴f(x)＝x3＋4x2－11x＋16，∴f(2)＝18.解析12345678910111213141516答案√解析f′(x)＝x2－(2＋b)x＋2b＝(x－b)(x－2)，∵函數(shù)f(x)在區(qū)間[－3,1]上不是單調(diào)函數(shù)，∴－3<b<1，則由f′(x)>0，得x<b或x>2，由f′(x)<0，得b<x<2，12345678910111213141516解析答案123456789101112131415167.(2017·肇慶模擬)已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，若x＝－3是函數(shù)f(x)的一個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a＝_____.5解析f′(x)＝3x2＋2ax＋3.由題意知，－3是方程f′(x)＝0的根，所以3×(－3)2＋2a×(－3)＋3＝0，解得a＝5.經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)a＝5時(shí)，f(x)在x＝－3處取得極值.答案123456789101112131415168.函數(shù)f(x)＝x3－3a2x＋a(a>0)的極大值是正數(shù)，極小值是負(fù)數(shù)，則a的取值范圍是___________.解析12345678910111213141516解析f′(x)＝3x2－3a2＝3(x＋a)(x－a)，由f′(x)＝0得x＝±a，當(dāng)－a<x<a時(shí)，f′(x)<0，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)x>a或x<－a時(shí)，f′(x)>0，函數(shù)單調(diào)遞增，∴f(x)的極大值為f(－a)，極小值為f(a).∴f(－a)＝－a3＋3a3＋a>0且f(a)＝a3－3a3＋a<0，解析解析

由題意知，當(dāng)x∈(0,2)時(shí)，f(x)的最大值為－1.答案19.(2018·長(zhǎng)沙調(diào)研)已知y＝f(x)是奇函數(shù)，當(dāng)x∈(0,2)時(shí)，f(x)＝lnx－ax

，當(dāng)x∈(－2,0)時(shí)，f(x)的最小值為1，則a＝____.1234567891011121314151610.已知函數(shù)f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2處取得極值，若m∈[－1,1]，則f(m)的最小值為_(kāi)_______.解析12345678910111213141516－4答案解析f′(x)＝－3x2＋2ax，由f(x)在x＝2處取得極值知f′(2)＝0，即－3×4＋2a×2＝0，故a＝3.由此可得f(x)＝－x3＋3x2－4.f′(x)＝－3x2＋6x，由此可得f(x)在(－1,0)上單調(diào)遞減，在(0,1)上單調(diào)遞增，∴當(dāng)m∈[－1,1]時(shí)，f(m)min＝f(0)＝－4.11.(2017·北京)已知函數(shù)f(x)＝excosx－x.(1)求曲線y＝f(x)在點(diǎn)(0，f(0))處的切線方程；解答12345678910111213141516解因?yàn)閒(x)＝excosx－x，所以f′(x)＝ex(cosx－sinx)－1，所以f′(0)＝0，又因?yàn)閒(0)＝1，所以曲線y＝f(x)在點(diǎn)(0，f(0))處的切線方程為y－1＝0.(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間

上的最大值和最小值.12345678910111213141516解答解設(shè)h(x)＝ex(cosx－sinx)－1，則h′(x)＝ex(cosx－sinx－sinx－cosx)＝－2exsinx.1234567891011121314151612.(2018·武漢質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)＝(1)求f(x)在區(qū)間(－∞，1)上的極小值和極大值點(diǎn)；12345678910111213141516解答解

當(dāng)x<1時(shí)，f′(x)＝－3x2＋2x＝－x(3x－2)，12345678910111213141516當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：x(－∞，0)0f′(x)－0＋0－f(x)↘極小值↗極大值↘故當(dāng)x＝0時(shí)，函數(shù)f(x)取得極小值f(0)＝0，12345678910111213141516(2)求f(x)在[－1，e](e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))上的最大值.12345678910111213141516解答解

①當(dāng)－1≤x＜1時(shí)，由(1)知，12345678910111213141516所以f(x)在[－1,1)上的最大值為2.②當(dāng)1≤x≤e時(shí)，f(x)＝alnx，當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)≤0；當(dāng)a>0時(shí)，f(x)在[1，e]上單調(diào)遞增，則f(x)在[1，e]上的最大值為f(e)＝a.故當(dāng)a≥2時(shí)，f(x)在[－1，e]上的最大值為a；當(dāng)a<2時(shí)，f(x)在[－1，e]上的最大值為2.12345678910111213141516技能提升練答案12345678910111213141516解析13.函數(shù)f(x)＝x3－3x－1，若對(duì)于區(qū)間[－3,2]上的任意x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤t，則實(shí)數(shù)t的最小值是A.20 B.18

C.3

D.0√解析因?yàn)閒′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，令f′(x)＝0，得x＝±1，可知－1,1為函數(shù)的極值點(diǎn).又f(－3)＝－19，f(－1)＝1，f(1)＝－3，f(2)＝1，所以在區(qū)間[－3,2]上，f(x)max＝1，f(x)min＝－19.由題設(shè)知在區(qū)間[－3,2]上，f(x)max－f(x)min≤t，從而t≥20，所以t的最小值是20.解析答案14.(2018·貴州質(zhì)檢)設(shè)直線x＝t與函數(shù)h(x)＝x2，g(x)＝lnx的圖象分別交于點(diǎn)M，N，則當(dāng)|MN|最小時(shí)，t的值為_(kāi)_______.解析由已知條件可得|MN|＝t2－lnt，1234567891011121314151615.若函數(shù)f(x)＝mlnx＋(m－1)x存在最大值M，且M>0，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是___________.拓展沖刺練解析12345678910111213141516答案當(dāng)m≤0或m≥1時(shí)，f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)，此時(shí)函數(shù)f(x)無(wú)最大值.1234567891011121314151616.(2