小高考2024—2025學(xué)年（下）高三第四次考試數(shù)學(xué)考生注意：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將考生號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算計(jì)算即可得解.【詳解】，則.故選：A.2.已知集合，，若，則（）A. B. C.或 D.或【答案】C【解析】【分析】分和兩種情況進(jìn)行討論，結(jié)合集合中元素的特性即可得答案.【詳解】①當(dāng)時(shí)，解得，此時(shí)，滿足題意，②當(dāng)時(shí)，解得，此時(shí)，滿足題意，故選：C.3.圓與圓的位置關(guān)系是（）A.相切 B.外離 C.內(nèi)含 D.相交【答案】B【解析】【分析】將兩圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，求出圓心和半徑，根據(jù)圓心距與半徑和差的大小關(guān)系判斷圓與圓的位置關(guān)系即可.【詳解】圓即，圓心為，半徑為；圓即，圓心為，半徑為；圓心距為，因?yàn)?，所以兩個(gè)圓外離.故選：B4.已知兩個(gè)不相等的向量，，若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算得，然后根據(jù)向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算求得或，再代入驗(yàn)證即可求解.【詳解】因?yàn)橄蛄?，，所以，由得，即，解得或，?dāng)時(shí)，，，此時(shí)，不符合題意，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)，符合題意.故選：C5.已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)在上單調(diào)遞減可知在上恒成立，進(jìn)而利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【詳解】由題知在上恒成立，所以，得.故選：D.6.已知數(shù)列滿足，，且對任意，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先令求出m的值，再求出數(shù)列的周期，結(jié)合周期即可求得，則答案可求.【詳解】令可得，代入數(shù)據(jù)得：，解得，所以，令，解得，令，解得，令，解得，，可得數(shù)列的周期為3，則，故選：D.7.已知正四棱臺(tái)的上、下底面邊長分別為，，該四棱臺(tái)的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，且球心是下底面的中心，則該四棱臺(tái)的體積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】結(jié)合圖象作出正四棱臺(tái)的高，根據(jù)邊長及點(diǎn)為正四棱臺(tái)外接球的球心利用勾股定理可求正四棱臺(tái)的高，再根據(jù)棱臺(tái)的體積公式即可求解.【詳解】如圖，正四棱臺(tái)，分別為上下底面的中心.由題意知正四棱臺(tái)的上、下底面邊長分別為，，則.又因?yàn)樵撍睦馀_(tái)的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，且球心是下底面的中心，可知，得，即正四棱臺(tái)的高為.又上底面的面積，下底面的面積，則該四棱臺(tái)的體積為.故選：B.8.已知雙曲線：（，）的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在上，滿足，直線與軸交于點(diǎn)，且，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)，由向量關(guān)系得，由雙曲線定義得，然后根據(jù)三角形相似比例相等求出，在中，由勾股定理列方程得，從而，解方程即可求解.【詳解】設(shè)雙曲線的半焦距為，如圖：設(shè)，則由得，由雙曲線的定義，得，又，，所以∽，所以，即，解得，則，，在中，由勾股定理得，即，化簡得，則，而，解得.故選：B二、多項(xiàng)選擇題；本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.在正方體中，下列結(jié)論正確的是（）A.平面 B.平面C.平面平面 D.平面平面【答案】BD【解析】【分析】由線面垂直的性質(zhì)可直接判斷A；由線面平行的判定即可判斷B；由直線與直線相交于一點(diǎn)即可判斷C；由面面垂直的判定定理即可判斷D.【詳解】對于A，若平面，平面，則，明顯不符合題意，故A錯(cuò)誤；對于B，由正方體的性質(zhì)可知，又平面,平面，所以平面，故B正確；對于C，因?yàn)橹本€與直線相交于一點(diǎn)，顯然平面與平面不可能平行，故C錯(cuò)誤；對于D，由正方體的性質(zhì)可得，平面，平面，所以，又且都在平面內(nèi)，所以平面，所以平面，又平面，所以平面平面，故D正確；故選：BD.10.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.存在負(fù)數(shù)，使得沒有零點(diǎn) B.若恰有個(gè)零點(diǎn)，則C.若恰有個(gè)零點(diǎn)，則 D.當(dāng)時(shí)，恰有個(gè)零點(diǎn)【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)題意將函數(shù)的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)，即曲線：與直線：的交點(diǎn)，易知直線過定點(diǎn)，求出直線與曲線的切點(diǎn)，結(jié)合圖象寫出在不同值的情況下，直線與曲線的公共點(diǎn)情況，即可得到函數(shù)的零點(diǎn)情況，再逐一判斷即可.【詳解】由題意，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，即的根的個(gè)數(shù)，等價(jià)于的解的個(gè)數(shù)，等價(jià)于曲線：與直線：的交點(diǎn)的個(gè)數(shù).曲線：時(shí)，，時(shí)，.直線：過定點(diǎn).當(dāng)時(shí)，設(shè)直線與曲線的切點(diǎn)為，則，得，則切點(diǎn)坐標(biāo)為，此時(shí).當(dāng)時(shí)，設(shè)直線與曲線的切點(diǎn)為，則，得，則切點(diǎn)坐標(biāo)為，此時(shí).當(dāng)直線繞著定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，直線與曲線的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)即為的零點(diǎn)個(gè)數(shù).如圖可知，時(shí)，無零點(diǎn)；時(shí)，有個(gè)零點(diǎn)；時(shí)，有個(gè)零點(diǎn)；時(shí)，有個(gè)零點(diǎn)；時(shí)，有個(gè)零點(diǎn)；時(shí)，有個(gè)零點(diǎn).存在負(fù)數(shù)，使得沒有零點(diǎn)，故A正確；若恰有個(gè)零點(diǎn)，或，故B錯(cuò)誤；若恰有個(gè)零點(diǎn)，則或，故C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，恰有個(gè)零點(diǎn)，故D正確.故選：AD11.蔓葉線是公元前世紀(jì)古希臘數(shù)學(xué)家狄奧克勒（Diocle）為了解決倍立方問題發(fā)現(xiàn)的曲線，因形似植物藤蔓而得名．按照如下方式可得到一條蔓葉線：在拋物線：上取一動(dòng)點(diǎn)，作在該動(dòng)點(diǎn)處的切線，過坐標(biāo)原點(diǎn)作這條切線的垂線，垂足的軌跡就是如圖所示的蔓葉線．下列結(jié)論正確的是（）A.點(diǎn)在上B.直線是的漸近線C.點(diǎn)到上的點(diǎn)的距離最小值為D.若過點(diǎn)的直線與和拋物線分別交于點(diǎn)，（異于點(diǎn)），則【答案】ABD【解析】【分析】先根據(jù)題意計(jì)算出蔓葉線E方程為，則A選項(xiàng)可直接判斷；結(jié)合蔓葉線E方程為以及漸近線的相關(guān)知識(shí)可判斷B；E上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離為，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求最小值即可判斷C；聯(lián)立直線方程與曲線方程即可求出交點(diǎn)，再計(jì)算得為固定值4，則D可判斷.【詳解】拋物線在原點(diǎn)處的切線為y軸，

過坐標(biāo)原點(diǎn)作這條切線的垂線,垂足即為；

設(shè)上不同于原點(diǎn)的點(diǎn)，

則該點(diǎn)處的切線斜率存在，設(shè)為k，切線方程為，

代入，消去x可得，

則，

即，即，即，

故切線為①

則過坐標(biāo)原點(diǎn)的這條切線的垂線方程為，

可得，代入①消去可得垂足滿足的關(guān)系式為，

化簡可得，

該式滿足過原點(diǎn)，

故蔓葉線E方程為.

點(diǎn)滿足上式，故點(diǎn)在E上，故A正確；

由，可得且，故，

時(shí)，，故是E的漸近線，故B正確；

設(shè)E上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離為，則，

令，，

令，可得，

故時(shí)，，單調(diào)遞減，

時(shí)，，單調(diào)遞增，

故,

故,則點(diǎn)到E上的點(diǎn)的距離最小值為，故C錯(cuò)誤；

若過點(diǎn)的直線與E和拋物線分別交于點(diǎn)A,B(異于點(diǎn))，

可知直線的斜率存在，設(shè)為m，則：，

由，解得,即,

由，解得，即,

故,

故，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.用，，，…，這個(gè)數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字三位數(shù)，其中偶數(shù)的個(gè)數(shù)為________．【答案】224【解析】【分析】利用分布乘法計(jì)數(shù)原理結(jié)合排列知識(shí)進(jìn)行計(jì)算即可直接得答案.【詳解】從四個(gè)數(shù)中任選一個(gè)數(shù)放在個(gè)位，有4種方法，再從其他八個(gè)數(shù)中任選2位數(shù)放在十位和百位，有種方法，故九個(gè)數(shù)組成沒有重復(fù)的三位數(shù)且是偶數(shù)共有種方法，故答案為：224.13.已（）是奇函數(shù)，則的最大值為________．【答案】2【解析】【分析】首先由奇偶性求得，則，由正弦函數(shù)的性質(zhì)可得最大值.【詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，所以，由于，所以，所以，所以的最大值為2，故答案為：2.14.在中，角，，對邊分別為，，，角的平分線與交于點(diǎn)，若，則的取值范圍是________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意得到三個(gè)角的數(shù)量關(guān)系，再根據(jù)正弦定理、二倍角公式及兩角和的正弦公式即可化簡，再換元求解即可的范圍.【詳解】設(shè)，則.又，則.又因?yàn)?，則.在中，由正弦定理可得則..因?yàn)椋?，故，所?所以的取值范圍是.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知等比數(shù)列滿足，且是，的等差中項(xiàng)．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式結(jié)合等差中項(xiàng)公式求解即可得答案；（2）利用分組求和及等比數(shù)列的求和公式求解可得答案.【小問1詳解】設(shè)的公比為，因?yàn)槭堑牡炔钪许?xiàng)，所以，又，所以解得所以.【小問2詳解】由（I）可得該數(shù)列為，，，，，，，，則.16.已知函數(shù)．（1）求的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；（2）令函數(shù)，若，，（，）成公差為的等差數(shù)列，證明：為定值．【答案】（1）；的單調(diào)遞增區(qū)間為，.（2）證明見解析【解析】【分析】（1）應(yīng)用二倍角公式及輔助角公式化簡，根據(jù)求的最小正周期，再整體帶入求正弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間即可.（2）根據(jù)題意化簡，利用等差中項(xiàng)的性質(zhì)寫出關(guān)系，再根據(jù)兩角和差的正切公式代入化簡，最后整理化簡即可得證.【小問1詳解】，最小正周期.令，，得.因此的單調(diào)遞增區(qū)間為，.【小問2詳解】由題意可得，因?yàn)槌晒顬榈牡炔顢?shù)列，所以，.由此可得，，從而，，，故為定值，得證.17.某商場舉辦購物抽獎(jiǎng)活動(dòng)，在一個(gè)不透明的袋子中放入個(gè)大小、材質(zhì)都相同的小球，小球有紅和藍(lán)兩種顏色，每個(gè)小球上都畫有符號(hào)“○”或“×”，不同顏色和符號(hào)的小球個(gè)數(shù)如下表所示．從袋中隨機(jī)摸出一個(gè)球，記事件為“摸出紅球”，事件為“摸出畫○的球”．紅球藍(lán)球畫○畫×（1）求和．（2）該商場規(guī)定在一次抽獎(jiǎng)中，每人有放回地摸兩次球，每次只摸出一個(gè)球，根據(jù)兩次摸出球的顏色和符號(hào)是否相同設(shè)置三種獎(jiǎng)項(xiàng)，等級(jí)從高到低依次為：顏色和符號(hào)均相同為一等獎(jiǎng)；僅顏色相同或僅符號(hào)相同為二等獎(jiǎng)；顏色和符號(hào)均不相同為三等獎(jiǎng)．（?。┮浴敖Y(jié)果發(fā)生的可能性越小，獎(jiǎng)項(xiàng)等級(jí)越高”為標(biāo)準(zhǔn)，請你判斷該獎(jiǎng)項(xiàng)設(shè)置是否合理；（ⅱ）若按（?。┲袠?biāo)準(zhǔn)對上述三種結(jié)果重新設(shè)置獎(jiǎng)項(xiàng)，并且一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)勵(lì)元，二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)勵(lì)元，三等獎(jiǎng)獎(jiǎng)勵(lì)元，要使一次抽獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金期望值不超過元，則的最大值為多少？【答案】（1）,（2）【解析】【分析】(1)由條件概率公式可直接求得答案；(2)(i)計(jì)算出顏色和符號(hào)均相同的概率、僅顏色相同或僅符號(hào)相同的概率、顏色和符號(hào)均不相同的概率，再比較大小關(guān)系即可判斷；(ii)結(jié)合(i)的計(jì)算結(jié)論計(jì)算數(shù)學(xué)期望，解不等式即可得答案.【小問1詳解】由題意得，.【小問2詳解】（i）在一次摸球的結(jié)果中，，，，.所以兩次摸球的結(jié)果中，顏色和符號(hào)均相同的概率為，僅顏色相同或僅符號(hào)相同的概率為，顏色和符號(hào)均不相同的概率為.，不符合“結(jié)果發(fā)生的可能性越小，獎(jiǎng)項(xiàng)等級(jí)越高”的標(biāo)準(zhǔn)，故該獎(jiǎng)項(xiàng)設(shè)置不合理.（ii）設(shè)一次抽獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金為元，由題意知，，.按照題意，獎(jiǎng)金越高，概率越小，結(jié)合（i），可知的分布列為所以，令，得，即的最大值為180.18.已知函數(shù)．（1）若，求在上的最值．（2）若且，關(guān)于的方程在上僅有一個(gè)實(shí)根．（?。┳C明：；（ⅱ）求的最大值．【答案】（1）最小值為，最大值為（2）（?。┳C明見解析；（ⅱ）【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的極值，然后與端點(diǎn)值進(jìn)行比較即可求得最值；（2）（?。┝睿⒂脤?dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性找到隱零點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)在區(qū)間單調(diào)性即可確定根的唯一性，即可證明.（ⅱ）先求得，然后，利用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)區(qū)間，即可求解最大值.【小問1詳解】若，則，所以，令，可得或，令，可得或，令，可得，故在單調(diào)遞減，，單調(diào)遞增.所以.在處取得最大值，在處取得最小值，又，所以在上的最小值為，最大值為；【小問2詳解】（ⅰ）令，則，令，顯然在上單調(diào)遞增，又，，所以存在唯一的，滿足，即，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，是在上的極小值，也是最小值，又因?yàn)?，要使在上僅有一個(gè)實(shí)根，必需，所以；（ⅱ）由（?。┲?，，將代入，得，所以，所以，令，則，令，可得，令，可得，故在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增.即在處取得最大值.故的最大值為.19.如圖，在四面體中，點(diǎn)在平面內(nèi)的射影恰在棱上，為的中點(diǎn)，，，和的面積均為．（1）若，且與均為銳角，證明：平面；（2）若將，，三點(diǎn)在空間中的位置固定，試分析點(diǎn)的軌跡是什么曲線；（3）求的最小值．【答案】（1）證明見解析（2）橢圓（直線與此橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)除外）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)幾何知識(shí)得，再利用三角形面積公式得，進(jìn)而利用余弦定理得，則有，最后利用線面垂直的性質(zhì)定理證明即可；（2）根據(jù)面積得點(diǎn)D到直線AB的距離為1，進(jìn)而有在以直線為軸，底面半徑為1的圓柱的側(cè)面上運(yùn)動(dòng)，結(jié)合線面角的概念即可求出點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡；（3）建立空間直角坐標(biāo)系，求出橢圓方程及焦點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)，在中，由余弦定理得，同理可得.方法一：結(jié)合，利用基本不等式中常數(shù)代換技巧求解最小值；方法二：先求得，令，令，利用導(dǎo)數(shù)法求解最小值即可.【小問1詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在平面內(nèi)的射影恰在棱上，所以，又因?yàn)?，所以，因?yàn)楹偷拿娣e均為，所以因?yàn)榕c均為銳角，所以，再根據(jù)余弦定理可知，所以，又，平面，所以平面；【小問2詳解】因?yàn)榈拿娣e為，，所以點(diǎn)D到直線AB的距離為1，因此在以直線為軸，底面半徑為1的圓柱的側(cè)面上運(yùn)動(dòng).由題意知平面，，所以直線與平面所成的角為