高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖北省武漢市武昌區(qū)2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期6月期末考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名?準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解得，即，B為奇數(shù)集，故.故選：C.2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，若，則（）A. B. C.-1 D.1【答案】C【解析】在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，它關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)為-1,1，因?yàn)閺?fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，所以，則，故選：C.3.已知向量滿足，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，得，因?yàn)?，所以，得，所以在上的投影向量?故選：A4.現(xiàn)將六名學(xué)生排成一排，要求相鄰，且不相鄰，則不同的排列方式有（）A.144種 B.240種 C.120種 D.72種【答案】A【解析】將捆綁在一起，看成一個(gè)整體，與進(jìn)行全排列，有種排法，排完后有4個(gè)空，用去插這4個(gè)空，有種方法，由分步乘法原理可知共有種排列方式.故選：A5.已知角，點(diǎn)在直線上，則（）A. B.-1 C. D.【答案】C【解析】由題意得，即，解得，因?yàn)?，所以，，?故選：C.6.已知數(shù)列滿足.若數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，則（）A.2022 B.2023 C.2024 D.2025【答案】B【解析】，所以，整理得，所以數(shù)列為常數(shù)列，每項(xiàng)均為0，所以，則，.故選：B.7.摩天輪是一種大型轉(zhuǎn)輪狀的機(jī)械游樂(lè)設(shè)施,游客坐在摩天輪的座艙里慢慢地往上轉(zhuǎn),可以從高處俯瞰四周景色.某摩天輪等距離設(shè)置有60個(gè)座艙，開(kāi)啟后按逆時(shí)針?lè)较騽蛩傩D(zhuǎn),游客在座艙轉(zhuǎn)到距離地面最近的位置進(jìn)艙，轉(zhuǎn)一周需要.已知在轉(zhuǎn)動(dòng)一周的過(guò)程中,座艙距離地面的高度關(guān)于時(shí)間（min）的函數(shù)關(guān)系式為，若甲?乙兩人的座艙之間有4個(gè)座艙，則甲?乙兩人座艙高度差的最大值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)甲位置對(duì)應(yīng)的時(shí)間為，轉(zhuǎn)到乙位置時(shí)對(duì)應(yīng)的時(shí)間為，則，所以甲?乙兩人座艙高度差為，所以甲?乙兩人座艙高度差的最大值為.故選：D.8.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正四面體中，分別為棱的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，球的球面正好經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（）A.B.球的的體積與四面體外接球的體積之比為C.直線與平面所成角的正弦值為D.球被平面截得的截面面積為【答案】C【解析】如圖：對(duì)A：連接，，則，又為中點(diǎn)，所以，若，平面，且，所以平面，可知這是不成立的，所以不成立，故A錯(cuò)誤；對(duì)B：利用結(jié)論：若正四面體的棱長(zhǎng)為，則該四面體的外接球半徑為，內(nèi)切球半徑為.在中，，所以球的半徑為，四面體的外接圓半徑為，所以球的的體積與四面體外接球的體積之比，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：連接，取的中心，則在上，連接，則平面，作平面，則為中點(diǎn).為直線與平面所成的角，在中，，，，所以，故C正確；對(duì)D：因?yàn)辄c(diǎn)到平面的距離為，所以球被平面截得的截面圓半徑為，所以截面面積為，故D錯(cuò)誤.故選：C二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列說(shuō)法中正確的是（）A.一組數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)為7B.若隨機(jī)變量，且，則C.袋中裝有除顏色外完全相同的4個(gè)紅球和2個(gè)白球，從袋中不放回地依次抽取2個(gè)球，則第二次取到紅球的概率為D.在對(duì)高二某班學(xué)生物理成績(jī)的分層隨機(jī)抽樣調(diào)查中，抽取男生12人，其平均數(shù)為75，方差為；抽取女生8人，其平均數(shù)為70，方差為23，則這20名學(xué)生物理成績(jī)的方差為33【答案】BCD【解析】對(duì)A：把數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列得：3，5，7，8，9，10，12，15，18，20，21，23，因?yàn)椋缘?5百分位數(shù)是第3，4兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)，為，故A錯(cuò)誤；對(duì)B：因?yàn)?，且，所以，所以，故B正確；對(duì)C：設(shè)第二次取到紅球?yàn)槭录谝淮稳〉郊t球?yàn)槭录?，則，故C正確；對(duì)D：這20名同學(xué)物理成績(jī)的平均數(shù)為：，所以這20名同學(xué)物理成績(jī)的方差為：，故D正確.故選：BCD.10.在橢圓中，任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)必在同一個(gè)與橢圓同心的圓上，稱此圓為該橢圓的“蒙日?qǐng)A”，且半徑為.已知長(zhǎng)方形的四條邊均與橢圓相切，則下列說(shuō)法正確的有（）A.橢圓的離心率為B.橢圓的“蒙日?qǐng)A”的方程為C.長(zhǎng)方形的面積的最大值為18D.若橢圓的上下頂點(diǎn)分別為，則其蒙日?qǐng)A上存在兩個(gè)點(diǎn)滿足【答案】BCD【解析】由題意得，，所以，故A錯(cuò)；因?yàn)?，所以橢圓的“蒙日?qǐng)A”的方程為，故B正確；根據(jù)“蒙日?qǐng)A”的定義可得長(zhǎng)方形的對(duì)角線，所以當(dāng)時(shí)，面積最大，為，故C正確；由題意得，，設(shè)Px,y，則，整理的，所以點(diǎn)的軌跡為圓心為，半徑為3的圓，因?yàn)椋渣c(diǎn)的軌跡與蒙日?qǐng)A相交，有兩個(gè)交點(diǎn)，即蒙日?qǐng)A上存在兩個(gè)點(diǎn)滿足，故D正確.故選：BCD.11.已知函數(shù)，則（）A.函數(shù)的一個(gè)周期為B.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增C.函數(shù)區(qū)間上沒(méi)有零點(diǎn)D.函數(shù)的最大值為1【答案】BD【解析】因?yàn)?，所以函?shù)的定義域?yàn)閷?duì)于A，因?yàn)?，所以，所以不是的一個(gè)周期，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)闀r(shí)，所以，所以，且，所以，所以，故在單調(diào)遞增，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)闀r(shí)，所以，所以，且，所以，所以，故在單調(diào)遞減，且，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，函數(shù)在有零點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，所以為偶函?shù)，當(dāng)，且，所以在為周期函數(shù)，同理在也為周期函數(shù).由BC得，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，所以，所以，且，所以，所以，故在單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，所以，所以，且，所以，所以，故在單調(diào)遞增，綜上所訴，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，且，且當(dāng)時(shí)，函數(shù)在周期內(nèi)，都有，故函數(shù)的最大值為，故D正確.故選：BD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.的展開(kāi)式中，的系數(shù)是______.(用數(shù)字作答)．【答案】【解析】展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為T(mén)r+1=，令5﹣r=2，解得r=3，所以T4=C53?x2=-80x2；令5﹣r=3，解得r=2，所以T3=4C52?x3=40x3；所以展開(kāi)式中x3的系數(shù)為-80+40=﹣40．故答案為﹣40．13.已知直線和，過(guò)動(dòng)點(diǎn)作兩直線的平行線，分別交于兩點(diǎn)，其中點(diǎn)在第一象限，點(diǎn)在第四象限.若平行四邊形（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為3，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線，若曲線與直線有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，則的取值范圍為_(kāi)_________.【答案】或【解析】設(shè)，過(guò)點(diǎn)M且平行的直線方程為，由，解得，則，又點(diǎn)M到直線的距離為，所以平行四邊形（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為，由題意點(diǎn)在第一象限，點(diǎn)在第四象限可知，點(diǎn)在直線y=2x下方，在直線上方，化簡(jiǎn)得，其漸近線方程為，如圖所示：因直線過(guò)定點(diǎn)2,0，若直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，則的取值范圍為或，故答案為：或14.已知函數(shù)的定義域?yàn)闉榈膶?dǎo)函數(shù)，且，，若為偶函數(shù)，則__________.【答案】2024【解析】因?yàn)槭桥己瘮?shù)，則，兩邊求導(dǎo)得，所以是奇函數(shù)，故，由①，則，代入②，可得，即，即，又是奇函數(shù)，所以，所以是周期為2的周期函數(shù)，又，可知也是周期為2的周期函數(shù)，令代入②，得，令代入①，得，令代入②，得，聯(lián)立，解得，所以.故答案為：2024.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.15.已知函數(shù)的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且.（1）求角；（2）設(shè)為邊的中點(diǎn)，且的面積為，求的長(zhǎng).解：（1）因?yàn)?，所?所以.因?yàn)椋?，所?（2）因?yàn)椋?所以.因?yàn)?，所?所以.由余弦定理，得，且，所以，即.所以，即.因?yàn)?，所?所以，即.所以.因?yàn)?，所?所以，所以.16.如圖，四棱臺(tái)中，下底面為平行四邊形，平面，為的中點(diǎn)，平面平面.（1）求四棱臺(tái)的體積；（2）求平面與平面夾角余弦值.解：（1）取的中點(diǎn)，則，所以，四邊形為平行四邊形.因?yàn)槠矫妫云矫?，即梯形的高為（或?在直角三角形中，求得.因?yàn)槠矫嫫矫?，所?因?yàn)槠矫嫫矫?，交線為，因?yàn)?，所以平?所以，所以在直角三角形中，求得邊的高，所以，底面的面積.同理求得上底面面積.由平面，知梯形的高為，所以.（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，軸和軸建立空間直線坐標(biāo)系.則.由（1）知，平面的一個(gè)法向量為.設(shè)平面的一個(gè)法向量為n=x,y,z，因?yàn)?，所以，令，則.所以.設(shè)平面和平面夾角為，則.17.甲?乙兩位學(xué)生進(jìn)行答題比賽，每局只有1道題目，比賽時(shí)甲?乙同時(shí)回答這一個(gè)問(wèn)題，若一人答對(duì)且另一人答錯(cuò)，則答對(duì)者獲得10分，答錯(cuò)者得-10分；若兩人都答對(duì)或都答錯(cuò)，則兩人均得0分.根據(jù)以往答題經(jīng)驗(yàn)，每道題甲答對(duì)的概率為，乙答對(duì)的概率為，且甲?乙答對(duì)與否互不影響，每次答題的結(jié)果也互不影響.（1）求在一局比賽中，甲的得分的分布列與數(shù)學(xué)期望；（2）設(shè)這次比賽共有4局，若比賽結(jié)束時(shí)，累計(jì)得分為正者最終獲勝，求乙最終獲勝的概率.解：（1）甲的得分的取值可能為.，，，所以，的分布列為-10010所以.（2）由（1）知，在一局比賽中，乙獲得10分的概率為，乙獲得0分的概率為，乙獲得-10分的概率為.在4局比賽中，乙獲得40分的概率為，在4局比賽中，乙獲得30分的概率為，在4局比賽中，乙獲得20分的概率為，在4局比賽中，乙獲得10分的概率為，所以，乙最終獲勝的概率為.18.已知圓和點(diǎn)，點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn)，線段的垂直平分線與線段相交于點(diǎn)，記點(diǎn)的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程；（2）若過(guò)原點(diǎn)的兩條直線分別交曲線于點(diǎn)和，且（為坐標(biāo)原點(diǎn)）.判斷四邊形的面積是否為定值？若為定值，求四邊形的面積；若不為定值，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：（1）由題意知，圓心為F1-1,0，半徑為4，且如圖：因?yàn)椋?，點(diǎn)的軌跡為以為焦點(diǎn)的橢圓.設(shè)橢圓方程為，則，解得，所以，.所以，曲線的方程為.（2）四邊形的面積為定值，理由如下：如圖：當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線軸，此時(shí)四邊形為矩形，且.因?yàn)?，不妨設(shè)，則.取，則四邊形的面積.當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)，且Ax1,聯(lián)立直線與橢圓的方程，消去并整理，得.由，得.所以.所以.所以.因?yàn)?，所以，?因?yàn)?，所?因?yàn)樵c(diǎn)到直線的距離，且四邊形為平行四邊形，所以四邊形的面積.所以，四邊形的面積為定值.19.帕