專題05反比例函數(shù)

目錄

01理·思維導圖：呈現(xiàn)教材知識結構，構建學科知識體系。

02盤·基礎知識：甄選核心知識逐項分解，基礎不丟分。（5大模塊知識梳理）

知識模塊一：反比例函數(shù)的圖象與性質知識模塊二：反比例函數(shù)的解析式確定方法

知識模塊三：反比例系數(shù)k的幾何意義知識模塊四反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合

知識模塊五反比例函數(shù)的實際應用

03究·考點考法：對考點考法進行細致剖析和講解，全面提升。（5大考點）

考點一：反比例函數(shù)的圖象與性質考點二：反比例函數(shù)解析式的確定

考點三：反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合考點四：反比例函數(shù)的實際應用

考點五：反比例函數(shù)與幾何綜合（含k的幾何意義）

04辨·易混易錯：點撥易混易錯知識點，沖刺高分。（3大易錯點）

易錯點1：利用反比例函數(shù)的性質時，誤認為所給出的點在同一曲線上

易錯點2：利用函數(shù)圖象解決實際問題時，容易忽視自變量在實際問題的意義．

易錯點3：反比例函數(shù)k的幾何意義

知識模塊一：反比例函數(shù)的圖象與性質

1

知識點一：反比例函數(shù)的概念

一般地，形如（為常數(shù)，）的函數(shù)稱為反比例函數(shù).

?

反比例函數(shù)的解?=析?式也?可以寫成?x≠y=0k（k≠0、xy≠0）、（）的形式.

?1

知識點二：反比例函數(shù)的圖象與性質?=??k≠0

表達式（為常數(shù)，）

?

?=???≠0

圖象

k>0k<0

性

經過象限一、三象限（x、y同號）二、四象限（x、y異號）

質

增減性在圖象所在的每一象限內，函數(shù)值y隨在圖象所在的每一象限內，函數(shù)值y隨自

自變量x的增大而減小變量x的增大而增大

中心對稱:反比例函數(shù)的圖象關于原點成中心對稱,如雙曲線一支上的點A(a,b)關于

對稱性原點的對稱點A(-a,-b)在雙曲線的另一支上

軸對稱:反比例函數(shù)的圖象關于直線y=x或y=-x成軸對稱

1）反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，它有兩個分支，它的圖象與x軸、y軸都沒有交點，

圖象特征即雙曲線的兩個分支無限接近坐標軸，但永遠達不到坐標軸．

2）反比例函數(shù)的圖象既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，其對稱軸為直線y=±x，

對稱中心為原點．

注意：

(1)研究反比例函數(shù)的增減性及比較兩個函數(shù)值的大小時，要分象限進行研究或比較.

(2)判斷某點是否在反比例函數(shù)的圖象上，只需要判斷該點的橫、縱坐標之積是否等于k即可.

(3)因為反比例函數(shù)和正比例函數(shù)的圖象都關于原點對稱，所以在同一直角坐標系中，若反比例函數(shù)與正比

例函數(shù)圖象有兩個交點，則這兩個交點關于原點對稱.

知識模塊二：反比例函數(shù)解析式的確定方法

待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式的一般步驟：

1）設反比例函數(shù)的解析式為（k為常數(shù)，k≠0）；

?

2）把已知的一對x，y的值帶?入=解?析式，得到一個關于待定系數(shù)k的方程；

2

3）解方程求出待定系數(shù)k；

4）將所求的k值代入所設解析式中.

知識模塊三：反比例系數(shù)k的幾何意義

當反比例函數(shù)圖象與三角形、矩形結合時,可直接利用k的幾何意義求解,若圖形為不規(guī)則圖形,則結合割補法

進行求解.

一、一點一垂線

結論：S△AOB=S△CODS△AOE=S四邊形CEBDS△AOC=

二、一點兩垂線?

結論：S矩形ABOE=S矩形CDOFS矩形AEFG=S矩形CGBDS?ABCD=

三、兩點一垂線?

結論：S△ABC=2S△ABO=

?

如左圖，已知一次函數(shù)與反比例函數(shù)交于A、B兩點，且一次函數(shù)與x軸交于點C，則S△AOB=S△AOC+S△BOC

?

?=?

=co?|yA|+co?|yB|=co(|yA|+|yB|)

111

222

3

如右圖，已知一次函數(shù)與反比例函數(shù)交于A、B兩點，且一次函數(shù)與y軸交于點C，則S△AOB=S△AOC+S△BOC

?

?=?

=co?|xA|+co?|xB|=co(|xA|+|xB|)

111

222

四、兩點兩垂線

【模型結論】反比例函數(shù)與正比例函數(shù)圖象的交點及由交點向坐標軸所作兩條垂線圍成的圖形面積等于2|k|

五、兩點和原點

方法一：S△AOB＝S△COD－S△AOC－S△BOD．【分割】

方法二：作AE⊥x軸于點E，交OB于點M，BF⊥x軸于點F，而S△OAM＝S四邊形MEFB，則S△AOB＝S直角梯形AEFB．

方法三：S△AOB＝S四邊形COFD－S△AOC－S△BOF.【補形】

方法四：S△AOB＝S△AOD－S△BOD＝OD?（|yA|-|yB|）

1

2

方法五：S△AOB＝S△BOC－S△AOC＝OC?（|xB|-|xA|）

1

24

六、兩曲一平行

類型一兩條雙曲線的k值符號相同

結論：S陰影＝|k1|-|k2|S陰影＝|k1|-|k2|

11

22

結論：S陰影＝|k1|-|k2|S陰影＝|k1|-|k2|-S直角梯形AFDE

類型二兩條雙曲線的k值符號相同

結論：S△AOB＝S△ACB＝(|k1|+|k2|)S陰影＝|k1|+|k2|

1

2

知識模塊四反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合

1.自變量取值范圍

當一次函數(shù)與反比例函數(shù)相交時，聯(lián)立兩個解析式，構造方程組，然后求出交點坐標．針對y1>y2時

自變量x的取值范圍，只需觀察一次函數(shù)的圖象高于反比例函數(shù)圖象的部分所對應的x的范圍．例如，如

下圖，當y1>y2時，x的取值范圍為x>xA或xB<x<0；同理，當y1<y2時，x的取值范圍為0<x<xA或x<xB．

2.求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點坐標

1）從圖象上看，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點由k值的符號來決定．

5

①k值同號，兩個函數(shù)必有兩個交點；

②k值異號，兩個函數(shù)可無交點，可有一個交點，可有兩個交點；

2）從計算上看，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點主要取決于兩函數(shù)所組成的方程組的解的情況．

知識模塊五反比例函數(shù)的實際應用

知識點一：用反比例函數(shù)解決實際問題的步驟

1）審：審清題意，找出題目中的常量、變量，并理清常量與變量之間的關系；

2）設：根據(jù)常量與變量之間的關系，設出函數(shù)解析式，待定的系數(shù)用字母表示；

3）列：由題目中的已知條件列出方程，求出待定系數(shù)；

4）寫：寫出函數(shù)解析式，并注意解析式中變量的取值范圍；

5）解：用函數(shù)解析式去解決實際問題．

知識點二：反比例函數(shù)實際應用常考題型解題方法

1.與實際情境結合的分段函數(shù)問題

(1)通過問題提供的信息,明確變量之間的函數(shù)關系或直接設出函數(shù)解析式,再根據(jù)已知條件確定函數(shù)解析式

中的字母系數(shù)。

(2)寫出函數(shù)解析式,然后運用其圖象與性質解決實際問題。

2.跨學科應用

考查反比例函數(shù)的實際應用時，常會結合其他學科的知識(專業(yè)名詞、公式等),做題時要讀懂題意,理解所給

的函數(shù)圖象,利用反比例函數(shù)的相關知識解決問題.

考點一：反比例函數(shù)的圖象與性質

【典例1】（一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象）（2024·黑龍江大慶·中考真題）在同一平面直角坐標系中，函數(shù)

k

ykxkk0與y的大致圖象為（）

x

A．B．

6

C．D．

【典例2】（二次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象）（2024·山東德州·中考真題）已知Px1,y1，Qx2,y2是某函數(shù)

圖象上的兩點，當1x2x12時，y2y10．該函數(shù)的解析式可能是（）

2

A．y2xB．y

x

C．yx2x1D．yx22x1

【典例3】（判斷反比例圖象所在象限）（2024·安徽六安·模擬預測）若關于x的一元二次方程3x26xn0

n3

無實數(shù)根，則反比例函數(shù)y的圖象所在的象限分別位于（）

x

A．第一、二象限B．第二、四象限C．第一、三象限D．第三、四象限

，，，

【典例4】（反比例函數(shù)性質）（2024·江蘇南京·中考真題）已知點3y1，1y2，1y3在下列某

一函數(shù)圖像上．且y3y1y2那么這個函數(shù)是（）

33

A．y3xB．y3x2C．yD．y

xx

【典例5】（已知反比例函數(shù)圖象，判斷其解析式）（2024·內蒙古·中考真題）在同一平面直角坐標系中，

c

函數(shù)yaxba0和yc0的圖象大致如圖所示，則函數(shù)yax2bxca0的圖象大致為（）

x

A．B．C．D．

【典例6】（反比例函數(shù)的增減性）（2024·江蘇徐州·中考真題）若點A3,a、B1,b、C2,c都在反比

4

例函數(shù)y的圖象上，則a、b、c的大小關系為．

x

【典例7】（由反比例函數(shù)圖象的對稱性求點的坐標）（2024·陜西·模擬預測）已知P、Q兩點分別在反比

7

2mm3

例函數(shù)ym0和ym3的圖象上，若點P與點Q關于y軸對稱，則m的值為．

xx

【典例8】（有關反比例函數(shù)新定義）（2024·黑龍江大慶·中考真題）定義：若一個函數(shù)圖象上存在縱坐標

是橫坐標2倍的點，則把該函數(shù)稱為“倍值函數(shù)”，該點稱為“倍值點”．例如：“倍值函數(shù)”y=3x+1，其“倍

值點”為1，2．下列說法不．正．確．的序號為．

①函數(shù)y2x4是“倍值函數(shù)”；

8

②函數(shù)y的圖象上的“倍值點”是2，4和2，4；

x

14

③若關于x的函數(shù)ym1x2mxm的圖象上有兩個“倍值點”，則m的取值范圍是m；

43

nk

④若關于x的函數(shù)yx2mk2x的圖象上存在唯一的“倍值點”，且當1≤m≤3時，n的最小

42

35

值為k，則k的值為．

2

【典例9】（反比例函數(shù)圖象變換）（2024·寧夏·中考真題）在同一平面直角坐標系中，函數(shù)y2x1的圖

象可以由函數(shù)y2x的圖象平移得到．依此想法，數(shù)學小組對反比例函數(shù)圖象的平移進行探究．

(1)【動手操作】

列表：

xL5432112345L

2212212

yL1221L

x523325

31

xL54320123L

22

21221

y=L124421L

x+12332

22

描點連線：在已畫出函數(shù)y的圖象的坐標系中畫出函數(shù)y=的圖象．

xx+1

8

(2)【探究發(fā)現(xiàn)】

22

①將反比例函數(shù)y的圖象向___________平移___________個單位長度得到函數(shù)y=的圖象．

xx+1

②上述探究方法運用的數(shù)學思想是（）

整體思想B．類比思想C．分類討論思想

(3)【應用延伸】

11

①將反比例函數(shù)y的圖象先___________，再___________得到函數(shù)y1的圖象．

xx2

1

②函數(shù)y1圖象的對稱中心的坐標為___________．

x2

考點二：反比例函數(shù)解析式的確定

【典例1】（2024·內蒙古通遼·中考真題）如圖，平面直角坐標系中，原點O為正六邊形ABCDEF的中心，

k

EF∥x軸，點E在雙曲線y(k為常數(shù)，k0)上，將正六邊形ABCDEF向上平移3個單位長度，點D恰

x

好落在雙曲線上，則k的值為（）

A．43B．33C．23D．3

【典例2】（跨學科試題）（2024·湖南·中考真題）在一定條件下，樂器中弦振動的頻率f與弦長l成反比

9

k

例關系，即f（k為常數(shù)．k0），若某樂器的弦長l為0.9米，振動頻率f為200赫茲，則k的值為．

l

【典例3】（開方題型）（2024·江蘇無錫·中考真題）某個函數(shù)的圖象關于原點對稱，且當x0時，y隨x

的增大而增大．請寫出一個符合上述條件的函數(shù)表達式：．

k

【典例4】（2024·福建·中考真題）如圖，在平面直角坐標系xOy中，反比例函數(shù)y的圖象與O交于A,B

x

兩點，且點A,B都在第一象限．若A1,2，則點B的坐標為．

【典例5】（反比例函數(shù)與相似三角形結合）（2024·山東日照·中考真題）如圖，在平面直角坐標系xOy中，

點A4,0，C0,42是矩形OABC的頂點，點M,N分別為邊AB,OC上的點，將矩形OABC沿直線MN折

k

疊，使點B的對應點B在邊OA的中點處，點C的對應點C在反比例函數(shù)y(k0)的圖象上，則k

x

【典例6】（2024·江蘇鹽城·中考真題）小明在草稿紙上畫了某反比例函數(shù)在第二象限內的圖像，并把矩形

直尺放在上面，如圖．

請根據(jù)圖中信息，求：

(1)反比例函數(shù)表達式；

(2)點C坐標．

10

k

【典例7】（2024·江西·中考真題）如圖，VAOB是等腰直角三角形，ABO90，雙曲線yk0,x0

x

經過點B，過點A4,0作x軸的垂線交雙曲線于點C，連接BC．

(1)點B的坐標為______；

(2)求BC所在直線的解析式．

【典例8】（2024·河南·中考真題）如圖，矩形ABCD的四個頂點都在格點（網(wǎng)格線的交點）上，對角線AC，

k

BD相交于點E，反比例函數(shù)yx0的圖象經過點A．

x

(1)求這個反比例函數(shù)的表達式．

(2)請先描出這個反比例函數(shù)圖象上不同于點A的三個格點，再畫出反比例函數(shù)的圖象．

(3)將矩形ABCD向左平移，當點E落在這個反比例函數(shù)的圖象上時，平移的距離為________．

11

k

【典例9】（2024·貴州·中考真題）已知點1,3在反比例函數(shù)y的圖象上．

x

(1)求反比例函數(shù)的表達式；

(2)點3,a，1,b，3,c都在反比例函數(shù)的圖象上，比較a，b，c的大小，并說明理由．

【典例10】（2024·貴州貴陽·模擬預測）中考過后，我們會是雙曲線兩個分支上的兩個點，隨著時間的流逝，

k

我們漸行漸遠嗎？如圖，還是點A在反比例函數(shù)yk0的圖象上，點C是點A關于y軸的對稱點，

x

已知AC12，OC10．

(1)直接寫出C點坐標

(2)求反比例函數(shù)的解析式；

(3)若點P在x軸上，且SOPC2SOAC，直接寫出點P的坐標．

考點三：反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合

2

【典例1】（根據(jù)對稱性求點的坐標）（2024·北京·模擬預測）直線ykx(k0)與雙曲線y交于

x

Ax1,y1,Bx2,y2兩點（A在第二象限），則2x1y23x2y1的值為．

【典例2】（分割法求圖形面積）（2024·江蘇常州·中考真題）如圖，在平面直角坐標系xOy中，一次函數(shù)

m

ykxb的圖像與反比例函數(shù)y的圖像相交于點A1,n、．

x

?2,1

(1)求一次函數(shù)、反比例函數(shù)的表達式；

12

(2)連接OA、OB，求△OAB的面積．

【典例3】（與銳角三角函數(shù)結合求點的坐標）（2024·四川達州·中考真題）如圖，一次函數(shù)ykxb（k、

m

b為常數(shù)，k0）的圖象與反比例函數(shù)y（m為常數(shù)，m0）的圖象交于點A2,3，Ba,2．

x

(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；

(2)若點C是x軸正半軸上的一點．且BCA90．求點C的坐標．

【典例4】（與三角形面積幾何求取值范圍）（2024·四川廣安·中考真題）如圖，一次函數(shù)yaxb（a，

k

b為常數(shù)，a0）的圖象與反比例函數(shù)y（k為常數(shù)，k0）的圖象交于A(2,4)，B(n,2)兩點．

x

(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式．

(2)直線AB與x軸交于點C，點P(m,0)是x軸上的點，若PAC的面積大于12，請直接寫出m的取值范圍．

【典例5】（與三角函數(shù)、勾股定理、一元二次方程結合）（2024·黑龍江大慶·中考真題）如圖1，在平面

直角坐標系中，O為坐標原點，點A在x軸的正半軸上，點B，C在第一象限，四邊形OABC是平行四邊形，

13

k

點C在反比例函數(shù)y的圖象上，點C的橫坐標為2，點B的縱坐標為3．

x

x1x2y1y2

提示：在平面直角坐標系中，若兩點分別為P1x1,y1，P2x2,y2，則P1P2中點坐標為,．

22

(1)求反比例函數(shù)的表達式；

k

(2)如圖2，點D是AB邊的中點，且在反比例函數(shù)y圖象上，求平行四邊形OABC的面積；

x

3k

(3)如圖3，將直線l:yx向上平移6個單位得到直線l，直線l與函數(shù)yx0圖象交于M，M兩

1422x12

MN

點，點P為MM的中點，過點M作MNl于點N．請直接寫出P點坐標和1的值．

12111OP

【典例6】（求不等式解集與點的坐標）（2024·山東東營·中考真題）如圖，一次函數(shù)ymxn（m0）

k

的圖象與反比例函數(shù)y（k0）的圖象交于點A(3,a)，B(1,3)，且一次函數(shù)與x軸，y軸分別交于點C，

x

D．

(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達式；

k

(2)根據(jù)圖象直接寫出不等式mxn的解集；

x

(3)在第三象限的反比例函數(shù)圖象上有一點P，使得S△OCP4S△OBD，求點P的坐標．

k

【典例7】（反比例函數(shù)與全等綜合）（2024·山東濟南·中考真題）已知反比例函數(shù)y(x0)的圖象與正

x

比例函數(shù)y3xx0的圖象交于點A2,a，點B是線段OA上（不與點A重合）的一點．

14

(1)求反比例函數(shù)的表達式；

k

(2)如圖1，過點B作y軸的垂線l,l與y(x0)的圖象交于點D，當線段BD3時，求點B的坐標；

x

k

(3)如圖2，將點A繞點B順時針旋轉90得到點E，當點E恰好落在y(x0)的圖象上時，求點E的坐標．

x

【典例8】（求面積與不等式解集）（2024·山東淄博·中考真題）如圖，一次函數(shù)yk1x2的圖象與反比例

k

函數(shù)y2的圖象相交于Am,4，B兩點，與x，y軸分別相交于點C，D．且tanACO2．

x

(1)分別求這兩個函數(shù)的表達式；

(2)以點D為圓心，線段DB的長為半徑作弧與x軸正半軸相交于點E，連接AE，BE．求ABE的面積；

k

(3)根據(jù)函數(shù)的圖象直接寫出關于x的不等式kx22的解集．

1x

【典例9】（最值問題）（2024·四川雅安·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)的圖象l與反

k1

比例函數(shù)y的圖象交于M,4，Nn,1兩點．

x2

15

(1)求反比例函數(shù)及一次函數(shù)的表達式；

(2)求OMN的面積；

(3)若點P是y軸上一動點，連接PM，PN．當PMPN的值最小時，求點P的坐標．

考點四：反比例函數(shù)的實際應用

【典例1】（2024·山西大同·模擬預測）火力發(fā)電廠的大煙囪并不是我們所理解的排放廢氣的煙囪，它的專

業(yè)名字叫雙曲線冷卻塔，從這里冒出的煙霧其實只是水蒸氣，它的縱截面是如圖所示的軸對稱圖形，ABCD

是一個矩形，若以AB所在直線為x軸，AB的垂直平分線為y軸建立如圖所示的平面直角坐標系，DE、CF

分別是兩個反比例函數(shù)圖象的一部分，已知AB87m，BC20m，上口寬EF16m，則整個冷卻塔高度

為（）

435435595755

A．B．C．D．

48816

【典例2】（2024·山西·二模）物理實驗中，同學們分別測量電路中經過甲、乙、丙、丁四個用電器的電流I(A)

和它們兩端的電壓U(V)，根據(jù)相關數(shù)據(jù)，在如圖的坐標系中依次畫出相應的圖象．根據(jù)圖象及物理學知識

UIR，可判斷這四個用電器中電阻R()最大的是（）

16

A．甲B．乙C．丙D．丁

【典例3】（2024·山西陽泉·二模）飲水機接通電源會自動加熱，加熱時水溫每分鐘上升10C，溫度到100C

停止加熱．然后水溫開始下降，此時水溫y℃與時間xmin成反比例函數(shù)關系，水溫降至30C時，飲水

機重復上述程序開始加熱，加熱時水溫y℃與時間xmin的關系如圖所示．水溫從30C開始加熱至100C，

然后下降至30C這一過程中，水溫不低于50C的時間為min．

【典例4】（2024·山西·中考真題）機器狗是一種模擬真實犬只形態(tài)和部分行為的機器裝置，其最快移動速

度vm/s是載重后總質量m(kg)的反比例函數(shù)．已知一款機器狗載重后總質量m60kg時，它的最快移動

速度v6m/s；當其載重后總質量m90kg時，它的最快移動速度vm/s．

【典例5】（2024·廣東深圳·二模）如圖1是某種呼氣式酒精測試儀的電路原理圖，電源電壓保持不變，R1

為氣敏可變電阻，定值電阻R030．檢測時，可通過電壓表顯示的讀數(shù)UV換算為酒精氣體濃度

3

pmg/m，設RR1R0，電壓表顯示的讀數(shù)UV與RΩ之間的反比例函數(shù)圖象如圖2所示，R1與酒

3

精氣體濃度p的關系式為R160p60，當電壓表示數(shù)為4.5V時，酒精氣體濃度為mgm．

17

【典例6】（2024·吉林·中考真題）已知蓄電池的電壓為定值，使用蓄電池時，電流I（單位：A）與電阻R

（單位：Ω）是反比例函數(shù)關系，它的圖象如圖所示．

(1)求這個反比例函數(shù)的解析式（不要求寫出自變量R的取值范圍）．

(2)當電阻R為3時，求此時的電流I．

【典例7】（2024·遼寧大連·一模）智能飲水機接通電源后開始自動加熱，水溫每分鐘上升20℃，加熱到100℃

時，飲水機自動停止加熱，水溫開始下降．在水溫開始下降的過程中，水溫y（℃）與通電時間x（min）

成反比例關系．當水溫降至室溫時，飲水機再次自動加熱，重復上述過程．設某天水溫和室溫均為20℃，

接通電源后，水溫y（℃）與通電時間x（min）之間的關系如圖所示．

(1)當4xa時，求y與x之間的函數(shù)關系式（寫出x的取值范圍）；

(2)加熱一次，求水溫不低于40℃的時間．

18

【典例8】（2024·湖南·模擬預測）物理實驗課上，小明為探究電流IA與接入電路的滑動變阻器xΩ之

間的關系，設計如圖所示的電路圖．已知電源的電壓UV保持不變，小燈泡的電阻為2．改變接入電路

的滑動變阻器的電阻xΩ，電流表的讀數(shù)即電流IA發(fā)生改變．當接入電路的滑動變阻器的電阻為1時，

電流表的讀數(shù)為2A．

(1)求電路中的電阻RΩ關于接入電路的滑動變阻器的電阻xΩ之間的函數(shù)關系，

(2)求電流IA關于電路中的電阻RΩ的函數(shù)關系；

(3)如果電流表的讀數(shù)為0.5A，則接入電路的滑動變阻器的電阻為多少？

考點五：反比例函數(shù)與幾何綜合（含k的幾何意義）

12

【典例1】（2024·黑龍江大興安嶺地·中考真題）如圖，雙曲線yx0經過A、B兩點，連接OA、AB，

x

過點B作BDy軸，垂足為D，BD交OA于點E，且E為AO的中點，則AEB的面積是（）

19

A．4.5B．3.5C．3D．2.5

【典例2】（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）矩形OBAC在平面直角坐標系中的位置如圖所示，反比例函數(shù)

k

y的圖象與AB邊交于點D，與AC邊交于點F，與OA交于點E，OE2AE，若四邊形ODAF的面積

x

為2，則k的值是（）

2348

A．B．C．D．

5555

【典例3】（2024·內蒙古·中考真題）下列說法中，正確的個數(shù)有（）

二次函數(shù)yax2bxca0的圖象經過2,1,4,1兩點，m，n是關于x的元二次方程

①

ax2bxck00k1的兩個實數(shù)根，且mn，則4mn2恒成立．

在半徑為r的O中，弦AB,CD互相垂直于點P，當OPm時，則AB2CD28r24m2．

②

VABC為平面直角坐標系中的等腰直角三角形且ABC90，點A的坐標為1,0，點B的坐標為0,5，

③k

點C是反比例函數(shù)yk0的圖象上一點，則k30．

x

已知矩形的一組鄰邊長是關于x的一元二次方程x22a1xa210的兩個實數(shù)根，且矩形的周長值

④

與面積值相等，則矩形的對角線長是46．

A．1個B．2個C．3個D．4個

【典例4】（2024·山東淄博·中考真題）如圖所示，正方形ABCD與AEFG（其中邊BC，EF分別在x，y軸

k

的正半軸上）的公共頂點A在反比例函數(shù)y的圖象上，直線DG與x，y軸分別相交于點M，N．若這

x

15

兩個正方形的面積之和是，且MD4GN．則k的值是（）

2

20

A．5B．1C．3D．2

【典例5】（2024·黑龍江綏化·中考真題）如圖，已知點A7,0，Bx,10，C17,y，在平行四邊形ABCO

k

中，它的對角線OB與反比例函數(shù)yk0的圖象相交于點D，且OD:OB1:4，則k．

x

【典例6】（2024·江蘇揚州·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為(1,0)，點B在反比例函

k

數(shù)y(x0)的圖像上，BCx軸于點C，BAC30，將VABC沿AB翻折，若點C的對應點D落在該

x

反比例函數(shù)的圖像上，則k的值為．

【典例7】（2024·四川樂山·中考真題）定義：函數(shù)圖象上到兩坐標軸的距離都小于或等于1的點叫做這個

函數(shù)圖象的“近軸點”．例如，點是函數(shù)yx1圖象的“近軸點”．

（1）下列三個函數(shù)的圖象上存在0“,近1軸點”的是（填序號）；

2

①yx3；②y；③yx22x1．

x

（2）若一次函數(shù)ymx3m圖象上存在“近軸點”，則m的取值范圍為．

【典例8】（2024·江蘇連云港·中考真題）如圖1，在平面直角坐標系xOy中，一次函數(shù)ykx1(k0)的

6

圖像與反比例函數(shù)y的圖像交于點A、B，與y軸交于點C，點A的橫坐標為2．

x

21

(1)求k的值；

6

(2)利用圖像直接寫出kx1時x的取值范圍；

x

6

(3)如圖2，將直線AB沿y軸向下平移4個單位，與函數(shù)y(x0)的圖像交于點D，與y軸交于點E，再

x

6

將函數(shù)y(x0)的圖像沿AB平移，使點A、D分別平移到點C、F處，求圖中陰影部分的面積．

x

k

【典例9】（2024·山東青島·中考真題）如圖，點A,A,A,,A,A為反比例函數(shù)yk0圖象上的點，

123nn1x

L

其橫坐標依次為1,2,3,,n,n1．過點A1,A2,A3,,An作x軸的垂線，垂足分別為點H1,H2,H3,,Hn；過點A2

△

作A2B1A1H1于點B1，過點A3作A3B2A2H2于點B2，…，過點An1作An1BnAnHn于點Bn．記A1B1A2的

△△

面積為S1,A2B2A3的面積為S2,,AnBnAn1的面積為Sn．

(1)當k2時，點B1的坐標為______，S1S2______，S1S2S3______，S1S2S3Sn______

（用含n的代數(shù)式表示）；

(2)當k3時，S1S2S3Sn______（用含n的代數(shù)式表示）．

22

【典例10】（2024·廣東·中考真題）【問題背景】

如圖1，在平面直角坐標系中，點B，D是直線yaxa0上第一象限內的兩個動點ODOB，以線段

k??

為對角線作矩形ABCD，AD∥x軸．反比例函數(shù)y的圖象經過點A．

x

【構建聯(lián)系】

k

（1）求證：函數(shù)y的圖象必經過點C．

x

（2）如圖2，把矩形ABCD沿折疊，點C的對應點為E．當點E落在y軸上，且點B的坐標為1,2時，

??

求k的值．

【深入探究】

（3）如圖3，把矩形ABCD沿折疊，點C的對應點為E．當點E，A重合時，連接AC交于點P．以

點O為圓心，AC長為半徑作?O?．若OP32，當O與VABC的邊有交點時，求k的取值??范圍．

23

易錯點1：利用反比例函數(shù)的性質時，誤認為所給出的點在同一曲線上

1.反比例函數(shù)的圖象不是連續(xù)的，因此在描述反比例函數(shù)的增減性時，一定要有“在其每個象限內”這個

前提．當k＞0時，在每一象限（第一、三象限）內y隨x的增大而減小，但不能籠統(tǒng)地說當k＞0時，y隨

x的增大而減小．同樣，當k＜0時，也不能籠統(tǒng)地說y隨x的增大而增大．

5

【典例1】（2024·天津·中考真題）若點Ax1,1,Bx2,1,Cx3,5都在反比例函數(shù)y的圖象上，則x1,x2,x3

x

的大小關系是（）

A．x1x2x3B．x1x3x2

C．x3x2x1D．x2x1x3

2

【典例2】（2024·廣西·中考真題）已知點Mx,y，Nx,y在反比例函數(shù)y的圖象上，若x0x，

1122x12

則有（）

A．y10y2B．y20y1C．y1y20D．0y1y2

k

【典例3】（2024·山東濟寧·中考真題）已知點A2,y,B1,y,C3,y在反比例函數(shù)y(k0)的圖

123x

象上，則y1,y2,y3的大小關系是（）

A．y1y2y3B．y2y1y3C．y3y1y2D．y3y2y1

m8

【典例4】（2024·貴州·模擬預測）已知點1,6在反比例函數(shù)y的圖象上．

x

(1)求反比例函數(shù)的表達式；

，，

(2)點x1,6，x2,1，x3,3都在反比例函數(shù)的圖象上，比較x1x2x3的大小，并說明理由．

24

m

【典例5】（2024·貴州黔東南·二模）如圖，直線ykxb（k，b為常數(shù)）與雙曲線y（m為常數(shù)）相

x

交于Aa,1，B1,2兩點．

(1)求a，m的值；

m

(2)在雙曲線y上任取兩點和，若xx，試確定y1和y2的大小關系，并寫出判斷過

x12

1122

程；??