高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省宿遷市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期6月期末考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.計(jì)算（）A.20 B.21 C.35 D.36【答案】B【解析】由組合數(shù)計(jì)算公式可得.故選：B2.已知樣本數(shù)據(jù)，，…，平均數(shù)為5，則，，…，的平均數(shù)為（）A.6 B.7 C.15 D.16【答案】B【解析】由題意，樣本數(shù)據(jù)，，…，的平均數(shù)為5，設(shè)的平均數(shù)為，即，解得，根據(jù)平均數(shù)的性質(zhì)知，，…，的平均數(shù)為.故選：B.3.下表是大合唱比賽24個班級的得分情況，則80百分位數(shù)是（）得分78910111314頻數(shù)4246242A.13.5 B.10.5 C.12 D.13【答案】D【解析】因?yàn)椋?4個班級的得分按照從小到大排序，可得80百分位數(shù)是第20個數(shù)為13.故選：D4.已知，為兩條不同直線，，，為三個不同平面，則下列說法正確的是（）A.若，，則 B.若，，則C.，，則 D.若，，則【答案】C【解析】若，，則或，則A錯；若，，則或與異面，則B錯；，，由平行的傳遞性可知，，則C對；若，，則或相交.，D錯，故選：C.5.已知三點(diǎn)不共線，為平面外一點(diǎn)，下列條件中能確定四點(diǎn)共面的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由空間向量基本定理可知，若四點(diǎn)共面，則需滿足存在實(shí)數(shù)使得，且，顯然選項(xiàng)A，C不成立；對于選項(xiàng)B，由可得，不合題意，即B錯誤；對于D，化簡可得，滿足，可得D正確；故選：D6.已知隨機(jī)事件，，，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)?，，，則，則.故選：A7.已知，則的值為（）A.255 B.256 C.511 D.512【答案】A【解析】令，得，令，得，令，得，兩式相加得，得，則.故選：A.8.某工廠有甲、乙、丙3個車間生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，其中甲車間的產(chǎn)量占總產(chǎn)量的，乙車間占，丙車間占．已知這3個車間的次品率依次為，，，若從該廠生產(chǎn)的這種產(chǎn)品中取出1件為次品，則該次品由乙車間生產(chǎn)的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】記事件A表示甲車間生產(chǎn)的產(chǎn)品，記事件表示乙車間生產(chǎn)的產(chǎn)品，記事件表示丙車間生產(chǎn)的產(chǎn)品，記事件表示抽取到次品，則,，取到次品的概率為，若取到的是次品，此次品由乙車間生產(chǎn)的概率為：.故選：C二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.下列選項(xiàng)中敘述正確的有（）A.施肥量與糧食產(chǎn)量之間具有正相關(guān)關(guān)系B.在公式中，變量與之間不具有相關(guān)關(guān)系C.相關(guān)系數(shù)時變量間的相關(guān)程度弱于時變量間的相關(guān)程度D.某小區(qū)所有家庭年收入（萬元）與年支出（萬元）具有相關(guān)關(guān)系，其線性回歸方程為．若，，則．【答案】BCD【解析】對于A，只有在施肥量不過量的情況下，施肥量越大，糧食產(chǎn)量越高，則題中兩者不具有正相關(guān)關(guān)系，故A錯誤.對于B，變量與之間是函數(shù)關(guān)系，不是相關(guān)關(guān)系，故B正確.對于C，因?yàn)?，故相關(guān)系數(shù)時變量間的相關(guān)程度弱于時變量間的相關(guān)程度，故C正確.對于D，因?yàn)榛貧w直線過，故，故，故D正確.故選：BCD.10.已知點(diǎn)，，，平面經(jīng)過線段的中點(diǎn)，且與直線垂直，下列選項(xiàng)中敘述正確的有（）A.線段的長為36B.點(diǎn)在平面內(nèi)C.線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)為D.直線與平面所成角的正弦值為【答案】BCD【解析】因?yàn)辄c(diǎn)，，所以,故A錯誤；設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn)，所以，則的坐標(biāo)為，故C正確；因?yàn)辄c(diǎn)，則，又，則，所以，即，又平面，垂足為點(diǎn)，即平面，所以平面，故B正確；由，，得，設(shè)直線與平面所成的角為，則，故D正確.故選：BCD.11.甲袋中有2個紅球、3個黃球，乙袋中有3個紅球、2個黃球，同時從甲、乙兩袋中取出2個球交換，分別記交換后甲、乙兩個袋子中紅球個數(shù)的數(shù)學(xué)期望為、，方差為、，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】根據(jù)題意，記甲、乙兩個袋子中紅球個數(shù)分別為，不管如何交換紅球個數(shù)始終只有5個，易知，對于A，由期望值性質(zhì)可得，即，所以A正確；對于B，易知隨機(jī)變量所有可能取值為；當(dāng)從甲袋中取出2個紅球，乙袋中取出2個黃球后交換，可得，當(dāng)從甲袋中取出1個紅球，1個黃球，乙袋中取出2個黃球后交換，或者從甲袋中2個紅球，乙袋中取出1個紅球，1個黃球后交換，可得；當(dāng)從甲袋中取出1個紅球，1個黃球，乙袋中取出1個紅球，1個黃球；或者從甲袋中取出2個紅球，乙袋中取出取出2個紅球；或者從甲袋中取出2個黃球，乙袋中取出取出2個黃球后交換，可得；當(dāng)從甲袋中取出2個黃球，乙袋中取出1個紅球，1個黃球；或者從甲袋中取出1個紅球，1個黃球，乙袋中取出取出2個紅球后交換，可得；當(dāng)從甲袋中取出2個黃球，乙袋中取出2個紅球后交換，可得，隨機(jī)變量的分布列為01234所以期望值，可得，即，可得B正確；對于C，D，由方差性質(zhì)可得，即可得，所以C錯誤，D正確.故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,若，則______．【答案】【解析】因?yàn)殡S機(jī)變量服從正態(tài)分布，，所以,故答案為：13.如圖，用四種不同顏色給圖中的五個點(diǎn)涂色，要求每個點(diǎn)涂一種顏色，且圖中每條線段的兩個端點(diǎn)涂不同顏色．則不同的涂色方法共有______種．【答案】72【解析】根據(jù)題意按照的順序分5步進(jìn)行涂色，第一步，點(diǎn)的涂色有種，第二步，點(diǎn)的顏色與不同，其涂色有種，第三步，點(diǎn)的顏色與都不同，其涂色有種，第四步，對點(diǎn)涂色，當(dāng)同色時，點(diǎn)有1種選擇；當(dāng)不同色時，點(diǎn)有1種選擇；第五步，對點(diǎn)涂色，當(dāng)同色時，點(diǎn)有2種選擇；當(dāng)不同色時，點(diǎn)有1種選擇；根據(jù)分類分步計(jì)數(shù)原理可得，不同的涂色方法共有種.故答案為：7214.如圖，已知三棱錐的底面是邊長為2的等邊三角形，，為中點(diǎn)，，則三棱錐的外接球表面積為______．【答案】【解析】因?yàn)闉榈冗吶切?，為中點(diǎn)，故，而，，平面，所以平面.設(shè)外接圓的圓心為，三棱錐的外接球的球心為，連接，設(shè)的外接圓的圓心為，連接，，則平面，故，故共面，而平面，故，故四邊形為矩形.又，而，故外接球半徑為，故外接球的表面積為，故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步聚．15.在的展開式中，第2，3，4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)依次成等差數(shù)列．（1）證明展開式中不存在常數(shù)項(xiàng)；（2）求展開式中所有的有理項(xiàng)．解：（1）易知第2，3，4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)依次為，可得，即，整理得，解得或（舍）；所以二項(xiàng)式為，假設(shè)第項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，其中，即可得為常數(shù)項(xiàng)，所以，解得，不合題意；即假設(shè)不成立，所以展開式中不存常數(shù)項(xiàng)；（2）由（1）可知，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)可得，其中的有理項(xiàng)需滿足，即，且；當(dāng)，此時有理項(xiàng)為；當(dāng)，此時有理項(xiàng)為；當(dāng)，此時有理項(xiàng)為；當(dāng)，此時有理項(xiàng)為；綜上可知，展開式中所有的有理項(xiàng)為，，，.16.某校天文社團(tuán)將2名男生和4名女生分成兩組，每組3人，分配到，兩個班級招募新社員．（1）求到班招募新社員的3名學(xué)生中有2名女生的概率；（2）設(shè)到，兩班招募新社員的男生人數(shù)分別為，，記，求的分布列和方差．解：（1）到班招募新社員的3名學(xué)生中有2名女生的概率為.（2）由題意，的可能取值為，則，，，所以的分布列為則，所以.17.如圖，正三棱柱中，為的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）當(dāng)?shù)闹禐槎嗌贂r，平面?請給出證明．解：（1）連接,交于點(diǎn)，連接， 因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，為的中點(diǎn)，所以是的中位線，即,平面，平面，所以平面.（2）時，平面，證明如下：因?yàn)椋?，，，，，?因?yàn)槿庵鶠檎庵瑸檎切?，且平面，，，平面，平面，平面，因?yàn)槠矫?，所以，，平面，平?.18.會員足夠多的某知名戶外健身俱樂部，為研究不高于40歲和高于40歲兩類會員對服務(wù)質(zhì)量的滿意度．現(xiàn)隨機(jī)抽取100名會員進(jìn)行服務(wù)滿意度調(diào)查，結(jié)果如下：年齡段滿意度合計(jì)滿意不滿意不高于40歲502070高于40歲25530合計(jì)7525100（1）問：能否認(rèn)為，會員不高于40歲和高于40歲年齡結(jié)構(gòu)對服務(wù)滿意度有關(guān)；（2）用隨機(jī)抽取的100名會員中的滿意度頻率代表俱樂部所有會員的滿意度概率．從所有會員中隨機(jī)抽取3人，記抽取的3人中，對服務(wù)滿意的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．參考公式：（其中）．參考數(shù)據(jù)：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828解：（1）由列聯(lián)表可知：，所以不能認(rèn)為會員不高于40歲和高于40歲年齡結(jié)構(gòu)對服務(wù)滿意度有關(guān).（2）由表格可知，對服務(wù)滿意的人的概率為，且，則，可得：，，，，故的分布列如圖：X0123P可得.19.如圖，在三棱臺中，，，為的中點(diǎn)，二面角的大小為．（1）求證：；（2）若，求三棱臺的體積；（3）若到平面的距離為，求的值．解：（1）取的中點(diǎn)為，連接；如下圖所示：易知平面平面，且平面平面，平面平面；所以，又因?yàn)?，可得四邊形為等腰梯形，且分別為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)椋?，易知，且平面，所以平面，又平面，所以；?/p>