§2.10指、對(duì)、冪的大小比較重點(diǎn)解讀函數(shù)“比大小”是非常經(jīng)典的題型,難度不定,方法無常,很受命題者的青睞.每年高考基本都會(huì)出現(xiàn),難度逐年上升.高考命題中,常常在選擇題中出現(xiàn),往往將冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等混在一起,進(jìn)行排序.這類問題的解法可以從代數(shù)和幾何方面加以探尋,即利用函數(shù)的性質(zhì)與圖象解答.題型一直接法比較大小命題點(diǎn)1利用函數(shù)的性質(zhì)例1(2024·鄂爾多斯模擬)已知a＝0.734,b＝log834,cA.b<a<c B.a<c<bC.b<c<a D.a<b<c答案A解析由于y＝0.7x是R上的減函數(shù),則0<0.734<0.70＝1,所以0<由于y＝log8x是(0,＋∞)上的增函數(shù),則log834<log81＝0,所以b<0由于y＝4x是R上的增函數(shù),則434>40＝1,所以c所以b<a<c.命題點(diǎn)2找中間值例2設(shè)a＝0.20.5,b＝log53,c＝50.2,則a,b,c的大小關(guān)系是()A.a<b<c B.a<c<bC.c<b<a D.c<a<b答案A解析0<a＝0.20.5＝55<1>b＝log53>log55c＝50.2>50＝1,所以a<b<c.命題點(diǎn)3特殊值法例3已知a>b>1,0<c<12,則下列結(jié)論正確的是(A.ac<bc B.abc<bacC.alogbc<blogac D.logac<logbc答案C解析取特殊值,令a＝4,b＝2,c＝1則ac＝414,bc＝214,∴ac>abc＝4×214＝294∴abc>bac,故B錯(cuò)誤；logac＝log414＝－1,logbc＝log214＝－alogbc＝－8,blogac＝－2,∴alogbc<blogac,logac>logbc,故C正確,D錯(cuò)誤.思維升華利用特殊值作“中間量”在指數(shù)、對(duì)數(shù)中通?？蓛?yōu)先選擇“－1,0,12,1”對(duì)所比較的數(shù)進(jìn)行劃分,然后再進(jìn)行比較,有時(shí)可以簡(jiǎn)化比較的步驟,也有一些題目需要選擇特殊的常數(shù)對(duì)所比較的數(shù)的值進(jìn)行估計(jì),例如log23,可知1＝log22<log23<log24＝2,進(jìn)而可估計(jì)log23是一個(gè)1~2之間的小數(shù)跟蹤訓(xùn)練1(1)(2024·寧河模擬)設(shè)a＝2－0.5,b＝120.3,c＝log0.50.3,則a,b,c的大小關(guān)系為A.c<b<a B.a<b<cC.b<a<c D.c<a<b答案B解析因?yàn)閍＝2－0.5,b＝120.3＝2－0.易知函數(shù)y＝2x在R上是增函數(shù),又－0.5<－0.3<0,所以a<b<20＝1,又易知y＝log0.5x在(0,＋∞)上是減函數(shù),所以c＝log0.50.3>log0.50.5＝1,綜上,a<b<c.(2)(2025·天津模擬)設(shè)a＝log2π,b＝log12π,c＝π－2,則(A.a>b>c B.b>a>cC.a>c>b D.c>b>a答案C解析依題意,a＝log2π>log22＝1,b＝log12π<log121＝0,0<c＝π－2<π0＝1,所以a>題型二利用指數(shù)、對(duì)數(shù)及冪的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)比較大小命題點(diǎn)1作差法例4設(shè)a＝log62,b＝log123,c＝log405,則()A.a<b<c B.b<a<cC.c<a<b D.a<c<b答案D解析∵1b＝log312＝1＋log34＝1＋＝1＋2lg2lg3,1c＝1＋log58＝1＋lg8＝1＋3lg2∴1＝2lg2＝lg2(2lg5-3lg3)＝lg2(lg25-lg27)lg3×∴1b<又b>0,c>0,∴b>c；∵1c＝1＋log58<1＋log5＝1＋log5532＝5∵1a＝log26＝1＋log23>1＋log2＝1＋log2232＝5∴a<c.∴a<c<b.命題點(diǎn)2作商法例5(2025·成都模擬)若a＝3-14,b＝32-13,c＝log1A.a>b>c B.b>c>aC.c>a>b D.c>b>a答案D解析因?yàn)?<a＝3-14<300<b＝32-13<令ab＝3-而3112×2-＝3×2－4＝316<1即3112×2-13<1,又因?yàn)閏＝log1225＝log12410>log12510＝命題點(diǎn)3乘方法例6已知a＝log35,b＝log57,c＝43,則(A.a>b>c B.b>a>cC.c>b>a D.a>c>b答案D解析因?yàn)?3＝125>(343)3＝所以log35>log3343＝43因?yàn)?3＝343<(543)3＝所以log57<log5543＝43所以a>c>b.思維升華求同存異法比較大小如果兩個(gè)指數(shù)或?qū)?shù)的底數(shù)相同,則可通過真數(shù)的大小與指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷出指數(shù)或?qū)?shù)的大小關(guān)系,要熟練運(yùn)用指數(shù)、對(duì)數(shù)公式、性質(zhì),盡量將比較的對(duì)象轉(zhuǎn)化為某一部分相同的形式.跟蹤訓(xùn)練2(1)已知正數(shù)a,b,c滿足2024a＝2025,2025b＝2024,ec＝2,下列說法正確的是()A.logac>logbc B.logca>logcbC.ac<bc D.ca<cb答案D解析∵2024a＝2025,2025b＝2024,ec＝2,∴a＝log20242025>1,b＝log20252024<1,c＝ln2<1,∴a>1,0<b<1,0<c<1,∴l(xiāng)ogac<0,logbc>0,∴l(xiāng)ogac<logbc,故A錯(cuò)誤；∵0<c<1,a>b,∴l(xiāng)ogca<logcb,ac>bc,ca<cb,故B,C錯(cuò)誤,D正確.(2)若a＝4log232,b＝log147,c＝log126A.a>b>c B.b>c>aC.c>b>a D.a>c>b答案A解析a＝4b＝log147＝1－log142＝1－ln2ln14,c＝log126＝1－log122＝1因?yàn)?log142＝log1424＝log1416>1,則log142>1所以1－log142<1－14＝34,而ln2>0,ln14>ln12>0,所以ln2ln14<所以1－ln2ln14>1－ln2ln12,即b綜上,a>b>c.課時(shí)精練[分值：52分]一、單項(xiàng)選擇題(每小題5分,共30分)1.(2024·湛江模擬)已知a＝20.3,b＝30.2,c＝log0.20.3,則()A.b>c>a B.c>b>aC.a>b>c D.b>a>c答案D解析依題意,b＝30.2＝90.1>80.1＝20.3＝a>1,c＝log0.20.3<log0.20.2＝1,所以b>a>c.2.(2025·攀枝花模擬)若a＝(3)23,b＝log3e,c＝1A.a>c>b B.a>b>cC.c>a>b D.c>b>a答案A解析易知y＝x13在(0,＋∞)上單調(diào)遞增,則(3)23＝3而由y＝3x,y＝ex均為增函數(shù),得313>30＝1,e13>e0＝1,即又y＝log3x為增函數(shù),故1＝log33>log3e＝b,則a>c>1>b.3.已知a＝ln3,b＝π1e,c＝ln3π,則a,bA.b>a>c B.b>c>aC.a>c>b D.a>b>c答案A解析∵(3)6＝27,(3π)∴3>3∴0<ln3π<ln3<lne＝1,即c<a<1∵b＝π1e∴b>a>c.4.已知a＝log32,b＝log43,c＝sinπ6,則a,b,c的大小關(guān)系為(A.a>b>c B.a>c>bC.b>c>a D.b>a>c答案D解析c＝sinπ6＝12,因?yàn)楹瘮?shù)y＝log3x,y＝log4x在(0,則a＝log32>log33b＝log43>log42＝12a－b＝ln2因?yàn)閘n2>0,ln4>0,則ln2＋ln4>2ln2×ln4?ln2×ln4<14×(ln8)2<14×(ln9)2＝(ln故a<b,綜上,b>a>c.5.(2025·沈陽模擬)設(shè)a＝e1033,b＝ln1110,c＝A.a<b<c B.c<b<aC.b<c<a D.a<c<b答案B解析a＝e1033>e0＝1,b＝ln1110<1,c＝ln2.210<1,故a>b,要比較ln1110與ln2.210的大小,即比較ln111010與ln2等價(jià)于比較1.110與2.2的大小,等價(jià)于比較1.19與2的大小,又1.19＝1.1×1.18＝1.1×1.214>1.1×1.24＝1.1×1.442>1.1×1.42＝1.1×1.96>2,故1.19>2,即ln1110>ln2.210,即b故c<b<a.6.已知log4m＝920,log12n＝14,0.9p＝0.8,則正數(shù)m,n,p的大小關(guān)系為A.p>m>n B.m>n>pC.m>p>n D.p>n>m答案A解析由log4m＝920,得m＝4由log12n＝14,得nmn＝49201214由0.9p＝0.8,得p＝log0.90.8>log0.90.81＝2,于是p>m>n,所以正數(shù)m,n,p的大小關(guān)系為p>m>n.二、多項(xiàng)選擇題(每小題6分,共12分)7.已知x>y>0,則()A.log2(x2＋1)>log2(y2＋1)B.cosx>cosyC.(x＋1)3>(y＋1)3D.e－x＋1>e－y＋1答案AC解析對(duì)于A,由x>y>0,得x2＋1>y2＋1,又f(t)＝log2t是增函數(shù),所以log2(x2＋1)>log2(y2＋1),故A正確；對(duì)于B,由于g(t)＝cost在(0,＋∞)上不單調(diào),所以cosx與cosy的大小關(guān)系無法確定,故B錯(cuò)誤；對(duì)于C,由x>y,得x＋1>y＋1,又h(t)＝t3是增函數(shù),所以(x＋1)3>(y＋1)3,故C正確；對(duì)于D,由x>y,得－x＋1<－y＋1,又φ(t)＝et是增函數(shù),所以e－x＋1<e－y＋1,故D錯(cuò)誤.8.設(shè)a＝ln4,b＝lg4,c＝20.6,則()A.b>a B.c>aC.a－b>ab D.a＋b>ab答案BD解析因?yàn)閍＝ln4>lne＝1,b＝lg4<lg10＝1,所以b<a,故A錯(cuò)誤；因?yàn)?2<e3,所以ln42<lne3,即ln4<32,又325＝24332,(20.6)5＝(235)5＝8＝25632,所以因?yàn)閍－b－ab＝ln4－lg4－ln4·lg4＝lg4lge－lg4－(lg4)2lge＝lg4[1-lg(4e)]lge,而lg(4e)>1,lg4>0,lge>0,所以a－b－ab<0由a＋b－ab＝lg4lge＋lg4－lg4lge·lg4＝lg4·lg5e2lge>0,所以a＋b>ab三、填空題(每小題5分,共10分)9.已知a＝log20.5,b＝20.5,c＝sin2,則a,b,c的大小關(guān)系為.

答案a<c<b解析因?yàn)楹瘮?shù)y＝log2x是增函數(shù),且0.5<1,則a＝log20.5<log21＝0,因?yàn)楹瘮?shù)y＝2x是增函數(shù),且0.5>0,則b＝20.5>20＝1,因?yàn)檎液瘮?shù)y＝sinx在區(qū)間π2,3π2上單調(diào)遞減,所以0＝sinπ<c＝sin2<sinπ2＝1所以a<c<b.10.定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)滿足f(x＋2)為偶函數(shù),且當(dāng)x1<x2<2時(shí),[f(x2)－f(x1)](x2－x1)>0恒成立,a＝f(1),b＝f(ln10),c＝f(354),則a,b,c的大小關(guān)系為.(從大到小排列答案b>a>c解析因?yàn)楹瘮?shù)f(x)滿足f(2－x)＝f(2＋x),所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對(duì)稱,