高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖南省部分學(xué)校2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上．寫(xiě)在本試卷上無(wú)效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．4．本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部?jī)?nèi)容．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】集合，則.故選：D.2.已知，若復(fù)數(shù)，則（）A.2 B.3 C. D.【答案】C【解析】因?yàn)椋?，解得，所以?fù)數(shù)，則．故選：C3.已知直線與圓相交于兩點(diǎn)，，則（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】設(shè)圓心到直線的距離為，則由點(diǎn)到直線的距離公式可得．因?yàn)?，所以，解得．故選：B.4.已知銳角滿足，則（）A. B. C. D.-1【答案】C【解析】因?yàn)闉殇J角，，所以，得，所以．故選：C5.已知雙曲線的離心率為2，左、右焦點(diǎn)分別為是雙曲線上的一點(diǎn)，且，則（）A. B.5 C. D.或【答案】A【解析】由雙曲線的離心率為2，可得，，則，所以的方程為．當(dāng)點(diǎn)在雙曲線左支上時(shí)，．當(dāng)在雙曲線的右支上時(shí)，，因?yàn)辄c(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最小值為，所以不符合題意，舍去．故.故選：A6.已知函數(shù)，則使成立的的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】函數(shù)，定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又因?yàn)?，易知是偶函?shù)，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增．由，得，解得．故選：B7.已知，函數(shù)的最小正周期為，若，且的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則（）A.-1 B.-2 C.-3 D.-4【答案】D【解析】因?yàn)椋?，解得．又的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以，解得．因?yàn)?，取，可得，所?故選：D8.甲、乙、丙三人各自計(jì)劃去上海旅游，他們?cè)?月21日到4月23日這三天中的一天到達(dá)上海，他們?cè)谀囊惶斓竭_(dá)上海相互獨(dú)立，且他們各自在4月21日到4月23日到達(dá)上海的概率如下表所示：4月21日4月22日4月23日020.30.5若甲、乙兩人在同一天到達(dá)上海概率小于甲、丙兩人在同一天到達(dá)上海的概率，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)甲、乙兩人在同一天到達(dá)上海的概率為，甲、丙兩人在同一天到達(dá)上海的概率為．根據(jù)全概率公式可得：，．由，得，即，又，所以．故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.2020至2024年我國(guó)快遞業(yè)務(wù)量及其增長(zhǎng)速度如圖所示，則（）A.2020至2024年我國(guó)快遞業(yè)務(wù)量逐年增長(zhǎng)B.2020至2024年我國(guó)快遞業(yè)務(wù)量的中位數(shù)是1106億件C.2020至2024年我國(guó)快遞業(yè)務(wù)量增長(zhǎng)速度的極差是19.4％D.估計(jì)我國(guó)2019年的快遞業(yè)務(wù)量大于500億件【答案】ABD【解析】對(duì)于A中，根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖表，可得2020至2024年我國(guó)快遞業(yè)務(wù)量逐年增長(zhǎng)，所以A正確．對(duì)于B中，2020至2024年我國(guó)快遞業(yè)務(wù)量分別為，可得數(shù)據(jù)的中位數(shù)為億件，所以B正確；對(duì)于C中，2020至2024年我國(guó)快遞業(yè)務(wù)量增長(zhǎng)速度的極差為，所以C錯(cuò)誤．對(duì)于D中，設(shè)我國(guó)2019年的快遞業(yè)務(wù)量為億件，則，可得，所以D正確．故選：ABD.10.已知邊長(zhǎng)為2的正方形的邊上有一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），邊上有一點(diǎn)，且，如圖1所示．現(xiàn)把沿折起到的位置，得到棱錐，如圖2．設(shè)，棱錐的體積的最大值為，則（）A.是單調(diào)遞增函數(shù)B.函數(shù)先單調(diào)遞增后單調(diào)遞減C.當(dāng)平面平面時(shí)，的長(zhǎng)有最小值2，沒(méi)有最大值D.函數(shù)有最大值，沒(méi)有最小值【答案】BD【解析】要使棱錐的體積取得最大，則平面平面，取中點(diǎn)為，則，又平面平面，且平面平面，所以平面，對(duì)于：由題知棱錐的高為，棱錐的底面面積，所以．由，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故A錯(cuò)誤，B正確．對(duì)于：由A知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，無(wú)最小值，故D正確．對(duì)于：平面，又平面，所以，所以，令，易知在上單調(diào)遞減，所以AP的長(zhǎng)度沒(méi)有最值，故C錯(cuò)誤．故選：.11.已知不等式對(duì)任意成立，則實(shí)數(shù)的取值可以為（）A. B. C. D.e【答案】ABD【解析】原不等式可化為．令，則原不等式等價(jià)于，易知在上單調(diào)遞增，所以不等式可化，兩邊取對(duì)數(shù)即得，所以恒成立．令，則，由，可得，由，可得，可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，最大值所以，故，即實(shí)數(shù)的取值范圍為．符合條件的選項(xiàng)有ABD，故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知向量，且，則____________．【答案】2【解析】因?yàn)椋?，解得．故答案為?13.已知某圓錐的底面圓半徑為3，母線長(zhǎng)為5，則該圓錐的外接球的表面積為_(kāi)_________.【答案】【解析】設(shè)該圓錐的高為，外接球的半徑為，則.由，解得，所以該圓錐的外接球的表面積.故答案為：14.已知有窮數(shù)列的各項(xiàng)均不相等，將的項(xiàng)從大到小重新排序后相應(yīng)的項(xiàng)數(shù)構(gòu)成新數(shù)列，稱數(shù)列為數(shù)列的“序數(shù)列”．例如數(shù)列滿足，則其“序數(shù)列”為2，3，1．若有窮數(shù)列滿足，且數(shù)列的“序數(shù)列”單調(diào)遞減，數(shù)列的“序數(shù)列”單調(diào)遞增，則____________．【答案】【解析】因?yàn)榈摹靶驍?shù)列”單調(diào)遞減，所以數(shù)列單調(diào)遞增，則，所以．又因?yàn)?，所以，所以，所以①．同理可得②，由①②得，所?故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且．（1）求；（2）若，求的面積；（3）若，求的周長(zhǎng)．解：（1）因?yàn)椋裕瑒t，即，即，在中，，則．（2）在中，由，得，所以的面積．（3）由，得，所以的周長(zhǎng)為．16.已知拋物線的焦點(diǎn)為橢圓的右焦點(diǎn)，且的右頂點(diǎn)為．（1）求的方程；（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)且傾斜角為的直線與交于兩點(diǎn)，求．解：（1）因?yàn)?，所以的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，即，所以的方程為．（2）依題意可得直線的方程為，由得．設(shè)，則，則．17.如圖,在直四棱柱中,底面是菱形，,是的中點(diǎn)，是側(cè)面內(nèi)的一點(diǎn)（含邊界）．（1）若是側(cè)面的中心，證明：．（2）若平面，試求點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度．（3）求平面與平面夾角的余弦值．解：（1）如圖1，取CD的中點(diǎn)，連接，則平面ABCD，又平面ABCD，所以．因?yàn)镻M是的中位線，所以．因?yàn)锳BCD是菱形，所以，從而．又，平面MPQ，所以平面MPQ，而面MPQ，從而（2）如圖2，取CD的中點(diǎn)的中點(diǎn)，連接，，則．又平面平面，所以平面．同理平面，又，平面,所以平面平面．因?yàn)槠矫嫫矫?，所以MN就是點(diǎn)的軌跡．因?yàn)?，所以點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為．（3）設(shè)AC與BD交于點(diǎn)，由題設(shè)可知，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖3所示，則，，設(shè)平面的法向量為，由得令，得設(shè)平面的法向量為，則，由得令，則，得．設(shè)平面與平面的夾角為，則18.已知一個(gè)盒中裝有3個(gè)大小，形狀完全相同的小球（1個(gè)紅球和2個(gè)黑球），從盒中每次隨機(jī)不放回地取出1個(gè)小球，若取出的是紅球，則將1個(gè)黑球放入盒中；若取出的是黑球，則將1個(gè)紅球放入盒中，以上取1個(gè)球再放1個(gè)球的過(guò)程稱為1次操作．假設(shè)每次取球相互獨(dú)立．（1）經(jīng)過(guò)2次操作后，記盒中紅球的個(gè)數(shù)為X，求X的分布列；（2）求第3次操作取到紅球的概率；（3）設(shè)經(jīng)過(guò)次操作后，盒中全是黑球的概率為，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．解：（1）由題意，的所有可能取值為1,3，,故的分布列為13（2）由題意，（方法一）設(shè)事件表示第次取到紅球，則（方法二）由（1）知第3次操作取到紅球的概率為．（3）由題意及（1）（2）得，設(shè)次操作后，盒中全是黑球、1個(gè)紅球和2個(gè)黑球、2個(gè)紅球和1個(gè)黑球、全是紅球的概率分別為．由操作規(guī)則可知，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，盒中全是黑球或2個(gè)紅球、1個(gè)黑球，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，盒中全是紅球或1個(gè)紅球、2個(gè)黑球，即，其中．因?yàn)?，所以，所以是以為首?xiàng)，為公比的等比數(shù)列，則．故．即19.已知函數(shù)，且的圖象在點(diǎn)處的切線方程為．（1）求的解析式；（2）若是在上的一個(gè)極值點(diǎn)，證明：．解：（1）由題