RBF網(wǎng)絡(luò)直接廣義預(yù)測(cè)控制：算法、收斂性與應(yīng)用洞察一、引言1.1研究背景與意義在現(xiàn)代工業(yè)生產(chǎn)與科學(xué)研究領(lǐng)域，控制系統(tǒng)的高效性和穩(wěn)定性至關(guān)重要。隨著科技的飛速發(fā)展，各類系統(tǒng)的復(fù)雜度不斷增加，傳統(tǒng)的控制方法在面對(duì)這些復(fù)雜系統(tǒng)時(shí)逐漸暴露出局限性。復(fù)雜系統(tǒng)往往具有非線性、時(shí)變性、不確定性以及多變量耦合等特性，例如化工生產(chǎn)過程中的化學(xué)反應(yīng)系統(tǒng)，其反應(yīng)速率、物質(zhì)濃度等參數(shù)會(huì)隨著時(shí)間和環(huán)境條件的變化而改變，且各變量之間相互影響；又如航空航天領(lǐng)域的飛行器控制系統(tǒng)，在飛行過程中，飛行器會(huì)受到氣流、重力等多種因素的干擾，其動(dòng)力學(xué)模型呈現(xiàn)出高度的非線性和不確定性。這些復(fù)雜特性使得傳統(tǒng)控制方法難以實(shí)現(xiàn)精確的控制，無(wú)法滿足實(shí)際應(yīng)用的需求。廣義預(yù)測(cè)控制（GeneralizedPredictiveControl，GPC）作為一種先進(jìn)的控制算法，因其能夠有效地克服系統(tǒng)滯后、可應(yīng)用于開環(huán)不穩(wěn)定非最小相位系統(tǒng)等優(yōu)點(diǎn)，在工業(yè)界得到了廣泛關(guān)注。GPC通過建立系統(tǒng)的預(yù)測(cè)模型，利用過去和當(dāng)前的信息預(yù)測(cè)系統(tǒng)未來的輸出，并根據(jù)預(yù)測(cè)結(jié)果優(yōu)化控制輸入，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)的有效控制。在實(shí)際應(yīng)用中，GPC需要在線遞推求解Diophantine方程及矩陣求逆等，這導(dǎo)致其計(jì)算量很大，限制了它在實(shí)時(shí)性要求高的快速系統(tǒng)中的應(yīng)用。徑向基函數(shù)（RadialBasisFunction，RBF）網(wǎng)絡(luò)是一種性能優(yōu)良的前饋型神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，具有強(qiáng)大的非線性映射能力，能夠以任意精度逼近任意的非線性函數(shù)。它可以自動(dòng)進(jìn)行特征映射，無(wú)需復(fù)雜的多層前饋網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練過程，優(yōu)化算法往往簡(jiǎn)單有效。RBF網(wǎng)絡(luò)的這些特性為解決廣義預(yù)測(cè)控制中的計(jì)算量問題提供了新的途徑。將RBF網(wǎng)絡(luò)與廣義預(yù)測(cè)控制相結(jié)合，提出RBF網(wǎng)絡(luò)直接廣義預(yù)測(cè)控制方法，利用RBF網(wǎng)絡(luò)來逼近控制增量表達(dá)式，直接設(shè)計(jì)出廣義預(yù)測(cè)控制器，能夠避免傳統(tǒng)廣義預(yù)測(cè)控制中復(fù)雜的Diophantine方程計(jì)算和矩陣求逆過程，降低計(jì)算量，提高控制算法的實(shí)時(shí)性和有效性。對(duì)RBF網(wǎng)絡(luò)直接廣義預(yù)測(cè)控制及其收斂性進(jìn)行深入研究具有重要的理論意義和實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。在理論方面，深入探討RBF網(wǎng)絡(luò)直接廣義預(yù)測(cè)控制的原理、算法結(jié)構(gòu)以及收斂性條件，有助于完善預(yù)測(cè)控制理論體系，為其他相關(guān)控制算法的研究提供理論基礎(chǔ)和借鑒。通過研究RBF網(wǎng)絡(luò)在廣義預(yù)測(cè)控制中的作用機(jī)制，能夠進(jìn)一步揭示神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與預(yù)測(cè)控制相結(jié)合的內(nèi)在規(guī)律，拓展神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在控制領(lǐng)域的應(yīng)用理論。在實(shí)際應(yīng)用中，該研究成果可以為工業(yè)生產(chǎn)、航空航天、智能交通等眾多領(lǐng)域的復(fù)雜系統(tǒng)控制提供更有效的解決方案。在工業(yè)生產(chǎn)中，能夠提高生產(chǎn)過程的自動(dòng)化水平和產(chǎn)品質(zhì)量，降低生產(chǎn)成本；在航空航天領(lǐng)域，有助于提升飛行器的飛行性能和安全性；在智能交通系統(tǒng)中，可以優(yōu)化交通流量控制，提高交通效率，減少交通擁堵。1.2國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀隨著工業(yè)自動(dòng)化程度的不斷提高，復(fù)雜系統(tǒng)的控制需求日益增長(zhǎng)，RBF網(wǎng)絡(luò)直接廣義預(yù)測(cè)控制作為一種結(jié)合了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和預(yù)測(cè)控制優(yōu)勢(shì)的新型控制方法，受到了國(guó)內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注。在國(guó)外，早在20世紀(jì)90年代，研究人員就開始探索神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在預(yù)測(cè)控制中的應(yīng)用。一些學(xué)者率先嘗試將RBF網(wǎng)絡(luò)用于系統(tǒng)建模，利用其強(qiáng)大的非線性映射能力來逼近復(fù)雜系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性。通過大量的仿真和實(shí)驗(yàn)研究，證實(shí)了RBF網(wǎng)絡(luò)在處理非線性問題上的有效性，為后續(xù)與廣義預(yù)測(cè)控制的結(jié)合奠定了基礎(chǔ)。此后，部分學(xué)者將RBF網(wǎng)絡(luò)引入廣義預(yù)測(cè)控制中，提出了基于RBF網(wǎng)絡(luò)的廣義預(yù)測(cè)控制算法。他們通過改進(jìn)RBF網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)學(xué)習(xí)算法，提高了控制器的性能和適應(yīng)性。有研究采用在線學(xué)習(xí)的RBF網(wǎng)絡(luò)，實(shí)時(shí)調(diào)整控制器的參數(shù)，以適應(yīng)系統(tǒng)的時(shí)變特性，在化工過程控制的仿真實(shí)驗(yàn)中取得了較好的控制效果，有效提高了產(chǎn)品質(zhì)量和生產(chǎn)效率。在機(jī)器人控制領(lǐng)域，利用RBF網(wǎng)絡(luò)直接廣義預(yù)測(cè)控制方法，能夠使機(jī)器人在復(fù)雜環(huán)境下更準(zhǔn)確地跟蹤目標(biāo)軌跡，提高了機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)精度和靈活性。國(guó)內(nèi)對(duì)RBF網(wǎng)絡(luò)直接廣義預(yù)測(cè)控制的研究起步相對(duì)較晚，但發(fā)展迅速。近年來，眾多高校和科研機(jī)構(gòu)投入了大量的研究力量。一些學(xué)者針對(duì)國(guó)內(nèi)工業(yè)生產(chǎn)中常見的非線性、時(shí)變系統(tǒng)，提出了具有針對(duì)性的RBF網(wǎng)絡(luò)直接廣義預(yù)測(cè)控制策略。在電力系統(tǒng)中，通過該控制方法對(duì)發(fā)電機(jī)組的輸出進(jìn)行控制，有效提高了電力系統(tǒng)的穩(wěn)定性和電能質(zhì)量，降低了能源消耗。在智能交通系統(tǒng)中，運(yùn)用RBF網(wǎng)絡(luò)直接廣義預(yù)測(cè)控制來優(yōu)化交通信號(hào)配時(shí)，顯著緩解了交通擁堵狀況，提高了道路通行能力。還有學(xué)者在理論研究方面取得了重要進(jìn)展，深入分析了RBF網(wǎng)絡(luò)直接廣義預(yù)測(cè)控制的穩(wěn)定性和收斂性，為該方法的實(shí)際應(yīng)用提供了堅(jiān)實(shí)的理論保障。通過嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，得出了控制器收斂的充分條件，為算法的設(shè)計(jì)和參數(shù)調(diào)整提供了明確的指導(dǎo)。當(dāng)前研究雖然取得了豐碩的成果，但仍存在一些不足之處。在模型的準(zhǔn)確性和適應(yīng)性方面，盡管RBF網(wǎng)絡(luò)具有很強(qiáng)的非線性逼近能力，但對(duì)于一些高度復(fù)雜、具有強(qiáng)不確定性的系統(tǒng)，其模型的精度仍有待提高。在實(shí)際應(yīng)用中，系統(tǒng)的運(yùn)行環(huán)境往往復(fù)雜多變，存在各種干擾和不確定性因素，如何使RBF網(wǎng)絡(luò)更好地適應(yīng)這些變化，提高模型的魯棒性，是亟待解決的問題。在計(jì)算效率方面，雖然RBF網(wǎng)絡(luò)直接廣義預(yù)測(cè)控制在一定程度上降低了計(jì)算量，但在處理大規(guī)模系統(tǒng)或?qū)崟r(shí)性要求極高的場(chǎng)景時(shí)，計(jì)算速度仍然難以滿足要求。此外，在控制器的設(shè)計(jì)和參數(shù)優(yōu)化方面，目前缺乏統(tǒng)一的、系統(tǒng)的方法，大多依賴于經(jīng)驗(yàn)和試錯(cuò)，這增加了控制器設(shè)計(jì)的難度和成本。1.3研究?jī)?nèi)容與方法1.3.1研究?jī)?nèi)容本文圍繞RBF網(wǎng)絡(luò)直接廣義預(yù)測(cè)控制及其收斂性展開深入研究，具體內(nèi)容如下：RBF網(wǎng)絡(luò)直接廣義預(yù)測(cè)控制算法設(shè)計(jì)：詳細(xì)闡述RBF網(wǎng)絡(luò)直接廣義預(yù)測(cè)控制的基本原理，深入分析其控制結(jié)構(gòu)和算法流程。研究如何利用RBF網(wǎng)絡(luò)強(qiáng)大的非線性映射能力來逼近控制增量表達(dá)式，直接設(shè)計(jì)出廣義預(yù)測(cè)控制器。通過對(duì)RBF網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)優(yōu)化和參數(shù)調(diào)整，提高控制器對(duì)復(fù)雜系統(tǒng)的控制性能。確定RBF網(wǎng)絡(luò)的隱層節(jié)點(diǎn)數(shù)量、中心位置、寬度參數(shù)以及網(wǎng)絡(luò)權(quán)值的調(diào)整策略，以實(shí)現(xiàn)對(duì)控制增量的準(zhǔn)確逼近。RBF網(wǎng)絡(luò)直接廣義預(yù)測(cè)控制的穩(wěn)定性分析：基于李雅普諾夫穩(wěn)定性理論，對(duì)RBF網(wǎng)絡(luò)直接廣義預(yù)測(cè)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性進(jìn)行嚴(yán)格分析。推導(dǎo)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件，明確控制器參數(shù)與系統(tǒng)穩(wěn)定性之間的關(guān)系。通過理論分析和仿真驗(yàn)證，研究不同參數(shù)設(shè)置對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，為控制器的設(shè)計(jì)和參數(shù)優(yōu)化提供理論依據(jù)。RBF網(wǎng)絡(luò)直接廣義預(yù)測(cè)控制的收斂性研究：深入探討RBF網(wǎng)絡(luò)直接廣義預(yù)測(cè)控制算法的收斂性，分析收斂速度和收斂條件。運(yùn)用數(shù)學(xué)方法推導(dǎo)算法的收斂性證明，研究在不同條件下算法的收斂性能。通過仿真實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證理論分析結(jié)果，探究如何提高算法的收斂速度，減少計(jì)算時(shí)間，提高控制算法的實(shí)時(shí)性。仿真實(shí)驗(yàn)與結(jié)果分析：搭建典型非線性系統(tǒng)的仿真模型，將RBF網(wǎng)絡(luò)直接廣義預(yù)測(cè)控制方法與傳統(tǒng)廣義預(yù)測(cè)控制方法以及其他先進(jìn)控制方法進(jìn)行對(duì)比研究。在仿真實(shí)驗(yàn)中，設(shè)置不同的工況和干擾條件，全面評(píng)估各種控制方法的控制性能，包括跟蹤精度、抗干擾能力、響應(yīng)速度等指標(biāo)。對(duì)仿真結(jié)果進(jìn)行詳細(xì)分析，總結(jié)RBF網(wǎng)絡(luò)直接廣義預(yù)測(cè)控制方法的優(yōu)勢(shì)和不足，提出進(jìn)一步改進(jìn)的方向。1.3.2研究方法本文綜合運(yùn)用理論分析、仿真實(shí)驗(yàn)等研究方法，深入開展RBF網(wǎng)絡(luò)直接廣義預(yù)測(cè)控制及其收斂性的研究：理論分析方法：通過數(shù)學(xué)推導(dǎo)和證明，深入研究RBF網(wǎng)絡(luò)直接廣義預(yù)測(cè)控制的算法原理、穩(wěn)定性和收斂性。運(yùn)用系統(tǒng)建模理論，建立被控系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型；借助李雅普諾夫穩(wěn)定性理論、矩陣分析等數(shù)學(xué)工具，推導(dǎo)系統(tǒng)穩(wěn)定和算法收斂的條件，為控制器的設(shè)計(jì)和分析提供堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)。在穩(wěn)定性分析中，根據(jù)李雅普諾夫函數(shù)的定義，構(gòu)造合適的李雅普諾夫函數(shù)，通過對(duì)其導(dǎo)數(shù)的分析來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。仿真實(shí)驗(yàn)方法：利用MATLAB等仿真軟件，搭建RBF網(wǎng)絡(luò)直接廣義預(yù)測(cè)控制系統(tǒng)的仿真平臺(tái)。在仿真實(shí)驗(yàn)中，模擬實(shí)際系統(tǒng)的運(yùn)行環(huán)境和工況，設(shè)置各種干擾和不確定性因素，對(duì)控制算法的性能進(jìn)行全面測(cè)試和驗(yàn)證。通過對(duì)比不同控制方法的仿真結(jié)果，直觀地評(píng)估RBF網(wǎng)絡(luò)直接廣義預(yù)測(cè)控制方法的優(yōu)勢(shì)和效果，為理論研究提供有力的支持。針對(duì)一個(gè)典型的非線性化工過程系統(tǒng)，在MATLAB中建立其仿真模型，分別采用RBF網(wǎng)絡(luò)直接廣義預(yù)測(cè)控制和傳統(tǒng)廣義預(yù)測(cè)控制進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，對(duì)比分析兩種方法在不同工況下的控制性能。二、相關(guān)理論基礎(chǔ)2.1RBF網(wǎng)絡(luò)理論2.1.1RBF網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)RBF網(wǎng)絡(luò)是一種前饋型神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，其結(jié)構(gòu)通常由輸入層、隱含層和輸出層組成。輸入層的作用是接收外部輸入信號(hào)，并將這些信號(hào)傳遞到隱含層。輸入層中的神經(jīng)元數(shù)量與輸入變量的個(gè)數(shù)相等，每個(gè)神經(jīng)元對(duì)應(yīng)一個(gè)輸入變量，它們僅僅起到信號(hào)傳輸?shù)淖饔?，?duì)輸入信號(hào)不進(jìn)行任何變換。隱含層是RBF網(wǎng)絡(luò)的核心部分，其神經(jīng)元數(shù)量視具體問題的復(fù)雜程度而定。隱含層中神經(jīng)元的變換函數(shù)采用徑向基函數(shù)，這是一種對(duì)中心點(diǎn)徑向?qū)ΨQ且衰減的非負(fù)線性函數(shù)。最常用的徑向基函數(shù)是高斯函數(shù)，其表達(dá)式為：\phi_i(x)=e^{-\frac{\|x-c_i\|^2}{2\sigma_i^2}}其中，x是輸入向量，c_i是第i個(gè)隱含層神經(jīng)元的中心，\sigma_i是第i個(gè)隱含層神經(jīng)元的寬度參數(shù)，\|x-c_i\|表示輸入向量x與中心c_i之間的歐幾里得距離。徑向基函數(shù)具有局部響應(yīng)特性，當(dāng)輸入向量x靠近中心c_i時(shí)，函數(shù)值較大；隨著x與c_i距離的增大，函數(shù)值迅速衰減趨近于0。這種局部響應(yīng)特性使得RBF網(wǎng)絡(luò)能夠?qū)斎肟臻g的局部區(qū)域進(jìn)行有效的逼近和學(xué)習(xí)。輸出層負(fù)責(zé)對(duì)隱含層的輸出進(jìn)行線性組合，以產(chǎn)生最終的網(wǎng)絡(luò)輸出。輸出層神經(jīng)元的數(shù)量與輸出變量的個(gè)數(shù)相等，其輸出表達(dá)式為：y_j=\sum_{i=1}^{n}w_{ji}\phi_i(x)+b_j其中，y_j是第j個(gè)輸出層神經(jīng)元的輸出，w_{ji}是連接第i個(gè)隱含層神經(jīng)元和第j個(gè)輸出層神經(jīng)元的權(quán)重，b_j是第j個(gè)輸出層神經(jīng)元的偏置，n是隱含層神經(jīng)元的數(shù)量。通過調(diào)整這些權(quán)重和偏置，RBF網(wǎng)絡(luò)可以實(shí)現(xiàn)對(duì)各種復(fù)雜函數(shù)的逼近和映射。2.1.2RBF網(wǎng)絡(luò)的函數(shù)逼近理論RBF網(wǎng)絡(luò)具有強(qiáng)大的函數(shù)逼近能力，能夠以任意精度逼近任意連續(xù)函數(shù)。這一特性基于以下原理：根據(jù)泛函分析中的Stone-Weierstrass定理，在一個(gè)緊致空間上，任何連續(xù)函數(shù)都可以用多項(xiàng)式函數(shù)一致逼近。RBF網(wǎng)絡(luò)通過將輸入空間映射到一個(gè)高維的特征空間，在這個(gè)高維空間中，使用徑向基函數(shù)的線性組合來近似表示目標(biāo)函數(shù)。由于徑向基函數(shù)的局部響應(yīng)特性，RBF網(wǎng)絡(luò)可以在不同的局部區(qū)域?qū)瘮?shù)進(jìn)行靈活的逼近，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)復(fù)雜函數(shù)的精確擬合。具體來說，RBF網(wǎng)絡(luò)通過調(diào)整隱含層神經(jīng)元的中心位置、寬度參數(shù)以及輸出層的權(quán)重和偏置，來優(yōu)化網(wǎng)絡(luò)的逼近性能。當(dāng)隱含層神經(jīng)元的數(shù)量足夠多時(shí)，RBF網(wǎng)絡(luò)可以在輸入空間的各個(gè)區(qū)域?qū)δ繕?biāo)函數(shù)進(jìn)行有效的采樣和逼近。通過合理選擇徑向基函數(shù)的參數(shù)，RBF網(wǎng)絡(luò)能夠適應(yīng)不同函數(shù)的形狀和變化趨勢(shì)，實(shí)現(xiàn)對(duì)各種非線性函數(shù)的高精度逼近。與其他神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（如BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)）相比，RBF網(wǎng)絡(luò)的逼近能力具有一些獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)。RBF網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練過程相對(duì)簡(jiǎn)單，收斂速度快，能夠避免陷入局部極小值的問題。這是因?yàn)镽BF網(wǎng)絡(luò)的輸出層權(quán)重可以通過線性最小二乘法等方法直接求解，而不需要像BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)那樣通過復(fù)雜的反向傳播算法進(jìn)行迭代調(diào)整。RBF網(wǎng)絡(luò)的局部逼近特性使得它對(duì)局部數(shù)據(jù)的變化更加敏感，能夠更好地捕捉函數(shù)的局部特征，在處理具有局部特性的函數(shù)時(shí)表現(xiàn)出更好的性能。2.2廣義預(yù)測(cè)控制算法原理2.2.1多步輸出預(yù)測(cè)及Diophantine方程的遞推解廣義預(yù)測(cè)控制的核心在于對(duì)系統(tǒng)未來多步輸出進(jìn)行準(zhǔn)確預(yù)測(cè)，這依賴于系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型以及相關(guān)方程的求解。考慮一個(gè)線性離散時(shí)間系統(tǒng)，其輸出可以表示為過去輸入和輸出的線性組合，再加上一個(gè)噪聲項(xiàng)。為了實(shí)現(xiàn)多步輸出預(yù)測(cè)，需要建立預(yù)測(cè)模型，該模型基于系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)或傳遞函數(shù)。在廣義預(yù)測(cè)控制中，通常采用受控自回歸積分滑動(dòng)平均（CARIMA）模型來描述系統(tǒng)，其一般形式為：A(q^{-1})y(k)=B(q^{-1})u(k-1)+C(q^{-1})\xi(k)/\Delta其中，y(k)是系統(tǒng)在k時(shí)刻的輸出，u(k)是系統(tǒng)在k時(shí)刻的輸入，\xi(k)是均值為0的白噪聲序列，q^{-1}是后移算子，滿足q^{-1}y(k)=y(k-1)，\Delta=1-q^{-1}是差分算子，A(q^{-1})、B(q^{-1})和C(q^{-1})是關(guān)于q^{-1}的多項(xiàng)式，分別表示為：A(q^{-1})=1+a_1q^{-1}+\cdots+a_nq^{-n}B(q^{-1})=b_0+b_1q^{-1}+\cdots+b_mq^{-m}C(q^{-1})=1+c_1q^{-1}+\cdots+c_nq^{-n}為了得到未來j步的輸出預(yù)測(cè)值\hat{y}(k+j|k)（表示基于k時(shí)刻及之前的信息對(duì)k+j時(shí)刻輸出的預(yù)測(cè)），需要求解Diophantine方程。Diophantine方程的形式為：1=E_j(q^{-1})\DeltaA(q^{-1})+q^{-j}F_j(q^{-1})其中，E_j(q^{-1})和F_j(q^{-1})是關(guān)于q^{-1}的多項(xiàng)式。通過求解該方程，可以將系統(tǒng)輸出表示為過去輸入、輸出以及未來控制輸入的函數(shù)，從而實(shí)現(xiàn)多步輸出預(yù)測(cè)。Diophantine方程的遞推求解過程如下：首先，對(duì)于j=1，可以通過比較等式兩邊q^{-1}的同次冪系數(shù)，得到E_1(q^{-1})和F_1(q^{-1})的系數(shù)表達(dá)式。然后，利用已求得的E_j(q^{-1})和F_j(q^{-1})，通過遞推關(guān)系來求解E_{j+1}(q^{-1})和F_{j+1}(q^{-1})。具體的遞推公式為：E_{j+1}(q^{-1})=E_j(q^{-1})+q^{-1}\DeltaA(q^{-1})e_jF_{j+1}(q^{-1})=F_j(q^{-1})-\DeltaA(q^{-1})e_j其中，e_j是通過比較等式兩邊q^{-1}的系數(shù)確定的。通過不斷迭代上述遞推公式，可以得到不同預(yù)測(cè)步長(zhǎng)j對(duì)應(yīng)的E_j(q^{-1})和F_j(q^{-1})，進(jìn)而得到系統(tǒng)未來多步的輸出預(yù)測(cè)值。2.2.2最優(yōu)控制律計(jì)算在得到系統(tǒng)的多步輸出預(yù)測(cè)值后，需要計(jì)算最優(yōu)控制律，以實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)的有效控制。廣義預(yù)測(cè)控制的目標(biāo)是在未來的控制時(shí)域N_u內(nèi)，通過選擇合適的控制輸入序列\(zhòng){u(k),u(k+1),\cdots,u(k+N_u-1)\}，使系統(tǒng)的輸出盡可能跟蹤參考軌跡y_r(k+j)（j=1,2,\cdots,N，N為預(yù)測(cè)時(shí)域，且N\geqN_u），同時(shí)使控制輸入的變化不過于劇烈，以保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性和控制的平滑性。為此，定義性能指標(biāo)函數(shù)J：J=\sum_{j=1}^{N}[\hat{y}(k+j|k)-y_r(k+j)]^2+\sum_{j=1}^{N_u}\lambda_j\Deltau(k+j-1)^2其中，\lambda_j是控制加權(quán)系數(shù)，用于調(diào)節(jié)控制輸入變化的權(quán)重，\Deltau(k+j-1)=u(k+j-1)-u(k+j-2)表示控制增量。將多步輸出預(yù)測(cè)值\hat{y}(k+j|k)的表達(dá)式代入性能指標(biāo)函數(shù)J中，然后對(duì)J關(guān)于控制輸入序列\(zhòng){u(k),u(k+1),\cdots,u(k+N_u-1)\}求偏導(dǎo)數(shù)，并令偏導(dǎo)數(shù)為0，得到一組線性方程組。通過求解這組線性方程組，可以得到最優(yōu)控制律。具體地，將性能指標(biāo)函數(shù)J展開并整理成矩陣形式：J=(\mathbf{\hat{Y}}-\mathbf{Y}_r)^T(\mathbf{\hat{Y}}-\mathbf{Y}_r)+\Delta\mathbf{U}^T\mathbf{\Lambda}\Delta\mathbf{U}其中，\mathbf{\hat{Y}}=[\hat{y}(k+1|k),\hat{y}(k+2|k),\cdots,\hat{y}(k+N)|k]^T是預(yù)測(cè)輸出向量，\mathbf{Y}_r=[y_r(k+1),y_r(k+2),\cdots,y_r(k+N)]^T是參考軌跡向量，\Delta\mathbf{U}=[\Deltau(k),\Deltau(k+1),\cdots,\Deltau(k+N_u-1)]^T是控制增量向量，\mathbf{\Lambda}是對(duì)角矩陣，其對(duì)角元素為\lambda_j。對(duì)J求偏導(dǎo)數(shù)并令其為0，可得：\frac{\partialJ}{\partial\Delta\mathbf{U}}=2\mathbf{G}^T(\mathbf{\hat{Y}}-\mathbf{Y}_r)+2\mathbf{\Lambda}\Delta\mathbf{U}=0其中，\mathbf{G}是與系統(tǒng)模型和預(yù)測(cè)步長(zhǎng)相關(guān)的矩陣。解上述方程，得到最優(yōu)控制增量\Delta\mathbf{U}^*：\Delta\mathbf{U}^*=(\mathbf{G}^T\mathbf{G}+\mathbf{\Lambda})^{-1}\mathbf{G}^T(\mathbf{Y}_r-\mathbf{\hat{Y}}_0)其中，\mathbf{\hat{Y}}_0是在當(dāng)前控制輸入下的預(yù)測(cè)輸出向量。得到最優(yōu)控制增量后，可計(jì)算出當(dāng)前時(shí)刻的最優(yōu)控制輸入u(k)：u(k)=u(k-1)+\Deltau(k)其中，\Deltau(k)是最優(yōu)控制增量向量\Delta\mathbf{U}^*的第一個(gè)元素。通過不斷地在線計(jì)算最優(yōu)控制律，并將其應(yīng)用于系統(tǒng)，實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)控制，使系統(tǒng)輸出跟蹤參考軌跡，同時(shí)滿足控制輸入的約束條件和性能要求。三、RBF網(wǎng)絡(luò)直接廣義預(yù)測(cè)控制方法3.1單變量線性系統(tǒng)RBF網(wǎng)絡(luò)直接廣義預(yù)測(cè)控制3.1.1對(duì)象模型考慮一個(gè)單變量線性離散時(shí)間系統(tǒng)，其受控自回歸積分滑動(dòng)平均（CARIMA）模型可表示為：A(q^{-1})y(k)=B(q^{-1})u(k-1)+\frac{C(q^{-1})}{\Delta}\xi(k)其中，y(k)是系統(tǒng)在k時(shí)刻的輸出，u(k)是系統(tǒng)在k時(shí)刻的輸入，\xi(k)是均值為0的白噪聲序列，q^{-1}是后移算子，滿足q^{-1}y(k)=y(k-1)，\Delta=1-q^{-1}是差分算子。A(q^{-1})、B(q^{-1})和C(q^{-1})是關(guān)于q^{-1}的多項(xiàng)式，具體形式為：A(q^{-1})=1+a_1q^{-1}+\cdots+a_nq^{-n}B(q^{-1})=b_0+b_1q^{-1}+\cdots+b_mq^{-m}C(q^{-1})=1+c_1q^{-1}+\cdots+c_nq^{-n}該模型描述了系統(tǒng)輸出與過去輸入、輸出以及噪聲之間的關(guān)系，是后續(xù)設(shè)計(jì)RBF網(wǎng)絡(luò)直接廣義預(yù)測(cè)控制的基礎(chǔ)。通過對(duì)系統(tǒng)的輸入輸出數(shù)據(jù)進(jìn)行分析和處理，可以確定多項(xiàng)式A(q^{-1})、B(q^{-1})和C(q^{-1})的系數(shù)，從而建立起準(zhǔn)確的系統(tǒng)模型。在實(shí)際應(yīng)用中，為了提高模型的準(zhǔn)確性和適應(yīng)性，可能需要對(duì)模型進(jìn)行參數(shù)辨識(shí)和優(yōu)化，采用最小二乘法、遞推最小二乘法等方法對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行估計(jì)和更新。3.1.2控制器設(shè)計(jì)為了實(shí)現(xiàn)對(duì)單變量線性系統(tǒng)的有效控制，需要設(shè)計(jì)廣義預(yù)測(cè)控制器。傳統(tǒng)廣義預(yù)測(cè)控制需要在線遞推求解Diophantine方程及矩陣求逆，計(jì)算量較大。而RBF網(wǎng)絡(luò)直接廣義預(yù)測(cè)控制方法利用RBF網(wǎng)絡(luò)來逼近控制增量表達(dá)式，直接設(shè)計(jì)出廣義預(yù)測(cè)控制器，從而避免了復(fù)雜的計(jì)算過程。首先，根據(jù)廣義預(yù)測(cè)控制的原理，系統(tǒng)未來j步的輸出預(yù)測(cè)值\hat{y}(k+j|k)可以表示為過去輸入、輸出以及未來控制輸入的函數(shù)。通過求解Diophantine方程：1=E_j(q^{-1})\DeltaA(q^{-1})+q^{-j}F_j(q^{-1})可以得到E_j(q^{-1})和F_j(q^{-1})，進(jìn)而將輸出預(yù)測(cè)值表示為：\hat{y}(k+j|k)=F_j(q^{-1})y(k)+\frac{E_j(q^{-1})B(q^{-1})}{\Delta}u(k-1)+\frac{E_j(q^{-1})C(q^{-1})}{\Delta}\xi(k)然后，定義性能指標(biāo)函數(shù)J：J=\sum_{j=1}^{N}[\hat{y}(k+j|k)-y_r(k+j)]^2+\sum_{j=1}^{N_u}\lambda_j\Deltau(k+j-1)^2其中，y_r(k+j)是參考軌跡，\lambda_j是控制加權(quán)系數(shù)，N是預(yù)測(cè)時(shí)域，N_u是控制時(shí)域。對(duì)J關(guān)于控制增量\Deltau(k+i-1)（i=1,2,\cdots,N_u）求偏導(dǎo)數(shù)，并令偏導(dǎo)數(shù)為0，得到控制增量的表達(dá)式：\Delta\mathbf{U}^*=(\mathbf{G}^T\mathbf{G}+\mathbf{\Lambda})^{-1}\mathbf{G}^T(\mathbf{Y}_r-\mathbf{\hat{Y}}_0)其中，\Delta\mathbf{U}^*=[\Deltau(k),\Deltau(k+1),\cdots,\Deltau(k+N_u-1)]^T是最優(yōu)控制增量向量，\mathbf{G}是與系統(tǒng)模型和預(yù)測(cè)步長(zhǎng)相關(guān)的矩陣，\mathbf{\Lambda}是對(duì)角矩陣，其對(duì)角元素為\lambda_j，\mathbf{Y}_r=[y_r(k+1),y_r(k+2),\cdots,y_r(k+N)]^T是參考軌跡向量，\mathbf{\hat{Y}}_0是在當(dāng)前控制輸入下的預(yù)測(cè)輸出向量。為了避免矩陣求逆運(yùn)算，利用RBF網(wǎng)絡(luò)來逼近控制增量表達(dá)式。設(shè)RBF網(wǎng)絡(luò)的輸出為\hat{\Delta\mathbf{U}}，其輸入為系統(tǒng)的狀態(tài)變量（如過去的輸入、輸出等），通過調(diào)整RBF網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)（如隱層節(jié)點(diǎn)的中心、寬度和權(quán)值），使得\hat{\Delta\mathbf{U}}盡可能逼近\Delta\mathbf{U}^*。RBF網(wǎng)絡(luò)的輸出層表達(dá)式為：\hat{\Deltau}(k+i-1)=\sum_{l=1}^{M}w_{li}\phi_l(\mathbf{x}(k))其中，\hat{\Deltau}(k+i-1)是RBF網(wǎng)絡(luò)對(duì)\Deltau(k+i-1)的逼近值，M是隱層節(jié)點(diǎn)的數(shù)量，w_{li}是連接第l個(gè)隱層節(jié)點(diǎn)和第i個(gè)輸出節(jié)點(diǎn)的權(quán)值，\phi_l(\mathbf{x}(k))是第l個(gè)隱層節(jié)點(diǎn)的輸出，\mathbf{x}(k)是系統(tǒng)在k時(shí)刻的狀態(tài)向量。通過訓(xùn)練RBF網(wǎng)絡(luò)，調(diào)整權(quán)值w_{li}，使得RBF網(wǎng)絡(luò)的輸出與最優(yōu)控制增量盡可能接近。訓(xùn)練過程可以采用最小二乘法、梯度下降法等優(yōu)化算法，以最小化RBF網(wǎng)絡(luò)輸出與最優(yōu)控制增量之間的誤差。在實(shí)際應(yīng)用中，還可以根據(jù)系統(tǒng)的實(shí)時(shí)運(yùn)行情況，在線調(diào)整RBF網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)，以提高控制器的性能和適應(yīng)性。3.1.3穩(wěn)定性及收斂性分析穩(wěn)定性和收斂性是評(píng)估控制系統(tǒng)性能的重要指標(biāo)。對(duì)于RBF網(wǎng)絡(luò)直接廣義預(yù)測(cè)控制系統(tǒng)，從理論上分析其穩(wěn)定性和收斂性具有重要意義?；诶钛牌罩Z夫穩(wěn)定性理論，構(gòu)建李雅普諾夫函數(shù)V(k)：V(k)=\sum_{j=1}^{N}[\hat{y}(k+j|k)-y_r(k+j)]^2+\sum_{j=1}^{N_u}\lambda_j\Deltau(k+j-1)^2對(duì)V(k)求差分\DeltaV(k)=V(k+1)-V(k)，并分析\DeltaV(k)的符號(hào)。如果\DeltaV(k)\leq0，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。將\hat{y}(k+j|k)和\Deltau(k+j-1)的表達(dá)式代入\DeltaV(k)中，經(jīng)過一系列的推導(dǎo)和變換，得到：\DeltaV(k)=-\sum_{j=1}^{N}[\hat{y}(k+j|k)-y_r(k+j)]^2+\sum_{j=1}^{N}[\hat{y}(k+j+1|k+1)-y_r(k+j+1)]^2-\sum_{j=1}^{N_u}\lambda_j\Deltau(k+j-1)^2+\sum_{j=1}^{N_u}\lambda_j\Deltau(k+j)^2+\text{?o¤???é?1}通過合理選擇預(yù)測(cè)時(shí)域N、控制時(shí)域N_u以及控制加權(quán)系數(shù)\lambda_j，可以使得\DeltaV(k)\leq0，從而保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性。在收斂性分析方面，研究RBF網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練過程以及控制增量的迭代過程。RBF網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練算法（如最小二乘法、梯度下降法等）在一定條件下是收斂的，能夠使RBF網(wǎng)絡(luò)的輸出逐漸逼近最優(yōu)控制增量。對(duì)于控制增量的迭代過程，由于RBF網(wǎng)絡(luò)的逼近作用，隨著迭代次數(shù)的增加，控制增量能夠逐漸收斂到最優(yōu)值，從而使系統(tǒng)的輸出跟蹤參考軌跡。具體來說，通過分析RBF網(wǎng)絡(luò)的逼近誤差以及控制增量的變化趨勢(shì)，可以證明控制增量的收斂性。設(shè)\epsilon(k)=\Delta\mathbf{U}^*-\hat{\Delta\mathbf{U}}(k)表示RBF網(wǎng)絡(luò)的逼近誤差，通過推導(dǎo)可以得到\epsilon(k)的遞推關(guān)系式。在合理的參數(shù)設(shè)置和訓(xùn)練條件下，\lim_{k\to\infty}\epsilon(k)=0，即RBF網(wǎng)絡(luò)的逼近誤差趨于0，從而保證控制增量能夠收斂到最優(yōu)值。3.1.4計(jì)算機(jī)控制器算法實(shí)現(xiàn)RBF網(wǎng)絡(luò)直接廣義預(yù)測(cè)控制的計(jì)算機(jī)算法流程如下：參數(shù)初始化：設(shè)置預(yù)測(cè)時(shí)域N、控制時(shí)域N_u、控制加權(quán)系數(shù)\lambda_j、RBF網(wǎng)絡(luò)的隱層節(jié)點(diǎn)數(shù)量M、隱層節(jié)點(diǎn)的中心c_l和寬度\sigma_l（l=1,2,\cdots,M），并初始化RBF網(wǎng)絡(luò)的權(quán)值w_{li}。采集數(shù)據(jù)：獲取系統(tǒng)當(dāng)前時(shí)刻的輸入u(k)和輸出y(k)，并根據(jù)需要采集過去的輸入輸出數(shù)據(jù)，構(gòu)成系統(tǒng)的狀態(tài)向量\mathbf{x}(k)。計(jì)算預(yù)測(cè)輸出：根據(jù)系統(tǒng)模型和當(dāng)前狀態(tài)向量，計(jì)算系統(tǒng)未來N步的預(yù)測(cè)輸出\hat{y}(k+j|k)（j=1,2,\cdots,N）。計(jì)算參考軌跡：根據(jù)設(shè)定的參考值和系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，計(jì)算參考軌跡y_r(k+j)（j=1,2,\cdots,N）。計(jì)算控制增量：利用RBF網(wǎng)絡(luò)計(jì)算控制增量\hat{\Deltau}(k+i-1)（i=1,2,\cdots,N_u），RBF網(wǎng)絡(luò)的輸入為狀態(tài)向量\mathbf{x}(k)，輸出為控制增量的逼近值。更新控制輸入：根據(jù)計(jì)算得到的控制增量，更新當(dāng)前時(shí)刻的控制輸入u(k)=u(k-1)+\hat{\Deltau}(k)。輸出控制信號(hào)：將控制輸入u(k)輸出到被控對(duì)象，實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)的控制。更新RBF網(wǎng)絡(luò)參數(shù)：根據(jù)系統(tǒng)的實(shí)際輸出與預(yù)測(cè)輸出之間的誤差，采用最小二乘法、梯度下降法等優(yōu)化算法更新RBF網(wǎng)絡(luò)的權(quán)值w_{li}，以提高RBF網(wǎng)絡(luò)的逼近精度。返回步驟2：進(jìn)入下一個(gè)控制周期，重復(fù)上述步驟，實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)的實(shí)時(shí)控制。在實(shí)際編程實(shí)現(xiàn)中，可以使用MATLAB、C++等編程語(yǔ)言，結(jié)合相關(guān)的數(shù)學(xué)庫(kù)和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)庫(kù)，實(shí)現(xiàn)上述算法流程。在參數(shù)初始化階段，可以根據(jù)經(jīng)驗(yàn)或試錯(cuò)法選擇合適的參數(shù)值，并在實(shí)際運(yùn)行過程中根據(jù)系統(tǒng)的性能表現(xiàn)進(jìn)行調(diào)整。在數(shù)據(jù)采集和處理過程中，需要注意數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性和實(shí)時(shí)性，確保算法能夠根據(jù)系統(tǒng)的實(shí)際狀態(tài)進(jìn)行準(zhǔn)確的控制。在RBF網(wǎng)絡(luò)參數(shù)更新階段，需要選擇合適的優(yōu)化算法，并設(shè)置合理的學(xué)習(xí)率等參數(shù)，以保證RBF網(wǎng)絡(luò)能夠快速收斂到最優(yōu)解。3.2單變量非線性系統(tǒng)RBF網(wǎng)絡(luò)直接廣義預(yù)測(cè)控制3.2.1對(duì)象模型在實(shí)際工業(yè)生產(chǎn)和控制系統(tǒng)中，許多被控對(duì)象呈現(xiàn)出復(fù)雜的非線性特性。對(duì)于單變量非線性系統(tǒng)，其模型的建立相較于線性系統(tǒng)更為復(fù)雜，需要充分考慮系統(tǒng)的非線性動(dòng)態(tài)行為。采用如下的非線性自回歸滑動(dòng)平均模型（NonlinearAuto-RegressiveMovingAverage，NARMA）來描述單變量非線性系統(tǒng)：y(k)=f(y(k-1),\cdots,y(k-n_y),u(k-1),\cdots,u(k-n_u))+\xi(k)其中，y(k)為系統(tǒng)在k時(shí)刻的輸出，u(k)為系統(tǒng)在k時(shí)刻的輸入，\xi(k)是均值為0的白噪聲序列，用于描述系統(tǒng)中的不確定性和干擾。n_y和n_u分別表示輸出和輸入的階次，f(\cdot)是一個(gè)高度非線性的函數(shù)，它刻畫了系統(tǒng)輸出與過去輸入、輸出之間的復(fù)雜關(guān)系。由于f(\cdot)的非線性特性，精確確定其表達(dá)式往往非常困難。為了能夠?qū)υ撃Ｐ瓦M(jìn)行有效的分析和控制，利用RBF網(wǎng)絡(luò)強(qiáng)大的非線性逼近能力來近似表示f(\cdot)。設(shè)RBF網(wǎng)絡(luò)的輸出為\hat{f}(\cdot)，其輸入為[y(k-1),\cdots,y(k-n_y),u(k-1),\cdots,u(k-n_u)]^T，通過調(diào)整RBF網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)，使得\hat{f}(\cdot)盡可能逼近f(\cdot)。RBF網(wǎng)絡(luò)的輸出表達(dá)式為：\hat{f}(\mathbf{x}(k))=\sum_{i=1}^{m}w_i\phi_i(\mathbf{x}(k))其中，\mathbf{x}(k)=[y(k-1),\cdots,y(k-n_y),u(k-1),\cdots,u(k-n_u)]^T是RBF網(wǎng)絡(luò)的輸入向量，m是RBF網(wǎng)絡(luò)隱層節(jié)點(diǎn)的數(shù)量，w_i是連接第i個(gè)隱層節(jié)點(diǎn)和輸出節(jié)點(diǎn)的權(quán)值，\phi_i(\mathbf{x}(k))是第i個(gè)隱層節(jié)點(diǎn)的輸出，通常采用高斯函數(shù)作為徑向基函數(shù)，即：\phi_i(\mathbf{x}(k))=e^{-\frac{\|\mathbf{x}(k)-c_i\|^2}{2\sigma_i^2}}其中，c_i是第i個(gè)隱層節(jié)點(diǎn)的中心，\sigma_i是第i個(gè)隱層節(jié)點(diǎn)的寬度參數(shù)。通過合理調(diào)整這些參數(shù)，RBF網(wǎng)絡(luò)能夠?qū)Ψ蔷€性函數(shù)f(\cdot)進(jìn)行高精度的逼近，從而為后續(xù)的控制器設(shè)計(jì)提供準(zhǔn)確的模型基礎(chǔ)。3.2.2控制器設(shè)計(jì)針對(duì)單變量非線性系統(tǒng)，設(shè)計(jì)RBF網(wǎng)絡(luò)直接廣義預(yù)測(cè)控制器。首先，定義性能指標(biāo)函數(shù)J，其目的是在考慮系統(tǒng)未來輸出跟蹤參考軌跡的同時(shí)，限制控制輸入的變化幅度，以保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性和控制的平滑性。性能指標(biāo)函數(shù)J的表達(dá)式為：J=\sum_{j=1}^{N}[\hat{y}(k+j|k)-y_r(k+j)]^2+\sum_{j=1}^{N_u}\lambda_j\Deltau(k+j-1)^2其中，\hat{y}(k+j|k)是基于k時(shí)刻及之前的信息對(duì)k+j時(shí)刻系統(tǒng)輸出的預(yù)測(cè)值，y_r(k+j)是參考軌跡在k+j時(shí)刻的值，\lambda_j是控制加權(quán)系數(shù)，用于調(diào)整控制輸入變化的權(quán)重，N是預(yù)測(cè)時(shí)域，N_u是控制時(shí)域。為了計(jì)算預(yù)測(cè)輸出\hat{y}(k+j|k)，利用前面建立的RBF網(wǎng)絡(luò)逼近模型。將系統(tǒng)的輸入輸出數(shù)據(jù)代入RBF網(wǎng)絡(luò)，得到：\hat{y}(k+j|k)=\hat{f}(y(k+j-1|k),\cdots,y(k+j-n_y|k),u(k+j-1|k),\cdots,u(k+j-n_u|k))其中，y(k+i|k)（i=1,\cdots,j-1）和u(k+i|k)（i=1,\cdots,j-1）是根據(jù)之前的預(yù)測(cè)和控制輸入計(jì)算得到的。對(duì)性能指標(biāo)函數(shù)J關(guān)于控制增量\Deltau(k+i-1)（i=1,2,\cdots,N_u）求偏導(dǎo)數(shù)，并令偏導(dǎo)數(shù)為0，得到控制增量的表達(dá)式。由于該表達(dá)式通常是非線性的，難以直接求解，利用RBF網(wǎng)絡(luò)來逼近控制增量表達(dá)式。設(shè)RBF網(wǎng)絡(luò)的輸出為\hat{\Delta\mathbf{U}}，其輸入為系統(tǒng)的狀態(tài)變量（如過去的輸入、輸出等），通過調(diào)整RBF網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)（如隱層節(jié)點(diǎn)的中心、寬度和權(quán)值），使得\hat{\Delta\mathbf{U}}盡可能逼近最優(yōu)控制增量。RBF網(wǎng)絡(luò)的輸出層表達(dá)式為：\hat{\Deltau}(k+i-1)=\sum_{l=1}^{M}w_{li}\phi_l(\mathbf{x}(k))其中，\hat{\Deltau}(k+i-1)是RBF網(wǎng)絡(luò)對(duì)\Deltau(k+i-1)的逼近值，M是隱層節(jié)點(diǎn)的數(shù)量，w_{li}是連接第l個(gè)隱層節(jié)點(diǎn)和第i個(gè)輸出節(jié)點(diǎn)的權(quán)值，\phi_l(\mathbf{x}(k))是第l個(gè)隱層節(jié)點(diǎn)的輸出，\mathbf{x}(k)是系統(tǒng)在k時(shí)刻的狀態(tài)向量。通過訓(xùn)練RBF網(wǎng)絡(luò)，采用最小二乘法、梯度下降法等優(yōu)化算法調(diào)整權(quán)值w_{li}，使得RBF網(wǎng)絡(luò)的輸出與最優(yōu)控制增量盡可能接近。在實(shí)際應(yīng)用中，還可以根據(jù)系統(tǒng)的實(shí)時(shí)運(yùn)行情況，在線調(diào)整RBF網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)，以提高控制器的性能和適應(yīng)性。3.2.3穩(wěn)定性及收斂性分析對(duì)于單變量非線性系統(tǒng)的RBF網(wǎng)絡(luò)直接廣義預(yù)測(cè)控制系統(tǒng)，穩(wěn)定性和收斂性是至關(guān)重要的性能指標(biāo)。從理論上深入分析其穩(wěn)定性和收斂性，有助于確?？刂葡到y(tǒng)在實(shí)際運(yùn)行中的可靠性和有效性?；诶钛牌罩Z夫穩(wěn)定性理論，構(gòu)建李雅普諾夫函數(shù)V(k)：V(k)=\sum_{j=1}^{N}[\hat{y}(k+j|k)-y_r(k+j)]^2+\sum_{j=1}^{N_u}\lambda_j\Deltau(k+j-1)^2對(duì)V(k)求差分\DeltaV(k)=V(k+1)-V(k)，并分析\DeltaV(k)的符號(hào)。如果\DeltaV(k)\leq0，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。將\hat{y}(k+j|k)和\Deltau(k+j-1)的表達(dá)式代入\DeltaV(k)中，由于系統(tǒng)的非線性特性，推導(dǎo)過程更為復(fù)雜。經(jīng)過一系列的數(shù)學(xué)變換和推導(dǎo)，得到：\DeltaV(k)=-\sum_{j=1}^{N}[\hat{y}(k+j|k)-y_r(k+j)]^2+\sum_{j=1}^{N}[\hat{y}(k+j+1|k+1)-y_r(k+j+1)]^2-\sum_{j=1}^{N_u}\lambda_j\Deltau(k+j-1)^2+\sum_{j=1}^{N_u}\lambda_j\Deltau(k+j)^2+\text{?o¤???é?1}通過合理選擇預(yù)測(cè)時(shí)域N、控制時(shí)域N_u以及控制加權(quán)系數(shù)\lambda_j，并結(jié)合RBF網(wǎng)絡(luò)的逼近特性，可以使得\DeltaV(k)\leq0，從而保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性。與線性系統(tǒng)相比，非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析更為復(fù)雜，需要考慮更多的因素，如RBF網(wǎng)絡(luò)逼近誤差對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響等。在收斂性分析方面，研究RBF網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練過程以及控制增量的迭代過程。由于系統(tǒng)的非線性，RBF網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練算法（如最小二乘法、梯度下降法等）的收斂性分析需要考慮更多的約束條件和非線性因素。通過分析RBF網(wǎng)絡(luò)的逼近誤差以及控制增量的變化趨勢(shì)，可以證明在一定條件下，控制增量能夠逐漸收斂到最優(yōu)值，從而使系統(tǒng)的輸出跟蹤參考軌跡。設(shè)\epsilon(k)=\Delta\mathbf{U}^*-\hat{\Delta\mathbf{U}}(k)表示RBF網(wǎng)絡(luò)的逼近誤差，通過推導(dǎo)可以得到\epsilon(k)的遞推關(guān)系式。在合理的參數(shù)設(shè)置和訓(xùn)練條件下，\lim_{k\to\infty}\epsilon(k)=0，即RBF網(wǎng)絡(luò)的逼近誤差趨于0，從而保證控制增量能夠收斂到最優(yōu)值。但與線性系統(tǒng)相比，非線性系統(tǒng)中RBF網(wǎng)絡(luò)的收斂速度可能會(huì)受到更多因素的影響，如系統(tǒng)的非線性程度、噪聲干擾等。3.2.4計(jì)算機(jī)控制器算法實(shí)現(xiàn)單變量非線性系統(tǒng)RBF網(wǎng)絡(luò)直接廣義預(yù)測(cè)控制的計(jì)算機(jī)算法流程如下：參數(shù)初始化：設(shè)置預(yù)測(cè)時(shí)域N、控制時(shí)域N_u、控制加權(quán)系數(shù)\lambda_j、RBF網(wǎng)絡(luò)的隱層節(jié)點(diǎn)數(shù)量M、隱層節(jié)點(diǎn)的中心c_l和寬度\sigma_l（l=1,2,\cdots,M），并初始化RBF網(wǎng)絡(luò)的權(quán)值w_{li}。采集數(shù)據(jù)：獲取系統(tǒng)當(dāng)前時(shí)刻的輸入u(k)和輸出y(k)，并根據(jù)需要采集過去的輸入輸出數(shù)據(jù)，構(gòu)成系統(tǒng)的狀態(tài)向量\mathbf{x}(k)。計(jì)算預(yù)測(cè)輸出：利用RBF網(wǎng)絡(luò)逼近模型，根據(jù)系統(tǒng)當(dāng)前狀態(tài)向量\mathbf{x}(k)計(jì)算系統(tǒng)未來N步的預(yù)測(cè)輸出\hat{y}(k+j|k)（j=1,2,\cdots,N）。計(jì)算參考軌跡：根據(jù)設(shè)定的參考值和系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，計(jì)算參考軌跡y_r(k+j)（j=1,2,\cdots,N）。計(jì)算控制增量：利用RBF網(wǎng)絡(luò)計(jì)算控制增量\hat{\Deltau}(k+i-1)（i=1,2,\cdots,N_u），RBF網(wǎng)絡(luò)的輸入為狀態(tài)向量\mathbf{x}(k)，輸出為控制增量的逼近值。更新控制輸入：根據(jù)計(jì)算得到的控制增量，更新當(dāng)前時(shí)刻的控制輸入u(k)=u(k-1)+\hat{\Deltau}(k)。輸出控制信號(hào)：將控制輸入u(k)輸出到被控對(duì)象，實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)的控制。更新RBF網(wǎng)絡(luò)參數(shù)：根據(jù)系統(tǒng)的實(shí)際輸出與預(yù)測(cè)輸出之間的誤差，采用最小二乘法、梯度下降法等優(yōu)化算法更新RBF網(wǎng)絡(luò)的權(quán)值w_{li}，以提高RBF網(wǎng)絡(luò)的逼近精度。同時(shí)，根據(jù)系統(tǒng)的運(yùn)行情況，在線調(diào)整RBF網(wǎng)絡(luò)的隱層節(jié)點(diǎn)中心c_l和寬度\sigma_l，以進(jìn)一步優(yōu)化RBF網(wǎng)絡(luò)的性能。返回步驟2：進(jìn)入下一個(gè)控制周期，重復(fù)上述步驟，實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)的實(shí)時(shí)控制。在實(shí)際編程實(shí)現(xiàn)中，可以使用MATLAB、Python等編程語(yǔ)言，結(jié)合相關(guān)的數(shù)學(xué)庫(kù)和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)庫(kù)，如TensorFlow、PyTorch等，實(shí)現(xiàn)上述算法流程。在參數(shù)初始化階段，可以根據(jù)經(jīng)驗(yàn)或試錯(cuò)法選擇合適的參數(shù)值，并在實(shí)際運(yùn)行過程中根據(jù)系統(tǒng)的性能表現(xiàn)進(jìn)行調(diào)整。在數(shù)據(jù)采集和處理過程中，需要注意數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性和實(shí)時(shí)性，確保算法能夠根據(jù)系統(tǒng)的實(shí)際狀態(tài)進(jìn)行準(zhǔn)確的控制。在RBF網(wǎng)絡(luò)參數(shù)更新階段，需要選擇合適的優(yōu)化算法，并設(shè)置合理的學(xué)習(xí)率等參數(shù)，以保證RBF網(wǎng)絡(luò)能夠快速收斂到最優(yōu)解。同時(shí)，為了提高算法的實(shí)時(shí)性和效率，可以采用并行計(jì)算、分布式計(jì)算等技術(shù)。3.3多變量系統(tǒng)RBF網(wǎng)絡(luò)直接廣義預(yù)測(cè)控制3.3.1多變量線性系統(tǒng)RBF網(wǎng)絡(luò)直接廣義預(yù)測(cè)控制在實(shí)際工業(yè)生產(chǎn)中，許多系統(tǒng)呈現(xiàn)出多變量的特性，其輸入和輸出之間存在復(fù)雜的耦合關(guān)系。考慮一個(gè)多變量線性離散時(shí)間系統(tǒng)，其受控自回歸積分滑動(dòng)平均（CARIMA）模型可表示為：A(q^{-1})Y(k)=B(q^{-1})U(k-1)+\frac{C(q^{-1})}{\Delta}\Xi(k)其中，Y(k)是m維輸出向量，Y(k)=[y_1(k),y_2(k),\cdots,y_m(k)]^T；U(k)是r維輸入向量，U(k)=[u_1(k),u_2(k),\cdots,u_r(k)]^T；\Xi(k)是m維白噪聲向量；A(q^{-1})、B(q^{-1})和C(q^{-1})是多項(xiàng)式矩陣。A(q^{-1})=I+A_1q^{-1}+\cdots+A_nq^{-n}B(q^{-1})=B_0+B_1q^{-1}+\cdots+B_mq^{-m}C(q^{-1})=I+C_1q^{-1}+\cdots+C_nq^{-n}其中，I是單位矩陣，A_i、B_i和C_i是相應(yīng)維數(shù)的系數(shù)矩陣。為了設(shè)計(jì)多變量線性系統(tǒng)的RBF網(wǎng)絡(luò)直接廣義預(yù)測(cè)控制器，首先需要對(duì)系統(tǒng)的未來輸出進(jìn)行預(yù)測(cè)。通過求解Diophantine方程：I=E_j(q^{-1})\DeltaA(q^{-1})+q^{-j}F_j(q^{-1})可以得到預(yù)測(cè)模型。其中，E_j(q^{-1})和F_j(q^{-1})是多項(xiàng)式矩陣。系統(tǒng)未來j步的輸出預(yù)測(cè)值\hat{Y}(k+j|k)可以表示為：\hat{Y}(k+j|k)=F_j(q^{-1})Y(k)+\frac{E_j(q^{-1})B(q^{-1})}{\Delta}U(k-1)+\frac{E_j(q^{-1})C(q^{-1})}{\Delta}\Xi(k)定義性能指標(biāo)函數(shù)J：J=\sum_{j=1}^{N}[\hat{Y}(k+j|k)-Y_r(k+j)]^T[\hat{Y}(k+j|k)-Y_r(k+j)]+\sum_{j=1}^{N_u}\DeltaU(k+j-1)^T\Lambda_j\DeltaU(k+j-1)其中，Y_r(k+j)是m維參考軌跡向量，\Lambda_j是r\timesr維的控制加權(quán)矩陣。對(duì)J關(guān)于控制增量\DeltaU(k+i-1)（i=1,2,\cdots,N_u）求偏導(dǎo)數(shù)，并令偏導(dǎo)數(shù)為0，得到控制增量的表達(dá)式。由于該表達(dá)式涉及矩陣運(yùn)算，計(jì)算量較大，利用RBF網(wǎng)絡(luò)來逼近控制增量表達(dá)式。設(shè)RBF網(wǎng)絡(luò)的輸出為\hat{\DeltaU}，其輸入為系統(tǒng)的狀態(tài)變量（如過去的輸入、輸出等），通過調(diào)整RBF網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)（如隱層節(jié)點(diǎn)的中心、寬度和權(quán)值），使得\hat{\DeltaU}盡可能逼近最優(yōu)控制增量。RBF網(wǎng)絡(luò)的輸出層表達(dá)式為：\hat{\Deltau}_i(k+l-1)=\sum_{s=1}^{S}w_{sli}\phi_s(\mathbf{X}(k))其中，\hat{\Deltau}_i(k+l-1)是RBF網(wǎng)絡(luò)對(duì)\Deltau_i(k+l-1)的逼近值，S是隱層節(jié)點(diǎn)的數(shù)量，w_{sli}是連接第s個(gè)隱層節(jié)點(diǎn)和第l個(gè)輸出節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)于第i個(gè)輸入變量的權(quán)值，\phi_s(\mathbf{X}(k))是第s個(gè)隱層節(jié)點(diǎn)的輸出，\mathbf{X}(k)是系統(tǒng)在k時(shí)刻的狀態(tài)向量。在穩(wěn)定性分析方面，基于李雅普諾夫穩(wěn)定性理論，構(gòu)建李雅普諾夫函數(shù)V(k)：V(k)=\sum_{j=1}^{N}[\hat{Y}(k+j|k)-Y_r(k+j)]^T[\hat{Y}(k+j|k)-Y_r(k+j)]+\sum_{j=1}^{N_u}\DeltaU(k+j-1)^T\Lambda_j\DeltaU(k+j-1)對(duì)V(k)求差分\DeltaV(k)=V(k+1)-V(k)，并分析\DeltaV(k)的符號(hào)。通過合理選擇預(yù)測(cè)時(shí)域N、控制時(shí)域N_u以及控制加權(quán)矩陣\Lambda_j，可以使得\DeltaV(k)\leq0，從而保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性。在收斂性分析方面，研究RBF網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練過程以及控制增量的迭代過程。RBF網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練算法在一定條件下是收斂的，能夠使RBF網(wǎng)絡(luò)的輸出逐漸逼近最優(yōu)控制增量。對(duì)于控制增量的迭代過程，通過分析RBF網(wǎng)絡(luò)的逼近誤差以及控制增量的變化趨勢(shì)，可以證明在合理的參數(shù)設(shè)置和訓(xùn)練條件下，控制增量能夠逐漸收斂到最優(yōu)值，從而使系統(tǒng)的輸出跟蹤參考軌跡。計(jì)算機(jī)控制器算法的實(shí)現(xiàn)步驟如下：參數(shù)初始化：設(shè)置預(yù)測(cè)時(shí)域N、控制時(shí)域N_u、控制加權(quán)矩陣\Lambda_j、RBF網(wǎng)絡(luò)的隱層節(jié)點(diǎn)數(shù)量S、隱層節(jié)點(diǎn)的中心c_s和寬度\sigma_s（s=1,2,\cdots,S），并初始化RBF網(wǎng)絡(luò)的權(quán)值w_{sli}。采集數(shù)據(jù)：獲取系統(tǒng)當(dāng)前時(shí)刻的輸入U(xiǎn)(k)和輸出Y(k)，并根據(jù)需要采集過去的輸入輸出數(shù)據(jù)，構(gòu)成系統(tǒng)的狀態(tài)向量\mathbf{X}(k)。計(jì)算預(yù)測(cè)輸出：根據(jù)系統(tǒng)模型和當(dāng)前狀態(tài)向量，計(jì)算系統(tǒng)未來N步的預(yù)測(cè)輸出\hat{Y}(k+j|k)（j=1,2,\cdots,N）。計(jì)算參考軌跡：根據(jù)設(shè)定的參考值和系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，計(jì)算參考軌跡Y_r(k+j)（j=1,2,\cdots,N）。計(jì)算控制增量：利用RBF網(wǎng)絡(luò)計(jì)算控制增量\hat{\DeltaU}(k+l-1)（l=1,2,\cdots,N_u），RBF網(wǎng)絡(luò)的輸入為狀態(tài)向量\mathbf{X}(k)，輸出為控制增量的逼近值。更新控制輸入：根據(jù)計(jì)算得到的控制增量，更新當(dāng)前時(shí)刻的控制輸入U(xiǎn)(k)=U(k-1)+\hat{\DeltaU}(k)。輸出控制信號(hào)：將控制輸入U(xiǎn)(k)輸出到被控對(duì)象，實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)的控制。更新RBF網(wǎng)絡(luò)參數(shù)：根據(jù)系統(tǒng)的實(shí)際輸出與預(yù)測(cè)輸出之間的誤差，采用最小二乘法、梯度下降法等優(yōu)化算法更新RBF網(wǎng)絡(luò)的權(quán)值w_{sli}，以提高RBF網(wǎng)絡(luò)的逼近精度。返回步驟2：進(jìn)入下一個(gè)控制周期，重復(fù)上述步驟，實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)的實(shí)時(shí)控制。3.3.2多變量非線性系統(tǒng)RBF網(wǎng)絡(luò)直接廣義預(yù)測(cè)控制多變量非線性系統(tǒng)在實(shí)際應(yīng)用中廣泛存在，其控制問題相較于多變量線性系統(tǒng)更為復(fù)雜?？紤]一個(gè)多變量非線性離散時(shí)間系統(tǒng)，采用如下的非線性自回歸滑動(dòng)平均模型（NonlinearAuto-RegressiveMovingAverage，NARMA）來描述：Y(k)=f(Y(k-1),\cdots,Y(k-n_y),U(k-1),\cdots,U(k-n_u))+\Xi(k)其中，Y(k)是m維輸出向量，U(k)是r維輸入向量，\Xi(k)是m維白噪聲向量，n_y和n_u分別表示輸出和輸入的階次，f(\cdot)是一個(gè)高度非線性的向量函數(shù)，它刻畫了系統(tǒng)輸出與過去輸入、輸出之間的復(fù)雜關(guān)系。由于f(\cdot)的非線性特性，精確確定其表達(dá)式往往非常困難。利用RBF網(wǎng)絡(luò)強(qiáng)大的非線性逼近能力來近似表示f(\cdot)。設(shè)RBF網(wǎng)絡(luò)的輸出為\hat{f}(\cdot)，其輸入為[Y(k-1)^T,\cdots,Y(k-n_y)^T,U(k-1)^T,\cdots,U(k-n_u)^T]^T，通過調(diào)整RBF網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)，使得\hat{f}(\cdot)盡可能逼近f(\cdot)。RBF網(wǎng)絡(luò)的輸出表達(dá)式為：\hat{f}(\mathbf{X}(k))=\sum_{i=1}^{p}W_i\phi_i(\mathbf{X}(k))其中，\mathbf{X}(k)=[Y(k-1)^T,\cdots,Y(k-n_y)^T,U(k-1)^T,\cdots,U(k-n_u)^T]^T是RBF網(wǎng)絡(luò)的輸入向量，p是RBF網(wǎng)絡(luò)隱層節(jié)點(diǎn)的數(shù)量，W_i是連接第i個(gè)隱層節(jié)點(diǎn)和輸出節(jié)點(diǎn)的權(quán)值矩陣，\phi_i(\mathbf{X}(k))是第i個(gè)隱層節(jié)點(diǎn)的輸出，通常采用高斯函數(shù)作為徑向基函數(shù)，即：\phi_i(\mathbf{X}(k))=e^{-\frac{\|\mathbf{X}(k)-c_i\|^2}{2\sigma_i^2}}其中，c_i是第i個(gè)隱層節(jié)點(diǎn)的中心，\sigma_i是第i個(gè)隱層節(jié)點(diǎn)的寬度參數(shù)。為了設(shè)計(jì)多變量非線性系統(tǒng)的RBF網(wǎng)絡(luò)直接廣義預(yù)測(cè)控制器，定義性能指標(biāo)函數(shù)J：J=\sum_{j=1}^{N}[\hat{Y}(k+j|k)-Y_r(k+j)]^T[\hat{Y}(k+j|k)-Y_r(k+j)]+\sum_{j=1}^{N_u}\DeltaU(k+j-1)^T\Lambda_j\DeltaU(k+j-1)其中，\hat{Y}(k+j|k)是基于k時(shí)刻及之前的信息對(duì)k+j時(shí)刻系統(tǒng)輸出的預(yù)測(cè)值，Y_r(k+j)是參考軌跡在k+j時(shí)刻的值，\Lambda_j是控制加權(quán)矩陣，N是預(yù)測(cè)時(shí)域，N_u是控制時(shí)域。為了計(jì)算預(yù)測(cè)輸出\hat{Y}(k+j|k)，利用前面建立的RBF網(wǎng)絡(luò)逼近模型。將系統(tǒng)的輸入輸出數(shù)據(jù)代入RBF網(wǎng)絡(luò)，得到：\hat{Y}(k+j|k)=\hat{f}(Y(k+j-1|k),\cdots,Y(k+j-n_y|k),U(k+j-1|k),\cdots,U(k+j-n_u|k))其中，Y(k+i|k)（i=1,\cdots,j-1）和U(k+i|k)（i=1,\cdots,j-1）是根據(jù)之前的預(yù)測(cè)和控制輸入計(jì)算得到的。對(duì)性能指標(biāo)函數(shù)J關(guān)于控制增量\DeltaU(k+i-1)（i=1,2,\cdots,N_u）求偏導(dǎo)數(shù)，并令偏導(dǎo)數(shù)為0，得到控制增量的表達(dá)式。由于該表達(dá)式通常是非線性的，難以直接求解，利用RBF網(wǎng)絡(luò)來逼近控制增量表達(dá)式。設(shè)RBF網(wǎng)絡(luò)的輸出為\hat{\DeltaU}，其輸入為系統(tǒng)的狀態(tài)變量（如過去的輸入、輸出等），通過調(diào)整RBF網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)（如隱層節(jié)點(diǎn)的中心、寬度和權(quán)值），使得\hat{\DeltaU}盡可能逼近最優(yōu)控制增量。RBF網(wǎng)絡(luò)的輸出層表達(dá)式為：\hat{\Deltau}_i(k+l-1)=\sum_{s=1}^{S}w_{sli}\phi_s(\mathbf{X}(k))其中，\hat{\Deltau}_i(k+l-1)是RBF網(wǎng)絡(luò)對(duì)\Deltau_i(k+l-1)的逼近值，S是隱層節(jié)點(diǎn)的數(shù)量，w_{sli}是連接第s個(gè)隱層節(jié)點(diǎn)和第l個(gè)輸出節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)于第i個(gè)輸入變量的權(quán)值，\phi_s(\mathbf{X}(k))是第s個(gè)隱層節(jié)點(diǎn)的輸出，\mathbf{X}(k)是系統(tǒng)在k時(shí)刻的狀態(tài)向量。通過訓(xùn)練RBF網(wǎng)絡(luò)，采用最小二乘法、梯度下降法等優(yōu)化算法調(diào)整權(quán)值w_{sli}，使得RBF網(wǎng)絡(luò)的輸出與最優(yōu)控制增量盡可能接近。在實(shí)際應(yīng)用中，還可以根據(jù)系統(tǒng)的實(shí)時(shí)運(yùn)行情況，在線調(diào)整RBF網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)，以提高控制器的性能和適應(yīng)性。在穩(wěn)定性分析方面，基于李雅普諾夫穩(wěn)定性理論，構(gòu)建李雅普諾夫函數(shù)V(k)：V(k)=\sum_{j=1}^{N}[\hat{Y}(k+j|k)-Y_r(k+j)]^T[\hat{Y}(k+j|k)-Y_r(k+j)]+\sum_{j=1}^{N_u}\DeltaU(k+j-1)^T\Lambda_j\DeltaU(k+j-1)對(duì)V(k)求差分\DeltaV(k)=V(k+1)-V(k)，并分析\DeltaV(k)的符號(hào)。由于系統(tǒng)的非線性特性，推導(dǎo)過程更為復(fù)雜。通過合理選擇預(yù)測(cè)時(shí)域N、控制時(shí)域N_u以及控制加權(quán)矩陣\Lambda_j，并結(jié)合RBF網(wǎng)絡(luò)的逼近特性，可以使得\DeltaV(k)\leq0，從而保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性。在收斂性分析方面，研究RBF網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練過程以及控制增量的迭代過程。由于系統(tǒng)的非線性，RBF網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練算法的收斂性分析需要考慮更多的約束條件和非線性因素。通過分析RBF網(wǎng)絡(luò)的逼近誤差以及控制增量的變化趨勢(shì)，可以證明在一定條件下，控制增量能夠逐漸收斂到最優(yōu)值，從而使系統(tǒng)的輸出跟蹤參考軌跡。設(shè)\epsilon(k)=\DeltaU^*-\hat{\DeltaU}(k)表示RBF網(wǎng)絡(luò)的逼近誤差，通過推導(dǎo)可以得到\epsilon(k)的遞推關(guān)系式。在合理的參數(shù)設(shè)置和訓(xùn)練條件下，\lim_{k\to\infty}\epsilon(k)=0，即RBF網(wǎng)絡(luò)的逼近誤差趨于0，從而保證控制增量能夠收斂到最優(yōu)值。計(jì)算機(jī)控制器算法的實(shí)現(xiàn)步驟如下：參數(shù)初始化：設(shè)置預(yù)測(cè)時(shí)域N、控制時(shí)域N_u、控制加權(quán)矩陣\Lambda_j、RBF網(wǎng)絡(luò)的隱層節(jié)點(diǎn)數(shù)量S、隱層節(jié)點(diǎn)的中心c_s和寬度\sigma_s（s=1,2,\cdots,S），并初始化RBF網(wǎng)絡(luò)的權(quán)值w_{sli}。采集數(shù)據(jù)：獲取系統(tǒng)當(dāng)前時(shí)刻的輸入U(xiǎn)(k)和輸出Y(k)，并根據(jù)需要采集過去的輸入輸出數(shù)據(jù)，構(gòu)成系統(tǒng)的狀態(tài)向量\mathbf{X}(k)。計(jì)算預(yù)測(cè)輸出：利用RBF網(wǎng)絡(luò)逼近模型，根據(jù)系統(tǒng)當(dāng)前狀態(tài)向量\mathbf{X}(k)計(jì)算系統(tǒng)未來N步的預(yù)測(cè)輸出\hat{Y}(k+j|k)（j=1,2,\cdots,N）。計(jì)算參考軌跡：根據(jù)設(shè)定的參考值和系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，計(jì)算參考軌跡Y_r(k+j)（j=1\##??????????????§?????????èˉ????\##\#4.1????????§????????1?3???o?·±??￥??????RBF????????′??￥?1??1?é￠??μ???§??????????????§???????

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t{Y}(k+j|k)-Y_r(k+j)]^T[\hat{Y}(k+j|k)-Y_r(k+j)]+\sum_{j=1}^{N_u}\DeltaU(k+j-1)^T\Lambda_j\DeltaU(k+j-