上課手機(jī)關(guān)了嗎？6/11/20251第二章矩陣復(fù)習(xí)矩陣的初等行、列變換；矩陣等價(jià)；初等矩陣定理1有限次初等變換A=(aij)m×n(A≌標(biāo)準(zhǔn)形D)初等矩陣的逆矩陣仍為初等矩陣

定理2對(duì)A作初等行(列)變換,相當(dāng)于用相應(yīng)的初等矩陣左(右)乘A.

推論

對(duì)任一矩陣A,存在可逆陣P,Q,使PAQ=A≌B可逆陣P,Q,使PAQ＝B.

定理3n階可逆矩陣A的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形D=En定理4

A可逆A可表示為一些初等矩陣的乘積(AE)(E

A-1)

行變換AE

列變換EA-1(AB)(E

A-1B)

行變換AB

列變換EBA-1若用一系列初等行變換將A化為單位矩陣E,則對(duì)E施以同樣的行變換即得A-1A-1=P1P2…PkEE=P1P2…PkA若用一系列初等行變換將A化為單位矩陣E,則對(duì)B施以同樣的行變換即得A-1BA-1B=P1P2…PkBE=P1P2…PkAA-1＝P1P2…Pk6/11/20253第二章矩陣任選Am×n的k行k列所得k階行列式(k≤min(m,n))例有二階子式

三階子式

若矩陣A中至少有一個(gè)r階子式不為零,而所有的r＋1階子式皆為零,則稱r為矩陣A的秩,記為r(A)＝r.

即：矩陣A的秩等于A中不為零的子式的最高階數(shù).2.6矩陣的秩一、矩陣秩的定義1.k階子式:2.矩陣的秩(1)定義所有高于r＋1階的子式必為零!上例：r(A)＝24第二章矩陣

①

0≤r(Am×n)≤min{m,n}②

r(A)=r(AT)，r(kA)=r(A)

(k≠0)(2)性質(zhì)：

③

A存在r階子式不為0r(A)≥rA的所有r+1階子式都為0r(A)≤r④

An×n可逆r(A)＝n二、用初等變換定理

矩陣經(jīng)過(guò)初等變換，其秩不變.r(A)=m,稱A為行滿秩矩陣;

規(guī)定：r(O)＝0r(A)=n,稱A為列滿秩矩陣.統(tǒng)稱為滿秩矩陣求矩陣的秩(證明:P66)——用定義，繁!6/11/20255第二章矩陣行變換列變換等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形，則r(A)＝初等行變換行階梯形,則r(A)=行階梯形矩陣非零行的行數(shù)

rr行行階梯形矩陣：自上而下各行中，第一個(gè)非零元左邊零的個(gè)數(shù)逐行增加；零行在最下面.例:簡(jiǎn)化行階梯形矩陣：行階梯形矩陣，非零行的第一個(gè)非零元均為1，其所在列的其它元素均為0.110006/11/20256第二章矩陣?yán)?求下列矩陣的秩解∴r(A)＝3(1)(2)∴r(B)＝2(2)(1)6/11/20257第二章矩陣?yán)?(01考研)設(shè)矩陣,且秩(A)＝3,－3則k＝＝(k＋3)(k－1)3＝0∵

k＝1時(shí)，r(A)＝1∴k＝－3解6/11/20258第二章矩陣(2)

A可逆

r(AB)=r(B)；

B可逆

r(AB)=r(A)

證：設(shè)A可逆，則

即對(duì)B作s次初等行變換可得AB∴

r(AB)＝r(B)三、幾個(gè)常見結(jié)論(1)

0≤r(Am×n)≤min{m,n}(3)①r(A)＋r(B)－n≤r(Am×nBn×s)≤min{r(A)

,r(B)}A=P1P2…Ps(Pi為初等矩陣)∴AB=P1P2…PsBAm×nBn×s＝Or(A)＋r(B)≤n(證明見P68)(4)r(A＋B)≤

r(A)＋r(B)(5)聯(lián)合用于證明一些有關(guān)矩陣秩的等式②9例3設(shè)A為n階冪等矩陣(A2＝A)，證明：證：由A2＝A得∴r(A)＋r(E－A)≤n

又r(A)＋r(E－A)≥r(A＋E－A)＝r(E)＝n∴r(A)＋r(E－A)＝n

r(A)＋r(E－A)＝nA(E－A)＝O6/11/202510第二章矩陣設(shè)A為n(n≥2)階方陣,

則證:1)r(A)＝n時(shí)，

，A可逆，且

可逆2)r(A)=n－1時(shí),A不可逆,而r(A)=n－1,另一方面,r(A)=n－1∴A存在n－1階子式不為0綜上,有3)r